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Analysis A II

Aufgaben
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1.0

Dabei bedeutet die Variable t die Zeit in Tagen ab Monatsbeginn zum Zeitpunkt $t_{0}=0$. Der Funktionswert $w(t)$ gibt den Wasserstand des Flusses in cm an. Zu Monatsbeginn lag der Wasserstand bei 200 cm und am Monatsende bei 308 cm. Der höchste Wasserstand wurde am 25. März - also zum Zeitpunkt $t_{\max}=24$ - gemessen. Der abgebildete Graph zeigt den Wasserstand $w(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runde deine Ergebnisse - falls nicht anders gefordert - sinnvoll.
1.1
Bestimme die Werte der Parameter $a$, $b$ und $c$ und damit die zugehörige Funktionsgleichung von $w.$
[Mögliches Ergebnis: $w(t)= -\displaystyle \frac{1}{500}(t^{4}-32 t^{3}-100000)$]
1.2
Berechne den höchsten Pegel im Beobachtungszeitraum zentimeter genau.
1.3
Ermittle rechnerisch das Datum im Beobachtungszeitraum, an dem die Änderungsgeschwindigkeit des Pegelstandes am größten war.
1.4
Berechne
$\displaystyle \frac{1}{30}\int_{0}^{30}w(t)dt$
und interpretiere das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik.
2.0
Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto x^2\cdot e^{-x}$ mit der Definitionsmenge $D_{f}=\mathbb{R}.$
2.1
Gib die Nullstelle der Funktion $f$ an und untersuche das Verhalten der Funktionswerte $f$ für $x\rightarrow-\infty$ und $x\rightarrow\infty$.
2.2
Bestimme die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion f streng monoton steigt bzw. streng monoton fällt, und damit die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen von $f$.
2.3
Zeichne den Graphen der Funktion f unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich $-1\leq x\leq 6$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: $1 \,\text{LE}=1\,\text{cm}$
3.0
Der Bestand einer Bakterienkultur, der kontinuierlich Gift zugeführt wird, kann in den ersten fünf Stunden näherungsweise durch eine Funktion des folgenden Typs beschrieben werden: $k:ta\mapsto 50 t\cdot e^{-at}+10$ mit $t\in [0;5]$.
Graph I gilt für $a_{1}=0,3$                mit   $k_{I}=50 t\cdot e^{-0,3 t}+10$
Graph II gilt für $0,3<a_{2}<0,5$   mit   $k_{II}=50 t\cdot e^{-a_{2^{t}}}+10$
Graph III gilt für $a_{3}=0,5$              mit  $k_{III}=50 t\cdot e^{-0,5 t}+10$
3.1
Berechne für $t_1=0$ und $t_2=2$ den Quotienten
$\displaystyle \frac{k_{III}(t_{2})-k_{III}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$
und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
3.2
Überprüfe bei der Funktion $k_{III}$ rechnerisch, ob vier Stunden nach Beginn der Giftzugabe die momentane Abnahmerate der Anzahl der Bakterien ca. 113 Bakterien pro Minute beträgt.
3.3
Entnimm der Abbildung ein geeignetes Wertepaar von Graph II und berechne damit den Wert $a_{2}$ für den Funktionsterm $k_{II}(t)$. Folgere aus den Angaben und dem berechneten Wert für $a_{2}$, wie die Größe von $a$ mit der Wirksamkeit des Gifts zusammenhängt.
