Pflichtteil (Mathe Abschlussprüfung 2017 in Niedersachsen Kooperative Gesamtschule Realschulabschluss)

Pflichtteil

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Das folgende Diagramm zeigt die Sitzverteilung im niedersächsischen Landtag nach den Landtagswahlen $2013$ (Partei; Anzahl der Sitze):

Zeichne zur Sitzverteilung ein Säulendiagramm

Bestimme den prozentualen Anteil der stärksten Partei im Landtag

Abb. 1

#prozent #diagramm

Zum zehnten Geburtstag legt Tims Oma ein Führerscheinkonto bei ihrer Bank an. Sie zahlt $1.500\;\,€$ ein. Die Bank verzinst dieses Geld mit einem Festzinssatz von jährlich $0,7\;\%$. Bis zu Tims $17$. Geburtstag gibt es keine weiteren Ein- und Auszahlungen.

Berechne die Zinsen für das erste Jahr.

Tim rechnet für seine Fahrschulausbildung mit Gesamtkosten von $1.600\;\,€$.

Kann er diese mit dem Geld vom Führerscheinkonto bezahlen?

Begründe mit einer passenden Rechnung.

#zinssatz

Auch Nele möchte eine Fahrschulausbildung machen. Die Fahrschule „Blitz“ macht Nele folgendes Angebot: Grundgebühren $460\;\,€$, Kosten für eine Fahrstunde $40\;\,€$

Abb. 2

Gib an, welcher der beiden Graphen im Diagramm zu diesem Angebot gehört.

Begründe.

Im Diagramm stellt der andere Graph das Angebot der Fahrschule „Engel“ dar.

Ermittle die Kosten für eine Fahrstunde bei der Fahrschule „Engel“.

Gib an, für wie viele Fahrstunden welches Angebot günstiger ist.

Nele würde ihre Fahrschulausbildung gerne in der Ferienfahrschule „Holiday“ machen. Jede Fahrstunde kostet dort nur $30\;\,€$, die Grundgebühren betragen jedoch $800\;\,€$.

Zeichne den zugehörigen Graphen in das Diagramm ein.

Stelle das Angebot der Fahrschule „Holiday“ als Funktionsgleichung in der Form $y=m\cdot x+b$ dar.

#funktionsgleichung

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad 6x &+& 12y &=&30\\ \text{II}\quad 3x &+& 3y &=&9 \\ \end{array}$

#lgs

Im Folgenden siehst du eine zusammengesetzte Figur (Skizze nicht maßstäblich).

Abb. 3

Berechne den Flächeninhalt.

#flächeninhalt

Ein Würfel mit der Kantenlänge $a=10\;\text{cm}$ wird geschmolzen. Aus der gesamten Schmelze wird eine Kugel gegossen (Skizze nicht maßstäblich).

Abb. 4

Berechne den Radius der Kugel.

#volumen

Eine Brücke wird von $6$ Seilen gehalten. Die Seile sind in jeweils gleichen Abständen am Pfeiler und in jeweils gleichen Abständen an der Fahrbahn befestigt (Skizze nicht maßstäblich).

Berechne die Länge des längsten Seiles.

Unter welchem Winkel trifft dieses Seil auf die Fahrbahn? Berechne.

Warum treffen alle Seile im gleichen Winkel auf die Fahrbahn? Begründe.

Abb. 5

#dreieck #winkelsätze

Matthias bekommt im Krankenhaus eine $500$-ml-Infusion eines Medikaments. Sein Körper baut alle $8$ Stunden jeweils die Hälfte des Medikamentes ab.

Vervollständige die Tabelle.

Zeit (in h)	$0 $	$8 $	$16 $	$ $	$ $	$ $	$48 $
Menge (in ml)	$500 $	$ $	$ $	$ $	$ $	$ $	$ $

Zeit (in h)	Menge (in ml)
$0 $	$ 500$
$ 8$	$ $
$ 16$	$ $
$ $	$ $
$ $	$ $
$ $	$ $
$ 48$	$ $

Gib die Menge des Medikamentes nach genau einem Tag an.

Matthias darf das Krankenhaus erst verlassen, wenn weniger als $1\;\text{ml}$ des Medikamentes nachgewiesen werden kann.

