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A II

Aufgaben
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1.0
Gegeben ist die reelle Funktion $f:\, x\mapsto \dfrac{1}{2}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ in ihrer maximalen Definitionsmenge $\text{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{ -1\}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.
1.1
Untersuche $f$ auf Nullstellen und bestimme die Gleichungen aller Asymptoten von $G_f$.
(6 BE)
#nullstelle#asymptote
1.2
Bestimme die maximalen Monotonieintervalle von $G_f$ und ermittle damit die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_f$.
[ Mögliche Teilergebnis: $f'(x)=\dfrac{2x^2+4x}{(2x+2)^2}$ ]
(7 BE)
#monotonie
1.3
$F$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $\text{D}_F=]-1~;~\infty[$. Ihr Graph sei $G_F$ und verläuft durch den Ursprung.
Bestimme eine mögliche Stammfunktion von $F$ durch Integration.
[ Mögliches Ergebnis: $F(x)=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\ln(x+1)$ ]
(4 BE)
#stammfunktion
1.4
Zeichne mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen $G_f$ sowie seine Asymptoten in Farbe für $-4 \leq x \leq 4$ in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Zeichne dann den Graphen $G_F$ von $F$ für $-1\leq x \leq 4$ in das Koordinatensystem ein. Maßstab: $1~\text{LE}\mathrel{\widehat{=}}1~\text{cm}$.
(8 BE)
#graph
1.5
Die Graphen $G_f$ und $G_F$ schneiden sich genau einmal im $1.$ Quadranten.
Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Abszisse dieses Schnittpunktes auf zwei Nachkommastellen gerundet. Beginne mit dem Startwert $x_0=1,5$ und führe einen Näherungsschritt durch.
[ Ergebnis: $x_1\approx 1,37$ ]
(5 BE)
#newtonverfahren
1.6
Zeige, dass die Funktion $H$
$H:\, x\mapsto \dfrac{1}{12}x^3-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}(x+1)\cdot \ln(x+1)$
mit $\text{D}_H=\text{D}_F$ eine Stammfunktion von $F$ ist.
(3 BE)
#stammfunktion
1.7
Die Graphen $G_f$ und $G_F$ schließen im $1.$ Quadranten zusammen mit der $y$-Achse ein endliches Flächenstück ein. Markiere dieses Flächenstück in deiner Zeichnung. Berechne anschließend die Maßzahl des zugehörigen Flächeninhaltes auf zwei Nachkommastellen gerundet.
(6 BE)
#integral
2.0
Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k$ durch $f_k:\, x\mapsto \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x^2+k\cdot x+k}{x+k}$ mit $k\in \mathbb{R}$ in ihrem maximalen Definitionsbereich $\text{d}_k \subset \mathbb{R}$. Die Graphen werden mit $G_{f_k}$ bezeichnet.
#funktionenschar
2.1
Gebe den maximalen Definitionsbereich $\text{D}_{f_k}$ an und bestimme die Art der Definitionslücke in Abhängigkeit von $k$.
(5 BE)
#definitionsbereich
2.2.0
Im Folgenden sei $k\neq 0$.
2.2.1
Bestimme ohne Zuhilfenahme einer Ableitungsfunktion alle Werte für $k$, für die ein Extrempunkt des Graphen $G_{f_k}$ auf der $x$-Achse liegt.
(4 BE)
2.2.2
Bestimme unter Zuhilfenahme einer Ableitungsfunktion $k$ so, dass der Graph $G_{f_k}$ bei $x=0$ eine waagrechte Tangente besitzt.
(6 BE)
#extrempunkt#tangente
3.0
Ein Tierarzt wurde in ein Waldstück gerufen, um zu helfen, die Wilderei an einem Wildtier aufzuklären, das dort geschossen und aufgefunden wurde. Zur Klärung des Delikts soll der Tatzeitpunkt ermittelt werden. Hierfür spielt folgender funktionaler Zusammenhang eine wichtige Rolle:
$L:\, t\mapsto T+(L_0-T)\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ ; $t\in \mathbb{R}$ und $\lambda \in \mathbb{R}$.
