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Analysis A I

Aufgaben
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1.0
Für eine ganzrationale Funktion f dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f}=\mathbb{R}$ gelten folgende Gleichungen:
$II. f'(0)=0$
$IV. f'(-3)=-1$
Der zugehörige Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1.1
Beschreibe in Worten, welche Eigenschaften der Graph von f aufgrund obiger Gleichungen hat.
1.2
Bestimme die Funktionsgleichung von $f$.
[Mögliches Ergebnis: $f(x)=-\displaystyle \frac{1}{3}x^{3}-\frac{4}{3}x^{2}$]
1.3
Im Folgenden wird die Funktion g mit $g(x)=f(x)$ und der im Vergleich zu $D_{f}$ eingeschränkten Definitionsmenge $D_{g}=[-4,5;1]$ betrachtet. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.
1.3.1
Ermittle die Wertemenge $W_{g}$ der Funktion $g$. Bestimme dazu die Koordinaten sämtlicher Extrempunkte.
1.3.2
Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion $g.$
1.3.3
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen $G_{g}$ in eingeeignetes kartesisches Koordinatensystem. Ermittle dazu die Nullstellen der Funktion $g$. Maßstab für beide Achsen: $1 \,\text{LE}=1\,\text{cm}$
1.3.4
Der Graph der Funktion $g$ und die $x$-Achse schließen im III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.
2.0
Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen für eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in Abhängigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion $N$ mit der Funktionsgleichung $N(t)=2 t^{2}\cdot e^{-0,5 t}$ mit $t\in \mathbb{R}_{0}^{+}$ beschrieben werden. Dabei bedeutet die Variable t die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt $t_{0}=0$. Der Funktionswert $N(t)$ gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runde deine Ergebnisse sinnvoll.
2.1
Berechne, zu welchem Zeitpunkt $t_{\max}$ die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechne diese maximale Anzahl.
[Teilergebnis: $\dot N(t)=(-4t^2-t^2)\cdot e^{-0,5t}$]
2.2
Ermittle das Verhalten der Funktionswerte $N(t)$ fürt $\rightarrow\infty$ und interpretiere das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik.
2.3
Zeichne unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im Bereich $0\leq t\leq 10$ in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: $1 \,\text{LE}=1\,\text{cm}$
2.4
Gegeben ist die Funktion $G$:$t\mapsto (-4 t^{2}-16 t-32)\cdot e^{-0,5t}$ mit der Definitionsmenge $D_{G}=\mathbb{R}_{0}^{+}$. Zeige, dass die Funktion $G$ eine mögliche Stammfunktion von $N$ ist. Berechne damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen während der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle.
#wendepunkt#extrempunkt#stammfunktion
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Lösungen
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1.1
$\text{I}$
Der Graph von $f$ verläuft durch den Koordinatenursprung.
$\text{II}$
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangente.
$\text{III}$
Der Graph von $f$ verläuft durch den Punkt $P(-3\mid -3).$
$\text{IV}$
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=-3$ die Steigung $-1$ bzw. eine Tangente mit der Steigung $-1.$ Der Graph von $f$ ist an dieser Stelle fallend.
Aus der Kombination der vier Eigenschaften lässt sich noch schließen:
Da sich der Graph an der Stelle $x=-3$ unterhalb der $x$-Achse befindet und fallend ist, aber durch den Koordinatenursprung verläuft, muss er an mindestens einer Stelle im Intervall $]-3;0[$ die Steigung von negativ zu positiv ändern. Er besitzt in diesem Intervall also einen lokalen Tiefpunkt.
