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Gruppe 2

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gegeben ist die Gerade $g_1$, die durch die Punkte $A(-2\mid 6)$ und $B(4\mid 3)$ verläuft.
a)
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_1$ rechnerisch.
#geradengleichung
b)
Die Gerade $g_2$ hat die Funktionsgleichung $g_2: y=1,5x+3$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ von $g_2$ mit der $x$-Achse und gib $N$ an.
#schnittpunkt
c)
Die Gerade $g_3$ steht senkrecht auf $g_2$ und verläuft durch den Koordinatenursprung.
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
#geradengleichung
d)
Die Gerade $g_4: y=10x-14$ schneidet die Gerade $g_2$ im Punkt $T$.
Berechne die Koordinaten von $T$ und gib den Punkt $T$ an.
#schnittpunkt
e)
Zeichne die Geraden $g_2$ und $g_3$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
(6P)
#kartesischeskoordinatensystem

Aufgabe 2

Die Strecken $g$, $h$, und $i$ sind zueinander parallel (siehe Skizze).
Es gilt: $a=4\,\text{cm}$; $b=5\,\text{cm}$; $d=6\,\text{cm}$; $g=3\,\text{cm}$; $i=6,75\,\text{cm}$.
Berechne die Längen der Strecken $c$, $h$ und $f$.
(3P)
#parallel

Aufgabe 3

Ein Stapel mit sechs Spielkarten setzt sich aus einer Dame ($D$), drei Königen ($K$) und zwei Assen ($A$) zusammen. Barbara zieht mit geschlossenen Augen zweimal nacheinander eine Karte ohne Zurücklegen.
a)
Stell die möglichen Ereignisse in einem Baumdiagramm dar und beschrifte die einzelnen Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
b)
Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den beiden gezogenen Karten die Dame befindet.
#wahrscheinlichkeit
c)
In einem weiteren Stapel befinden sich acht verschiedene Spielkarten.
Gib an, wie viele Anordnungsmöglichkeiten es für diese Karten gibt.
(4P)

Aufgabe 4

a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $A(1\mid 11)$ und $B(-3\mid -5)$.
Berechne die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.
#parabel#parabelgleichung
b)
Eine weitere nach oben geöffnete Normalparabel $p_2$ hat die Funktionsgleichung $p_2: y=x^2+3x+4,25$.
Berechne die Scheitelpunktform von $p_2$.
#parabel#scheitelpunktform
c)
Durch Spiegelung von $p_2$ an der $y$-Achse entsteht die Parabel $p_3$.
Ermittle die Funktionsgleichung von $p_3$.
#parabel#spiegelung
d)
Die Parabel $p_4$ mit der Funktionsgleichung $p_4: y=-x^2+4,25$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $C$ und $D$.
Gib die Schnittpunkte an, indem du deren Koordinaten berechnest.
#parabel#schnittpunkt
e)
Gegeben sind die Graphen der Normalparabel $p_5$ und der Geraden $g$.
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $g$ (siehe Abbildung).
#parabel#graph#geradengleichung
f)
Berechne die spitzen Winkel $\alpha$, den die Gerade $g$ mit der $x$-Achse einschließt (siehe Abbildung).
#winkel
g)
Ermittle rechnerisch die Normalform der Parabel $p_5$ (siehe Abbildung).
(9P)
#parabelgleichung

Aufgabe 5

Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich.
Es gilt: $x$, $y$, $z \neq 0$.
$\frac{4x^4\cdot 3y^{-8}\cdot 5z^{-3}\cdot 2x^{-2}\cdot 4y^7\cdot 1z^4}{16z\cdot 15x^2\cdot 3y^{-2}}$
(2P)
#term

Aufgabe 6

(4P)
#volumen#kugel#kegel

Aufgabe 7

Markus erwirbt einen Motorroller zum Preis von $2.800 €$.
a)
Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren dieser Motorroller noch einen Wert von $210 €$ hätte, wenn man von einem gleichbleibenden jährlichen Wertverlust von $21\%$ in Bezug auf das jeweilige Vorjahr ausgeht.
b)
Tatsächlich beträgt der Wertverlust im ersten Jahr $23\%$, in den folgenden Jahren jeweils $16\%$ vom Wert des Vorjahres. Berechne den Wert des Rollers nach $4$ Jahren.
c)
Auch Thomas kauft sich einen Motorroller, jedoch zum Preis von $3.200 €$.
Ermittle rechnerisch, bei welchem jährlich gleichbleibenden prozentualen Wertverlust in Bezug auf das Vorjahr der Wert des Rollers nach $10$ Jahren noch $5.000 €$ betragen würde.
(5P)

