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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2014
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
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Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2013
Analysis 1
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Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
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Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2012
Analysis 1
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Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2011
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...

Wirtschaftliche Anwendung

Aufgaben
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1.1
Die Firma „Gutsleback“ stellt verschiedene Plätzchen her, die sie in zwei unterschiedlichen Verpackungen anbietet. Die Plätzchen werden hauptsächlich aus Butter, Zucker, Mehl, Nüssen und Kokosraspeln gefertigt. Die quantitativen Zusammenhänge sind durch die nachfolgenden Tabellen gegeben.
Menge der Zutaten in Gramm (g) pro Plätzchen
ButterplätzchenNussplätzchenKokosplätzchen
Butter $2,5$$1,5$$2,0$
Zucker $1,6$$1,0$$2,0$
Mehl $2,5$$2,5$$3,0$
Nüsse $0$$2,5$$0$
Kokosraspel $0$$0$$1,0$
Anzahl der Plätzchen pro Packung
Packung IPackung II
Butterplätzchen $5$$7$
Nussplätzchen $7$$9$
Kokosplätzchen $6$$10$
1.1.1
Stelle den zweistufigen Prozess in einem Verflechtungsdiagramm dar.
(3P)
#diagramm
1.1.2
Die Firma soll einem Kunden $100$ Packungen I und $150$ Packungen II liefern.
Wie viel Gramm an Zucker und Mehl sind hierfür notwendig?
(3P)
1.1.3
Die Firma möchte eine neue Packung auf den Markt bringen. In dieser Packung sollen doppelt so viele Nuss- wie Butterplätzchen enthalten sein. Die Anzahl an Nuss- und Kokosplätzchen soll gleich sein. Der Gewichtsverlust beim Backen ist vernachlässigbar. Das Gewicht des Packungsinhaltes soll $200\,\text{g}$ nicht überschreiten.
Wie viele Plätzchen von jeder Sorte sind maximal in der neuen Packung?
(4P)
1.2
Die Zulieferfirmen $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ der Firma „Gutsleback“ sind nach dem Leontief-Modell miteinander verbunden.
Im letzten Jahr belieferten sie sich und den Markt nach der folgenden Input-Output-Tabelle, bei der $a$, $b$ und $c$ zunächst nicht bekannt sind:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$MarktProduktion
$Z_1$ $200$$100$$300$$a$$2.000$
$Z_2$ $400$$150$$b$$4.150$$c$
$Z_3$ $200$$500$$600$$1.700$$3.000$
Die Lieferungen untereinander, der Konsum sowie die Produktion werden in Geldeinheiten $(\text{GE})$ angegeben.
Die zugehörige Inputmatrix lautet:
$A=\pmatrix{0,1 \; 0,02 \;0,1 \\ 0,2\;0,03 \; 0,1\\ d \;\; 0,1 \;\; 0,2}$
Bestimme die Werte für $a,b,c,d$.
Welchen Eigenverbrauch haben die drei Firmen jeweils?
(5P)

(15P)
#matrix
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Tipps
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Verflechtungsdiagramm erstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du den angegebenen zweistufigen Prozess in einem Verflechtungsdiagramm darstellen. Überlege dir also für welches Gebäck du welche Zutaten benötigst und welche Menge eines Gebäcks in einer bestimmten Packung landet.
1.1.2
$\blacktriangleright$  Menge von Mehl und Zucker berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, welche Menge an Zucker und Mehl notwendig sind, wenn die Firma einem Kunden $100$ Packungen 1 und $150$ Packungen 2 liefert. Berechne zuerst die Anzahl der einzelnen Gebäckteilchen und schließe daraus auf die benötigte Menge an Zutaten.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl der Plätzchen bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie viele Plätzchen von jeder Sorte maximal in einer Packung sind, wenn der Packungsinhalt $200$ g nicht überschreiten darf. Außerdem hast du gegeben, dass in dieser Packung doppelt so viele Nuss-wie Butterplätzchen enthalten sind und die Anzahl der Nuss-und Kokosplätzchen gleich sind.
Bezeichne hierbei zunächst beispielsweise die Anzahl der Butterplätzchen mit $n_B=x$. Somit weißt du, dass für die Anzahl der Nussplätzchen $n_N=2\cdot x$ gilt und für die Anzahl der Kokosplätzchen auch $n_K=2\cdot x$.