1.2
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& ax^3 + bx^2 + cx + d \\[5pt] f'(x) &=& 3ax^2 +2bx + c \end{array}$
Aus $\text{I)}\, f(0)=0$ folgt direkt $d=0.$
Aus $\text{II)}\, f'(0)=0$ folgt ebenfalls direkt $c=0.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& ax^3 + bx^2 \\[5pt] f'(x) &=& 3ax^2 +2bx \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad& -3 &=& f(-3) \\[5pt] & -3 &=& a\cdot (-3)^3 + b\cdot (-3)^2 \\[5pt] & -3 &=& -27a +9b &\quad \scriptsize\mid\; +27a\\[5pt] & -3 +27a &=& 9b &\quad \scriptsize\mid\; : 9\\[5pt] & -\frac{1}{3} +3a &=& b \\[10pt] \text{IV}\quad& -1 &=& f'(-3) \\[5pt] & -1 &=& 3a\cdot (-3)^2 + 2b\cdot (-3) \\[5pt] & -1 &=& 27a -6b \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad& -\frac{1}{3} +3a &=& b \\[10pt] \text{IV}\quad& -1 &=& 27a -6b \\[10pt] \end{array}$
Setze $b=-\frac{1}{3} +3a$ in $\text{IV}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV}\quad -1 &=& 27a -6b &\quad \scriptsize \mid\;b=-\frac{1}{3} +3a \\[5pt] -1 &=& 27a -6\cdot (-\frac{1}{3} +3a) \\[5pt] -1 &=& 9a +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] -3 &=& 9a &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -\frac{1}{3} &=& a \end{array}$
$ a= -\frac{1}{3}$
Für $b$ folgt dann:
$b= -\frac{1}{3} +3\cdot \left(-\frac{1}{3} \right) = -\frac{4}{3}$
Eine Funktionsgleichung von $f$ lautet also:
$f(x)= -\frac{1}{3}x^3 -\frac{4}{3}x^2$
1.3.1
1. Schritt: Ableitungen
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& -\frac{1}{3}x^3 -\frac{4}{3}x^2 \\[5pt] g'(x) &=& -x^2 -\frac{8}{3}x \\[5pt] g''(x) &=& -2x -\frac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} g'(x) &=& 0 \\[5pt] -x^2 -\frac{8}{3}x &=& 0 \\[5pt] -x\cdot \left(x+\frac{8}{3} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] x+\frac{8}{3} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-\frac{8}{3} \\[5pt] x_2 &=& -\frac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 0\\[5pt] x_2 &=& -\frac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} g''(0)&=& -2\cdot 0 -\frac{8}{3} \\[5pt] &=& -\frac{8}{3} < 0\\[10pt] g''\left(-\frac{8}{3}\right)&=& -2\cdot\left(-\frac{8}{3}\right) -\frac{8}{3} \\[5pt] &=& \frac{8}{3} > 0\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(0)&=& -\frac{8}{3} < 0\\[10pt] g''\left(-\frac{8}{3}\right)&=& \frac{8}{3} > 0\\[10pt] \end{array}$
4. Schritt: y-Koordinaten
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0 \\[5pt] g\left(-\frac{8}{3} \right)&=& -\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{8}{3} \right)^3 -\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{8}{3} \right)^2 \\[5pt] &=& -\frac{256}{81} \\[10pt] g(-4,5)&=& -\frac{1}{3}\cdot \left(-4,5 \right)^3 -\frac{4}{3}\cdot \left(-4,5 \right)^2 \\[5pt] &=& \frac{27}{8} \\[10pt] g(1)&=& -\frac{1}{3}\cdot 1^3 -\frac{4}{3}\cdot 1^2 \\[5pt] &=& -\frac{5}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0 \\[5pt] g\left(-\frac{8}{3} \right)&=& -\frac{256}{81} \\[10pt] g(-4,5)&=& \frac{27}{8} \\[10pt] g(1)&=& -\frac{5}{3} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $g$ hat genau zwei Extrempunkte, einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(-\frac{8}{3}\mid -\frac{256}{81}\right)$ und einen Hochpunkt $H(0\mid 0).$
Zusammen mit den Funtionswerten an den Intervallrändern ergibt sich der Wertebereich:
$\text{W}_g = \left\{y\in \mathbb{R}\mid -\frac{256}{81} \leq y \leq \frac{27}{8}\right\}$
1.3.2
1. Schritt: Notwendiges Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& 0 \\[5pt] -2x -\frac{8}{3} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{8}{3}\\[5pt] -2x &=& \frac{8}{3} &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] x &=& -\frac{4}{3} \end{array}$
$ x=-\frac{4}{3} $
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium
$g'''(x)= -2,$ also ist $g'''\left(-\frac{4}{3}\right) \neq 0.$
Da beide Kriterien erfüllt sind, befindet sich an der Stelle $x=-\frac{4}{3}$ der Wendepunkt des Graphen von $g.$
$\begin{array}[t]{rll} g\left(-\frac{4}{3} \right) &=& -\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{4}{3} \right)^3 -\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{4}{3} \right)^2 \\[5pt] &=& -\frac{128}{81} \end{array}$
$ g\left(-\frac{4}{3} \right)= -\frac{128}{81} $
Die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von $g$ lauten $W\left(-\frac{4}{3} \mid -\frac{128}{81}\right).$
1.3.3
Nullstellen