#integral#monotonie#änderungsrate#extrempunkt#nullstelle
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Lösungen
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1.1
$\begin{array}[t]{rll} w(t) =& at^4 +bt^3 +c \\[5pt] w'(t) =& 4at^3 +3bt^2 \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 200 &=& w(0) \\[5pt] & 200 &=& a\cdot 0^4 +b \cdot 0^3 + c \\[5pt] & 200 &=& c \\[10pt] \text{II}\quad& 308 &=& w(30) \\[5pt] & 308 &=& a\cdot 30^4 +b\cdot 30^3 +c &\quad \scriptsize\mid\; c=200 \\[5pt] & 308 &=& 810\,000a + 27\,000b +200 &\quad \scriptsize\mid\; -200 \\[5pt] & 108 &=& 810\,000a + 27\,000b &\quad \scriptsize\mid\; -810\,000a \\[5pt] & 108-810\,000a &=& 27\,000b &\quad \scriptsize\mid\; : 27\,000 \\[5pt] & 0,004-30a &=& b \\[10pt] \text{III}\quad& 0 &=& w'(24) \\[5pt] & 0 &=& 4a\cdot 24^3 +3b\cdot 24^2 \\[5pt] & 0 &=& 55\,296 a +1\,728b \\[5pt] \end{array}$
Setze $b=0,004-30a$ in $\text{III}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 0&=& 55\,296 a +1\,728b &\quad \scriptsize \mid\;b=0,004-30a \\[5pt] 0 &=& 55\,296 a +1\,728\cdot (0,004-30a) \\[5pt] 0 &=& 3456a + 6,912 &\quad \scriptsize \mid\;-3456a \\[5pt] -3456a&=& 6,912&\quad \scriptsize \mid\; :(-3456) \\[5pt] a &=& -0,002 \end{array}$
$ a=-0,002 $
Daraus folgt:
$b =0,004-30\cdot (-0,002) = 0,064 $
$w(t)= -0,002t^4 +0,064t^3 + 200 $
1.2
$\begin{array}[t]{rll} w(24) &=& -0,002\cdot 24^4 +0,064\cdot 24^3 + 200 \\[5pt] &=& 421,184 \\[5pt] &\approx& 421 \end{array}$
$ w(24)\approx 421 $
Der höchste Pegel im Beobachtungszeitraum beträgt ca. $421\,\text{cm}.$
1.3
Gesucht sind Extrema von $w'.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen
$\begin{array}[t]{rll} w(t) &=& -0,002t^4 +0,064t^3 + 200 \\[10pt] w'(t) &=& -0,008t^3 +0,192t^2 \\[10pt] w''(t) &=& -0,024t^2 + 0,384t \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} w''(t) &=& 0 \; \\[5pt] -0,024t^2 + 0,384t &=& 0\\[5pt] t\cdot (-0,024t + 0,384)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;t_1 =0 \\[5pt] -0,024t + 0,384 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-0,384 \\[5pt] -0,024t &=& -0,384 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,024) \\[5pt] t &=& 16 \end{array}$
$ t=16 $
3. Schritt: Vergleich der Geschwindigkeiten
$\begin{array}[t]{rll} w'(0) &=& -0,008\cdot 0^3 +0,192\cdot 0^2 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] w'(16) &=& -0,008\cdot 16^3 +0,192\cdot 16^2 \\[5pt] &=& 16,384 \\[10pt] w'(30) &=& -0,008\cdot 30^3 +0,192\cdot 30^2 \\[5pt] &=& -43,2 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} w'(0) &=& 0 \\[10pt] w'(16) &=& 16,384 \\[10pt] w'(30) &=& -43,2 \\[10pt] \end{array}$
Am 17. März war die Änderungsgeschwindigkeit des Pegelstandes am größten.
