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Gruppe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Die Gerade $g_1$ verläuft durch die Punkte $A(4\mid 1,5)$ und $B(-3\mid -2)$.
a)
Bestimmme die Funktionsgleichung von $g_1$ rechnerisch.
#geradengleichung
b)
Überprüfe mit Hilfe einer Rechnung, ob der Punkt $C(-13\mid -44,5)$ auf der Geraden $g_2: y=4x+6,5$ liegt.
#geradengleichung#punktprobe
c)
Gegeben ist die Gerade $g_3: y=2-0,5x$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ von $g_3$ mit der $x$-Achse und gib $N$ an.
#schnittpunkt#geradengleichung
d)
Die Gerade $g_3$ schneidet die Gerade $g_2$ im Punkt $T$.
Ermittle rechnerisch die Koordinaten von $T$ und gib den Punkt an.
#schnittpunkt
e)
Zeichne die Geraden $g_1$ und $g_3$ in ein Koordinatensystem (Einheit $1\,\text{cm})$.
#kartesischeskoordinatensystem
f)
Berechne die Größe des spitzen Winkels $\alpha$, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt.
(7P)
#winkel

Aufgabe 2

a)
$ : \overline{ZA} = \overline{ZF} : \overline{ZD}$
b)
$\overline{BE} : \overline{CF} = $$ : \overline{ZF}$
c)
Wenn gilt:
$\overline{ZA} = 4\,\text{cm}$
$\overline{ZC} = 8\,\text{cm}$
$\overline{AD} = 3\,\text{cm}$
dann gilt:
$\overline{CF} =$$\,\text{cm}$
(3P)

Aufgabe 3

In einer Tüte befinden sich $4$ rote, $2$ grüne und $1$ weißes Gummibärchen.
Christiane nimmt ein Gummibärchen heraus und isst es. Anschließend nimmt sie ein zweites und isst es ebenfalls.
a)
Stell die möglichen Ereignisse in einem Baumdiagramm dar und beschrifte die einzelnen Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
#baumdiagramm
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Gummibärchen rot sind.
#wahrscheinlichkeit
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden entnommenen Gummibärchen weiß ist.
(4P)
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 4

Die Halbwertszeit des radioaktiven Elements Astat-210 beträgt $8$ Stunden.
a)
Berechne die Masse an Astat-210, die nach zwei Tagen von ursprünglich $5$ Kilogramm noch vorhanden ist.
b)
Nach $40$ Stunden sind von einer bestimmten Menge Astat-210 noch $16,25$ Gramm übrig.
Berechne die Ausgangsmenge.
c)
ElementHalbwertszeit
Radium-226$1.602$ Jahre
Caesium-137$30,2$ Jahre
Cobalt-60$5,3$ Jahre
Phosphor-32$14,3$ Jahre
Radon-222$3,8$ Jahre
(4P)
#tabelle

Aufgabe 5

Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ ist $[BE]$ die Winkelhalbierende des Winkels $\beta$. Die Länge der Strecken $[AD]$ und $[BD]$ sind bekannt (siehe Skizze).
#rechtwinkligesdreieck
a)
Berechne die Höhe $h_c$.
b)
Ermittle rechnerisch die Größe des Winkels $\beta$.
Hinweis: Rechne mit $h_c=9\,\text{cm}$.
#winkel
c)
Berechne die Länge der Strecke $[BE]$.
d)
Das Dreieck $ABC$ wird mit dem Faktor $k=3$ zentrisch gestreckt.
Berechne den Flächeninhalt des gestreckten Dreiecks.
(5P)
#zentrischestreckung

Aufgabe 6

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\frac{2(x+2)}{x}=2-\frac{2-x}{x-2}$
(4P)
#definitionsbereich#lösungsmenge

Aufgabe 7

(3P)

Aufgabe 8

Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1(4\mid -3)$.
#scheitelpunkt#parabel
a)
Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p_1$ in der Normalform.
#parabelgleichung
b)
Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_2$ der Parabel $p_2:y=-x^2+8x-15$ und gib $S_2$ an.
#scheitelpunkt
c)
Zeichne die beiden Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
#kartesischeskoordinatensystem
d)
Der Punkt $D(-7\mid y_D)$ liegt auf der Parabel $p_2$.
Berechne die fehlende $y$-Koordinate des Punkts $D$.
#parabel
e)
Die Parabel $p_3: y=x^2-6x+5$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $P$ und $Q$.
Gib die Punkte $P$ und $Q$ an, indem du deren Koordinaten berechnest.
#schnittpunkt#parabel
f)
Die Punkte $A(1\mid 3)$ und $B(-7\mid 19)$ liegen auf der nach oben geöffneten Normalparabel $p_4$.
Berechne die Funktionsgleichung von $p_4$ in der Normalform.
(8P)
#parabelgleichung

Aufgabe 9

Folgende Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter durch die entsprechenden Terme und schreibe die vollständigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
#binomischeformeln
a)
$16x^2 - $$ + $$ = ($$ - y)^2$
b)
$0,25z^2 + 8z + $$ = ($$ + $$)^2$
(3P)

Aufgabe 10

Der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ beträgt $100\,\text{cm}$.
Verkürzt man $a$ um $5\,\text{cm}$ und verlängert $b$ um $6\,\text{cm}$, so verkleinert sich der Flächeninhalt um $60\,\text{cm}^2$.
Berechne die Länge der Seiten $a$ und $b$.
(4P)

(45P)
#rechteck
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Tipps
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Aufgabe 1