Dabei ist $\lambda$ der abkühlungskoeffizient, $T$ die Umgebungstemperatur in $^{\circ}\text{C}$, $L$ die Körpertemperatur des erlegten Wildtieres in $^{\circ}\text{C}$ zum Zeitpunkt $t$ und $L_0$ die gemessene Körpertemperatur des erlegten Wildtieres zum Zeitpunkt $t_0$, an dem der Tierarzt die Temperatur erstmals gemessen hat. Die Variable $t$ beschreibt die vergangene bzw. vorausgegangene Zeit in Stunden bezüglich des Zeitpunktes $t_0$.
Die Umgebungstemperatur von $4,0 ~^{\circ}\text{C}$ wird dabei als konstant angenommen.
Auf das Mitführen der Einheit kann bei den Berechnungen verzichtet werden. Ergebnisse sind gegebenenfalls auf drei Nachkommastellen zu runden.
#exponentialfunktion
3.1
Die Körpertemperatur des erlegten Wildtieres betrug $L_0=18,6~^{\circ}\text{C}$ zum Zeitpunkt $t_0$. Zum Zeitpunkt $t_1=1,0~\text{h}$ war die Körpertemperatur auf $L_1=15,9~^{\circ}\text{C}$ gefallen.
Berechne den Wert für $\lambda$ und gebe die Einheit von $\lambda$ an.
(5 BE)
3.2.0
Im Folgenden sei $\lambda=0,204$.
3.2.1
Es gibt zwei verdächtige Personen, die jedoch vorgeben, nichts mit der Wilderei zu tun zu haben. Der erste Verdächtige hat für die letzten $3$ Stunden und der zweite Verdächtige für die letzten $5$ Stunden von $t_0$ kein Alibi. Zu früheren Zeitpunkten haben beide Verdächtige ein stichhaltiges Alibi.
Bestimme den Zeitpunkt des Sbschusses in Bezug auf den Zeitpunkt $t_0$, wenn bei lebenden Wildtieren dieser Art zu dieser Jahreszeit von einer normalen Körpertemperatur von $37,0 ~^{\circ}\text{C}$ ausgegangen wird. Entscheide daraufhin, ob die beiden Verdächtigen unter dieser annahme immer noch als Täter infrage kommen würden.
(5 BE)
3.2.2
Ermittle den Zeitraum, in dem die Abkühlrate des erlegten Wildtieres ehr als ein Grad Celsius pro Stunde beträgt bzw. betragen würde.
Hinweit: Abkühlrate $< -1,0~^{\circ}\text{C}/\text{h}$.
(6 BE)
#exponentialfunktion
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  f auf Nullstellen untersuchen
Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, musst du nur den Zähler betrachten:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+x+1&=&0 \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-1} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} \quad \text{↯} \\[5pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-1} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} \quad \text{↯} \\[5pt] \end{array}$ $
Die Funktin $f$ besitzt keine Nullstellen.
$\blacktriangleright$  f auf Asymptoten untersuchen
Senkrechte Asymptoten
An der Definitionsmenge kannst du die möglichen senkrechten Asymptoten ablesen. Da der Nenner bei $x=-1$ eine Nullstelle hat und der Zähler gar keine Nullstellen besitzt, muss bei $x=1$ eine senkrechte Asymptote sein.