Berechne die Gesamtmasse eines Plätzchen. Dazu kannst du die Mengenangaben der einzelnen Gebäcke addieren.
1.2
$\blacktriangleright$  Unbekannte Werte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen. Hierfür hast du die angegebene Input-Output-Tabelle gegeben.
Die Produktion einer Zulieferfirma kann man hierbei als Summe der Lieferungen einer Zulieferfirma an andere Zulieferfirmen, sich selbst und dem Markt berechnen.
Jeder Eintrag der Inputmatrix wird mit $a_{ij}$ bezeichnet, wobei $i$ die Zeilen- und $j$ die Spaltennummer in der Inputmatrix beschreibt. Für die allgemeine Form der Inputmatrix gilt somit:
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
Jeder Eintrag der Inputmatrix kann man mit der folgenden Formel berechnen:
$a_{ij}=\dfrac{x_{ij}}{x_j}$
$a_{ij}=\dfrac{x_{ij}}{x_j}$
Wobei die allgemeine Form der Input-Output-Tabelle folgendermaßen aussieht:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$Prod.
$Z_1$$x_{11}$$x_{12}$$x_{13}$$x_{1}$
$Z_2$$x_{21}$$x_{22}$$x_{23}$$x_{2}$
$Z_3$$x_{31}$$x_{32}$$x_{33}$$x_{3}$
$\blacktriangleright$  Eigenverbrauch der Firmen bestimmen
Der Eigenverbrauch ist in der Input-Output-Tabelle mit Lieferung einer Zulieferfirma an sich selbst gegeben. Also beschreibt der Eigenverbrauch genau die Einträge der Input-Output-Tabelle $x_{ij}$ mit $i=j$.
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Verflechtungsdiagramm erstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du den angegebenen zweistufigen Prozess in einem Verflechtungsdiagramm darstellen. Überlege dir also für welches Gebäck du welche Zutaten benötigst und welche Menge eines Gebäcks in einer bestimmten Packung landet. Die Menge der Zutaten sind in der nachfolgenden Abbildung in Gramm angegeben.
Wirtschaftliche Anwendung
Abb. 1: Veflechtungsdiagramm
$Verflechtungsdiagramm$
#diagramm
1.1.2
$\blacktriangleright$  Menge von Mehl und Zucker berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, welche Menge an Zucker und Mehl notwendig sind, wenn die Firma einem Kunden $100$ Packungen 1 und $150$ Packungen 2 liefert. Berechne zuerst die Anzahl der einzelnen Gebäckteilchen und schließe daraus auf die benötigte Menge an Zutaten.
Bezeichne hierbei die Anzahl der Butterplätzchen mit $n_B$, die Anzahl der Nussplätzchen mit $n_N$ und die Anzahl der Kokosplätzchen mit $n_K$.
Eine Packung 1 enthält $5$ Butterplätzchen, $7$ Nussplätzchen und $6$ Kokosplätzchen. Somit gilt für die Anzahl der einzelnen Gebäcke:
$n_{B1}=100\cdot 5=500$
$n_{N1}=100\cdot 7=700$
$n_{K1}=100\cdot 6=600$
Eine Packung 2 enthält $7$ Butterplätzchen, $9$ Nussplätzchen und $10$ Kokosplätzchen. Somit gilt für die Anzahl der einzelnen Gebäcke:
$n_{B2}=150\cdot 7=1.050$
$n_{N2}=150\cdot 9=1.350$
$n_{K2}=150\cdot 10=1.500$
Somit gilt für die gesamte Gebäckmenge:
$n_{B}=1.050+500=1.550$
$n_{N}=1.350+700=2.050$
$n_{K}=1.500+600=2.100$
Nun kannst du aus den Mengenangaben der Zutaten für das jeweilige Gebäck die gesamte benötigte Zutatenmenge berechnen. Bezeichne die Menge an Mehl mit $m$ und die Menge an Zucker mit $z$. Gehe anschließend wie folgt vor:
$\begin{array}[t]{rll} m_{ges}&=& n_{Bges} \cdot m_{B} + n_{Nges} \cdot m_{N} + n_{Kges} \cdot m_{K}\\[5pt] &=& 1.550 \cdot 2,5 \text{ g} + 2.050 \cdot 1,5 \text{ g} + 2.100 \cdot 2,0 \text{ g}\\[5pt] &=& 11.150 \text{ g} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_{ges}&=& n_{Bges} \cdot z_{B} + n_{Nges} \cdot z_{N} + n_{Kges} \cdot z_{K}\\[5pt] &=& 1.550 \cdot 1,6 \text{ g} + 2.050 \cdot 1,0 \text{ g} + 2.100 \cdot 2,0 \text{ g}\\[5pt] &=& 8.730 \text{ g} \end{array}$
Somit sind insgesamt $11.150 \text{ g}$ Mehl und $8.730 \text{ g}$ Zucker notwendig.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl der Plätzchen bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie viele Plätzchen von jeder Sorte maximal in einer Packung sind, wenn der Packungsinhalt $200$ g nicht überschreiten darf. Außerdem hast du gegeben, dass in dieser Packung doppelt so viele Nuss-wie Butterplätzchen enthalten sind und die Anzahl der Nuss-und Kokosplätzchen gleich sind.