 a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Gerade $g_1$ verläuft durch die Punkte $A (4\mid 1,5)$ und $B(-3\mid -2)$. Du sollst nun die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ rechnerisch bestimmen. Allgemein gilt für die Funktionsgleichung einer Geraden:
$y=m\cdot x+t$
$y=m\cdot x+t$
Die Steigung $m$ lässt sich aus den Koordinaten der beiden Punkte berechnen. Dabei gilt:
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
Den y-Achsenabschnitt $t$ berechnest du anschließend, indem du einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzt und nach $t$ umstellst.
b)
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der gegebene Punkt auf der Geraden liegt
Die Gerade $g_2$ ist gegeben mit
$g_2: \quad y=4\cdot x+6,5$
Du sollst nun überprüfen, ob der Punkt $C(-13\mid -44,5)$ auf der Geraden $g_2$ liegt. Setze dazu die $x$-Koordinate von $C$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob du die $y$-Koordinate von $C$ als Ergebnis erhältst.
c)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse berechnen
Es ist die Gerade $g_3$ mit
$g_3: \quad y=2-0,5\cdot x$
gegeben.
Diese Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $N$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ berechnen. Die $x$-Achse ist beschrieben durch die Funktionsgleichung $y=0$. Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du den Funktionsterm der $x$-Achse mit $g_3(x)$ gleich und erhältst so den $x$-Wert.
d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
Die Gerade $g_2(x)$ und die Gerade $g_3(x)$ schneiden sich im Punkt $T$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ berechnen. Dazu setzt du die Funktionsterme der beiden Geraden gleich. Dadurch hast du den $x$-Wert des Schnittpunktes bestimmt. Als nächstes berechnest du die $y$-Koordinate. Dazu setzt du die eben berechnete $x$-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
e)
$\blacktriangleright$ Geraden in Koordinatensystem zeichnen
Du sollst die Geraden $g_1(x)$ und $g_3(x)$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1\,\text{cm}$ einzeichnen. Beginne mit der Geraden $g_1(x)$. Zeichne zunächst die beiden Punkte $A\,(4 \mid 1,5)$ und $B\,(-3\mid -2)$ ein und zeichne anschließend eine Gerade, dir durch diese beiden Punkte verkläuft.
Für Gerade $g_3(x)$ zeichnest du den $y$-Achsenabschnitt und einen weiteren Punkt ein. Verbinde dann den $y$-Achsenabschnitt mit dem Punkt und verlängere diese Verbindungslinie.
f)
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen Gerade und $x$-Achse bestimmen
Die Gerade $g_1(x)$ schließt mit der $\boldsymbol{x}$-Achse den spitzen Winkel $\alpha$ ein. Da die Gerade eine positive Steigung besitzt, ist dies der Steigungswinkel der Gerade. Die Größe des Steigungswinkels kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\tan \alpha= m$
$\tan \alpha= m$
Die Steigung $m$ der Geraden $g_1(x)$ kannst du der Aufgabe 1.a) entnehmen.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Streckenverhältnis wiedergeben
Du sollst das Verhältnis der beiden Strecken $\overline{ZF}$ und $\overline{ZD}$ durch das Verhältnis der Strecke $\overline{ZA}$ und einer weiteren Strecke angeben.
$[]:\overline{ZA}=\overline{ZF}: \overline{ZD}$
Dies kann mit Hilfe des 1. Strahlensatzes gelöst werden.
Gruppe 1
Abb. 1 Skizze für den 1. Strahlensatz
Gruppe 1
Abb. 1 Skizze für den 1. Strahlensatz
b)
$\blacktriangleright$ Streckenverhältnis wiedergeben
Du sollst das Verhältnis der Strecke $\overline{BE}$ zu $\overline{CF}$ durch das Verhältnis der Strecke $\overline{ZF}$ zu einer weiteren Strecke ausdrücken.
$\overline{BE}:\overline{CF}=[]: \overline{ZF}$
Dies lässt sich mit dem 2. Strahlensatz lösen.
Gruppe 1
Abb. 2 Skizze für den 2. Strahlensatz
Gruppe 1
Abb. 2 Skizze für den 2. Strahlensatz
c)
$\blacktriangleright$ Streckenlänge mit Hilfe von Streckenverhältnissen berechnen
Du sollst die Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen. Dabei gilt es den 2. Strahlensatz anzuwenden.
Gruppe 1
Abb. 3 Skizze für den 2. Strahlensatz
Gruppe 1
Abb. 3 Skizze für den 2. Strahlensatz

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten erstellen
In einer Tüte sind vier rote, zwei grüne und ein weißes Gummibärchen. Christiane nimmt eines heraus und isst es, anschließend nimmt sie sich ein zweites.
Du sollst die Ereignisse, die durch das Herausnehmen der Gummibärchen auftreten können, in einem Baumdiagramm darstellen. Du sollst die einzelnen Äste des Baumdiagramms mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriften.
Überlege zunächst, welche Ereignisse möglich sind und welche Wahrscheinlichkeiten jeweils gelten. Für die Wahrscheinlichkeit $P$ für ein Ereignis $A$ gilt dabei allgemein:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Möglichkeiten für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
$P(A)=\dfrac{\text{Alle Optionen für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
Berechne nun nacheinander die Wahrscheinlichkeiten für den ersten und für den zweiten Zug.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beide Gummibärchen, die Christiane zieht, rot sind, nimmst du das erstellte Baumdiagramm zur Hilfe. Du gehst vom Startpunkt den Pfad entlang, der die beiden Ereignisse rot-rot verknüpft. Die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multiplizierst du miteinander (1. Pfadregel).
c)
$\blacktriangleright$ Gegenwahrscheinlichkeit berechnen
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Gummibärchen, die Christiane zieht, weiß ist, nimmst du ebenfalls das erstellte Baumdiagramm zur Hilfe. Es gibt drei mögliche Wege dies zu berechnen. Du kannst
  1. die Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse ohne weißes Gummibärchen zusammenzählen (2. Pfadregel)
  2. zunächst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Gummibärchen weiß ist berechnen und ziehst diesen Wert dann von $1$ ab
  3. die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Zug kein weißes Gummibärechen dabei ist, mit der Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Zug kein weißes gezogen wird, multiplizieren

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Masse für radioaktives Material nach gegebener Zeit berechnen
Du sollst berechnen, wie viel Masse von einer ursprünglich fünf Kilogramm schweren Menge Astat-210 nach zwei Tagen übrig ist. Der Aufgabe kannst du entnehmen, dass die Halbwertszeit des radioaktiven Elements Astat-210 acht Stunden beträgt, d.h. nach acht Stunden ist nur noch die Hälfte der anfänglichen Masse vorhanden.
Verwende die Formel für den exponentiellen Zerfall.
$H_n=H_0\cdot(1-\dfrac{p}{100})^n$
$H_n=H_0\cdot(1-\dfrac{p}{100})^n$
b)
$\blacktriangleright$ Ausgangsmenge von radioaktivem Material berechnen
Von einer zweiten Menge Astat-210 sind nach 40 Stunden noch $16,25\text{g}=0,01625 \text{kg}$ übrig. Du sollst berechnen, wie viel zu Anfang vorhanden war. Stelle daher die exponentielle Zerfallsformel nach $H_0$ um.
c)
$\blacktriangleright$ Halbwertszeit bestimmen und radioaktiven Stoff benennen
Du hast nun einen zweiten, noch unbekannten radioaktiven Stoff. Du weißt allerdings, dass nach 53 Jahren von ursprünglich 5.120 Gramm nur noch 5 Gramm übrig sind. Du sollst nun die Halbwertszeit des Stoffs berechnen und kannst dann damit das Element mit Hilfe der Tabelle bestimmen.
Stelle zunächst die exponentielle Zerfallsformel nach $n$ um, damit du weißt, wie oft sich der Stoff in der Zeit halbiert hat.
ElementHalbwertszeit
Radium-226$1.602$ Jahre
Caesium-137$30,2$ Jahre
Cobalt-60$5,3$ Jahre
Phosphor-32$14,3$ Jahre
Radon-222$3,8$ Jahre