Waagerechte/Schiefe Asymptoten
Betrachte zunächst den Zählergrad $\text{ZG}=2$ und Nennergrad $\text{NG}=1$. Da $\text{ZG}=\text{NG}+1$ gilt, gibt es eine schiefe Asympote. Die Gleichung der Asymptote kannst du mithilfe der Polynomdivision berechnen:
$\frac{1}{2}x^2$$+$$\frac{1}{2}x$$+$$\frac{1}{2}$$:$$(x+1)$$=$$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2(x+1)}$
$-$ $(\frac{1}{2}x^2$$+$$\frac{1}{2}x)$
$0$$+$$\frac{1}{2}$
$-$$ $ $\frac{1}{2}$
$0$
$ f(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2(x+1))} $
Da für $x \rightarrow \pm \infty$ der hintere Teil gegen $0$ geht, gilt für die schiefe Asymptote:
$y=\dfrac{1}{2}x$
1.2
$\blacktriangleright$  Monotonieintervalle bestimmen
1. Ableiten
Berechne zunächst die Ableitung $f'(x)$ mithilfe der Produkt oder der Quotientenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+1)\cdot (x+1)-(x^2+x+1)\cdot 1}{(x+1)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x^2+2x+x+1-x^2-x-1}{(x+1)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{x^2+2x}{2(x+1)^2} \end{array}$
$ f'(x)=\dfrac{x^2+2x}{2(x+1)^2} $
2. Nullstellen der Ableitung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x&=&0 \\[5pt] x(x+2)&=&0 \\[5pt] x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&0 \end{array}$
3. Monotonieintervalle angeben
Durch die beiden Nullstellen der Ableitung kannst du $3$ Monotonieintervalle angeben:
$]-\infty ; -2]~,~ [-2;-0]~,~[0,\infty[$
Setze jeweils einen Testwert aus dem Intervall in die Ableitungsfunktin $f'(x)$ ein, um über die Steigung zu entscheiden:
$\begin{array}[t]{rll} f'(-3)&=&\dfrac{3}{8} &>&0 \\[5pt] f'(-0,5)&=&\dfrac{-0,75}{0,5} &<&0 \\[5pt] f'(1)&=&\dfrac{3}{8} &>&0 \\[5pt] \end{array}$
Ist die Steigung in einem Intervall $>0$, dann ist die Funktion in diesem Intervall monoton steigend. Für $<0$ ist die Funktion monoton fallend.
4. Extrempunkte angeben
Anhand dieser Überlegung kannst du die Art der Extrempunkte bestimmen. Zwischen einem steigenden und einem fallenden Intervall muss immer ein Hochpunkt liegen und umgekehrt. Setze die $x$-Werte in die Funktion $f$ ein, um die Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=&-\dfrac{3}{2} \\[5pt] f(0)&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$
Für die Extrempunkte gilt somit:
Hohpunkte $H(-2|-1,5)$ und Tiefpunkt $T(0|0,5)$
#ableitung#quotientenregel
1.3
$\blacktriangleright$  Stammfunktion bestimmen
Benutze dein Ergebnis der Polynomdivision aus Aufgabenteil $1.1$, dass $f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}$. Intergrierst du diese Funktionsgleichung erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&\displaystyle\int \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}~\mathrm dx \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2\cdot 2}x^2+\dfrac{1}{2}\ln(x+1)+c\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\ln(x+1)+c\\[5pt] \end{array}$
$ F(x)=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\ln(x+1)+c $
Setze die Integrationskonstante $c=0$, um das angegebene Ergebnis zu erhalten.
#internet
1.4
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Zeichne zunächst die beiden Extrempunkte und die Asymptoden ein. Aus dem Monotonieverhalten kannst du den Verlauf des Graphen skizzieren. Du kannst als Hilfe zusätzliche $x$-Werte in die Funkktion einsetzen und diese als Punkte einzeichnen.
Graph
Abb. 1: Graph $G_f$
Graph
Abb. 1: Graph $G_f$
Du kannst anhand des Verlaufs den Graphen $G_F$ der Stammfunktion einzeichnen. Alternativ kannst du dir auch hier beliebige Punkte berechnen und diese einzeichnen.