Bezeichne hierbei zunächst beispielsweise die Anzahl der Butterplätzchen mit $n_B=x$. Somit weißt du, dass für die Anzahl der Nussplätzchen $n_N=2\cdot x$ gilt und für die Anzahl der Kokosplätzchen auch $n_K=2\cdot x$.
Berechne die Gesamtmasse eines Plätzchen. Dazu kannst du die Mengenangaben der einzelnen Gebäcke addieren.
$m_B=2,5 \text{ g} + 1,6 \text{ g} + 2,5 \text{ g}=6,6 \text{ g}$
$m_N=1,5 \text{ g} + 1,0 \text{ g} + 2,5 \text{ g}+ 2,5 \text{ g}=7,5 \text{ g}$
$m_B=2,0 \text{ g} + 2,0 \text{ g} + 3,0 \text{ g}+ 1,0 \text{ g}=8 \text{ g}$
Somit kannst du den Term zur Berechnung der Masse des Packungsinhaltes $M_P$ wie folgt aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} M_{P}&=& n_{B} \cdot m_{B} + n_{N} \cdot m_{N} + n_{K} \cdot m_K\\[5pt] &=& x \cdot 6,6 \text{ g} + 2\cdot x \cdot 7,5 \text{ g} + 2\cdot x \cdot 8 \text{ g}\\[5pt] &=& 37,6 \text{ g} \cdot x \end{array}$
Da du weißt, dass der Packungsinhalt $200$ g nicht überschreiten darf kannst du $M_P=200$ g setzen.
$\begin{array}[t]{rll} 200 \text{ g}&=& 37,6 \text{ g} \cdot x &\quad \mid :37,6 \text{ g}\\[5pt] x&=& 5,32 \end{array}$
Somit folgt, dass maximal $5$ Butterplätzchen, $2\cdot 5=10$ Nussplätzchen und $10$ Kokosplätzchen in der Packung sein dürfen.
1.2
$\blacktriangleright$  Unbekannte Werte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen. Hierfür hast du die angegebene Input-Output-Tabelle gegeben.
Die Produktion einer Zulieferfirma kann man hierbei als Summe der Lieferungen einer Zulieferfirma an andere Zulieferfirmen, sich selbst und dem Markt berechnen. Die Produktion für die Zulieferfirma $Z_1$ berechnet sich somit wie folgt:
$P_{Z1}=200 \text{ GE} + 100 \text{ GE} + 300 \text{ GE} + a$
Da die Produktion für die Zulieferfirma bekannt ist kannst du nun nach dem gesuchten Parameter $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{Z1}&=& 200 \text{ GE} + 100 \text{ GE} + 300 \text{ GE} + a\\[5pt] 2000 \text{ GE}&=& 600 \text{ GE} + a &\quad \mid -600 \text{ GE}\\[5pt] a&=& 1400 \text{ GE} \end{array}$
Nun kannst du mit Hilfe der gegebenen Inputmatrix die weiteren unbekannten Parameter berechnen. Jeder Eintrag wird mit $a_{ij}$ bezeichnet, wobei $i$ die Zeilen- und $j$ die Spaltennummer in der Inputmatrix beschreibt. Für die allgemeine Form der Inputmatrix gilt somit:
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
Jeder Eintrag der Inputmatrix kann man mit der folgenden Formel berechnen:
$a_{ij}=\dfrac{x_{ij}}{x_j}$
$a_{ij}=\dfrac{x_{ij}}{x_j}$
Wobei die allgemeine Form der Input-Output-Tabelle folgendermaßen aussieht:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$Prod.
