Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Smarter Learning
  • Prüfungsvorbereitung
    • Original-Prüfungsaufgaben 2004-2020
    • Abitur und Abschlussprüfungen aller Schularten und Bundesländer
  • Digitales Schulbuch
    • Spickzettel, Aufgaben und Lösungen
    • Lernvideos
  • Lektürehilfen
    • Über 30 Lektüren und Pflichtlektüren
  • Mein SchulLV
    • Eigene Inhaltsverzeichnisse
    • Eigene Favoritenlisten
über 8 Fächer
Jetzt freischalten
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Fachoberschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Fachabitur NT (WTR)
Fachabitur T (WTR)
Fachabitur T ...
Prüfung
wechseln
Fachabitur NT (WTR)
Fachabitur T (WTR)

Analysis I

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.0
Der Graph $G_{f}$ einer auf $D_{f}=\mathbb{R}$ definierten Funktion $f:x\mapsto ax^{4}+bx^{3}+c$ mit a, $b, c\in \mathbb{R}$ und $a\neq 0$ besitzt die beiden Wendepunkte $W_1 (0|1)$ und $W_{2}(2|-3)$.
1.1
Ermittle den Funktionsterm von $f$ .
[Teilergebnis: $\displaystyle a=\frac{1}{4};b=-1;c=1$]
1.2
Bestimme die Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_{f}.$
1.3
Zeichne unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1,5\leq x\leq 4,25$ in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
Maßstab: x- Achse: 1 LE = 2cm; y-Achse: 1 LE = 1cm
1.4
Gegeben ist weiterhin die Funktion g mit der Funktionsgleichung $g(x)=2 x-7$ auf $D_{g}=\mathbb{R}$. Der Graph $G_{g}$ dieser Funktion schließt mit dem Graphen $G_{f}$ ein endliches Flächenstück ein. Zeichne den Graphen von g in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.3 ein, kennzeichne dieses Flächenstück und berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die ganzzahligen Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$ können aus der Zeichnung von 1.3 entnommen werden.
2.0
Gegeben ist die reelle Funktion $h_k:x\mapsto 2 x^{3}+4 kx^{2}+8 x$ mit $k \in \mathbb{R}$ und $D_{h_{k}}=\mathbb{R}.$
2.1
Beurteile, ob die folgende Aussage richtig ist. „Der Graph der Funktion $h_{k}$ ist weder achsensymmetrisch zur $y$- Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.“
2.2
Ermittle, für welche Werte für k die Funktion $h_{k}$ genau eine Nullstelle besitzt.
3.0
Die Anzahl bestimmter für den Menschen schädlicher Bakterien in einem Badesee ist nach einer langen Hitzeperiode zu hoch. Zur Bekämpfung der Bakterien wird deshalb mehrmals eine Substanz in den Badesee eingeleitet, welche die Bakterien abtöten soll. Aus den bisherigen seltenen Anwendungen der Substanz in den Vorjahren konnte ermittelt werden, dass sich die Bakterienanzahl im Wasser des Sees in Abhängigkeit von der Zeit $t$ nach der letztmaligen Einleitung in recht guter Näherung mittels der Funktionsgleichung $\displaystyle B(t)=3+\left(-\frac{1}{20}t^{2}+\frac{1}{5}\right)\cdot e^{-\frac{1}{4}t+a}$ mit $a\in \mathbb{R}$ und $t\in \mathbb{R}_{0}^{+}$ vorhersagen lässt. Dabei beschreibt $B(t)$ die Anzahl der Bakterien in Tausend pro $cm^{3}$ in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen ab der letztmaligen Einleitung der Substanz in den See zum Zeitpunkt $t_{0}=0.$
3.1
Berechne den Wert des Parameters $a$, wenn zum Zeitpunkt der letztmaligen Einleitung der Substanz in den See ca. 3600 der schädlichen Bakterien pro $cm^{3}$ Wassergemessen wurden.