1.4
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{30} \displaystyle\int_{0}^{30}w(t)\;\mathrm dt &=& \frac{1}{30} \displaystyle\int_{0}^{30} \left(-0,002t^4 +0,064t^3 + 200\right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \frac{1}{30} \left[ -0,0004t^5 +0,016t^4 + 200t \right]_0^{30} \\[5pt] &=&\frac{1}{30}\cdot \left( -0,0004\cdot 30^5 +0,016\cdot 30^4 + 200\cdot 30 - \left( -0,0004\cdot 0^5 +0,016\cdot 0^4 + 200\cdot 0\right)\right) \\[5pt] &=& 308 \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{1}{30} \displaystyle\int_{0}^{30}w(t)\;\mathrm dt = 308$
Im gesamten Monat März betrug der durchschnittliche Wasserstand $308\,\text{cm}.$
2.1
Die Nullstelle von $f$ ist $x=0.$
Für $x\to -\infty$ gilt $f(x)= \underbrace{x^2}_{\to \infty} \cdot \underbrace{\mathrm e^{-x}}_{\to \infty} \to \infty.$
Für $x\to \infty$ gilt $f(x)= \underbrace{x^2}_{\to \infty} \cdot \underbrace{\mathrm e^{-x}}_{\to 0^+} \to 0^+.$
2.2
Monotonie
Mit der Produktregel folgt für die erste Ableitungsfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x^2 \cdot \mathrm e^{-x} \\[10pt] f'(x) &=& 2x \cdot \mathrm e^{-x} - x^2 \cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=& (2x-x^2)\cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=& x\cdot (2-x)\cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=x\cdot (2-x)\cdot \mathrm e^{-x} $
$f'$ besitzt die beiden Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2=2.$ Es gilt:
  • Für $x < 0$ gilt $f'(x) = \underbrace{x}_{< 0}\cdot \underbrace{(2-x)}_{> 0}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-x}}_{> 0} < 0 $
  • Für $0 < x < 2$ gilt $f'(x)= \underbrace{x}_{> 0}\cdot \underbrace{(2-x)}_{> 0}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-x}}_{> 0} > 0 $
  • Für $x> 2$ gilt $f'(x) = \underbrace{x}_{> 0}\cdot \underbrace{(2-x)}_{< 0}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-x}}_{> 0} < 0 $
Für die Monotonie des Graphen von $f$ bedeutet das:
  • Auf den Intervallen $]-\infty; 0[$ und $]2;+\infty[$ ist der Graph von $f$ streng monoton fallend.
  • Auf dem Intervall $]0;2[$ ist der Graph von $f$ streng monoton steigend.
Extrempunkte
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 0 \\[5pt] f(2) &=& 2^2\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& 4\mathrm e^{-2} \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also genau zwei relative Extrempunkte, einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0)$ und einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(2\mid 4\mathrm e^{-2}).$
2.3
Abb. 1: Graph von $f$
3.1
$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{k_{\text{III}}(t_2) - k_\text{III}(t_1)}{t_2 -t_1} &\quad \scriptsize \mid\;t_1= 0; t_2 = 2 \\[5pt] =& \dfrac{k_{\text{III}}(2) - k_\text{III}(0)}{2 -0} \\[5pt] =& \dfrac{ 50\cdot 2\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2}+10 - \left(50\cdot 0\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0}+10\right)}{2 -0} \\[5pt] =& 50\cdot \mathrm e^{-1} \approx 18,4\\[5pt] \end{array}$
$ …\approx 18,4 $
Bei Verwendung des Gifts, das zum Wert $a_3 = 0,5$ gehört, nimmt die Anzahl der Bakterin in den ersten zwei Stunden um durchschnittlich ca. $18\,400$ pro Stunde zu.
3.2
Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k_{\text{III}}(t) &=& 50\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}+10 \\[5pt] k_\text{III}'(t) &=& 50\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + 50\cdot t\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] &=& (50-25t)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] k_\text{III}'(4)&=& (50-25\cdot 4)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 4} \\[5pt] &=& -50\mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$ k_\text{III}'(4) =-50\mathrm e^{-2} $
$4$ Stunden nach Beginn der Beobachtung beträgt die momentane Abnahmerate der Bakterien also ca. $-50\mathrm e^{-2}$ Tausend Bakterien pro Stunde. Umgerechnet entspricht das $-50\mathrm e^{-2} \cdot 1000 : 60 \approx -113.$
Die momentane Abnahmerate beträgt vier Stunden nach Beginn der Beobachtung also tatsächlich ca. $113$ Bakterien pro Minute.
3.3
Der Abbildung lässt sich beispielsweise $k_\text{II}(4)\approx 50$ entnehmen.
$\begin{array}[t]{rll} k_\text{II}(4) &=& 50 \\[5pt] 50\cdot 4\cdot \mathrm e^{-a_2\cdot 4}+10 &=& 50 &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] 200\cdot \mathrm e^{-a_2\cdot 4}&=& 40 &\quad \scriptsize \mid\; :200 \\[5pt] \mathrm e^{-a_2\cdot 4} &=& 0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] -a_2\cdot 4 &=& \ln (0,2)&\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a_2 &=& -0,25\ln (0,2) \approx 0,4\\[5pt] \end{array}$
$ a_2\approx 04 $
Je größer der Wert von $a,$ desto wirksamer ist das Gift.
#exponentialfunktion#produktregel#kettenregel
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