Bestimme, nach wie vielen Tagen er entlassen werden darf.

Matthias berechnet mit der Gleichung $G_{48}=500\cdot \frac{1}{2}^{48}$ die Menge des Medikamentes nach zwei Tagen. Beim Einsetzen der Zahlen macht er einen Denkfehler.

Schreibe die Gleichung richtig auf.

#abklingprozesse

Bildnachweise [nach oben]

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Tipps

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$\blacktriangleright$ Säulendiagramm zeichnen

Du sollst ein Säulendiagramm mit Hilfe der angegebenen Werte zeichnen. Überlege dir dazu eine passende Skala, sodass die Ergebisse der Wahl gut abzulesen sind und alle Ergebnisse in das Diagramm passen.

$\blacktriangleright$ prozentualen Anteil der stärksten Partei angeben

Um den prozentualen Anteil der stärksten Partei im Landtag anzugeben, suchst du zunächst die Partei mit den meisten Sitzen und verwendest dann die Formel:

$p=\frac{W}{G}$

$\blacktriangleright$ Zinsen für das erste Jahr berechnen

Du kannst zur Berechnung des Geldbetrags nach einem Jahr folgende Formel verwenden:

$K_n= K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

$\blacktriangleright$ Beurteilen, ob das Geld für den Führerschein ausreicht

Du sollst überprüfen, ob Tim seinen Führerschein von dem Konto seiner Oma bezahlen kann. Das Geld liegt vom $10.$ bis zum $17$. Geburtstag, also für $7$ Jahre auf der Bank. Der Führerschein kostet $1.600\;\,€$, überprüfe also ob nach $7$ Jahren dieser Geldbetrag durch Zinsen erreicht wird. Du kannst dazu folgende Formel verwenden:

$K_n= K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

$\blacktriangleright$ Graphen aussuchen, der zu dem Angebot passt

Das Angebot hat eine Grundgebühr von $460\;\,€$. Überlege, wie dies im Graph abgebildet wird.

$\blacktriangleright$ Kosten für eine Fahrstunde ermitteln

Der Graph $B$ beschreibt den Kostenverlauf der Fahrschule „Engel“. Die Kosten für eine Fahrstunde bei der Fahrschule Engel kannst du bestimmen, indem du ein Intervall betrachtest, bei dem sich die Kosten um einen bestimmten Betrag ändern. Die Steigung gibt dann die Kosten für eine Fahrstunde an.

$\blacktriangleright$ Günstigeres Angebot angeben

Vergleiche den Verlauf der beiden Graphen und überlege dir, was beim Schnittpunkt der beiden Graphen passiert.

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen

Du sollst das Angebot der Fahrschule „Holiday“ als Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x +b$ darstellen. Das $m$ beschreibt die Steigung der Geraden und entspricht den Kosten für eine Fahrstunde. Das $b$ steht für die Verschiebung der Geraden nach oben oder unten und entspricht den Grundgebühren.

$\blacktriangleright$ Gleichungssystem lösen

Löse das $LGS$ so, dass du zuerst eine Variable bestimmst und diese dann in eine andere Gleichung einsetzt, um die zweite Variable zu bestimmen.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Um den Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur zu berechnen, kannst du in folgenden Schritten vorgehen:

Flächeninhalt des Quadrats berechnen.
Flächeninhalt des Kreises berechnen und anschließend halbieren, da nur ein Halbkreis gegeben ist.
Flächeninhalte addieren

$\blacktriangleright$ Radius der Kugel berechnen

Um den Radius der Kugel zu berechnen, kannst du in folgenden Schritten vorgehen:

Volumen des Würfels berechnen.
Volumen des Würfels ist gleich dem Volumen der Kugel
Volumenformel für Kugel verwenden und nach $r$ auflösen

$\blacktriangleright$ Länge des längsten Seiles berechnen

Um die Länge des längsten Seiles zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, denn es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck von dem zwei Seitenlängen gegeben sind.

$\blacktriangleright$ Auftreffwinkel berechnen

Um den Auftreffwinkel zu berechnen, kannst du den Sinussatz verwenden.

