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Stochastik S I

Aufgaben
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1.0
Der Pizzalieferdienst „Happy-Pizza“ feiert sein 10-jähriges Firmenjubiläum und bietet dazu seine Pizzen in den Größen klein $(K),$ normal $(N)$ und XXL $(X)$ zu besonders günstigen Preisen an. Ein Fünftel der Kunden entscheidet sich für die kleine Pizza und nur jeder zehnte Kunde für die XXL-Größe.
Zu jeder Pizza kann man einen Salat $(S)$ dazu bestellen. Unabhängig von der Wahl der Pizzagröße entscheiden sich $30\,\%$ für den Salat. Um die XXL-Pizza stärker zu bewerben bekommt man dazu gratis ein kleines Getränk $(G)$ oder ein Dessert $(D).$ Die Entscheidung für ein Dessert ist unabhängig davon, ob ein Salat bestellt wird.
Es ist bekannt, dass $1\,\%$ aller Kunden eine XXL-Pizza mit Salat und Dessert bestellen. Eine Pizza-Aktionsbestellung eines zufällig ausgewählten Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1.1
Ermittle mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse.
(6 BE)
#baumdiagramm
1.2
Es werden folgende Ereignisse definiert:
„Ein Kunde erhält ein Gratisgetränk.“
$\{KS; NS; XSG; XSD\}$
Gib $E_1$ in aufzählender Mengenschreibweise an, formuliere $E_2$ möglichst einfach in Worten und gib seine Wahrscheinlichkeit an.
(3 BE)
#ereignis
2.0
Von den in 1.0 angegebenen Bestellvarianten kostet die kleine Pizza $5\,€,$ die Pizza in Normalgröße $7\,€$ und die XXL-Variante $10\,€.$ Ein Salat kostet $3\,€.$
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Kosten pro Bestellung.
2.1
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ und stelle diese geeignet graphisch dar.
(6 BE)
2.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Kosten pro Bestellung innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.
(5 BE)
#standardabweichung#erwartungswert
3.
Nach 1.0 beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine XXL-Pizza bestellt wird, $p = 0,1 .$
Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass bei 50 Bestellungen
„genau $40$ Kunden keine XXL-Pizza bestellen.“
„mehr als $5$ Kunden eine XXL-Pizza bestellen.“
„mindestens $2$ aber höchstens $8$ Personen eine XXL-Pizza bestellen.“
(5 BE)
4.
Marlene, Martin, Max, Michael und Moritz wählen jeweils ihre Lieblingspizza und bestellen gemeinsam bei „Happy-Pizza“. Nach der Lieferung der $5$ unterschiedlichen Pizzen sucht sich zunächst Marlene ihre vegetarische Pizza heraus. Anschließend wählen die vier Jungs nacheinander zufällig einen der übrigen, noch geschlossenen Pizzakartons aus.
Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit nun alle ihre bestellte Pizza erhalten.
(2 BE)
5.0
Der Organisator der Werbeaktion aus 1.0 vermutet, dass aufgrund der Aktion mehr als $10\,\%$ XXL-Pizzen verkauft werden (Gegenhypothese). Zur Überprüfung der Vermutung wird ein Hypothesentest durchgeführt, der auf den nächsten $100$ Pizzabestellungen beruht.
#hypothesentest
5.1
Gib zu diesem Test die Testgröße und die Nullhypothese an und bestimme auf dem $5\,\%$-Niveau den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
(5 BE)
5.2
Erkläre, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht.
(2 BE)
6.0
Ein anderer Pizzalieferdienst bietet neben Pizzen auch noch Nudelgerichte $(N)$ an. Aus Erfahrung weiß man, dass $28\,\%$ aller Kunden Nudelgerichte $(N)$ bestellen, die Restlichen eine Pizza $(\overline{N}).$ Bei $3$ von $10$ Bestellungen wird zusätzlich Salat $(S)$ geordert und bei der Hälfte aller Bestellungen lediglich eine Pizza.
6.1
Bestimme mithilfe einer vollständigen Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kunde eine Pizza $(\overline{N} )$ mit Salat $(S)$ bestellt.
(3 BE)
#vierfeldertafel
6.2
Zeige, dass für die Ereignisse $N$ und $S$ gilt: $P(N\cap S) \neq P(N) \cdot P(S).$ Deute das Ergebnis.