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Höhe des rechtwinkligen Dreiecks bestimmen
Es ist das rechtwinklige Dreieck $ABC$ gegeben. Auf der Strecke $[AC]$ liegt der Punkt $E$ und die Strecke $[BE]$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\beta$. Auf der Hypotenuse $[AB]$ liegt der Punkt $D$, wobei die Längen der Hypotenusenabschnitte $[AD]$ und $[BD]$ bekannt sind.
Du sollst die Höhe $h_c=[DC]$ berechnen. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, verwendest du hierfür den Kathetensatz mit den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ und der Höhe $h$:
$h^2=p \cdot q$
$h^2=p \cdot q$
Gruppe 1
Abb. 4 Skizze des Dreiecks
Gruppe 1
Abb. 4 Skizze des Dreiecks
b)
$\blacktriangleright$ Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks berechnen
Du sollst den Winkel $\beta$ des Dreiecks berechnen. Dafür betrachtest du das Teildreieck $DBC$, dass bei dem Punkt $D$ einen rechten Winkel besitzt. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du einen Winkel mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen berechnen.
$\tan(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\tan(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Gruppe 1
Abb. 5 Skizze des Dreiecks
Gruppe 1
Abb. 5 Skizze des Dreiecks
c)
$\blacktriangleright$ Länge der Winkelhalbierenden bestimmen
Du sollst die Länge der Winkelhalbierenden $[BE]$ bestimmen. Dazu betrachtest du das rechtwinklige Teildreieck $BCE$. Berechne zunächst die Strecke $[BC]$ und dann mit Hilfe einer trigonometrischen Funktion die Länge der Winkelhalbierend.
Gruppe 1
Abb. 6 Skizze des Dreiecks
Gruppe 1
Abb. 6 Skizze des Dreiecks
d)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks nach zentrischer Streckung berechnen
Im Folgenden wird das Dreieck zentrisch mit dem Faktor $k=3$ gestreckt. Du sollst den Flächeninhalt des gestreckten Dreiecks berechnen.
Allgemein ist der Flächeninhalt $F$ eines Dreiecks gegeben durch:
$F=\dfrac{g\cdot h}{2}$
$F=\dfrac{g\cdot h}{2}$
$g$ bezeichnet die Hypotenuse des Dreiecks und $h$ die Höhe.
Der Flächeninhalt eines um den Streckungsfaktor $k$ gestreckten Dreiecks ist allgemein:
$F_{\text{gestreckt}}=k^2\cdot F$
$F_{\text{gestreckt}}=k^2\cdot F$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben und Lösungsmenge berechnen
Es ist die folgende Gleichung gegeben:
$\dfrac{2(x+2)}{x}=2-\dfrac{2-x}{x-2}$
Du sollst sowohl die Definitionsmenge als auch die Lösungsmenge für diese Gleichung angeben.
Beginne mit der Definitionsmenge. Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für $x$ überhaupt erlaubt sind einzusetzen. In dieser Gleichung stehen zwei Brüche und für Brüche gilt, dass der Nenner nicht Null sein darf, da man durch Null nicht teilen kann.
Die Lösungsmenge sind nun die Werte für $x$, für die die Gleichung stimmt und die nicht durch die Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Du erhältst sie, wenn du durch Äquivalenzumformungen und $p$-$q$-Formel nach $x$ auflöst.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Masse bei gegebener Dichte bestimmen
In einer Packung befinden sich 1.000 massive Nieten aus Aluminium. Du sollst die Masse der 1.000 Nieten in Gramm angeben. Dazu ist dir die Information gegeben, dass $1\,\text{cm}^3$ Aluminium $2,71\,\text{g}$ wiegt.
Berechne daher zunächst das Volumen der 1.000 Nieten, um anschließend daraus die Masse abzuleiten. Eine einzelne Niete kann vereinfacht als halbkugelförmiger Kopf auf einem Zylinder beschrieben werden (s. dazu die Skizze).
Gruppe 1
Abb. 7: Skizze einer vereinfachten Niete
Gruppe 1
Abb. 7: Skizze einer vereinfachten Niete

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Normalform aufstellen
Du hast eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ mit dem Scheitelpunkt $S_1\,(4\mid-3)$ gegeben. Du sollst nun die Normalform der Parabel $p_1$ angeben. Die Normalform sieht allgemein folgendermaßen aus:
$y=x^2+px+q$
$y=x^2+px+q$
Mit dem Scheitelpunkt kannst du zunächst die Scheitelform der Parabel angeben und diese dann in die Normalform umformen. Die allgemeine Scheitelform ist:
$y=(x-x_s)^2+y_s$
$y=(x-x_s)^2+y_s$
b)
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen
Eine zweite Parabel $p_2$ ist gegeben durch die Normalform:
$y=-x^2+8x-15$
Du sollst die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_2$ der Parabel $p_2$ berechnen. Dazu formst du die Normalform in die Scheitelform um, da auf diese Weise die Scheitelpunktkoordinaten direkt ablesbar sind. Um das zu erreichen, musst du quadratisch ergänzen, sodass du ein Binom erhältst.
c)
$\blacktriangleright$ Parabeln in ein Koordinatensystem einzeichnen
Du sollst die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem einzeichnen. Von Parabel $p_1$ ist dir der Scheitelpunkt $S_1\,(4\mid -3)$ gegeben, für die Parabel $p_2$ hast du den Scheitelpunkt $S_2\,(4\mid 1)$ in Aufgabenteil b) berechnet. Zeichne diese beiden Scheitelpunkte zunächst in das Koordinatensystem. Berechne nun für beide Parabeln ein paar Punkte, die du anschließend parabelförmig verbindest.
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{y}$-Koordinate eines Punktes auf der Parabel berechnen
Der Punkt $D$ liegt auf der Parabel $p_2$. Dir ist nur die $x$-Koordinate des Punktes gegeben mit $x_D=-7\, .$ Du sollst nun die fehlende $y$-Koordinate des Punktes berechnen. Setze dazu den $x$-Wert in die Parabelgleichung ein.
e)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen
Es gibt eine dritte Parabel $p_3$, die durch die Normalform angegeben ist:
$y=x^2-6x+5$
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ von $p_3$ mit der Parabel $p_2$ angeben. Setze dazu die Funktionsterme von $p_3$ und $p_2$ gleich und löse mit der $p$-$q$-Formel nach $x$ auf. Berechne anschließend die jeweiligen $y$-Koordinaten.
f)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung einer Normalparabel aufstellen für zwei gegebene Punkte
Es sind die Punkte $A\,(1 \mid 3)$ und $B\,(-7\mid 19)$ gegeben. Diese liegen auf einer nach oben geöffneten Normalparabel $p_4$. Du sollst die Funktionsgleichung dieser Parabel angeben. Setze dazu die Punkte in die allgemeine Form der Normalform einer Parabel (wie in Aufagbenteil a) gegeben) und löse das Gleichungssystem.

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$ Binomische Formel aufstellen
Du sollst die 2. Binomische Formel sowohl in ausmultiplizierter Form als auch als Klammerausdruck schreiben. Dafür sind dir Teile der Binomischen Formel angegeben. Allgemein gilt für die 2. Binomische Formel:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
b)
$\blacktriangleright$ Binomische Formel aufstellen
Du sollst die 1. Binomisch Formel sowohl in ausmultiplizierter Form als auch als Klammerausdruck schreiben. Dafür sind dir Teile der Binomischen Formel angegeben. Allgemein gilt für die 1. Binomische Formel:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Seitenlängen eines Rechtecks berechnen
Du sollst die Seitenlängen $a$ und $b$ eines Rechtecks berechnen. Die folgenden zwei Angaben sind dir über das Rechteck gegeben:
  1. Der Umfang der Rechtecks beträgt $100\,$cm
  2. Verkürzt man $a$ um $5\,$cm und verlängert $b$ um $6\,$cm, so verkleinert sich der Flächeninhalt um $60\,\text{cm}^2$
Diese beiden Angaben schreibst du in zwei Gleichungen um, sodass du ein lineares Gleichungssystem erhältst, welches du dann löst.
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Aufgabe 1