$\text{sin}(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\blacktriangleright$ Gleichen Winkel begründen

Überlege dir, wie die Seile zueinander verlaufen.

$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen

In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass der Körper alle $8$ Stunden die Hälfte des Medikamentes abbaut. Trage in die obere Zeile der Tabelle die Zeit nach jeweils $8$ Stunden ein. In die untere Zeile trägst du die zugehörige Menge an Medikament ein, indem du den vorherigen Wert in jedem Schritt halbierst.

$\blacktriangleright$ Menge nach einem Tag angeben

Du kannst die Menge des Medikamentes nach einem Tag, also $24$ Stunden in der oben ausgefüllten Tabelle ablesen.

$\blacktriangleright$ Tag der Entlassung berechnen

Du kannst den Tag der Entlassung berechnen, indem du die Tabelle aus $a$ so lange weiterführst, bis die Menge an Medikament im Blut unter $1\;\text{ml}$ sinkt.

$\blacktriangleright$ Fehler finden

Überlege dir, in welchem Intervall sich die Menge des Medikamentes halbiert und vergleiche mit der Annahme, die Matthias trifft.

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Lösungen

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$\blacktriangleright$ Säulendiagramm zeichnen

Abb. 1

$\blacktriangleright$ prozentualen Anteil der stärksten Partei angeben

Um den prozentualen Anteil der stärksten Partei im Landtag anzugeben, suchst du zunächst die Partei mit den meisten Sitzen und verwendest dann die Formel:

$p=\frac{W}{G}$

Der Grundwert entspricht der Anzahl aller Sitze, die vergeben werden. Du musst also zunächst die Anzahl aller Sitze berechnen:

$49+20+54+14=147$

Es gibt insgesammt $137$ Sitze, von denen die stärkste Partei, die CDU, $54$ Sitze einnimmt, was dem Prozentwert $W$ entspricht. Wenn du die Anzahl der Sitze der CDU durch die Gesamtanzahl der Sitze teilst, erhältst du den prozentualen Anteil:

$p=\frac{W}{G}=\frac{54}{137}=0,3941$

Die CDU hat einen prozentualen Anteil von $39,41\;\%$.

#prozentwert #prozent #grundwert

$\blacktriangleright$ Zinsen für das erste Jahr berechnen

Du kannst zur Berechnung des Geldbetrags nach einem Jahr folgende Formel verwenden:

$K_n= K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

Setze für $K_0$ den Anfangsgeldbetrag, also $1.500\;\,€$ ein, für $n$ die Anzahl der Jahre, für die du das Geld schon angelegt hast, ein, also $n=1$. Den Festzinssatz von $0,7\;\%$ kannst du für $p$ einsetzen.

$K_n= 1500\;\,€ \cdot \left(1+\frac{0,7}{100}\right)^1=1.510,50\;\,€$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach einem Jahr hat Tim $1.500\;\,€$ auf dem Konto. Das sind $10,50\;\,€$ mehr als ein Jahr davor. Die Zinsen für das erste Jahr betragen also $10,50\;\,€$.

$\blacktriangleright$ Beurteilen, ob das Geld für den Führerschein ausreicht

$K_n= K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

$K_n= 1.500\;\,€ \cdot \left(1+\frac{0,7}{100}\right)^7=1.575,06\;\,€$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach $7$ Jahren sind $1.575,06\;\,€$ auf dem Konto. Das reicht für den Führerschein nicht aus.

#zinssatz #zinseszins

$\blacktriangleright$ Graphen aussuchen, der zu dem Angebot passt

Das Angebot hat eine Grundgebühr von $460\;\,€$. Der zugehörige Graph muss die $y$-Achse deswegen bei diesem Wert schneiden. Dies ist für den Graphen $A$ zutreffend. Der passende Graph zum Angebot ist deshalb $A$.

$\blacktriangleright$ Kosten für eine Fahrstunde ermitteln

$\blacktriangleright$ Günstigeres Angebot angeben

Zu Beginn verläuft der Graph $A$ über dem Graphen von $B$, so lange dies der Fall ist, also bis zum Schnittpunkt der Geraden bei $26$ Fahrstunden, ist die Fahrschule „Engel“ günstiger. Ab der $27.$ Fahrstunde ist die Fahrschule „Blitz“ günstiger, weil der Graph von $B$ über dem von $A$ verläuft.