(3 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln
1. Schritt: Baumdiagramm erstellen
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
2. Schritt: Fehlende Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Kunde mit einer XXL-Pizza und Salat für ein Dessert entscheidet. Dafür kannst du die angegebene Wahrscheinlichkeit für den Pfad $X-S-D$ verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} P(X-S-D)&=& 1\,\% \\[5pt] \frac{1}{10}\cdot 0,3 \cdot P(D) &=& 0,01 \\[5pt] 0,03 \cdot P(D) &=& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; :0,03 \\[5pt] P(D) &=& \frac{1}{3} \end{array}$
$ P(D)=\frac{1}{3} $
Ein Drittel der Kunden mit einer XXL-Pizza wählen also ein Dessert, die übrigen $\frac{2}{3}$ wählen das Gratis-Getränk.
3. Schritt: Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} P(K-S)&=& \frac{1}{5}\cdot 0,3 \\[5pt] &=& 0,06 \\[10pt] P(K-\overline{S})&=& \frac{1}{5}\cdot 0,7 \\[5pt] &=& 0,14 \\[10pt] P(N-S)&=& \frac{7}{10}\cdot 0,3 \\[5pt] &=& 0,21 \\[10pt] P(N-\overline{S})&=& \frac{7}{10}\cdot 0,7 \\[5pt] &=& 0,49 \\[10pt] P(X-S-D)&=& \frac{1}{10}\cdot 0,3\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& 0,01 \\[10pt] P(X-S-G)&=& \frac{1}{10}\cdot 0,3\cdot \frac{2}{3} \\[5pt] &=& 0,02 \\[10pt] P(X-\overline{S}-D)&=& \frac{1}{10}\cdot 0,7\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{7}{300} \\[10pt] P(X-\overline{S}-G)&=& \frac{1}{10}\cdot 0,7\cdot \frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{7}{150}\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(K-S)&= 0,06 \\[10pt] P(K-\overline{S})&= 0,14 \\[10pt] P(N-S)&= 0,21 \\[10pt] P(N-\overline{S})&= 0,49 \\[10pt] P(X-S-D)&= 0,01 \\[10pt] P(X-S-G)&= 0,02 \\[10pt] P(X-\overline{S}-D)&= \frac{7}{300} \\[10pt] P(X-\overline{S}-G)&= \frac{7}{150}\\[10pt] \end{array}$
#pfadregeln
1.2
$\blacktriangleright$  Ereignisse umformulieren
$E_1=\{XSG; X\overline{S}G\}$
In $E_2$ sind alle Ereignisse aufgelistet, die beinhalten, dass ein Kunde einen Salat kauft. Es ist also:
$E_2:\,$ „Ein Kunde entscheidet sich für einen Salat.“
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1)&=& P(XSG) + P(X\overline{S}G) \\[5pt] &=& 0,02 + \frac{7}{150} \\[5pt] &\approx& 0,0667 \\[5pt] &=& 6,67\,\% \\[10pt] P(E_2)&=& P(KS) + P(NS) + P(XSG) + P(XSD) \\[5pt] &=& 0,06+ 0,21 + 0,02 + 0,01 \\[5pt] &=& 0,3 \\[5pt] &=& 30\,\% \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1)&\approx 0,0667 \\[5pt] &= 6,67\,\% \\[10pt] P(E_2)&= 0,3 \\[5pt] &= 30\,\% \\[10pt] \end{array}$
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen
Es gibt folgende mögliche Kosten pro Bestellung:
  • $5\,€:$ Kauft ein Kunde nur eine kleine Pizza ohne Salat, so zahlt er nur $5\,€.$ Es ist also
    $P(X= 5\,€) = P(K\overline{S}) = 0,14$
    $ P(X= 5\,€) = 0,14$
  • $8\,€:$ Kauft ein Kunde eine kleine Pizza und einen Salat, so zahlt er $5\,€ + 3\,€ = 8\,€.$ Es ist also:
    $P(X=8\,€) = P(KS) = 0,06$
    $ P(X=8\,€) = 0,06 $
  • $7\,€:$ Kauft ein Kunde nur eine normale Pizza, so zahlt er nur $7\,€.$
    $P(x=7\,€) = P(N\overline{S}) = 0,49$
    $ P(x=7\,€) = 0,49$
  • $10\,€:$ Kauft ein Kunde eine normale Pizza und einen Salat oder eine XXL-Pizza ohne Salat, so zahlt er $10\,€.$