$Z_1$$x_{11}$$x_{12}$$x_{13}$$x_{1}$
$Z_2$$x_{21}$$x_{22}$$x_{23}$$x_{2}$
$Z_3$$x_{31}$$x_{32}$$x_{33}$$x_{3}$
Dadurch folgt beispielsweise für den Eintrag $a_{13}$:
$a_{13}=\dfrac{x_{13}}{x_3}$
Nun kannst du hiermit zuerst den Parameter $b$ bestimmen. $b$ entpricht dem Eintrag $x_{23}$ in der Input-Output-Tabelle. Somit gilt für den Parameter $b$, mit den bereits gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} a_{23}&=& \dfrac{x_{23}}{x_3}\\[5pt] 0,1&=&\dfrac{b}{3.000 \text{ GE}} & \quad \mid \cdot 3.000 \text{ GE}\\[5pt] b&=& 300 \text{ GE} \end{array}$
Die Produktion einer Zulieferfirma kannst du nun erneut durch die Summe der Lieferungen an andere Zulieferfirmen, sich selbst und den Markt berechnen. Somit folgt für den Parameter $c$:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 400 \text{ GE}+ 150 \text{ GE} + b + 4.150 \text{ GE}\\[5pt] c&=& 400 \text{ GE}+ 150 \text{ GE} + 300 \text{ GE} + 4.150 \text{ GE}\\[5pt] c&=& 5.000 \text{ GE} \end{array}$
Anschließend kannst du noch den Parameter $d$ der Input-Matrix bestimmen. $d$ entspricht dem Eintrag $a_{31}$ der Input-Matrix und berechnet sich somit wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a_{31}&=& \dfrac{x_{31}}{x_1}\\[5pt] d&=& \dfrac{200 \text{ GE}}{2.000 \text{ GE}}\\[5pt] d&=& 0,1 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Eigenverbrauch der Firmen bestimmen
Der Eigenverbrauch ist in der Input-Output-Tabelle mit Lieferung einer Zulieferfirma an sich selbst gegeben. Also beschreibt der Eigenverbrauch genau die Einträge der Input-Output-Tabelle $x_{ij}$ mit $i=j$. Der Eigenverbrauch $E_{Z1}$ der Zulieferfirma $Z_1$ ist somit mit dem Eintrag $x_{11}$ gegeben und dadurch folgt:
$E_{Z1}=200 \text{ GE}$
Der Eigenverbrauch $E_{Z2}$ von $Z_2$ ist durch den Eintrag $x_{22}$ gegeben. Somit folgt:
$E_{Z2}= 150 \text{ GE}$
Der Eigenverbrauch $E_{Z3}$ von $Z_3$ ist durch den Eintrag $x_{33}$ gegeben. Somit folgt:
$E_{Z3}= 600 \text{ GE}$
#matrix
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Verflechtungsdiagramm erstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du den angegebenen zweistufigen Prozess in einem Verflechtungsdiagramm darstellen. Überlege dir also für welches Gebäck du welche Zutaten benötigst und welche Menge eines Gebäcks in einer bestimmten Packung landet. Die Menge der Zutaten sind in der nachfolgenden Abbildung in Gramm angegeben.
Wirtschaftliche Anwendung
Abb. 1: Veflechtungsdiagramm
$Verflechtungsdiagramm$
#diagramm
1.1.2
$\blacktriangleright$  Menge von Mehl und Zucker berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, welche Menge an Zucker und Mehl notwendig sind, wenn die Firma einem Kunden $100$ Packungen 1 und $150$ Packungen 2 liefert. Berechne zuerst die Anzahl der einzelnen Gebäckteilchen und schließe daraus auf die benötigte Menge an Zutaten.
Bezeichne hierbei die Anzahl der Butterplätzchen mit $n_B$, die Anzahl der Nussplätzchen mit $n_N$ und die Anzahl der Kokosplätzchen mit $n_K$.