 a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Gerade $g_1$ verläuft durch die Punkte $A (4\mid 1,5)$ und $B(-3\mid -2)$. Du sollst nun die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ rechnerisch bestimmen. Allgemein gilt für die Funktionsgleichung einer Geraden:
$y=m\cdot x+t$
$y=m\cdot x+t$
Die Steigung $m$ lässt sich aus den Koordinaten der beiden Punkte berechnen. Dabei gilt:
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
Den y-Achsenabschnitt $t$ berechnest du anschließend, indem du einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzt und nach $t$ umstellst. Verwende beispielsweiße die Koordinaten von $A$.
Setze nun die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ein:
$m=\dfrac{1,5-(-2)}{4-(-3)}=\dfrac{3,5}{7}=\dfrac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{rll} 1,5&=&\frac{1}{2}\cdot 4+t \\[5pt] 1,5&=&2 +t &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -0,5&=&t \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $g_1$ lautet somit
$g_1: \quad y=\frac{1}{2}\cdot x -0,5$
Sichere dich noch zusätzlich durch die Punktprobe ab. Dazu setzt du die Koordinaten deines zweiten Punktes $B$ in die Geradengleichung ein und überprüfst, ob das Ergebnis stimmt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{1}{2}\cdot (-3) -0,5\\[5pt] &=& -\frac{3}{2}-0,5 \\[5pt] &=& -2 \\[5pt] &=& y_B \\[5pt] \end{array}$
Dadurch hast du nachgewiesen, dass $B$ ebenfalls auf der Geraden $g_1$ liegt.
#steigung#punktprobe
b)
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der gegebene Punkt auf der Geraden liegt
Die Gerade $g_2$ ist gegeben mit
$g_2: \quad y=4\cdot x+6,5$
Du sollst nun überprüfen, ob der Punkt $C(-13\mid -44,5)$ auf der Geraden $g_2$ liegt. Setze dazu die $x$-Koordinate von $C$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob du die $y$-Koordinate von $C$ als Ergebnis erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4\cdot (-13) +6,5\\[5pt] &=& -52+6,5 \\[5pt] &=& -45,5 \\[5pt] &\neq& y_C \\[5pt] \end{array}$
Der $y$-Wert, den du mit der Funktionsgleichung erhältst, wenn du $x_C$ einsetzt, ist ungleich dem $y$-Wert von C. Dadurch hast du gezeigt, dass der Punkt $C$ nicht auf der Geraden $g_2$ liegt.
c)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse berechnen
Es ist die Gerade $g_3$ mit
$g_3: \quad y=2-0,5\cdot x$
gegeben.
Diese Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $N$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ berechnen. Die $x$-Achse ist beschrieben durch die Funktionsgleichung $y=0$. Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du den Funktionsterm der $x$-Achse mit $g_3(x)$ gleich und erhältst so den $x$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -0,5\cdot x +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -2&=& -0,5 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-2)\\[5pt] 4&=& x \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten von $N$ sind somit gegeben durch $(4 \mid 0)$.
d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
Die Gerade $g_2(x)$ und die Gerade $g_3(x)$ schneiden sich im Punkt $T$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ berechnen. Dazu setzt du die Funktionsterme der beiden Geraden gleich.
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot x +6,5&=& -0,5\cdot x +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 4\cdot x +4,5&=& -0,5 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; -(4 \cdot x) \\[5pt] 4,5&=& -4,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :(-4,5) \\[5pt] -1&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ -1=x $
Dadurch hast du den $x$-Wert des Schnittpunktes bestimmt. Als nächstes berechnest du die $y$-Koordinate. Dazu setzt du die eben berechnete $x$-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, beispielsweise in $g_3$:
$ 0,5\cdot (-1)+2=0,5+2=2,5$
Der Schnittpunkt $T$ is demnach gegeben durch $T(-1\mid 2,5)$.
e)
$\blacktriangleright$ Geraden in Koordinatensystem zeichnen
Du sollst die Geraden $g_1(x)$ und $g_3(x)$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1\,\text{cm}$ einzeichnen. Beginne mit der Geraden $g_1(x)$. Zeichne zunächst die beiden Punkte $A\,(4 \mid 1,5)$ und $B\,(-3\mid -2)$ ein und zeichne anschließend eine Gerade, dir durch diese beiden Punkte verkläuft. Damit hast du die erste Gerade gezeichnet.
Für Gerade $g_3(x)$ setzt du in die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein. Du erhältst dann den $y$-Achsenabschnitt $2$. Setze dann einen weiteren $x$-Wert in die Funktionsgleichung, z.B. $x=2$. Der zugehörige $y$-Wert ist dann $y=1$. Verbinde dann den $y$-Achsenabschnitt mit dem Punkt $(2\mid 1)$, verlängere diese Verbindungslinie und du hast die Gerade $g_3(x)$ eingezeichnet.
Das Ergebnis sollte in etwa wie in folgender Abbildung aussehen.
Gruppe 1
Abb. 1 Geraden $g_1$ und $g_3$ in einem Koordinatensystem
Gruppe 1
Abb. 1 Geraden $g_1$ und $g_3$ in einem Koordinatensystem
f)
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen Gerade und $x$-Achse bestimmen
Die Gerade $g_1(x)$ schließt mit der $\boldsymbol{x}$-Achse den spitzen Winkel $\alpha$ ein. Da die Gerade eine positive Steigung besitzt, ist dies der Steigungswinkel der Gerade. Die Größe des Steigungswinkels kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\tan \alpha= m$
$\tan \alpha= m$
Die Steigung $m$ der Geraden $g_1(x)$ kannst du der Aufgabe 1.a) entnehmen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
Um nun die Größe des Winkels selbst zu berechnen, verwendest du die Umkehrfunktion des Tangens, die sogenannte Arkustangensfunktion.
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1}(0,5) \\[5pt] \alpha&\approx& 26,57^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Der spitze Winkel $\alpha$, den die $x$-Achse und die Gerade $g_1$ einschließen, ist ca. $26,57^{\circ} $ groß.
#tangens

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Streckenverhältnis wiedergeben
Du sollst das Verhältnis der beiden Strecken $\overline{ZF}$ und $\overline{ZD}$ durch das Verhältnis der Strecke $\overline{ZA}$ und einer weiteren Strecke angeben.
$[]:\overline{ZA}=\overline{ZF}: \overline{ZD}$
Dies kann mit Hilfe des 1. Strahlensatzes gelöst werden zu:
$\color{#87c800}{\overline{ZC}}:\overline{ZA}=\overline{ZF}: \overline{ZD}$
Gruppe 1
Abb. 2 Skizze für den 1. Strahlensatz
Gruppe 1
Abb. 2 Skizze für den 1. Strahlensatz
#strahlensatz
b)
$\blacktriangleright$ Streckenverhältnis wiedergeben
Du sollst das Verhältnis der Strecke $\overline{BE}$ zu $\overline{CF}$ durch das Verhältnis der Strecke $\overline{ZF}$ zu einer weiteren Strecke ausdrücken.
$\overline{BE}:\overline{CF}=[]: \overline{ZF}$
Dies lässt sich mit dem 2. Strahlensatz lösen zu:
$\overline{BE}:\overline{CF}=\color{#87c800}{\overline{ZE}}: \overline{ZF}$
Gruppe 1
Abb. 3 Skizze für den 2. Strahlensatz
Gruppe 1
Abb. 3 Skizze für den 2. Strahlensatz
#strahlensatz
c)
$\blacktriangleright$ Streckenlänge mit Hilfe von Streckenverhältnissen berechnen
Du sollst die Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen. Dabei gilt es den 2. Strahlensatz anzuwenden.
Drei Strecken sind angegeben:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{ZA}&=& 4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{ZC}&=& 8\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD}&=& 3\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Es gilt, ähnlich wie im Aufgabenteil b):
$\overline{ZC}:\overline{ZA}=\color{#87c800}{\overline{CF}}: \overline{AD}$
Setzt du nun die Werte für die drei bekannten Strecken in diese Verhältnisgleichung ein, erhältst du die gesuchte Strecke $\overline{CF}$.
$\begin{array}[t]{rll} 8:4&=& \overline{CF}: 3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] 6&=& \overline{CF} \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Strecke $\overline{CF}$ ist also $6\,$cm lang.
Gruppe 1
Abb. 4 Skizze für den 2. Strahlensatz
Gruppe 1
Abb. 4 Skizze für den 2. Strahlensatz
#strahlensatz