[Ergebnis: $a=\,\text{ln}(3)$]
3.2
Bestimme auf Grundlage des Modells das größtmögliche Zeitintervall seit der letzten Einleitung der Substanz in den See, in dem die Bakterienanzahl rückläufig ist. Runde die Intervallgrenzen sinnvoll.
$[\,\text{Mögliches Teilergebnis}:\displaystyle \dot{B}(t)=\left(\frac{1}{80}t^{2}-\frac{1}{10}t-\frac{1}{20}\right)\cdot e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)}]$
3.3
Berechne den Zeitpunkt, an dem die Abnahmegeschwindigkeit der Bakterienanzahl betragsmäßig am größten ist.
3.4
Bestimme die Anzahl der Bakterien pro $cm^{3}$ Wasser im See, die sich nach dem Modell langfristig nach der letztmaligen Einleitung der Substanz einstellt.
3.5
Das folgende Schaubild zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion $B$ . Bestimme näherungsweise mithilfe dieses Schaubildes, wie viele Bakterien pro $cm^{3}$ Wasser durchschnittlich im Zeitraum zwischen dem Zeitpunkt $t_{1}=11$ und dem Zeitpunkt $t_{2}=23$ nach der letztmaligen Einleitung der Substanz in den See täglich dazukommen.
#exponentialfunktion#funktionenschar#extrempunkt#wendepunkt#nullstelle
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1
$\begin{array}[t]{rll} f(x) =& ax^4 +bx^3 +c \\[5pt] f'(x) =& 4ax^3 +3bx^2 \\[5pt] f''(x) =& 12ax^2 + 6bx \\[5pt] \end{array}$
Aus den Koordinaten von $W_1$ folgt direkt:
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 1 \\[5pt] a\cdot 0^4 +b\cdot 0^3 +c &=& 1 \\[5pt] c &=& 1 \end{array}$
Aus den Koordinaten von $W_2$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(2) &=& -3 \\[5pt] a\cdot 2^4 +b\cdot 2^3 +c &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; c=1 \\[5pt] 16a +8b +1 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; -1; -16a \\[5pt] 8b &=& -16a-4 &\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] b &=& -2a -\frac{1}{2} \end{array}$
$ b=-2a -\frac{1}{2} $
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(2)&=& 0 \\[5pt] 12a\cdot 2^2 + 6b\cdot 2 &=& 0 \\[5pt] 48a + 12b &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; b=-2a -\frac{1}{2} \\[5pt] 48a + 12\cdot \left( -2a -\frac{1}{2}\right) &=& 0 \\[5pt] 24a -6 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 24a &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :24 \\[5pt] a &=& \frac{1}{4} \end{array}$
$ a=\frac{1}{4} $
Für $b$ folgt also:
$b= -2\cdot \frac{1}{4} -\frac{1}{2} = -1$
$f(x)= \frac{1}{4}x^4 -x^3 +1 $
1.2
1. Schritt: Ableitungen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& x^3 -3x^2 \\[5pt] f''(x) &=& 3x^2 -6x \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x^3 -3x^2 &=& 0 \\[5pt] x^2\cdot (x-3) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_{1/2} =0 \\[5pt] x-3 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_3 &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& 0 \\[5pt] x_3 &=& 3 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} f''(3) &=& 3\cdot 3^2 -6\cdot 3 \\[5pt] &=& 9 > 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ einen Wendepunkt. Es handelt sich dabei also um einen Sattelpunkt. An der Stelle $x=3$ befindet sich ein Tiefpunkt.