Eine Packung 1 enthält $5$ Butterplätzchen, $7$ Nussplätzchen und $6$ Kokosplätzchen. Somit gilt für die Anzahl der einzelnen Gebäcke:
$n_{B1}=100\cdot 5=500$
$n_{N1}=100\cdot 7=700$
$n_{K1}=100\cdot 6=600$
Eine Packung 2 enthält $7$ Butterplätzchen, $9$ Nussplätzchen und $10$ Kokosplätzchen. Somit gilt für die Anzahl der einzelnen Gebäcke:
$n_{B2}=150\cdot 7=1.050$
$n_{N2}=150\cdot 9=1.350$
$n_{K2}=150\cdot 10=1.500$
Somit gilt für die gesamte Gebäckmenge:
$n_{B}=1.050+500=1.550$
$n_{N}=1.350+700=2.050$
$n_{K}=1.500+600=2.100$
Nun kannst du aus den Mengenangaben der Zutaten für das jeweilige Gebäck die gesamte benötigte Zutatenmenge berechnen. Bezeichne die Menge an Mehl mit $m$ und die Menge an Zucker mit $z$. Gehe anschließend wie folgt vor:
$\begin{array}[t]{rll} m_{ges}&=& n_{Bges} \cdot m_{B} + n_{Nges} \cdot m_{N} + n_{Kges} \cdot m_{K}\\[5pt] &=& 1.550 \cdot 2,5 \text{ g} + 2.050 \cdot 1,5 \text{ g} + 2.100 \cdot 2,0 \text{ g}\\[5pt] &=& 11.150 \text{ g} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_{ges}&=& n_{Bges} \cdot z_{B} + n_{Nges} \cdot z_{N} + n_{Kges} \cdot z_{K}\\[5pt] &=& 1.550 \cdot 1,6 \text{ g} + 2.050 \cdot 1,0 \text{ g} + 2.100 \cdot 2,0 \text{ g}\\[5pt] &=& 8.730 \text{ g} \end{array}$
Somit sind insgesamt $11.150 \text{ g}$ Mehl und $8.730 \text{ g}$ Zucker notwendig.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl der Plätzchen bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie viele Plätzchen von jeder Sorte maximal in einer Packung sind, wenn der Packungsinhalt $200$ g nicht überschreiten darf. Außerdem hast du gegeben, dass in dieser Packung doppelt so viele Nuss-wie Butterplätzchen enthalten sind und die Anzahl der Nuss-und Kokosplätzchen gleich sind.
Bezeichne hierbei zunächst beispielsweise die Anzahl der Butterplätzchen mit $n_B=x$. Somit weißt du, dass für die Anzahl der Nussplätzchen $n_N=2\cdot x$ gilt und für die Anzahl der Kokosplätzchen auch $n_K=2\cdot x$.
Berechne die Gesamtmasse eines Plätzchen. Dazu kannst du die Mengenangaben der einzelnen Gebäcke addieren.
$m_B=2,5 \text{ g} + 1,6 \text{ g} + 2,5 \text{ g}=6,6 \text{ g}$
$m_N=1,5 \text{ g} + 1,0 \text{ g} + 2,5 \text{ g}+ 2,5 \text{ g}=7,5 \text{ g}$
$m_B=2,0 \text{ g} + 2,0 \text{ g} + 3,0 \text{ g}+ 1,0 \text{ g}=8 \text{ g}$
Somit kannst du den Term zur Berechnung der Masse des Packungsinhaltes $M_P$ wie folgt aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} M_{P}&=& n_{B} \cdot m_{B} + n_{N} \cdot m_{N} + n_{K} \cdot m_K\\[5pt] &=& x \cdot 6,6 \text{ g} + 2\cdot x \cdot 7,5 \text{ g} + 2\cdot x \cdot 8 \text{ g}\\[5pt] &=& 37,6 \text{ g} \cdot x \end{array}$
Da du weißt, dass der Packungsinhalt $200$ g nicht überschreiten darf kannst du $M_P=200$ g setzen.
$\begin{array}[t]{rll} 200 \text{ g}&=& 37,6 \text{ g} \cdot x &\quad \mid :37,6 \text{ g}\\[5pt] x&=& 5,32 \end{array}$
Somit folgt, dass maximal $5$ Butterplätzchen, $2\cdot 5=10$ Nussplätzchen und $10$ Kokosplätzchen in der Packung sein dürfen.
1.2
$\blacktriangleright$  Unbekannte Werte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen. Hierfür hast du die angegebene Input-Output-Tabelle gegeben.
