Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Fachoberschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Fachabitur NT (WTR)
Fachabitur T (WTR)
Fachabitur NT ...
Prüfung
wechseln
Fachabitur NT (WTR)
Fachabitur T (WTR)
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis A I

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.0
Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f:\,x \mapsto\frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3)$ mit der Definitionsmenge $D_f = \mathbb{R}.$ Der Graph der Funktion $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.
1.1
Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ mit der jeweiligen Vielfachheit.
(3 BE)
#nullstelle
1.2
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ sowie Art und Koordinaten des Extrempunktes des Graphen $G_f.$
(7 BE)
#monotonie#extrempunkt
1.3
Bestimme die Gleichungen aller Wendetangenten an den Graphen $G_f.$
(8 BE)
#tangente#wendepunkt
1.4
Zeichne den Graphen $G_f$ unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich $-1 \leq x \leq 4$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der $y$-Achse der Bereich $-3\leq y \leq 3$ benötigt. Maßstab: $1\,\text{LE} = 1\,\text{cm}.$
(4 BE)
2.0
Betrachtet wird weiter die quadratische Funktion $p$ mit der Definitionsmenge $\text{D}_p = \mathbb{R}.$
Ihr Graph wird mit $G_p$ bezeichnet.
2.1
Die Parabel $G_p$ berührt den Graphen $G_f$ aus 1.0 im Punkt $B(3\mid 3)$ und verläuft durch den Koordinatenursprung. Bestimme $p(x)$ und zeichne die Parabel $G_p$ im Bereich $ -1 \leq x \leq 4$ in das vorhandene Koordinatensystem ein.

[Mögliches Ergebnis: $p(x)= -\frac{1}{3}x^2 +2x$]
(8 BE)
#parabel
2.2
Die Graphen $G_f$ und $G_p$ schließen im $\text{I}.$ Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein.
Markiere dieses Flächenstück in deiner Zeichnung und berechne die Maßzahl seines Inhalts.
(5 BE)
2.3
Berechne die Koordinaten desjenigen Schnittpunkts der Graphen $G_f$ und $G_p,$ der im $\text{III}.$ Quadranten des Koordinatensystems liegt.
(7 BE)
2.4
Bestimme die Steigungen der beiden Geraden durch den Punkt $T(3\mid 4),$ die den Graphen $G_p$ berühren.
(6 BE)
#steigung
3.0
Ein Bastler möchte sich mithilfe folgender Bauanleitung das Grundgerüst für einen zylinderförmigen Abfallkorb mit Höhe $h$ und Radius $r$ (alle Längen in Meter gemessen) aus Draht bauen (siehe Skizze).
Für das Vorhaben kauft er sich Draht mit der Länge $6\,\text{m.}$ Die Einzelteile werden selbst hergestellt und zusammengelötet. Die Dicke des Drahts ist zu vernachlässigen. Bei Berechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden.
#zylinder
3.1
Bestimme die Maßzahl $V(r)$ des Volumens des Abfallkorbs in Abhängigkeit von $r.$
[Mögliches Ergebnis: $V(r)= \pi \left(\frac{3}{2}r^2-r^3 -2\pi r^3\right)$]
(5 BE)
3.2
Aus praktischen Gründen wird für die Funktion $V:\, r \mapsto V(r)$ als Definitionsmenge $D_V = [0,1\,;\, 0,2]$ gewählt.
Berechne den Radius $r$ des Abfallkorbs für den Fall, dass die Maßzahl des Volumens ihren absolut größten Wert annimmt.