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten erstellen
In einer Tüte sind vier rote, zwei grüne und ein weißes Gummibärchen. Christiane nimmt eines heraus und isst es, anschließend nimmt sie sich ein zweites.
Du sollst die Ereignisse, die durch das Herausnehmen der Gummibärchen auftreten können, in einem Baumdiagramm darstellen. Du sollst die einzelnen Äste des Baumdiagramms mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriften.
Überlege zunächst, welche Ereignisse möglich sind und welche Wahrscheinlichkeiten jeweils gelten. Für die Wahrscheinlichkeit $P$ für ein Ereignis $A$ gilt dabei allgemein:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Möglichkeiten für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
$P(A)=\dfrac{\text{Alle Optionen für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
Bevor sich Christiane das erste Gummibärchen nimmt, befinden sich insgesamt sieben Gummibärchen in der Tüte, darunter vier rote, zwei grüne und ein weißes. Die möglichen Ereignisse für das erste Herausnehmen sind demnach rot, grün und weiß. Das Baumdiagramm hat also zunächst drei Äste, die jeweils auf eines der drei Ereignisse zeigen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eines der vier roten zu nehmen, ist
$P_1$(rot)$=\frac{4}{7}$
Analog gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses eines der beiden grünen beziehungsweiße das eine weiße Gummibärchen zu bekommen.
$P_1$(grün)$=\frac{2}{7}$
$P_1$(weiß)$=\frac{1}{7}$
Nachdem Christiane das erste Gummibärchen verspeist hat, sind nur noch insgesamt sechs Gummibärchen vorhanden. War das erste Gummibärchen rot, sind nur noch drei rote in der Tüte, aber weiterhin 2 grüne und ein weißes. Die möglichen Ereignisse sind also weiterhin rot, grün und weiß. Der Knotenpunkt des Ereignisses rot verzweigt sich demnach wieder in drei Äste.
Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ereignisse ergeben sich dann zu:
$P_2$(grün)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$P_2$(weiß)$=\frac{1}{6}$
$P_2$(rot)$=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
War das erste hingegen grün, gibt es zwar immer noch vier rote und ein weißes Gummibärchen, aber nur noch ein weiteres grünes. Die möglichen Ereignisse sind wieder rot, grün und weiß und der Knotenpunkt des Ereignisses grün verzweigt sich ebenfalls wieder in drei Äste.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind:
$P_2$(grün)$=\frac{1}{6}$
$P_2$(weiß)$=\frac{1}{6}$
$P_2$(rot)$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Die dritte Variante ist die, dass das erste Gummibärchen weiß war. Es hat dann keine weiteren weißen Gummibärchen mehr, die restlichen Gummibärchen sind die vier roten und die zwei grünen. Es gibt nun nur noch die zwei möglichen Ereignisse rot und grün, vom Knotenpunkt weiß aus gibt es nur zwei weitere Äste mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:
$P_2$(grün)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$P_2$(rot)$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Das Baumdiagramm sieht schlussendlich folgendermaßen aus:
Gruppe 1
Abb. 5: Baumdiagramm
Gruppe 1
Abb. 5: Baumdiagramm
#wahrscheinlichkeit
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beide Gummibärchen, die Christiane zieht, rot sind, nimmst du das erstellte Baumdiagramm zur Hilfe. Du gehst vom Startpunkt den Pfad entlang, der die beiden Ereignisse rot-rot verknüpft. Die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multiplizierst du miteinander (1. Pfadregel).
In diesem Fall kommst du auf eine Wahrscheinlichkeit von
$P$(rot rot)$=P_1$(rot)$\cdot P_2$(rot)$=\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
#multiplikation#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$ Gegenwahrscheinlichkeit berechnen
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Gummibärchen, die Christiane zieht, weiß ist, nimmst du ebenfalls das erstellte Baumdiagramm zur Hilfe. Es gibt drei mögliche Wege dies zu berechnen. Du kannst
  1. die Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse ohne weißes Gummibärchen zusammenzählen (2. Pfadregel)
  2. zunächst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Gummibärchen weiß ist berechnen und ziehst diesen Wert dann von $1$ ab
  3. die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Zug kein weißes Gummibärechen dabei ist, mit der Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Zug kein weißes gezogen wird, multiplizieren
In allen Fällen kommst du auf eine Wahrscheinlichkeit von
$\begin{array}{} \text{1.}\quad&P(\text{nicht weiß})&=P(\text{rot rot})+P(\text{rot grün})+P(\text{grün rot})+P(\text{grün grün})\\ &&=\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}+\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}\\ &&=\frac{5}{7}\\ \text{2.}\quad&P(\text{nicht weiß})&=1-(P(\text{mind. einmal weiß}))\\ &&=1-(P(\text{weiß})+P(\text{rot weiß})+P(\text{grün weiß}))\\ &&=1-(\frac{1}{7}+\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6})\\ &&=\frac{5}{7}\\ \text{3.}\quad&P(\text{nicht weiß})&=P_1(\text{nicht weiß})\cdot P_2(\text{nicht weiß})\\ &&=\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{6}\\ &&=\frac{30}{42}\\ &&=\frac{5}{7}\\ \end{array}$
$ P(\text{nicht weiß}) =\frac{5}{7} $
Die Wahrscheinlichkeit, kein weißes Gummibärchen zu ziehen, ist demnach $\frac{5}{7}$.
#pfadregeln