Die Produktion einer Zulieferfirma kann man hierbei als Summe der Lieferungen einer Zulieferfirma an andere Zulieferfirmen, sich selbst und dem Markt berechnen. Die Produktion für die Zulieferfirma $Z_1$ berechnet sich somit wie folgt:
$P_{Z1}=200 \text{ GE} + 100 \text{ GE} + 300 \text{ GE} + a$
Da die Produktion für die Zulieferfirma bekannt ist kannst du nun nach dem gesuchten Parameter $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{Z1}&=& 200 \text{ GE} + 100 \text{ GE} + 300 \text{ GE} + a\\[5pt] 2000 \text{ GE}&=& 600 \text{ GE} + a &\quad \mid -600 \text{ GE}\\[5pt] a&=& 1400 \text{ GE} \end{array}$
Nun kannst du mit Hilfe der gegebenen Inputmatrix die weiteren unbekannten Parameter berechnen. Jeder Eintrag wird mit $a_{ij}$ bezeichnet, wobei $i$ die Zeilen- und $j$ die Spaltennummer in der Inputmatrix beschreibt. Für die allgemeine Form der Inputmatrix gilt somit:
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
Jeder Eintrag der Inputmatrix kann man mit der folgenden Formel berechnen:
$a_{ij}=\dfrac{x_{ij}}{x_j}$
$a_{ij}=\dfrac{x_{ij}}{x_j}$
Wobei die allgemeine Form der Input-Output-Tabelle folgendermaßen aussieht:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$Prod.
$Z_1$$x_{11}$$x_{12}$$x_{13}$$x_{1}$
$Z_2$$x_{21}$$x_{22}$$x_{23}$$x_{2}$
$Z_3$$x_{31}$$x_{32}$$x_{33}$$x_{3}$
Dadurch folgt beispielsweise für den Eintrag $a_{13}$:
$a_{13}=\dfrac{x_{13}}{x_3}$
Nun kannst du hiermit zuerst den Parameter $b$ bestimmen. $b$ entpricht dem Eintrag $x_{23}$ in der Input-Output-Tabelle. Somit gilt für den Parameter $b$, mit den bereits gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} a_{23}&=& \dfrac{x_{23}}{x_3}\\[5pt] 0,1&=&\dfrac{b}{3.000 \text{ GE}} & \quad \mid \cdot 3.000 \text{ GE}\\[5pt] b&=& 300 \text{ GE} \end{array}$
Die Produktion einer Zulieferfirma kannst du nun erneut durch die Summe der Lieferungen an andere Zulieferfirmen, sich selbst und den Markt berechnen. Somit folgt für den Parameter $c$:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 400 \text{ GE}+ 150 \text{ GE} + b + 4.150 \text{ GE}\\[5pt] c&=& 400 \text{ GE}+ 150 \text{ GE} + 300 \text{ GE} + 4.150 \text{ GE}\\[5pt] c&=& 5.000 \text{ GE} \end{array}$
Anschließend kannst du noch den Parameter $d$ der Input-Matrix bestimmen. $d$ entspricht dem Eintrag $a_{31}$ der Input-Matrix und berechnet sich somit wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a_{31}&=& \dfrac{x_{31}}{x_1}\\[5pt] d&=& \dfrac{200 \text{ GE}}{2.000 \text{ GE}}\\[5pt] d&=& 0,1 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Eigenverbrauch der Firmen bestimmen
Der Eigenverbrauch ist in der Input-Output-Tabelle mit Lieferung einer Zulieferfirma an sich selbst gegeben. Also beschreibt der Eigenverbrauch genau die Einträge der Input-Output-Tabelle $x_{ij}$ mit $i=j$. Der Eigenverbrauch $E_{Z1}$ der Zulieferfirma $Z_1$ ist somit mit dem Eintrag $x_{11}$ gegeben und dadurch folgt:
$E_{Z1}=200 \text{ GE}$
Der Eigenverbrauch $E_{Z2}$ von $Z_2$ ist durch den Eintrag $x_{22}$ gegeben. Somit folgt:
$E_{Z2}= 150 \text{ GE}$
Der Eigenverbrauch $E_{Z3}$ von $Z_3$ ist durch den Eintrag $x_{33}$ gegeben. Somit folgt:
$E_{Z3}= 600 \text{ GE}$
#matrix
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