Aufgabe 8

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$6= \frac{36}{6-3x}-\frac{5x}{3x-6}$
(4P)
#lösungsmenge#definitionsbereich

Aufgabe 9

In einem gleichschenkligen Trapez $ABCD$ (siehe Skizze) hat die Strecke $[AE]$ eine Länge von $8,5\,\text{cm}$, die Strecke $[EG]$ eine Länge von $2,5\,\text{cm}$.
Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt $28^{\circ}$.
#trapez#winkel
a)
Berechne die Höhe $[BE]$ des Trapezes $ABCD$.
#trapez
b)
Ermittle die Längen der Strecken $[AB]$ und $[BC]$.
c)
Bestimme rechnerisch den Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$.
(6P)
#flächeninhalt#trapez

Aufgabe 10

Durch eine zentrische Streckung mit den Streckungsfaktor $k=\frac{1}{3}$ ist aus dem Parallelogramm $ABCD$ das Bildparallelogramm $A'$$B'$$C'$$D'$ entstanden.
Die beiden folgenden Aussagen sind falsch:
(1)
Die Strecke $[A'B']$ ist dreimal so lang wie die Strecke $[AB]$.
(2)
Der Flächeninhalt der Originalfigur beträgt ein Drittel des Flächeninhalts der Bildfigur.
Stelle beide Aussagen auf deinem Lösungsblatt richtig.
(2P)