4. Schritt: y-Koordinate
$\begin{array}[t]{rll} f(3) &=& \frac{1}{4}\cdot 3^4 -3^3 +1 \\[5pt] &=& -5,75 \end{array}$
Bei dem relativen Extrempunkt vom $G_f$ handelt es sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(3\mid -5,75).$
1.3
1.4
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{2}^{4}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2}^{4}\left(2x-7-\frac{1}{4}x^4+x^3-1\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2}^{4}\left(2x-8-\frac{1}{4}x^4+x^3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ x^2-8x-\frac{1}{20}x^5+\frac{1}{4}x^4\right]_2^4 \\[5pt] &=& 4^2-8\cdot 4-\frac{1}{20}\cdot 4^5+\frac{1}{4}\cdot 4^4 -\left(2^2-8\cdot 2-\frac{1}{20}\cdot2^5+\frac{1}{4}\cdot 2^4 \right) \\[5pt] &=& 6,4 \\[5pt] \end{array}$
$ A=6,4 $
Die Maßzahl des Flächenstücks beträgt $6,4\,\text{FE}.$
2.1
Bei $h_k$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion. Für $k\neq 0$ besitzt der Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponenten. In diesem Fall, ist die Aussage also richtig. Für $k=0$ besitzt der Funktionsterm allerdings nur ungerade Exponenten, sodass der zugehörige Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
Im Allgemeinen ist die Aussage also nicht richtig.
2.2
$\begin{array}[t]{rll} h_k(x) &=& 0 \\[5pt] 2x^3 +4kx^2 +8x &=& 0 \\[5pt] x\cdot (2x^2 +4kx +8)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] 2x^2 +4kx +8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2 +2kx + 4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{2/3} &=& -\frac{2k}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{2k}{2}\right)^2 - 4 } \\[5pt] &=& -k\pm \sqrt{k^2 - 4 } \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_k(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 0 \\[5pt] x_{2/3} &=& -k\pm \sqrt{k^2 - 4 } \\[5pt] \end{array}$
Es existiert genau dann nur eine Nullstelle, wenn $x_{2/3}$ nicht existieren. Dies ist der Fall, wenn $k^2 < 4,$ also $-2 < k < 2.$
Für $-2< k < 2$ besitzt $h_k$ genau eine Nullstelle.
3.1
$\begin{array}[t]{rll} B(0) &=& 3,6 \\[5pt] 3+ \left(-\frac{1}{20}\cdot 0^2 + \frac{1}{5} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}\cdot 0 +a}&=& 3,6 \\[5pt] 3+ \frac{1}{5} \cdot \mathrm e^{a}&=& 3,6 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] \frac{1}{5} \cdot \mathrm e^{a}&=& 0,6 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 5 \\[5pt] \mathrm e^{a} &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] a &=& \ln 3 \end{array}$
$ a = \ln 3 $
3.2
Mit der Produktregel für die erste Ableitung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} B(t) &=& 3+ \left(-\frac{1}{20}t^2 +\frac{1}{5} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] \dot B(t)&=& \left(-\frac{1}{10}t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)}+ \left(-\frac{1}{20}t^2 +\frac{1}{5} \right)\cdot \left( -\frac{1}{4}\right)\mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] &=& \left(-\frac{1}{10}t +\frac{1}{80}t^2 -\frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] &=& \left( \frac{1}{80}t^2 -\frac{1}{10}t -\frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] \end{array}$
$ \dot B(t) = … $
Bestimme zunächst die Nullstellen von $\dot B.$
$\begin{array}[t]{rll} \dot B(t) &=& 0 \\[5pt] \left( \frac{1}{80}t^2 -\frac{1}{10}t -\frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} > 0\\[5pt] \frac{1}{80}t^2 -\frac{1}{10}t -\frac{1}{20}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 80 > 0 \\[5pt] t^2 -8t -4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{1/2} &=& -\frac{-8}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-8}{2}\right)^2 +4} \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{20} \\[5pt] t_1 &\approx& -0,47 \\[5pt] t_2 &\approx& 8,47 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dot B(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &\approx& -0,47 \\[5pt] t_2 &\approx& 8,47 \end{array}$
Betrachte nun den Funktionsterm. $\underbrace{\left( \frac{1}{80}t^2 -\frac{1}{10}t -\frac{1}{20}\right)}_{p(t)}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)}}_{>0}$
Das Vorzeichen von $\dot B(t)$ wird vollständig von dem Term $p(t)$ bestimmt. Dieser Term ist der Funktionsterm einer quadratischen nach oben geöffneten Parabel.