Runde dein Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
(7 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen und Vielfachheit bestimmenAnalysis A I
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3) &=& 0 \\[5pt] x^3\cdot \frac{1}{9}(-x+ 4)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=0 \\[5pt] -x_2 + 4&=& 0\\[5pt] 4&=& x_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& 4 \end{array}$
$f$ besitzt die dreifache Nullstelle $x_1 = 0$ und die einfache Nullstelle $x_2 = 4.$
1.2
$\blacktriangleright$  Maximale Monotonieintervalle ermitteln
Das Monotonieverhalten von $f$ kannst du mithilfe der ersten Ableitungsfunktion $f'$ untersuchen:
$f'(x)= \frac{1}{9}\cdot \left(-4x^3 +4\cdot 3 \cdot x^2 \right) = \frac{4}{9}\cdot \left(-x^3 +3 \cdot x^2 \right) $
$ f'(x)= \frac{4}{9}\cdot \left(-x^3 +3 \cdot x^2 \right) $
Bestimme nun die Nullstellen von $f':$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{4}{9}\cdot \left(-x^3 +3 \cdot x^2 \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{4}{9} \\[5pt] -x^3+3x^2&=& 0 \\[5pt] x^2 \cdot(-x+3)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1= 0 \\[5pt] -x_2+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x_2 \\[5pt] 3 &=& x_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& 3 \end{array}$
Die Funktion $f'$ hat also zwei Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 3.$ Es müssen also folgende Intervalle untersucht werden:
$]-\infty \, ; \, 0[,\,$ $]0\, ; \, 3[$ und $]3\, ; \, \infty[$
Gilt für einen Wert $x$ innerhalb eines dieser Intervalle $f'(x)< 0,$ bzw. $f'(x) > 0$ so gilt dies für alle Werte in dem Intervall.
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&=& \frac{4}{9}\cdot \left(-(-1)^3 +3 \cdot (-1)^2 \right) \\[5pt] &=& \frac{16}{9} > 0 \\[10pt] f'(1)&=& \frac{4}{9}\cdot \left(-1^3 +3 \cdot 1^2 \right) \\[5pt] &=& \frac{8}{9} > 0 \\[10pt] f'(4)&=& \frac{4}{9}\cdot \left(-4^3 +3 \cdot 4^2 \right) \\[5pt] &=& -\frac{64}{9} < 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&= \frac{16}{9} > 0 \\[10pt] f'(1)&= \frac{8}{9} > 0 \\[10pt] f'(4)&= -\frac{64}{9} < 0 \\[5pt] \end{array}$
Auf den ersten beiden genannten Intervallen gilt also $f'(x) \geq 0.$ auf dem dritten Intervall ist $f'(x) \leq 0.$ Insgesamt folgt damit für die Monotonie:
  • Auf dem Intervall $]-\infty \; ; \; 3]$ ist $f$ monoton steigend.
  • Auf dem Intervall $[3 \; ; \; \infty[$ ist $f$ monoton fallend.
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art des Extrempunkts ermitteln
Die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt sind an den Stellen $x$ erfüllt, an denen $f'$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.
Oben wurde bereits gezeigt, dass $f'$ an der Stelle $x_1 = 0$ zwar eine Nullstelle besitzt, aber keinen Vorzeichenwechsel. Hierbei handelt es sich also nicht um eine Extremstelle. An der Stelle $x_2 = 3$ besitzt $f'$ aber eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Hier steigt der Graph von $f$ also zunächst an und fällt dann ab. Es handelt sich um eine Maximalstelle.
$f(3) = \frac{1}{9} \cdot (-3^4 +4\cdot 3^3) = 3$
Der Extrempunkt des Graphen von $f$ besitzt also die Koordinaten $(3\mid 3).$ Es handelt sich um einen Hochpunkt.