(45P)
#zentrischestreckung#flächeninhalt#parallelogramm
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Gerade $g_1$ verläuft durch die Punkte $A (-2\mid 6)$ und $B(4\mid 3)$. Du sollst nun die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ rechnerisch bestimmen. Allgemein gilt für die Funktionsgleichung einer Geraden:
$y=m\cdot x+t$
$y=m\cdot x+t$
Die Steigung $m$ lässt sich aus den Koordinaten der beiden Punkte berechnen. Dabei gilt:
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
Setze nun die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ein.
Den y-Achsenabschnitt $t$ berechnest du anschließend, indem du einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzt und nach $t$ umstellst.
 b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen
Die Gerade $g_2$ ist gegeben mit
$g_2: \quad y=1,5\cdot x+3$
Diese Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $N$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ berechnen. Die $x$-Achse ist beschrieben durch den Funktionsterm $y=0$. Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du diese Funktionsgleichung mit $g_2$ gleich und erhältst so den $x$-Wert.
c)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Es ist die Gerade $g_3$ gesucht. Du weißt, dass $g_3$ durch den Ursprung verläuft und die Gerade $g_2$ senkrecht schneidet. Auf Grund der Information, dass die Gerade durch den Ursprung verläuft, weißt du, dass $b=0$ ist. Die zweite Information gibt dir die Steigung von $g_3$: schneiden sich zwei Geraden senkrecht, dann gilt für die beiden Steigungen $m_1$ und $m_2$ allgemein, dass
$m_1=-\frac{1}{m_2}$
 d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
Es ist die Gerade $g_4$ gegeben durch die Funktionsgleichung
$y=10x-14\, .$
Die Gerade $g_4$ und die Gerade $g_2$ schneiden sich im Punkt $T$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ berechnen. Dazu setzt du die Geradengleichungen der beiden Geraden gleich.
 e)
$\blacktriangleright$ Geraden in Koordinatensystem zeichnen
Du sollst die Geraden $g_2(x)$ und $g_3(x)$ in ein Koordinatensystem einzeichnen. Es ist am einfachsten eine Gerade zu konstruieren, wenn man zwei Punkte, die sich auf der Gerade befinden, miteinander verbindet. Ein möglicher Punkt ist der $y$-Achsenabschnitt der jeweiligen Gerade.
Dann berechnest du jeweils einen zweiten Punkt.Dann verbindest du die Punkte und verlängerst diese Strecke.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Streckenlängen durch Strahlensatz bestimmen
Dir sind in der Skizze in der Aufgabenstellung die Strecken $a$ bis $i$ gegeben. Es gilt, dass $g$, $h$ und $i$ zueinander parallel sind. Folgende Längen sind dir gegeben: $a=4\,\text{cm}$, $b=5\,\text{cm}$, $d=6\,\text{cm}$, $g=3\,\text{cm}$ und $i=6,75\,\text{cm}$.
Du sollst die Längen der Strecken $c$, $h$ und $f$ berechnen. Dabei hilft dir der 1. und 2. Strahlensatz.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten erstellen
Ein Kartenstapel, bestehend aus insgesamt sechs Karten, setzt sich aus einer Dame (D), drei Königen (K) und zwei Assen (A) zusammen. Es werden nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen.
Du sollst die Ereignisse, die durch das Herausnehmen der Karten auftreten können, in einem Baumdiagramm darstellen. Du sollst die einzelnen Äste des Baumdiagramms mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriften.
Überlege zunächst, welche Ereignisse möglich sind und welche Wahrscheinlichkeiten jeweils gelten. Für die Wahrscheinlichkeit $P$ für ein Ereignis $A$ gilt dabei allgemein:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Möglichkeiten für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
$P(A)=\dfrac{\text{Alle Optionen für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für den ersten Zug, anschließend die für den zweiten Zug.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Karten, die Barbara zieht, die Dame ist, nimmst du das erstellte Baumdiagramm zur Hilfe. Du gehst vom Startpunkt all die Pfade entlang, die das Ereigniss D beinhalten. Die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade multiplizierst du miteinander (1. Pfadregel) und addierst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade anschließend (2. Pfadregel).
c)
$\blacktriangleright$ Alle möglichen Anordnungen bestimmen
Es gibt einen zweiten Kartenstapel mit acht Karten. Jede Karte unterscheidet sich von den anderen. Du sollst berechnen, wie viele Anordnungsmöglichkeiten sich mit diesen Karten ergeben, wenn du sie in einer Reihe auslegen würdest.
Die Anzahl der Möglichkeiten für die einzelnen Positionen multiplizierst du miteinander, dann erhältst du alle Möglichkeiten, die sich aus acht unterschiedlichen Karten ergeben.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung einer Normalparabel aufstellen