    $P(X=10\,€) = P(NS) + P(X\overline{S}D) + P(X\overline{S}G) = 0,21 + \frac{7}{300} + \frac{7}{150} = 0,28$
    $ P(X=10\,€) = 0,28 $
  • $13\,€:$ Kauft ein Kunde eine XXL-Pizza mit Salat, so zahlt er $10\,€+3\,€ = 13\,€.$
    $P(X=13\,€) = P(XSD) + P(XSG) = 0,01 + 0,02 = 0,03$
    $ P(X=13\,€) = 0,03$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch darstellen
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 5\,€\cdot 0,14 + 7\,€ \cdot 0,49 + 8\,€ \cdot 0,06 + 10\,€ \cdot 0,28 + 13\,€\cdot 0,03 \\[5pt] &=& 7,8\,€ \\[10pt] V(X) &=& (5\,€ - 7,8\,€)^2 \cdot 0,14 + (7\,€ -7,8\,€)^2\cdot 0,49 \\[5pt] && + (8\,€ - 7,8\,€)^2 \cdot 0,06 + (10\,€ - 7,8\,€)^2 \cdot 0,28 + (13\,€ -7,8\,€)^2\cdot 0,03 \\[5pt] &=& 3,58 \\[10pt] \sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} \\[5pt] &=& \sqrt{3,58} \\[5pt] &\approx & 1,9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&= 7,8\,€ \\[10pt] V(X) &= 3,58 \\[10pt] \sigma(X) &\approx 1,9 \end{array}$
Der betrachtete Bereich ist also
$\left[7,8 - 1,9\, ; \, 7,8 + 1,9 \right] = [5,9\, ; \, 9,7].$
$ …= [5,9\, ; \, 9,7] $
Darin enthalten sind die Preise $7\,€$ und $8\,€.$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kosten pro Bestellung innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen beträgt:
$0,49 + 0,06 = 55\,\%$
3.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die unter $50$ Kunden die Anzahl derer beschreibt, die eine XXL-Pizza bestellen. Da der relative Anteil der XXL-Pizzen als Wahrscheinlichkeit aufgefasst wird, kann $Y$ als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,1$ aufgefasst werden.
Ereignis $E_3$ entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $10$ Kunden eine XXL-Pizza bestellen:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_3)&=& P(Y=10) \\[5pt] &=& \binom{50}{10}\cdot 0,1^{10}\cdot 0,9^{40} \\[5pt] & \approx& 0,0152 \\[5pt] &=& 1,52\,\% \end{array}$
$ P(E_3)\approx 1,52\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $1,52\,\%$ kaufen genau $40$ Kunden keine XXL-Pizza.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4)&=& P(Y> 5) \\[5pt] &=& 1-P(Y\leq 5)\\[5pt] &=& 1-(\binom{50}{0}\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{50}-\binom{50}{1}\cdot 0,1^1\cdot 0,9^{49} +\binom{50}{2}\cdot 0,1^2\cdot 0,9^{48}\\[5pt] && +\binom{50}{3}\cdot 0,1^3\cdot 0,9^{47} +\binom{50}{4}\cdot 0,1^4\cdot 0,9^{46}+\binom{50}{5}\cdot 0,1^5\cdot 0,9^{45}) \\[5pt] &\approx & 0,3839\\[5pt] &=& 38,39\,\% \end{array}$
$ P(E_4)\approx 38,39\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $38,39\,\%$ bestellen mehr als $5$ Kunden eine XXL-Pizza.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& P(2\leq Y \leq 8) \\[5pt] &=& \binom{50}{2}\cdot 0,1^2\cdot 0,9^{48} + \binom{50}{3}\cdot 0,1^3\cdot 0,9^{47}+\binom{50}{4}\cdot 0,1^4\cdot 0,9^{46} \\[5pt] && + \binom{50}{5}\cdot 0,1^5\cdot 0,9^{45} + \binom{50}{6}\cdot 0,1^6\cdot 0,9^{44} + \binom{50}{7}\cdot 0,1^7\cdot 0,9^{43} + \binom{50}{8}\cdot 0,1^8\cdot 0,9^{42}\\[5pt] &\approx& 0,9083 \\[5pt] &=& 90,83\,\% \end{array}$
$ P(E_5) \approx 90,83\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $90,83\,\%$ bestellen mindestens zwei und höchstens acht Personen eine XXL-Pizza.
