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Analysis

Aufgaben
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1.0
Die Funktion $f_{a}^{/}:x\mapsto(x-a)^{2}\cdot(x+3)$ mit der Definitionsmenge $D_{f_{a}^{/}}=\mathbb{R}$ ist die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_{a}$ mit $D_{f_{a}}=\mathbb{R}$ und a $\in \mathbb{R}.$ Bestimme sämtliche Werte für $a$, sodass der Graph der zugehörigen Funktion $f_{a}$ mehr als einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt.
Begründe, von welcher Art diese Punkte dann jeweils sind.
2.0
Die ganzrationale Funktion 4. Grades $p$ und die lineare Funktion $h$ sind auf $D_{p}=D_{h}=\mathbb{R}$ definiert. In der nachfolgenden Abbildung sind Ausschnitte der Graphen von p und h dargestellt.
Hinweis: Ganzzahlige Werte können der Abbildung entnommen werden.
2.1
Gib $p (h(3))$ an.
2.2
Begründe ohne Rechnung, wie viele reelle Lösungen die Gleichung $h(p(x))=0$ besitzt.
3.0
Ein Becher, der zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ mit 60°C heißer Trinkschokolade gefüllt ist, steht in einem Raum, in dem eine konstante Umgebungstemperatur von 20°C herrscht. Alle 27 Minuten halbiert sich die Temperaturdifferenz zwischen der Trinkschokolade und der Umgebungstemperatur. Die Funktion $T$ beschreibt die Temperatur der Trinkschokolade in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Minuten. Gib für die Funktion $T$ einen möglichen Funktionsterm $T(t)$ an. Auf das Mitführen der Einheiten kann verzichtet werden.
4.1
Nenne jeweils eine mögliche Bedeutung der folgenden Aussagen für den Verlauf des Graphen einer beliebigen ganzrationalen Funktion $k:x\mapsto k(x)$ mit $D_{k}=\mathbb{R}.$
(a) $k^{/}(-1)<0$
(b) $k^{//}(-1)>0$
(c) $\int_{-1}^{1}k(x)dx<0$
4.2
Die nachfolgend dargestellten Schaubilder (A) bis (D) zeigen Ausschnitte der Graphen vonganzrationalen Funktionen vom Grad $n\geq 3.$
Gib für alle Aussagen (a), (b) und (c) aus 4.1 an, welche der dargestellten Graphen(A) bis (D) die jeweilige Aussage erfüllen.
5.0
Gegeben sind folgende Funktionen mit ihrer jeweiligen Definitionsmenge:
$D_{s}=\mathbb{R}$
$D_{t}=\mathbb{R}$
$D_{u}=\mathbb{R}$
5.1
Nenne diejenigen Funktionen, für welche folgende Aussage zutrifft.
„Für $x\rightarrow+\infty$ und für $x\rightarrow-\infty$ streben die Funktionswerte jeweils gegen Null.“
Begründe für alle anderen Funktionen, warum diese für sie nicht zutrifft.
5.2
Ermittle die Koordinaten des gemeinsamen Punktes $P$ der Graphen von $s$ und $u$.
#tangente#integral
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Lösungen
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1.
Wert für a
Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $a\neq -3$ besitzt der Graph von $f_a$ mehr als einen Punkt mit waagerechter Tangente.
Art der Punkte begründen
Der Graph von $f_a$ besitzt für $a\neq-3$ an den Stellen $x_1 = a$ und $x_2 = -3$ eine waagerechte Tangente.
  • Unabhängig von $a$ gilt für $x< -3$ und $x\neq a:\quad$ $f_a'(x) < 0$
    für $x> -3$ und $x\neq a:\quad$ $f_a'(x) > 0$
    An der Stelle $x=-3$ besitzt jeder Graph von $f_a$ also einen Tiefpunkt.
  • An der Stelle $x=a$ findet aufgrund des Quadrats kein Vorzeichenwechsel von $f_a'$ statt. Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle.
    Der Graph von $f_a$ besitzt an dieser Stelle einen Sattelpunkt, also einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
2.1
$p(h(3)) = p(-2) = 1$
2.2
Die Funktion $h$ besitzt eine Nullstelle an der Stelle $x=2.$ Die Lösungen der Gleichung sind also die Stellen, an denen $p(x)=2$ gilt. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass $p$ den Wert $2$ an zwei Stellen annimmt. Die Gleichung $h(p(x)) = 0$ besitzt also zwei reelle Lösungen.
3.
$T(t)= 20 +40 \cdot \sqrt[27]{0,5}^t$
4.1
a)
An der Stelle $x=-1$ ist der Graph von $k$ fallend.
b)
Der Graph von $k$ ist an der Stelle $x=-1$ linksgekrümmt.
c)
Die Fläche, die der Graph von $k$ für $-1\leq x \leq 1$ mit der $x$-Achse begrenzt, liegt zum größten Teil unterhalb der $x$-Achse.
4.2
(a)(b)(c)
Atrifft zutrifft nicht zutrifft zu
Btrifft nicht zutrifft nicht zutrifft nicht zu
Ctrifft zutrifft zutrifft zu
Dtrifft zutrifft nicht zutrifft nicht zu
5.1
Die Aussage trifft für die Funktion $s$ zu.
Für die Funktion $t$ gilt dagegen:
Für $x\to \infty$ gilt $t(x)=\underbrace{\mathrm e^{2x}}_{\to \infty} - \underbrace{\mathrm e^x}_{\to \infty} \to \infty$
Für $u$ gilt:
Für $x\to \infty$ gilt $u(x)=\underbrace{\mathrm e^{(2x)^2}}_{\to \infty} \to \infty$
Für die Funktionen $t$ und $u$ trifft die Aussage also nicht zu, da die Funktionswerte dieser Funktionen für $x\to +\infty$ nicht gegen Null sondern gegen $\infty$ streben.
5.2
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{-x^2}&=& \mathrm e^{(2x)^2} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] -x^2 &=& (2x)^2 \\[5pt] -x^2 &=& 4x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-4x^2 \\[5pt] -5x^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] x^2 &=& 0 \\[5pt] x &=& 0 \end{array}$
$ x=0 $
$\mathrm e^{-0^2} = 1$
Die Koordinaten des gemeinsamen Punkts $P$ der Graphen von $s$ und $u$ lauten $P(0\mid 1).$
#tangente#extrempunkt#krümmung
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