#ableitung
1.3
$\blacktriangleright$  Gleichungen der Wendetangenten bestimmen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3) \\[10pt] f'(x) &=& \frac{4}{9}(-x^3 + 3x^2) \\[10pt] f''(x)&=& \frac{4}{3}(-x^2 + 2x) \\[5pt] f'''(x)&=& \frac{8}{3}(-x +1) \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{4}{3}(-x^2 + 2x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{4}{3} \\[5pt] -x^2 + 2x &=& 0 \\[5pt] x\cdot(-x+2)&=& &\quad \scriptsize \mid\;x_1 =0 \\[5pt] -x_2+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x_2 \\[5pt] 2&=& x_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(0)&=& \frac{8}{3}(-0 +1) \\[5pt] &=& \frac{8}{3} \\[10pt] f'''(2)&=& \frac{8}{3}(-2 +1) \\[5pt] &=& -\frac{8}{3} \\[10pt] \end{array}$
4. Schritt: $y$-Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \frac{1}{9}(-0^4 + 4\cdot 0^3) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(2)&=& \frac{1}{9}(-2^4 + 4\cdot 2^3) \\[5pt] &=& \frac{16}{9} \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Wendepunkte haben also die Koordinaten $W_1(0\mid 0)$ und $W_2\left(2\mid \frac{16}{9}\right).$
5. Schritt: Steigungen der Wendetangenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} m_1 &=& f'(0) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] m_2 &=& f'(2) \\[5pt] &=& \frac{4}{9}(-2^3 + 3\cdot 2^2) \\[5pt] &=& \frac{16}{9} \end{array}$
6. Schritt: Gleichungen der Tangenten bestimmen
Mithilfe einer Punktprobe erhältst du für $W_1:$
$\begin{array}[t]{rll} t_1: \, y &=& m_1 \cdot x +b_1\\[5pt] y &=& 0\cdot x + b_1 &\quad \scriptsize \mid\; W_1(0\mid 0)\\[5pt] 0 &=& 0\cdot 0 +b_1 \\[5pt] 0 &=& b_1 \end{array}$
$ b_1=0 $
Für $W_2$ folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} t_2: \, y &=& m_2 \cdot x +b_2\\[5pt] y &=& \frac{16}{9}\cdot x + b_2 &\quad \scriptsize \mid\; W_2\left(2\mid \frac{16}{9}\right)\\[5pt] \frac{16}{9} &=& \frac{16}{9}\cdot 2 +b_2 \\[5pt] \frac{16}{9} &=& \frac{32}{9} +b_2 &\quad \scriptsize \mid \; -\frac{32}{9} \\[5pt] -\frac{16}{9} &=& b_2 \end{array}$
$ b_2 = -\frac{16}{9} $
Die Gleichungen der Wendetangenten an den Graphen $G_f$ lauten also:
$\begin{array}[t]{rll} t_1: \, y &=& 0 \\[5pt] t_2:\, y &=& \frac{16}{9}\cdot x -\frac{16}{9} \end{array}$
1.4
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Analysis A I
Abb. 1: Graph $G_f$ im Bereich $-1\leq x \leq 4$
Analysis A I
Abb. 1: Graph $G_f$ im Bereich $-1\leq x \leq 4$
2.1
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Eine Parabelgleichung hat allgemein folgende Form:
$p(x) = ax^2 +bx +c$ mit $p'(x)= 2ax+b$
Es müssen folgende Bedingungen gelten:
  1. $p(3) = 3$
  2. $p'(3)= f'(3)$
  3. $p(0)=0$
Aus 3. folgt bereits:
$\begin{array}[t]{rll} p(0)&=& 0 \\[5pt] a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c &=& 0 \\[5pt] c&=& 0 \end{array}$
Aus 1. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p(3)&=& 3 \\[5pt] a\cdot 3^2 +b\cdot 3 +c&=& 3 \\[5pt] 9a +3b +c &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; c=0 \\[5pt] 9a +3b &=& 3 \end{array}$
$ 9a +3b = 3 $
Für 2. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p'(3) &=& f'(3) \\[5pt] 2a\cdot 3+b &=& 0 \\[5pt] 6a +b &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -6a\\[5pt] b &=& -6a \end{array}$
$ b = -6a $