#binomialverteilung
4.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Der erste Junge hat eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ den richten Karton zu wählen, der zweite noch eine von $\frac{1}{3},$ der dritte dann $\frac{1}{2}$ und der vierte Junge hat dann nur noch einen Karton zur Auswahl, also eine Wahrscheinlichkeit von $1.$ Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{24}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{24}$ erhalten alle vier Jungs direkt ihre bestellte Pizza.
#pfadregeln
5.1
$\blacktriangleright$  Testgröße und Nullhypothese angeben
Betrachtet wird die Testgröße $T,$ die in der Stichprobe der nächsten $100$ Pizzabestellungen die zufällige Anzahl der bestellten XXL-Pizzen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ und $p$ angenommen werden.
Die Gegenhypothese ist angegeben als $p> 0,1.$ Die Nullhypothese ist daher:
$H_0:\, p\leq 0,1$
$\blacktriangleright$  Größtmöglichen Ablehnungsbereich bestimmen
Der Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{k;\, …\, 100\}$ muss nun so gewählt werden, dass gerade noch $P(T \in \overline{A}) \leq 0,05$ gilt, wenn man davon ausgeht, dass die Nullhypothese durch $p=0,1$ erfüllt ist. Es soll also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(T \in \overline{A})&\leq& 0,05 \\[5pt] P(T \geq k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(T \leq k-1 )&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize\mid \; -1\\[5pt] -P(T \leq k-1 )&\leq& -0,95 \\[5pt] P(T \leq k-1 )&\geq& 0,95 \\[10pt] \end{array}$
$ P(T \leq k-1 )\geq 0,95 $
Suche nun in einer entsprechenden Binomialverteilungstabelle für $n=100$ in der Spalte für $p = 0,1$ den kleinsten Wert $k-1,$ sodass gerade noch $P(T\leq k-1) \geq 0,95$ gilt. Du erhältst folgende Werte:
  • $P(T\leq 14) \approx 0,9274 < 0,95$
  • $P(T\leq 15) \approx 0,9601 > 0,95$
  • $P(T\leq 14) \approx 0,9274 < 0,95$
  • $P(T\leq 15) \approx 0,9601 > 0,95$
Es ist also $k-1 = 15$ und damit $k = 16.$ Der größtmögliche Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist auf dem $5\,\%$-Signifikanzniveau also $\{16;…;100\}.$
5.2
$\blacktriangleright$  Fehler 2. Art erklären
Der Fehler 2. Art wird begangen, wenn eigentlich die Gegenhypothese gilt, aber das Stichprobenergebnis für die Nullhypothese ausfällt. Im vorliegenden Fall, kann dieser Fehler also begangen werden, wenn zwar eigentlich die Gegenhypothese gilt, wenn also der Anteil der XXL-Pizzen auf über $10\,\%$ gestiegen ist, aber trotzdem weniger als $16$ XXL-Pizzen in der Stichprobe bestellt werden. Dann würde man fälschlicherweise davon ausgehen, dass sich der Anteil der XXL-Pizzen durch die Aktion nicht erhöht hat.
6.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit mit der Vierfeldertafel bestimmen
$N$$\overline{N}$Gesamt
$S$$0,08$$0,22$$0,3$
$\overline{S}$$0,2$$0,5$$0,7$
Gesamt$0,28$$0,72$$1$
$P(\overline{N}\cap S) = 0,22 = 22\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $22\,\%$ bestellt ein zufällig ausgewählter Kunde eine Pizza mit Salat.
6.2
$\blacktriangleright$  Ungleichung zeigen
Aus der Vierfeldertafel lässt sich ablesen: $P(N\cap S) = 0,08.$
Es ist $P(N)= 0,28$ und $P(S)= 0,3,$ also $P(N) \cdot P(S)= 0,084 \neq 0,8. $
Es ist also tatsächlich $P(N\cap S) \neq P(N)\cdot P(S).$
Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Ereignisse $N$ und $S$ stochastisch abhängig sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde einen Salat kauft oder nicht ist also abhängig davon, ob er ein Nudelgericht bestellt.
#stochastischeunabhängigkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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