Graph
Abb. 2: Graphen $G_f$ und $G_F$
Graph
Abb. 2: Graphen $G_f$ und $G_F$
1.5
$\blacktriangleright$  Abszisse des Schinttpunktes bestimmen
Setze die beiden Funktionen $f$ und $F$ gleich und forme die Gleichung so um, dass eine der Seiten $0$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2(x+1)}&=&\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\ln(x+1) &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}\ln(x+1) \\[5pt] \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2(x+1)}-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}\ln(x+1)&=&0 \end{array}$
$ f(x)-F(x)=0 $
Bestimme also mithilfe des Newton-Verfahrens die Nullstelle der Funktion $z(x)$:
$z(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2(x+1)}-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}\ln(x+1)$
Bilde deshalb zunächst die Ableitung:
$z'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2(x+1)^2}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x+1}$
Mit dem Newton-Verfahren erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&x_0-\dfrac{z(x_0)}{z'(x_0)} \\[5pt] &=&1,5-\dfrac{z(1,5)}{z'(1,5)} \\[5pt] &=&1,5-\dfrac{-0,071}{-0,53} \\[5pt] &\approx&1,37 \end{array}$
#schnittpunkt
1.6
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
Leite $H$ ab, um zu zeigen dass $H'(x)=F(X)$ gilt. Benutze dazu die Produkt- und die Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} H'(x)&=&\dfrac{3}{12}x^2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\ln(x+1)+\dfrac{1}{2}(x+1)\cdot \dfrac{1}{x+1} &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\ln(x+1) \\[5pt] &=& F(X) \end{array}$
$ H'(x)=F(x)$
#ableitung
1.7
$\blacktriangleright$  Fläche berechnen
Graph
Abb. 3: Markierte Fläche zwischen $G_f$ und $G_F$
Graph
Abb. 3: Markierte Fläche zwischen $G_f$ und $G_F$
2.1
$\blacktriangleright$  Maximalen Definitionsbereich angeben
Um den Definitionsbereich zu bestimmen, musst du die Nullstellen des Nenners in Abhängigkeit von $k$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} x+k&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -k \\[5pt] x&=&-k \end{array}$
Für den maximalen Defintionsbereich gilt also $\text{D}_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{-k \}$.
$\blacktriangleright$  Art der Definitionslücke bestimmen
Überprüfe, ob for $x=-k$ auch der Zähler eine Nullstelle besitzt:
$(-k)^2+k\cdot (-k)+k =k ~\left\{ \begin{array}{c} =k ~\text{für}~ k\neq 0\\ =0 ~\text{für}~k=0 \end{array} \right.$
$ …=k ~\left\{ \begin{array}{c} =k ~\text{für}~ k\neq 0\\ =0 ~\text{für}~k=0 \end{array} \right.$
Somit ist die Definitionslücke eine Polstelle für $k\neq 0$ und eine hebbare Definitionslücke für $k=0$.
2.2
2.2.1
$\blacktriangleright$  Werte für $k$ bestimmen, sodass ein Extrempunkt auf der x-Achse liegt
Stelle zunächst eine Gleichung für die Nullstellen auf:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+kx+k&=&0 \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{k}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{k}{2}\right)^2-k} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}= -\dfrac{k}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{k}{2}\right)^2-k}$
Du suchst nach möglichen Werten für $k$, sodass es genau eine Nullstelle gibt. Die Gleichung muss also genau $1$ Lösung haben. Dies ist nur der Fall wenn die Wurzel $0$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{k}{2}\right)^2-k&=&0 \\[5pt] \dfrac{k^2}{4}-k&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \\[5pt] k^2-4k&=&0 \\[5pt] k(k-4)&=&0 \\[5pt] k_1&=&0 \\[5pt] k_2&=&4 \end{array}$
Im Aufgabentext wurde $k=0$ ausgeschlossen, also gilt nur $k=4$.