Dies kannst du nun wiederum in die vorherige Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 9a+3b &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; b=-6a \\[5pt] 9a +3\cdot (-6a) &=& 3 \\[5pt] -9a &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; :(-9) \\[5pt] a &=& -\frac{1}{3} \end{array}$
$ a= -\frac{1}{3} $
Dann ist $b = -6\cdot \left(-\frac{1}{3} \right) = 2.$ Eine Gleichung der Parabel lautet also:
$p(x)= -\frac{1}{3}x^2 +2x.$
$\blacktriangleright$  Parabel einzeichnen
Analysis A I
Abb. 2: Graph $G_p$
Analysis A I
Abb. 2: Graph $G_p$
2.2
$\blacktriangleright$  Flächenstück markieren
Analysis A I
Abb. 3: Flächenstück
Analysis A I
Abb. 3: Flächenstück
$\blacktriangleright$  Maßzahl des Flächenstücks berechnen
Aus den vorherigen Ergebnissen lässt sich schließen, dass $G_p$ und $G_f$ die beiden Punkte $(0\mid 0)$ und $(3\mid 3)$ gemeinsam haben. Die Maßzahl des betrachteten Flächenstücks kann also mithilfe des folgenden Integrals berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{3}(p(x) - f(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{3}\left(-\frac{1}{3}x^2 +2x - \frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{9}\cdot x^4-\frac{4}{9}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + 2x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{1}{45}\cdot x^5-\frac{1}{9}x^4 - \frac{1}{9}x^3 + x^2 \right]_0^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{45}\cdot 3^5-\frac{1}{9}\cdot 3^4 - \frac{1}{9}\cdot 3^3 + 3^2 - \left( \frac{1}{45}\cdot 0^5-\frac{1}{9}\cdot 0^4 - \frac{1}{9}\cdot 0^3 + 0^2\right)\\[5pt] &=& 2,4 \end{array}$
$ A= 2,4 $
Die Maßzahl des Flächeninhalts beträgt $2,4$ Flächeneinheiten.
#integral
2.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Die Schnittstellen sind die Lösungen der folgenden Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& p(x) \\[5pt] \frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3)&=& -\frac{1}{3}x^2 +2x &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{1}{3}x^2 \\[5pt] \frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3) + \frac{1}{3}x^2 &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] \frac{1}{9}(-x^4 + 4x^3) + \frac{1}{3}x^2 -2x &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{9}\cdot x^4 + \frac{4}{9}x^3 + \frac{1}{3}x^2 -2x &=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(-\frac{1}{9}\cdot x^3 + \frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}x -2\right) &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\; x_1=0\\[5pt] -\frac{1}{9}\cdot x^3 + \frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}x -2 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ …. = 0 $
Nun kannst du mithilfe der Polynomdivision noch die zweite bekannte Schnittstelle $x_2=3$ herausteilen:
$-$$\frac{1}{9}\cdot x^3$$+$$\frac{4}{9}x^2$$+$$\frac{1}{3}x$$-$$2$ $:$$(x-3)$$=$$-\frac{1}{9}\cdot x^2 +\frac{1}{9}x +\frac{2}{3}$
$-$ $(-\frac{1}{9}\cdot x^3 $$+$$\frac{1}{3}\cdot x^2)$
$\frac{1}{9}x^2$$+$$\frac{1}{3}x$
$-$$(\frac{1}{9}x^2$$-$$\frac{1}{3}x)$
$\frac{2}{3}x$$-$$2$
$-$$(\frac{2}{3}x$$ - $$2)$
$0$
$ -\frac{1}{9}\cdot x^2 +\frac{1}{9}x +\frac{2}{3} $
Weitere Schnittstellen von $f$ und $p$ sind nun also die Nullstellen von $-\frac{1}{9}\cdot x^2 +\frac{1}{9}x +\frac{2}{3}.$