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Masse für radioaktives Material nach gegebener Zeit berechnen
Du sollst berechnen, wie viel Masse von einer ursprünglich fünf Kilogramm schweren Menge Astat-210 nach zwei Tagen übrig ist. Der Aufgabe kannst du entnehmen, dass die Halbwertszeit des radioaktiven Elements Astat-210 acht Stunden beträgt, d.h. nach acht Stunden ist nur noch die Hälfte, also fünfzig Prozent, der anfänglichen Masse vorhanden.
Zwei Tage sind $48=6\cdot 8$ Stunden. Das bedeutet, dass sich innerhalb der zwei Tage, die Masse sechs Mal halbiert. Setze diese Informationen nun in die Formel für exponentiellen Zerfall ein:
$H_n=H_0\cdot(1-\dfrac{p}{100})^n$
$H_n=H_0\cdot(1-\dfrac{p}{100})^n$
Es ergibt sich somit nach zwei Tagen eine Masse von:
$5\text{kg}\cdot (1-0,5)^6=0,078125\,\text{kg}=78,125\,\text{g}$
$ m= 78,125\,\text{g}$
b)
$\blacktriangleright$ Ausgangsmenge von radioaktivem Material berechnen
Von einer zweiten Menge Astat-210 sind nach 40 Stunden noch $16,25\text{g}=0,01625 \text{kg}$ übrig. Du sollst berechnen, wie viel zu Anfang vorhanden war. Nach $40=5\cdot 8$ Stunden hat sich die Masse fünf Mal halbiert. Stelle daher die exponentielle Zerfallsformel nach $H_0$ um und setze die vorhandendn Informationen ein:
$\begin{array}{} H_0&=\dfrac{H_n}{(1-\frac{p}{100})^n}\\ &= \dfrac{16,25}{0,5^5}\\ &=520 \end{array}$
Zu Anfang gab es also $520$ Gramm Astat-210.
c)
$\blacktriangleright$ Halbwertszeit bestimmen und radioaktiven Stoff benennen
Du hast nun einen zweiten, noch unbekannten radioaktiven Stoff. Du weißt allerdings, dass nach 53 Jahren von ursprünglich 5.120 Gramm nur noch 5 Gramm übrig sind. Du sollst nun die Halbwertszeit des Stoffs berechnen und kannst dann damit das Element mit Hilfe der Tabelle bestimmen.
Stelle zunächst die exponentielle Zerfallsformel nach $n$ um, damit du weißt, wie oft sich der Stoff in der Zeit halbiert hat. Im Folgenden gilt $1-\frac{p}{100}=q$.
ElementHalbwertszeit
Radium-226$1.602$ Jahre
Caesium-137$30,2$ Jahre
Cobalt-60$5,3$ Jahre
Phosphor-32$14,3$ Jahre
Radon-222$3,8$ Jahre
Der Stoff hat also innerhalb der 53 Jahre zehn mal die Halbwertszeit durchlaufen. Die Halbwertszeit errechnet sich dann zu:
$\frac{53}{10}=5,3$
Aus der Tabelle kannst du entnehmen, dass Cobalt-60 eine Halbwertszeit von $5,3$ Jahren hat. Der gesuchte Stoff ist also Cobalt-60.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Höhe des rechtwinkligen Dreiecks bestimmen
Es ist das rechtwinklige Dreieck $ABC$ gegeben. Auf der Strecke $[AC]$ liegt der Punkt $E$ und die Strecke $[BE]$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\beta$. Auf der Hypotenuse $[AB]$ liegt der Punkt $D$, wobei die Längen der Hypotenusenabschnitte $[AD]$ und $[BD]$ bekannt sind.
Du sollst die Höhe $h_c=[DC]$ berechnen. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, verwendest du hierfür den Kathetensatz mit den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ und der Höhe $h$:
$h^2=p \cdot q$
$h^2=p \cdot q$
Gruppe 1
Abb. 6 Skizze des Dreiecks
Gruppe 1
Abb. 6 Skizze des Dreiecks
Mit den Werten aus der Aufgabe kommst du auf eine Höhe von:
$\begin{array}{} h_c^2&=[AD]\cdot [BD]\\ &= 27 \,\text{cm} \cdot 3 \,\text{cm}\\ &= 81 \,\text{cm}^2\\ h_c&=\sqrt{81 \,\text{cm}^2}=9\,\text{cm}\\ \end{array}$
Die Höhe des Dreiecks ist $9\,$cm.
#hypotenuse
b)
$\blacktriangleright$ Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks berechnen
Du sollst den Winkel $\beta$ des Dreiecks berechnen. Dafür betrachtest du das Teildreieck $DBC$, dass bei dem Punkt $D$ einen rechten Winkel besitzt. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du einen Winkel mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen berechnen. In diesem Fall sind dir die Längen beider Katheten ($[BD]=3\,\text{cm}$ und $[DC]=h_c=9\,\text{cm}$) des Dreiecks bekannt, sodass du die Tangensfunktion verwenden kannst:
$\tan(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\tan(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Gruppe 1
Abb. 7 Skizze des Dreiecks
Gruppe 1
Abb. 7 Skizze des Dreiecks
Um nun den Winkel zu bestimmen, nimmst du die Umkehrfunktion, nämlich den Arkustangens:
$\beta=\tan^{-1}\left(\dfrac{9}{3}\right)=71,57^{\circ}\, .$
Der Innenwinkel $\beta$ ist $71,57^{\circ}$.
#trigonometrie#tangens#kathete
c)
$\blacktriangleright$ Länge der Winkelhalbierenden bestimmen
Du sollst die Länge der Winkelhalbierenden $[BE]$ bestimmen. Dazu betrachtest du das rechtwinklige Teildreieck $BCE$. Die Länge der Strecke $[BC]$ kannst du mit Hilfe der zuvor gelösten Teilaufgaben und dem Satz des Pythagoras lösen:
$\begin{array}{} [BC]^2&=[DC]\cdot [BD]\\ &= (9 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 \\ &= 90 \,\text{cm}^2\\ [BC]&=\sqrt{90 \,\text{cm}^2}=9,49\,\text{cm}\\ \end{array}$
Gruppe 1
Abb. 8 Skizze des Dreiecks
Gruppe 1
Abb. 8 Skizze des Dreiecks
Da es sich bei $[BE]$ um die Winkelhalbierende von $\beta$ handelt, ist der Winkel $\beta'$, der von $[BE]$ und $[BC]$ eingeschlossen wird, gerade halb so groß wie $\beta$, nämlich $\beta'=35,78^{\circ}$. Der Winkel $\beta'$ und die Strecke $[BC]$ reichen nun aus, um $[BE]$ zu berechnen. Dazu nutzt du den Kosinus des Winkels $\beta'$:
$\begin{array}{} \cos(35,78)&=\frac{9,49\, \text{cm}}{[BE]}\quad \scriptsize\mid\;\cdot [BE]\\ \cos(35,78)\cdot [BE]&=9,49 \,\text{cm}\quad \scriptsize\mid\;: \cos(40,27^{\circ})\\ [BE]&= \dfrac{9,49 \,\text{cm}}{\cos(35,78^{\circ})}\\ & =11,70\,\text{cm}\\ \end{array}$
$ [BE]=11,70\,\text{cm} $
Die Winkelhalbierende [BE] ist demnach etwa $11,7\,$cm lang.
#satzdespythagoras
d)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks nach zentrischer Streckung berechnen
Im Folgenden wird das Dreieck zentrisch mit dem Faktor $k=3$ gestreckt. Du sollst den Flächeninhalt des gestreckten Dreiecks berechnen.
Allgemein ist der Flächeninhalt $F$ eines Dreiecks gegeben durch:
$F=\dfrac{g\cdot h}{2}$
$F=\dfrac{g\cdot h}{2}$
$g$ bezeichnet die Hypotenuse des Dreiecks und $h$ die Höhe. Beide Werte sind dir gegeben bzw. hast du berechnet. Damit kannst du zunächst den Flächeninhalt des noch ungestreckten Dreiecks $ABC$ berechnen.
$F_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot (27\,\text{cm}+3\,\text{cm})\cdot 9\,\text{cm}=135\,\text{cm}^2$
$ $F_{ABC}=135\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt eines um den Streckungsfaktor $k$ gestreckten Dreiecks ist allgemein:
$F_{\text{gestreckt}}=k^2\cdot F$
$F_{\text{gestreckt}}=k^2\cdot F$
Mit einem Streckungsfaktor $k=3$ ergibt sich damit für das Dreieck $ABC$:
$F_{\text{gestreckt}}=3^2\cdot 135\,\text{cm}^2=9\cdot 135\,\text{cm}^2=1.215\,\text{cm}^2$
$ F_{\text{gestreckt}}=1.215\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des gestreckten Dreiecks ist $1.215\,\text{cm}^2$.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben und Lösungsmenge berechnen
Es ist die folgende Gleichung gegeben:
$\dfrac{2(x+2)}{x}=2-\dfrac{2-x}{x-2}$
Du sollst sowohl die Definitionsmenge als auch die Lösungsmenge für diese Gleichung angeben.
Beginne mit der Definitionsmenge. Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für $x$ überhaupt erlaubt sind einzusetzen. In dieser Gleichung stehen zwei Brüche und für Brüche gilt, dass der Nenner nicht Null sein darf, da man durch Null nicht teilen kann. Daraus folgt, dass
$x\neq 0$ und $x-2 \neq 0$ sein muss, also $x\neq 2$
$x$ darf also alle Werte annehmen außer $0$ und $2$. Die Definitionsmenge schreibt man dann:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{0; 2\}$
Die Lösungsmenge sind nun die Werte für $x$, für die die Gleichung stimmt. Du erhältst sie, wenn du durch Äquivalenzumformungen und $p$-$q$-Formel bzw. $a$-$b$-$c$-Formel nach $x$ auflöst.
$\begin{array}{} \dfrac{2(x+2)}{x}&=2-\dfrac{2-x}{x-2}& \\ \dfrac{2x+4}{x}&=2-\dfrac{2-x}{x-2}& \\ 2+\dfrac{4}{x}&=2-\dfrac{2-x}{x-2}& \quad \scriptsize\mid\;-2\\ \dfrac{4}{x}&=-\dfrac{2-x}{x-2}& \quad \scriptsize\mid\;\cdot x\\ 4&=-\dfrac{x(2-x)}{x-2}& \quad \scriptsize\mid\;\cdot (x-2)\\ 4(x-2)&=-x(2-x)& \quad \scriptsize\mid\; + x(2-x)\\ 4(x-2)+x(2-x)&=0&\\ 4x-8+2x-x^2&=0&\\ -x^2+6x-8&=0&\quad \scriptsize\mid\;\cdot (-1)\\ x^2-6x+8&=0&\\ \end{array}$
$ x^2-6x+8=0 $
Die entstandene quadratische Gleichung musst du nun mit der $p$-$q$-Formel
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
nach $x$ auflösen um die Lösungsmenge zu erhalten.
$\begin{array}{} x_{1,2}&=\frac{6}{2}\pm \sqrt {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2 - 8}\\ &=3 \pm \sqrt {9 - 8}\\ &= 3 \pm \sqrt {1}\\ & =3 \pm 1\\ x_1=4\\ x_2=2\\ \end{array}$
Die Werte $4$ und $2$ lösen die Gleichung, allerdings wurde bei der Definitionsmenge zuvor festgelegt, dass $2$ ein unzulässiger Wert ist. Die Lösungsmenge ist demnach:
$\mathbb{L}=\{4\}$
Die Definitionsmenge der Gleichung sind alle rationalen Zahlen, außer der Null und der Zwei, die Lösungsmenge ist nur die Zahl Vier.
#pq-formel#abc-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Masse bei gegebener Dichte bestimmen
In einer Packung befinden sich 1.000 massive Nieten aus Aluminium. Du sollst die Masse der 1.000 Nieten in Gramm angeben. Dazu ist dir die Information gegeben, dass $1\,\text{cm}^3$ Aluminium $2,71\,\text{g}$ wiegt.
Berechne daher zunächst das Volumen der 1.000 Nieten, um anschließend daraus die Masse abzuleiten. Eine einzelne Niete kann vereinfacht als halbkugelförmiger Kopf auf einem Zylinder beschrieben werden (s. dazu die Skizze).
Gruppe 1
Abb. 9: Skizze einer vereinfachten Niete
Gruppe 1
Abb. 9: Skizze einer vereinfachten Niete
Eine Niete füllt also ein Volumen von $106,82\,\text{mm}^3$. Umgerechnet in $\text{cm}^3$ kommt man auf $0,10682\,\text{cm}^3$. Das macht für 1000 Nieten ein Volumen von $106,82\,\text{cm}^3$. Nun musst du die Masse dieses Volumens berechnen. Da $1\,\text{cm}^3$ Aluminium $2,71\,\text{g}$ wiegen, haben $106,82\,\text{cm}^3$ eine Masse von
$m=106,82\,\text{cm}^3 \cdot 2,71\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=289,48\,\text{g} \, .$
Die 1.000 Nieten haben eine Masse von $289,48\,\text{g}$.