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{3}x^3 -\frac{4}{3}x^2 &=& 0 \\[5pt] -x^2 \cdot \left(\frac{1}{3}x +\frac{4}{3}\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_{1/2} =0 \\[5pt] \frac{1}{3}x +\frac{4}{3} &=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{4}{3} \\[5pt] \frac{1}{3}x &=& -\frac{4}{3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3\\[5pt] x_3&=& -4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& 0 \\[5pt] x_{1/2}&=& 0\\[5pt] x_3&=& -4 \end{array}$
Die Nullstellen von $g$ sind $x = 0$ und $x=-4.$
Abb. 1: Graph $G_g$
1.3.4
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-4}^{0}g(x)\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{-4}^{0}\left(-\frac{1}{3}x^3 -\frac{4}{3}x^2\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ -\frac{1}{12}x^4 -\frac{4}{9}x^3\right]_{-4}^0 \\[5pt] &=& -\frac{1}{12}\cdot 0^4 -\frac{4}{9}\cdot 0^3 - \left( -\frac{1}{12}\cdot (-4)^4 -\frac{4}{9}\cdot (-4)^3\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{12}\cdot (-4)^4 +\frac{4}{9}\cdot (-4)^3 \\[5pt] &=& -\frac{64}{9} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-4}^{0}g(x)\;\mathrm dx&=& -\frac{64}{9} \end{array}$
Die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks beträgt $\frac{64}{9}\,\text{FE}.$
2.1
1. Schritt: Ableitungsfunktionen
Mit der Produktregel und der Kettenregel erhält man:
$\begin{array}[t]{rll} N(t) &=& 2t^2 \cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] \dot N(t) &=& 4t\cdot\mathrm e^{-0,5t} + 2t^2\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] &=& 4t\cdot\mathrm e^{-0,5t} - t^2\cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] &=& (4t-t^2)\cdot\mathrm e^{-0,5t}\\[5pt] \end{array}$
$ \dot N(t)=(4t-t^2)\cdot\mathrm e^{-0,5t} $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} \dot N(t) &=& 0 \\[5pt] (4t-t^2)\cdot\mathrm e^{-0,5t}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-0,5t}\neq 0 \\[5pt] 4t-t^2 &=& 0 \\[5pt] t\cdot (4-t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;t_1 = 0 \\[5pt] 4-t_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t_2\\[5pt] 4 &=& t_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dot N(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &=& 0 \\[5pt] 4 &=& t_2 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
Wegen $\mathrm e^{-0,5t} > 0$ gilt:
  • Für $t< 0$ ist $\dot N(t) < 0.$
  • Für $0< t < 4$ gilt $\dot N(t) > 0.$
  • Für $t> 4$ ist $\dot N(t) < 0.$
Mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium folgt also, dass $N$ an der Stelle $t=0$ ein lokales Minimum und an der Stelle $t = 4$ ein lokales Maximum besitzt. Da $\dot N(t)$ für alle $t>4$ negativ ist, sinkt die Anzahl der Neuerkrankungen anschließend nur noch.
$4$ Wochen nach Beginn der Grippewelle ist die Anzahl der Neuerkrankungen also maximal.
$N(4) = 2\cdot 4^2 \cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 4} = 32\mathrm e^{-2}\approx 4,3 $
Das Maximum der neu erkrankten Menschen beträgt ca. $4\,300.$
2.2
Für $t\to \infty$ gilt $N(t)= \underbrace{2t^2}_{\to \infty} \cdot\underbrace{ \mathrm e^{-0,5t}}_{\to 0^+} \to 0^+$
Langfristig nähert sich die Anzahl der Neuerkrankungen der Grippewelle dem Nullwert an. Es wird also voraussichtlich einen Punkt geben, ab dem es so gut wie keine Neuerkrankungen mehr gibt und man davon ausgehen kann, dass die Grippewelle vorüber ist.
2.3
Abb. 2: Graph der Funktion $N$
2.4
Stammfunktion
Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt wieder:
$\begin{array}[t]{rll} G(t) &=& (-4t^2 -16t -32)\cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] G'(t) &=& (-8t -16)\cdot \mathrm e^{-0,5t}+ (-4t^2 -16t -32)\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] \\[5pt] &=& (-8t -16 +2t^2 +8t +16)\cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] &=& 2t^2\cdot \mathrm e^{-0,5t} \\[5pt] &=& N(t) \end{array}$
$ G'(t)=N(t) $
Da also $G'(t)=N(t)$ ist, ist $N$ die erste Ableitungsfunktion von $G$ und damit ist $G$ eine Stammfunktion von $N.$
Durchschnittliche Anzahl der Neuerkrankungen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{8-0}\displaystyle\int_{0}^{8}N(t)\;\mathrm dt&=&\dfrac{1}{8}\cdot \left(G(8)-G(0) \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{8}\cdot \left((-4\cdot 8^2 -16\cdot 8 -32)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 8} -(-4\cdot 0^2 -16\cdot 0 -32)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{8}\cdot \left((-4\cdot 8^2 -16\cdot 8 -32)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 8} +32 \right) \\[5pt] &\approx& 3,0 \end{array}$
$ …\approx 3,0 $
In den ersten acht Wochen nach Beginn der Grippewelle beträgt die durchschnittliche Anzahl der neuerkrankten Menschen ca. $3\,000$ pro Woche.
#integral#mittelwertvonfunktionen#kettenregel#produktregel
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