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Wahlaufgabe 3

Aufgaben
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Die Abbildungen zeigen einen Stahlbolzen.
#volumen#dichte
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
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a)
$\blacktriangleright$ Volumen des Stahlbolzens berechnen
Um das Volumen des Stahlbolzens zu berechnen, kannst du den Körper in bekannte Körper unterteilen, deren Volumenformel du kennst. Der Bolzen lässt sich in folgende Körper unterteilen:
  • Halbkugel
  • Zylinder
  • Kegel
Berechne das Volumen der einzelnen Körper und addiere diese anschließend.
b)
$\blacktriangleright$ Masse des Stahlbolzens berechnen
Die Masse eines Körpers lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$m=\rho \cdot V$
$m=\rho \cdot V$
Setze das berechnete Volumen und die Dichte in die Formel ein.
c)
$\blacktriangleright$ Volumenformel aufstellen
Du kannst eine allgemeine Volumenformel in Abhängigkeit von $x$ aufstellen, indem du den Bolzen in eine Halbkugel und einen Zylinder unterteilst. Stelle zunächst die allgemine Volumenformel für eine Kugel auf und multiplizere diese noch mit $0,5$, da es sich um eine Halbkugel handelt. Addiere dann noch die Formel für das Volumen eines Zylinders zu der Volumenformel der Halbkugel. Du kannst nun das $r$ aus der Volumenformel der Halbkugel mit $2x$ ersetzen, das $h$ aus der Volumenformel für den Zylinder mit $8x$ und das $r$ aus dieser Formel mit $x$.
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a)
$\blacktriangleright$ Volumen des Stahlbolzens berechnen
Um das Volumen des Stahlbolzens zu berechnen, kannst du den Körper in bekannte Körper unterteilen, deren Volumenformel du kennst. Der Bolzen lässt sich in folgende Körper unterteilen:
  • Halbkugel
  • Zylinder
  • Kegel
Berechne das Volumen der einzelnen Körper und addiere diese anschließend.
1.Schritt: Volumen der Halbkugel berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$
Den Radius von $r=1\;\text{cm}$ kannst du in der Skizze ablesen. Setze den Wert in die Formel ein:
$V=\frac{4}{3}\pi (1\;\text{cm})^3\approx4,19\;\text{cm}^3$
Da es sich um eine Halbkugel handelt, musst du den berechneten Wert noch durch zwei teilen:
$4,19\;\text{cm}^3:2=2,09\;\text{cm}^3$
Das Volumen der Halbkugel beträgt ca. $2,09\;\text{cm}^3$.
2. Schritt: Volumen des Zylinders berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
$V=\pi\cdot r^2 \cdot h$
$V=\pi r^2 h$
Du kannst die Höhe des Zylinders $h=3\;\text{cm}$ und den Durchmesser des Zylinders $d=1\;\text{cm}$ aus der Skizze ablesen. Der Radius ist genau halb so groß wie der Durchmesser, also ist $r=0,5\;\text{cm}$. Setze diese Werte in die Formel ein:
$V=\pi \cdot (0,5\;\text{cm})^2 \cdot 3\;\text{cm}\approx2,36\;\text{cm}^3$
Das Volumen des Zylinders beträgt ca. $2,36\;\text{cm}^3$.
3. Schritt: Volumen des Kegels berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels lautet:
$\frac{1}{3}\cdot \pi r^2 \cdot h$
$\frac{1}{3}\cdot \pi r^2 \cdot h$
Der Radius des Kegels entspricht dem Radius des Zylinders, also ist $r=0,5\;\text{cm}$ groß. Die Höhe des Zylinders $h=2\;\text{cm}$, kannst du in der Skizze ablesen. Setze diese Werte in die Formel ein:
$V=\pi\cdot (0,5\;\text{cm})^2 \cdot 2\;\text{cm}\approx0,523\;\text{cm}^3$
Das Volumen des Kegels beträgt ca. $0,523\;\text{cm}^3$.
Addiere nun die Volumina, um das Volumen des Bolzens zu erhalten:
$V_{ges}=2,09\;\text{cm}^3+2,36\;\text{cm}^3+0,523\;\text{cm}^3=4,97\;\text{cm}^3$
Das Volumen des Bolzens beträgt ca. $4,97\;\text{cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$ Masse des Stahlbolzens berechnen
Die Masse eines Körpers lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$m=\rho \cdot V$
$m=\rho \cdot V$
Setze das berechnete Volumen und die Dichte in die Formel ein:
$m=4,97\;\text{cm}^3 \cdot 7,9\;\frac{\text{g}}{\text{m}^3}\approx39,26\;\text{g}$
Die Masse des Bolzens beträgt $39,26\;\text{g}$.
c)
$\blacktriangleright$ Volumenformel aufstellen
Du kannst eine allgemeine Volumenformel in Abhängigkeit von $x$ aufstellen, indem du den Bolzen in eine Halbkugel und einen Zylinder unterteilst. Stelle zunächst die allgemine Volumenformel für eine Kugel auf und multiplizere diese noch mit $0,5$, da es sich um eine Halbkugel handelt. Addiere dann noch die Formel für das Volumen eines Zylinders zu der Volumenformel der Halbkugel. Du kannst nun das $r$ aus der Volumenformel der Halbkugel mit $2x$ ersetzen, das $h$ aus der Volumenformel für den Zylinder mit $8x$ und das $r$ aus dieser Formel mit $x$.
$V(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (2x)^3+\pi \cdot x^2 \cdot 8x$
$V(x)=\frac{8}{3}\cdot \pi \cdot x^3+\pi \cdot 8x^3 $
$V(x)=\frac{13}{3}\cdot \pi \cdot x^3$
Die allgemeine Volumenformel lautet $V(x)=\frac{13}{3}\cdot \pi \cdot x^3$.
#zylinder#kugel#volumen#kegel#dichte
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