Für alle $t$ mit $t_1 \leq t \leq t_2$ gilt daher $p(t) < 0$ und für alle anderen $t$ gilt $p(t)>0.$
Da für die Grenzen des Intervalls keine negativen Werte infrage kommen, bleibt für das gesuchte Intervall $[0;8].$
Das größte Intervall seit der letzten Einleitung der Substanz in den See, in dem die Bakterienanzahl rückläufig ist, sind daher die ersten acht Tage ab der letzten Einleitung.
3.3
Gesucht ist das Minimum von $\dot B(t).$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen
$\begin{array}[t]{rll} \dot B(t) &=& \left(\frac{1}{80}t^2 - \frac{1}{10}t - \frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] \ddot B(t) &=& \left(\frac{1}{40}t - \frac{1}{10}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} + \left(\frac{1}{80}t^2 - \frac{1}{10}t - \frac{1}{20}\right)\cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{40}t - \frac{1}{10} -\frac{1}{320}t^2 + \frac{1}{40}t + \frac{1}{80}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] &=& \left(-\frac{1}{320}t^2+\frac{1}{20}t - \frac{7}{80} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} \\[5pt] \end{array}$
$ \ddot B(t) = … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} \ddot B(t) &=& 0 \\[5pt] \left(-\frac{1}{320}t^2+\frac{1}{20}t - \frac{7}{80} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-\frac{1}{4}t+\ln(3)}\\[5pt] -\frac{1}{320}t^2+\frac{1}{20}t - \frac{7}{80} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-320) \\[5pt] t^2-16t + 28 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] t_{1/2} &=& -\frac{-16}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2 -28} \\[5pt] &=& 8\pm 6 \\[5pt] t_1 &=& 2 \\[5pt] t_2 &=& 14 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \ddot B(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &=& 2 \\[5pt] t_2 &=& 14 \end{array}$
3. Schritt: Vergleich der Funktionswerte
$\begin{array}[t]{rll} \dot B(0) &=& \left(\frac{1}{80}\cdot 0^2 - \frac{1}{10}\cdot 0 - \frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}\cdot 0+\ln(3)} \\[5pt] &=& - \frac{3}{20} \\[5pt] &=& -0,15\\[10pt] \dot B(2) &=& \left(\frac{1}{80}\cdot 2^2 - \frac{1}{10}\cdot 2 - \frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}\cdot 2+\ln(3)} \\[5pt] &=& -\frac{1}{5}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}+\ln(3)} \\[5pt] &\approx& -0,36 \\[10pt] \dot B(14) &=& \left(\frac{1}{80}\cdot 14^2 - \frac{1}{10}\cdot 14 - \frac{1}{20}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{4}\cdot 14+\ln(3)} \\[5pt] &=& \mathrm e^{-\frac{7}{2}+\ln(3)} \\[5pt] &\approx& 0,09 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dot B(0) &=& -0,15\\[10pt] \dot B(2) &\approx& -0,36 \\[10pt] \dot B(14) &\approx& 0,09 \\[10pt] \end{array}$
Zwei Tage nach der letztmaligen Einleitung der Substanz ist also die Abnahmegeschwindigkeit der Bakterienanzahl betragsmäßig am größten.
3.4
Für $t\to \infty$ gilt:
$B(t)= 3+ \underbrace{\left(-\frac{1}{20}t^2 +\frac{1}{5}\right)}_{\to -\infty}\cdot\underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{4}t +\ln (3)}}_{\to \to 0} \to 3^-$
$ B(t) \to 3^- $
Nach der letzten Einleitung stellt sich langfristig eine Anzahl von ca. 3000 Bakterien pro $\text{cm}^3$ Wasser ein.
3.5
Der Abbildung lässt sich entnehmen:
$B(11)\approx 1,625 $ und $B(23)\approx 2,75$
$\dfrac{2,75 - 1,625 }{23-11} = 0,09375$
Im Zeitraum zwischen dem Zeitpunkt $t_1 =11$ und dem Zeitpunkt $t_2= 23$ nach der letztmaligen Einleitung kommen in den See täglich ca. $94$ Bakterien pro $\text{cm}^3$ Wasser hinzu.
#integral#produktregel#ableitung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App