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Normalform aufstellen
Du hast eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ mit dem Scheitelpunkt $S_1\,(4\mid-3)$ gegeben. Du sollst nun die Normalform der Parabel $p_1$ angeben. Die Normalform sieht allgemein folgendermaßen aus:
$y=x^2+px+q$
$y=x^2+px+q$
Mit dem Scheitelpunkt kannst du zunächst die Scheitelform der Parabel angeben und diese dann in die Normalform umformen. Die allgemeine Scheitelform ist:
$y=(x-x_s)^2+y_s$
$y=(x-x_s)^2+y_s$
Mit den Koordinaten von $S_1$ kommst du so auf
$y=(x-4)^2-3$
Wenn du nun die rechte Seite der Gleichung ausmultiplizierst, erhältst du die Normalform:
$y=x^2-8x+13$
Die Normalform der Parabel $p_1$ ist $y=x^2-8x+13$.
#scheitelpunkt
b)
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen
Eine zweite Parabel $p_2$ ist gegeben durch die Normalform:
$y=-x^2+8x-15$
Du sollst die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_2$ der Parabel $p_2$ berechnen. Dazu formst du die Normalform in die Scheitelform um, da auf diese Weise die Scheitelpunktkoordinaten direkt ablesbar sind. Um das zu erreichen, musst du quadratisch ergänzen, sodass du ein Binom erhältst.
$\begin{array}{} y&=-x^2+8x-15& \quad \scriptsize\mid\;-1\text{ ausklammern}\\ &=-(x^2-8x+15)& \quad \scriptsize\mid\;\text{zur 2. Binomischen Formel erweitern}\\ &=-(x^2-8x+16-1)&\\ &=-(x^2-8x+16)+1& \quad \scriptsize\mid\;\text{zur 2. Binomischen Formel umformen}\\ &=-(x-4)^2+1& \\ \end{array}$
$ y=-(x-4)^2+1 $
Du hast nun die Scheitelform der Parabel $p_2$ und kannst dieser die Koordinaten der Parabel entnehmen:
$x_S=4$ und $y_S=1$.
Damit erhältst du den Scheitelpunkt für die Parabel $p_2$ $S_2\,(4\mid 1)$.
#binomischeformeln
c)
$\blacktriangleright$ Parabeln in ein Koordinatensystem einzeichnen
Du sollst die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem einzeichnen. Von Parabel $p_1$ ist dir der Scheitelpunkt $S_1\,(4\mid -3)$ gegeben, für die Parabel $p_2$ hast du den Scheitelpunkt $S_2\,(4\mid 1)$ in Aufgabenteil b) berechnet. Zeichne diese beiden Scheitelpunkte zunächst in das Koordinatensystem. Berechne nun für beide Parabeln ein paar Punkte, die du anschließend parabelförmig verbindest. Für $p_1$ bieten sich beispielsweise folgende Werte an:
$x=2$y=1
$x=6$y=1
$x=3$y=-2
$x=5$y=-2
Für $p_2$ kannst du die gleichen $x$-Werte verwenden:
$x=2$y=-3
$x=6$y=-3
$x=3$y=0
$x=5$y=0
Gruppe 1
Abb. 10 Parabeln $p_1$ und $p_2$ in einem Koordinatensystem
Gruppe 1
Abb. 10 Parabeln $p_1$ und $p_2$ in einem Koordinatensystem
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{y}$-Koordinate eines Punktes auf der Parabel berechnen
Der Punkt $D$ liegt auf der Parabel $p_2$. Dir ist nur die $x$-Koordinate des Punktes gegeben mit $x_D=-7\, .$ Du sollst nun die fehlende $y$-Koordinate des Punktes berechnen. Setze dazu den $x$-Wert in die Parabelgleichung ein.
$y_D=-(-7)^2+8\cdot (-7)-15=-120$
Die Koordinaten des Punktes $D$ lauten demnach $(-7\mid -120)$.
e)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen
Es gibt eine dritte Parabel $p_3$, die durch die Normalform angegeben ist:
$y=x^2-6x+5$
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ von $p_3$ mit der Parabel $p_2$ angeben. Setze dazu die Funktionsterme von $p_3$ und $p_2$ gleich und löse mit der $p$-$q$-Formel nach $x$ auf.
$\begin{array}{} x^2-6x+5&=-x^2+8x-15& \quad \scriptsize\mid\;-(-x^2+8x-15)\\ 2x^2-14x+20&=0& \quad \scriptsize\mid\;:2\\ x^2-7x+10&=0&\\ \end{array}$
$ x^2-7x+10=0 $
Mit der $p$-$q$-Formel kannst du nun die $x$-Werte der beiden Schnittpunkte berechnen.
$\begin{array}{} x_{1,2}&=\frac{7}{2}\pm \sqrt {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2 - 10}\\ &=\frac{7}{2}\pm \sqrt {\frac{49}{4} - 10}\\ &= \frac{7}{2}\pm \sqrt {\frac{9}{4}}\\ &=\frac{7}{2}\pm \frac{3}{2}\\ x_1&=\frac{10}{2}=5\\ x_2&=\frac{4}{2}=2\\ \end{array}$
Nun musst du die $x$-Werte in eine der Parabelfunktionsgleichungen von $p_2$ oder $p_3$ einsetzen und kannst dann die $y$-Werte berechnen. Im folgenden wird die Funktionsgleichung von $p_3$ verwendet.
$\begin{array}{} x_1: \, y_1&=5^2-6\cdot 5+5=0\\ x_2: \, y_2&=2^2-6\cdot 2+5=-3\\ \end{array}$
Die Schnittpunkte haben also die Koordinaten $P\,(5\mid 0)$ und $Q\,(2\mid -3)$.
#quadratischegleichung#pq-formel
f)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung einer Normalparabel aufstellen für zwei gegebene Punkte
Es sind die Punkte $A\,(1 \mid 3)$ und $B\,(-7\mid 19)$ gegeben. Diese liegen auf einer nach oben geöffneten Normalparabel $p_4$. Du sollst die Funktionsgleichung dieser Parabel angeben. Setze dazu die Punkte in die allgemeine Form der Normalform einer Parabel (wie in Aufagbenteil a) gegeben) und löse das Gleichungssystem.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 1^2+1b+c&=& 3&\quad \scriptsize\mid\;-(1+c)\\[5pt] & b &=& 2-c\\[5pt] \text{II}\quad& (-7)^2-7b+c&=& 19 &\quad \scriptsize\mid\; -(-7)^2\\[5pt] & -7b+c&=& -30 &\quad \scriptsize\mid\;\text{ersetze }b \text{ mit } 2-c\\[5pt] & -7(2-c)+c&=& -30\\[5pt] & -14+7c+c &=& -30& \quad \scriptsize\mid\;+14\\[5pt] & 8c&=& -16 & \quad \scriptsize\mid\;:8\\[5pt] & c&=& -2 & \\[5pt] & b&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{} & c&=& -2 & \\[5pt] & b&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du die Koeffizienten $b$ und $c$ in die allgemeine Normalform der nach oben geöffneten Normalparabel einsetzen und erhältst die Gleichung für die Parabel $p_4$:
$y=x^2+4x-2 \, .$