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Du sollt einen Graphen zeichnen, der das Angebot der Fahrschule „Holiday“ beschreibt. Trage dazu zuerst die Grundgebühren bei $(0\;|\;800)$ ein. Trage dann weitere Punkte ein, indem du die Steigung berücksichtigst, die den Kosten pro Fahrstunde entspricht. Also pro Einheit auf der $x$-Achse musst du in $y$-Richtung $30$ Einheiten nach oben. Verbinde die Punkte und du erhältst folgendes Schaubild für den Graphen $C$:

Abb. 2

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen

#funktionsgleichung

$\blacktriangleright$ Gleichungssystem lösen

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6x &+&12y&=& 30 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&3x &+&3y&=& 9 &\quad \scriptsize\mid\;\cdot -2\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6x &+&12y&=& 30 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&-6x &-&6y&=& -18 &\quad \scriptsize\mid\;\text{I+II}\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6x &+&12y&=& 30 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&&&6y&=& 12 &\quad \scriptsize\mid\;:6\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6x &+&12y&=& 30 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&&&y&=& \frac{12}{6}=2 &\quad \scriptsize\mid\;:9\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} 6x+12y&=& 30&\quad \scriptsize \mid\; -12y\\[5pt] 6x&=& 30-12y&\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] x&=& \frac{30-12y}{6}&\quad \scriptsize\mid\; \text{Einsetzen}\ \\[5pt] x&=&\frac{30-12\cdot2}{6}=1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Lösung des Gleichungssystems ist $y=2$ und $x=1$.

#lgs

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Um den Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur zu berechnen, kannst du in folgenden Schritten vorgehen:

Flächeninhalt des Quadrats berechnen.
Flächeninhalt des Kreises berechnen und anschließend halbieren, da nur ein Halbkreis gegeben ist.
Flächeninhalte addieren

1. Schritt: Flächeninhalt Quadrat berechnen

Du kannst den Flächeninhalt des Quadrates mit folgender Formel berechnen:

$A=a\cdot b$

Setze die angegebenen Werte ein:

$A=6\;\text{cm}\cdot 6\;\text{cm}=36\;\text{cm}^2$

2. Schritt: Flächeninhalt Halbkreis berechnen

Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit folgender Formel berechnen:

$A=\pi \cdot r^2$

Setze die gegebenen Werte ein: $A=\pi \cdot (3\;\text{cm})^2=28,27\;\text{cm}^2$

Da die zusammengesetzte Figur nur einen Halbkreis enthält, musst du diesen Wert noch durch zwei teilen: $28,27\;\text{cm}^2:2=14,14\;\text{cm}^2$

3. Schritt: Flächeninhalt Figur berechnen

Addiere die einzelnen Flächeninhalte, um den Flächeninhalt der ganzen Figur zu erhalten:

$14,14\;\text{cm}^2+36\;\text{cm}^2=50,14\;\text{cm}^2$

Der Flächeninhalt beträgt $50,14\;\text{cm}^2$.

#flächeninhalt

$\blacktriangleright$ Radius der Kugel berechnen

Um den Radius der Kugel zu berechnen, kannst du in folgenden Schritten vorgehen:

Volumen des Würfels berechnen.
Volumen des Würfels ist gleich dem Volumen der Kugel
Volumenformel für Kugel verwenden und nach $r$ auflösen

Volumen des Würfels berechnen

Das Volumen eines Würfels lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$V=a^3$

Setze die gegebene Kantenlänge ein:

$V=(10\text{cm})^3=1.000\;\text{cm}^3$

Das Volumen bleibt beim Schmelzen erhalten, deswegen kannst du das Volumen von Kugel und von Würfel gleichsetzen.