$\begin{array}[t]{rll} -\frac{1}{9}\cdot x^2 +\frac{1}{9}x +\frac{2}{3} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\frac{1}{9} \right) \\[5pt] x^2 -x - 6 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{3/4}&=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2} \right)^2 +6 } \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \frac{5}{2} \\[10pt] x_3 &=& \frac{1}{2}-\frac{5}{2} \\[5pt] &=& -2 \\[19pt] x_4 &=& \frac{1}{2}+\frac{5}{2} \\[5pt] &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_3 &= -2 \\[19pt] x_4 &= 3 \\[5pt] \end{array}$
Die $x$-Koordinate des Schnittpunkts im $\text{III}.$ Quadranten ist also $x_3 = -2.$
$p(-2) = -\frac{1}{3}\cdot (-2)^2 +2\cdot (-2) = -\frac{16}{3}$
$ p(-2)=-\frac{16}{3} $
Der Schnittpunkt von $G_f$ und $G_p$ im $\text{III}.$ Quadranten hat die Koordinaten $\left(-2\mid -\frac{16}{3}\right).$
2.4
$\blacktriangleright$  Steigungen bestimmen
Die gesuchten Geraden verlaufen durch den Punkt $T$ und durch einen mit $G_p$ gemeinsamen Punkt $P(x_P\mid p(x_P)).$ Ihre Steigungen müssen daher folgende Form haben:
$m = \dfrac{p(x_P) - y_T}{ x_P -x_T} = \dfrac{-\frac{1}{3}x_P^2 +2x_P-4}{x_P - 3}$
$ m=\dfrac{-\frac{1}{3}x_P^2 +2x_P-4}{x_P - 3} $
Da die Geraden den Graphen $G_p$ im Punkt $P$ laut Aufgabenstellung berühren, muss gleichzeitig $m = p'(x_P)$ sein:
$m= p'(x_P) = -\frac{2}{3}x_P+2$
Gleichsetzen der beiden Terme für $m$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{-\frac{1}{3}x_P^2 +2x_P-4}{x_P - 3} &=& -\frac{2}{3}x_P+2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x_P-3)\\[5pt] -\frac{1}{3}x_P^2 +2x_P-4 &=& \left(-\frac{2}{3}x_P+2 \right)\cdot \left(x_P-3 \right) \\[5pt] -\frac{1}{3}x_P^2 +2x_P-4 &=& -\frac{2}{3}x_P^2+2x_P +2x_P -6 \\[5pt] -\frac{1}{3}x_P^2 +2x_P-4 &=& -\frac{2}{3}x_P^2+4x_P -6 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{2}{3}x_P^2 \\[5pt] \frac{1}{3}x_P^2+2x_P-4&=& 4x_P -6 &\quad \scriptsize \mid\;-4x_P \\[5pt] \frac{1}{3}x_P^2-2x_P-4&=& -6 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] \frac{1}{3}x_P^2-2x_P+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] x_P^2-6x_P+6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-6}{2}\right)^2 -6} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{3} \\[10pt] x_1 &=& 3-\sqrt{3} \\[10pt] x_2&=& 3+\sqrt{3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 3-\sqrt{3} \\[10pt] x_2&=& 3+\sqrt{3} \\[5pt] \end{array}$
Die Steigungen der beiden Geraden sind dann:
$\begin{array}[t]{rll} m_1 &=& -\frac{2}{3}x_1+2 \\[5pt] &=& -\frac{2}{3}\cdot \left(3-\sqrt{3}\right)+2 \\[5pt] &=& \frac{2}{\sqrt{3}} \\[5pt] m_2 &=& -\frac{2}{3}x_2+2 \\[5pt] &=& -\frac{2}{3}\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)+2 \\[5pt] &=& -\frac{2}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_1 &= \frac{2}{\sqrt{3}} \\[5pt] m_2 &=-\frac{2}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Geraden durch den Punkt $T,$ die den Graphen $G_p$ berühren, besitzen die Steigungen $m_1 =\frac{2}{\sqrt{3}} $ und $m_2 = -\frac{2}{\sqrt{3}}.$
#geradengleichung
3.1
$\blacktriangleright$  Maßzahl des Volumens bestimmen
1. Schritt: Höhe in Abhängigkeit des Radius darstellen
Insgesamt werden $l=6\,\text{m}$ Draht verwendet. Mit dieser Information kannst du die Höhe des Korbs in Abhängigkeit von $r$ darstellen. Insgesamt setzt sich die Gesamtlänge des Drahtes aus vier mal dem Radius, viermal der Höhe und viermal dem Umfang eines Ringes zusammen. Der Umfang eines Ringes kann mithilfe von $r$ wie folgt dargestellt werden:
$U = 2\cdot \pi \cdot r$
Insgesamt ergibt sich damit:
$\begin{array}[t]{rll} l &=& 4\cdot r + 4\cdot h +4\cdot U \\[5pt] l&=& 4r + 4h + 4\cdot 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] l&=& 4r + 4h + 8\cdot \pi \cdot r &\quad \scriptsize \mid\; l = 6\\[5pt] 6&=& 4r +4h + 8\cdot \pi \cdot r &\quad \scriptsize \mid\; -4r; -8\cdot \pi \cdot r\\[5pt] 6 -4r -8\cdot \pi \cdot r &=& 4h &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] 1,5 -r -2\cdot \pi \cdot r &=& h \end{array}$
$ h=1,5 -r -2\cdot \pi \cdot r $
2. Schritt: Volumen darstellen
Da der Papierkorb die Form eines Zylinders hat, kann sein Volumen durch folgende Formel bestimmt werden:
$V= \pi \cdot r^2 \cdot h $
Setze nun die obige Darstellung für $h$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} V(r) &=& \pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\;h= 1,5 -r -2\cdot \pi \cdot r\\[5pt] V(r)&=& \pi \cdot r^2 \cdot (1,5 -r -2\cdot \pi \cdot r) \\[5pt] &=& \pi (1,5r^2 -r^3 -2 \pi r^3) \\[5pt] \end{array}$
$ V(r)= \pi (1,5r^2 -r^3 -2 \pi r^3) $
3.2
$\blacktriangleright$  Radius berechnen
Untersuche $V(r)$ auf ein globales Maximum.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} V(r) &=& \pi\left(1,5r^2-r^3 -2\pi r^3\right) \\[5pt] V'(r) &=& \pi \left(3r-3r^2-6\pi r^2 \right) \\[5pt] V''(r) &=& \pi \left(3-6r-12\pi r \right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V(r) &=… \\[5pt] V'(r) &=… \\[5pt] V''(r) &=… \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} V'(r) &=& 0 \\[5pt] \pi \left(3r-3r^2-6\pi r^2 \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] 3r-3r^2-6\pi r^2 &=& 0 \\[5pt] r\cdot \left(3-3r-6\pi r \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; r_1 = 0 \notin \text{D}_V\\[5pt] 3-3r-6\pi r &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 1-r-2\pi r &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -r-2\pi r&=& -1 \\[5pt] r\cdot \left(-1-2\pi \right)&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:\left(-1-2\pi \right) \\[5pt] r_2&=& \frac{1}{1+2\pi} \in \text{D}_V \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r_1 &=& 0 \\[5pt] r_2&=& \frac{1}{1+2\pi} \in \text{D}_V \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} V''(r_2) &=& V''\left( \frac{1}{1+2\pi} \right) \\[5pt] &=& \pi \left(3-6\cdot \frac{1}{1+2\pi} - 12\pi \cdot \frac{1}{1+2\pi} \right) \\[5pt] &\approx& -9,4 < 0 \end{array}$
$ V''(r_2) \approx -9,4 < 0 $
An der Stelle $r_2 = \frac{1}{1+2\pi} $ besitzt $V$ also ein lokales Maximum.
Da $V$ und $V'$ stetig sind, kann $V'$ ihr Vorzeichen nur in den Nullstellen $r_1 = 0$ und $r_2$ ändern. Auf dem Intervall $\text{D}_V = [0,1;0,2]$ ist also $V'(r) > 0 $ für alle $r < r_2$ und $V'(r) < 0$ für alle $r > r_2.$
Das bedeutet wiederum, dass $V$ im Intervall $\text{D}_V$ monoton steigend ist, bis sie an der Stelle $r_2$ ihr Maximum erreicht und anschließend monoton fällt.
An der Stelle $r_2$ nimmt $V$ also im gesamten Intervall $\text{D}_V$ den größten Funktionswert an.
Für $r= \frac{1}{1+2\pi} \approx 0,137\,\text{[m]}$ nimmt die Maßzahl des Volumens des Abfallskorbs ihren absolut größten Wert an.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App