2.2.2
$\blacktriangleright$  Wert für $k$ bestimmen, sodass die Tangente bei x=0 waagrecht ist
Leite zunächst die Funktion ab:
$\begin{array}[t]{rll} f'_k(x)&=&\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+k)\cdot (x+k)-(x^2+kx+k)\cdot 1}{(x+k)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x^2+2kx+kx+k^2-x^2-kx-k}{(x+k)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{x^2+2kx+k^2-k}{2(x+k)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{(x+k)^2-k}{2(x+k)^2} \end{array}$
$ f'_k(x)=\dfrac{(x+k)^2-k}{2(x+k)^2} $
Setze $f'_k(0)=0$ und löse nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\dfrac{(0+k)^2-0}{2(0+k)^2} \\[5pt] 0&=&\dfrac{k^2-k}{2k^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2k^2 \\[5pt] 0&=&k(k-1) \\[5pt] k_1&=&0 \\[5pt] k_2&=&1 \end{array}$
Im Aufgabentext wurde $k=0$ ausgeschlossen, also gilt nur $k=1$.
#ableitung
3.1
$\blacktriangleright$  Wert für $\lambda$ berechnen
Setze $T=4$, $L_0=18,6$, $t_1=1$ und $L_1=15,9$ in die Funktion ein und löse nach $\lambda$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 15,9&=&4+(18,6-4)\cdot e^{-\lambda\cdot 1} &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 11,9&=& 14,6\cdot e^{-\lambda} &\quad \scriptsize \mid\; :14,6 \\[5pt] \dfrac{11,9}{14,6}&=&e^{-\lambda} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{11,9}{14,6}\right)&=&-\lambda &\quad \scriptsize \mid\; \cdot -1 \\[5pt] -\ln\left(\dfrac{11,9}{14,6}\right)&=&\lambda \\[5pt] 0,204 &\approx& \lambda \end{array}$
$ \lambda\approx 0,204 $
3.2
3.2.1
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt des Abschusses berechnen
Setze $L=37$ zusammen mit $L_0$, $T$ und $\lambda$ in die Gleichung ein und löse nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 37&=&4+(18,6-4)\cdot e^{-0,204 t} &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 33&=&14,6\cdot e^{-0,204 t} &\quad \scriptsize \mid\; -:14,6 \\[5pt] \dfrac{33}{14,6}&=&e^{-0,204 t} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{33}{14,6}\right)&=&-0,204 t &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,204) \\[5pt] -\dfrac{1}{0,204}\ln\left(\dfrac{33}{14,6}\right)&=& t \\[5pt] -4 &\approx& t \end{array}$
$ t \approx -4$
Das Wildtier wurde also vor $4$ Stunden geschossen. Der In dieser Zeit hatte der zweite Verdächtige noch ein Alibi. Es kommt demnach nur noch der erste Verdächtige in Frage.
3.2.2
$\blacktriangleright$  Zeitraum ermitteln mit Abkühlrate < -1
Die Abkühlrate ist die Ableitung der Körpertemperaturfunktion $L$. Für die Ableitung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} L'(t)&=& -\lambda \cdot (L_0-T)\cdot e^{-\lambda \cdot t} \\[5pt] &=& -0,204 \cdot (18,6-4) \cdot e^{-0,204\cdot t} \\[5pt] &=& -2,98 \cdot e^{-0,204\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ L'(t)=-2,98 \cdot e^{-0,204\cdot t}$
Setze die Ableitung gleich $-1$, um den Zeitpunkt zu berechnen wenn die Änderungsrate $=-1$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-2,98 \cdot e^{-0,204\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; :(-2,98) \\[5pt] \dfrac{1}{2,98}&=&e^{-0,204\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2,98}\right)&=&-0,204\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,204) \\[5pt] -\dfrac{1}{0,204}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2,98}\right)&=& t &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,204) \\[5pt] 5,35 &\approx& t \end{array}$
$ t \approx 5,35 $
Die Abkühlrate ist nach $5,35$ Stunden nach Auffinden des Wildtieres zum ersten mal kleiner als $1~^{\circ}\text{C}$ pro Stunde. In den ersten $9,35$ Stunden ist die Abkühlrate also größer als $1~^{\circ}\text{C}$ pro Stunde.
Bildnachweise [nach oben]
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