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$ Binomische Formel aufstellen
Du sollst die 2. Binomische Formel sowohl in ausmultiplizierter Form als auch als Klammerausdruck schreiben. Dafür sind dir Teile der Binomischen Formel angegeben. Allgemein gilt für die 2. Binomische Formel:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Dir ist folgende Binomische Formel gegeben:
$16x^2-[]+[]=([]-y)^2$
Mit Hilfe der allgemeinen Form weißt du, dass links vom Gleichzeichen an letzer Stelle $y^2$ stehen muss.
An erster Stelle rechts des Gleichzeichens muss $\sqrt{16x^2}=4x$ stehen. Daher ist der mittlere Term $2\cdot 4x\cdot y=8xy$. Setze die errechneten Terme in die dafür vorgesehen Lücken ein und du erhältst die folgende Gleichung:
$16x^2-\color{#87c800}{8xy}+\color{#87c800}{y^2}=(\color{#87c800}{4x}-y)^2$
b)
$\blacktriangleright$ Binomische Formel aufstellen
Du sollst die 1. Binomische Formel sowohl in ausmultiplizierter Form als auch als Klammerausdruck schreiben. Dafür sind dir Teile der Binomischen Formel angegeben. Allgemein gilt für die 1. Binomische Formel:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Dir ist folgende Binomische Formel gegeben:
$0,25z^2+8z+[]=([]-[])^2$
Mit Hilfe der allgemeinen Form weißt du, dass an erster Stelle rechts des Gleichzeichens $\sqrt{0,25z^2}=0,5z$ steht. Aus dem Term $8z=2\cdot 0,5z\cdot []$ lässt sich der hintere Term in der Klammer berechnen:
$\begin{array}{} 8z&=2\cdot 0,5z\cdot []\quad \scriptsize\mid\;:(2 \cdot 0,5z)\\ 8&=[]\\ \end{array}$
Damit lässt sich auch der letzte fehlende Term auf der linken Seite des Gleichheitszeichens berechenen:
$8^2=64$
Damit hast du alle Terme berechnet und die Gleichung kann folgendermaßen geschrieben werden: $10,25^2+8xy+\color{#87c800}{64}=(\color{#87c800}{0,5z}+\color{#87c800}{8})^2$

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Seitenlängen eines Rechtecks berechnen
Du sollst die Seitenlängen $a$ und $b$ eines Rechtecks berechnen. Die folgenden zwei Angaben sind dir über das Rechteck gegeben:
  1. Der Umfang der Rechtecks beträgt $100\,$cm
  2. Verkürzt man $a$ um $5\,$cm und verlängert $b$ um $6\,$cm, so verkleinert sich der Flächeninhalt um $60\,\text{cm}^2$
Diese beiden Angaben schreibst du in zwei Gleichungen um, sodass du ein lineares Gleichungssystem erhältst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2a+2b&=& 100\quad \scriptsize\mid\;\text{Stelle nach $a$ um:} -2b\\[5pt] &2a&=& 100-2b\quad \scriptsize\mid\;:2\\[5pt] &a&=& 50-b\quad\\[5pt] \text{II}\quad&(a-5)\cdot (b+6)&=& a\cdot b -60 \quad\\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&2a+2b&=& 100\\[5pt] &2a&=& …\\[5pt] &a&=& 50-b\\[5pt] \text{II}\quad&(a-5)(b+6)&=& … \\[5pt] \end{array} $
Setze $a=50-b$ in Gleichung $\text{II}$ ein und berechne $b$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad&(50-b-5)\cdot (b+6)&=& (50-b)\cdot b-60&\\[5pt] &(45-b)\cdot (b+6)&=& (50-b)\cdot b-60&\\[5pt] &45b+270-b^2-6b&=& -b^2+50b-60 &\quad \scriptsize\mid\;+b^2\\[5pt] &39b+270&=& 50b-60& \quad \scriptsize\mid\;\text{Stelle nach $b$ um:} -39b, +60\\[5pt] &330&=& 11b& \quad \scriptsize\mid\;:11\\[5pt] &30&=& b&\\[5pt] \end{array}$
$ 30=b $
Für $a$ ergibt sich daraus
$a=50-30=20$
Die Länge der Seite $a$ ist also $20\,\text{cm}$, die der Seite $b$ ist $30\,\text{cm}$
#lgs
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