$V_{Würfel}=V_{Kugel}$

Radius der Kugel berechnen

Das Volumen einer Kugel lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$

Löse die Formel nach $r$ auf und setze die Werte ein:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3}{4} : \pi\\[5pt] \frac{V\cdot 3}{\pi\cdot 4}&=& r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{}\\[5pt] \sqrt[3]{\frac{V\cdot 3}{\pi\cdot 4}}&=& r = \sqrt[3]{\frac{1000\;\text{cm}^3\cdot 3}{\pi\cdot 4}}=6,2\;\text{cm} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Radius beträgt $6,2\;\text{cm}$.

#volumen #radius

$\blacktriangleright$ Länge des längsten Seiles berechnen

Um die Länge des längsten Seiles zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, denn es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck von dem zwei Seitenlängen gegeben sind. Der Satz des Pythagoras lautet:

$a^2+b^2=c^2$

Es ist die Hypotenuse $c$ gesucht, löse danach auf und setze die gegebenen Werte ein:

$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2}\quad \scriptsize \\[5pt] c&=&\sqrt{(45\;\text{m})^2+(60\;\text{m})^2}=75\;\text{m} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das längste Seil ist $75\;\text{m}$ lang.

$\blacktriangleright$ Auftreffwinkel berechnen

Um den Auftreffwinkel zu berechnen, kannst du den Sinussatz verwenden:

$\text{sin}(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Setze die gegebenen Werte ein:

$\text{sin}(\alpha)=\frac{45\;\text{m}}{75\;\text{m}}\;\mid \text{sin}^{-1}$

$\alpha=36,87°$

Der Auftreffwinkel beträgt $36,87°$.

$\blacktriangleright$ Gleichen Winkel begründen

Die Seile sind alle in jeweils gleichen Abständen am Pfeiler und an der Fahrbahn angebracht, deswegen müssen die Seile parallel zueinander verlaufen und somit auch einen gleichen Auftreffwinkel haben. Außerdem sind die Dreiecke alle ähnlich zueinander, sie müssen daher auch gleiche Winkel haben.

#winkel #winkelsätze

$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen

Zeit (in h)	$0 $	$8 $	$16 $	$24 $	$ 32$	$40 $	$48 $
Menge (in ml)	$500 $	$250 $	$125 $	$62,5 $	$31,25 $	$ 15,63$	$ 7,81$

Zeit (in h)	Menge (in ml)
$0 $	$ 500$
$ 8$	$250 $
$ 16$	$125 $
$ 24$	$62,5 $
$ 32$	$31,25 $
$40 $	$15,63 $
$ 48$	$7,81 $

$\blacktriangleright$ Menge nach einem Tag angeben

Du kannst die Menge des Medikamentes nach einem Tag, also $24$ Stunden in der oben ausgefüllten Tabelle ablesen. Die Menge beträgt $62,5\;\text{ml}$.

$\blacktriangleright$ Tag der Entlassung berechnen

Du kannst den Tag der Entlassung berechnen, indem du die Tabelle aus $a$ so lange weiterführst, bis die Menge an Medikament im Blut unter $1\;\text{ml}$ sinkt.

Zeit (in h)	$0 $	$8 $	$16 $	$24 $	$ 32$	$40 $	$48 $	$56 $	$64 $	$72 $
Menge (in ml)	$500 $	$250 $	$125 $	$62,5 $	$31,25 $	$ 15,63$	$ 7,81$	$ 3,91$	$ 1,96$	$ 0,98$

Zeit (in h)	Menge (in ml)
$0 $	$ 500$
$ 8$	$250 $
$ 16$	$125 $
$ 24$	$62,5 $
$ 32$	$31,25 $
$40 $	$15,63 $
$ 48$	$7,81 $
$ 56$	$3,91 $
$ 64$	$1,96 $
$72$	$0,98$

Nach $72$ Stunden ist die vorgegebene Menge an Medikament unterschritten.

$\blacktriangleright$ Fehler finden

Matthias setzt in die Gleichung $48$ ein, da er die Menge an Medikament nach $2$ Tagen ermitteln möchte. Allerdings darf er statt $48$ nur $6$ einsetzen, da hier das Intervall von $8$ Stunden betrachtet wird da sich in dieser Zeit die Menge halbiert. Die $48$ Stunden entsprechen dann den $6$ Zeitintervallen mit je $8$ Stunden.

#abklingprozesse

Bildnachweise [nach oben]

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