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Wahlaufgabe 1

Aufgaben
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In einer Lostrommel sind $1.000$ Lose. Davon sind $50$ Lose Gewinne $(G)$ und $950$ Lose Nieten $(N)$.
a)
Gib die Gewinnchance für die erste Ziehung in Prozent an.
#wahrscheinlichkeit
Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
b)
Ergänze im folgenden Baumdiagramm in den Kreisen die Wahrscheinlichkeiten.
Verwende Brüche.
#baumdiagramm
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gewinnlose gezogen werden.
Gib das Ergebnis in Prozent oder als Bruch an.
#wahrscheinlichkeit#prozent
d)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Gewinnlos gezogen wird.
Gib das Ergebnis in Prozent oder als Bruch an.
#wahrscheinlichkeit
e)
In den ersten beiden Ziehungen werden zwei Nieten gezogen.
Bestimme, wie viele weitere Nieten jetzt noch gezogen werden müssen, damit die Gewinnchance auf $10\;\%$ ansteigt.
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$ Gewinnchance für die erste Ziehung angeben
Du sollst die Gewinnchance für die erste Ziehung in Prozent angeben. Verwende dazu folgende Formel:
$W=G\cdot p$
$W=G\cdot p$
Der Grundwert $G$ entspricht der Anzahl aller Lose in der Lostrommel. Der Prozentwert $W$ entspricht der Anzahl an Gewinnlosen in der Trommel.
b)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm ergänzen
Du kannst die Wahrscheinlichkeiten in den Kreisen ermitteln, indem du die Formel $W=G \cdot p$ nach $p$ umstellst.
$p=\frac{W}{G}$
Das Ergebnis kannst du als Bruch stehen lassen. Da aus der Lostrommel Lose gezogen werden, ändern sich die Grund- und Prozentwerte ständig. Zu Beginn befinden sich $1.000$ Lose in der Trommel, nachdem ein Los gezogen wurde sind nur noch $999$ Lose in der Trommel. Nach diesem Prinzip ändern sich auch die Chancen auf eine Niete und auf einen Gewinn nach jedem Zug. Überlege dir also in jeder Runde, wie viele Lose insgesamt noch in der Trommel sind und wie viele Gewinn- und Nietelose noch in der Trommel sind.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gewinnlose $(GG)$ gezogen werden, kannst du berechnen, indem du die Pfadmultiplikationsregel anwendest. Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Gewinnlos angeben
Überlege dir zunächst welche Ereignisse die Vorraussetzung erfüllen, also bei welchen Zugvarianten kommt einmal oder zweimal ein Gewinnlos vor. Du kannst das Gegenereignis verwenden, damit die Rechnung einfacher ist.
e)
$\blacktriangleright$ Anzahl der zu ziehenden Nieten berechnen, damit sich eine Gewinnchance von $\boldsymbol{10\;\%}$ ergibt
Um die Anzahl der zu ziehenden Nieten zu bestimmen, damit eine Wahrscheinlichkeit von $10\;\%$ für einen Gewinn erziehlt wird, kannst du die Formel $W=G\cdot p$ verwenden. Dabei ist $G$ die Anzahl der Lose, die noch in der Trommel sein müssen, damit eine Wahrscheinlichkeit von $10\;\%$ auftritt. Der Wert für $W$ ist $W=50$, da davon ausgegangen wird, dass noch kein Gewinn gezogen wurde.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$ Gewinnchance für die erste Ziehung angeben
Du sollst die Gewinnchance für die erste Ziehung in Prozent angeben. Verwende dazu folgende Formel:
$W=G\cdot p$
$W=G\cdot p$
Der Grundwert $G$ entspricht der Anzahl aller Lose in der Lostrommel. Der Prozentwert $W$ entspricht der Anzahl an Gewinnlosen in der Trommel. Stelle die Gleichung nach $p$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$p=\frac{W}{G}$
$p=\frac{50}{1.000}=0,05$
Rechne das Ergebnis in Prozent um:
$0,05 = 5\;\%$
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt $5\;\%$.
#wahrscheinlichkeit#prozent
b)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm ergänzen
Du kannst die Wahrscheinlichkeiten in den Kreisen ermitteln, indem du die Formel $W=G \cdot p$ nach $p$ umstellst.
$p=\frac{W}{G}$
Das Ergebnis kannst du als Bruch stehen lassen. Da aus der Lostrommel Lose gezogen werden, ändern sich die Grund- und Prozentwerte ständig. Zu Beginn befinden sich $1.000$ Lose in der Trommel, nachdem ein Los gezogen wurde sind nur noch $999$ Lose in der Trommel. Nach diesem Prinzip ändern sich auch die Chancen auf eine Niete und auf einen Gewinn nach jedem Zug. Überlege dir also in jeder Runde, wie viele Lose insgesamt noch in der Trommel sind und wie viele Gewinn- und Nietelose noch in der Trommel sind.
#baumdiagramm
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gewinnlose $(GG)$ gezogen werden, kannst du berechnen, indem du die Pfadmultiplikationsregel anwendest. Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:
$\frac{50}{1.000}\cdot \frac{49}{999}=\frac{2.450}{999.000}=\frac{49}{19.980}\approx 0,00245$
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gewinnlose gezogen werden beträgt ca. $0,245\;\%$.
#pfadregeln#wahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Gewinnlos angeben
Überlege dir zunächst welche Ereignisse die Vorraussetzung erfüllen, also bei welchen Zugvarianten kommt einmal oder zweimal ein Gewinnlos vor:
$GG$, $GN$, $NG$
Das Gegenereignis dazu ist das genau zweimal Nieten gezogen werden. Da alle Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ ergeben müssen, kannst du die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Gewinn mit folgender Formel berechnen:
$1-P(NN)$
Die Wahrscheinlichkeit dafür zwei Nieten zu ziehen, kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:
$P(NN)$: $\frac{950}{1.000}\cdot\frac{949}{999}=\frac{19}{20}\cdot\frac{949}{999}=0,902$
Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt $1-0,9025=0,0975$.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Gewinnlos beträgt ca. $9,75\;\%$.
#wahrscheinlichkeit#gegenereignis
e)
$\blacktriangleright$ Anzahl der zu ziehenden Nieten berechnen, damit sich eine Gewinnchance von $\boldsymbol{10\;\%}$ ergibt
Um die Anzahl der zu ziehenden Nieten zu bestimmen, damit eine Wahrscheinlichkeit von $10\;\%$ für einen Gewinn erziehlt wird, kannst du die Formel $W=G\cdot p$ verwenden. Dabei ist $G$ die Anzahl der Lose, die noch in der Trommel sein müssen, damit eine Wahrscheinlichkeit von $10\;\%$ auftritt. Der Wert für $W$ ist $W=50$, da davon ausgegangen wird, dass noch kein Gewinn gezogen wurde. Stelle die Formel nach $G$ um und setze ein:
$\frac{W}{p}=G=\frac{50}{0,1}=500$
Die Wahrscheinlichkeit ist erreicht, wenn noch $500$ Lose in der Trommel sind und noch kein Gewinn gezogen wurde. Da schon zwei gezogen wurden, müssen nun noch $498$ gezogen werden.
#wahrscheinlichkeit
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