Du hast eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ mit den Punkten $A\,(1\mid 11)$ und $B\,(-3\mid -5)$. Du sollst nun die Normalform der Parabel $p_1$ angeben. Die Normalform sieht allgemein folgendermaßen aus:
$y=x^2+px+q$
$y=x^2+px+q$
Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ in die allgemeine Form ein und löse das daraus entstandene Gleichungssystem, um die Variablen $p$ und $q$ zu bekommen.
b)
$\blacktriangleright$ Normalform in Scheitelform umformen
Eine zweite Parabel $p_2$ ist gegeben durch die Normalform:
$y=x^2+3x+4,25$
Du sollst diese Gleichung nun in die Scheitelform umformen. Die allgemeine Scheitelform sieht folgendermaßen aus:
$y=(x-x_s)^2+y_s$
$y=(x-x_s)^2+y_s$
Um das zu erreichen, musst du den rechten Term der Normalform derart umformen oder quadratisch ergänzen, dass du ein Binom erhältst.
c)
$\blacktriangleright$ Parabel an $\boldsymbol{y}$-Achse spiegeln
Durch Spiegelung der Parabel $p_2$ an der $y$-Achse entsteht die Parabel $p_3$. Du sollst die Funktionsgleichung in Normalform für diese Parabel ermitteln.
Allgemein gilt für eine an der $y$-Achse gespiegelte Parabel $p'$, dass sich der Scheitelpunkt $S'$ aus dem Scheitelpunkt $S$ der ursprünglichen Parabel $p$ bestimmen lässt: Die $y$-Koordinate ist bei beiden Scheitelpunkten die selbe, die $x$-Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
Damit kannst du die Funktionsgleichung von $p_3$ zunächst in der Scheitelfom darstellen und anschließend umformen.
d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen
Es gibt eine vierte Parabel $p_4$, die durch die folgende Funktionsgleichung in Normalform angegeben ist:
$y=-x^2+4,25$
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte $C$ und $D$ von $p_4$ mit der Parabel $p_2$ angeben. Nutze dazu die $\color{#87c800}{p}$-$\color{#87c800}{q}$-Formel:
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Setze nun die Funktionsterme von $p_4$ und $p_2$ gleich und stelle eine quadratische Gleichung auf und löse mit der $p$-$q$-Formel nach $x$ auf.
 e)
$\blacktriangleright$ Geradengleichung mit Hilfe der Geradenabbildung bestimmen
Du siehst in der Abbildung ein Koordinatensystem, in das eine Parabel und eine Gerade, die die Parabel zwei mal schneidet, eingezeichnet sind. Du sollst an Hand der Abbildung die Geradengleichung bestimmen.
Den $\color{#87c800}{y}$-Achsenabschnitt $t$ der Geradengleichung kannst du aus der Zeichnung ablesen.
Die Steigung der Funktionsgleichung kannst du entweder mit Hilfe der Kästchen abzählen, oder rechnerisch bestimmen, indem du die Koordinaten von $P$ und $t$ in die allgemeine Form der Geradengleichung einsetzt und nach $m$ auflöst.
f)
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen einer Geraden und der $\boldsymbol{x}$-Achse berechnen
Du sollst den spitzen Winkel $\alpha$ berechnen, der von der Geraden $g$ und der $x$-Achse eingeschlossen ist. Für den Winkel $\alpha$ zwischen einer Geraden mit Steigung $m$ und der $x$-Achse gilt allgemein
$\tan \alpha= \mid m \mid \, .$
$\tan \alpha= \mid m \mid \, .$
Du musst also den Betrag der Steigung in die Arkustangensfunktion einsetzen und erhältst so den Winkel.
g)
$\blacktriangleright$ Parabelgleichung in Normalform aus Abbildung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung der Parabel $p_5$ an Hand der Abbildung rechnerisch bestimmen. Dazu kannst du entweder wie in Aufgabenteil a) mit den Punkten $P$ und $Q$ vorgehen, oder du verwendest den Scheitelpunkt $S_5$ und stellst damit zunächst die Scheitelpunktform auf. Diese formst du dann in die Normalform um.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Term vereinfachen
Dir ist der folgende Term gegeben:
$\dfrac{4x^4\cdot 3y^{-8} \cdot 5z^{-3} \cdot 2x^{-2} \cdot 4y^7 \cdot 1z^4}{16z\cdot 15x^2 \cdot 3y^{-2}}$
mit $x,y,z \neq 0$.
Du sollst diesen Ausdruck nun soweit wie möglich vereinfachen, d.h. du sollst, wo es möglich ist, kürzen. Bedenke dabei, dass du Zahlen und Variablen, die keinen Exponenten haben, durch Division kürzt, während Zahlen oder Variablen mit Exponent gekürzt werden, indem du die Exponenten voneinander abziehst.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Volumen eines Körpers bestimmen
Gruppe 2
Abb. 1: Skizze des Werkstücks
Gruppe 2
Abb. 1: Skizze des Werkstücks

Aufgabe 7

 a)
$\blacktriangleright$ Anzahl Jahre berechnen
Markus hat einen Motorroller zum Preis von $2.800\, €$ gekauft.
Du sollst berechnen, nach wie vielen Jahren der Roller nur noch einen Wert von $210\, €$ hätte, wenn der Wertverlust jedes Jahr $21\%=0,21$ zum Vorjahreswert beträge. Verwende dazu die Wachstumsformel:
$H_n=H_0\cdot(1-\frac{p}{100})^n$
$H_n=H_0\cdot(1-\frac{p}{100})^n$
Nun musst du nach der Anzahl der Verlustperioden $n$ umstellen.
 b)
$\blacktriangleright$ Restwert nach einer gegeben Anzahl an Jahren berechnen
Nun sollst du den Wert des Rollers nach vier Jahren berechnen. Allerdings ist der Wertverlust nun nicht mehr gleichbleibend. Im ersten Jahr ist er $23\%$, in den Folgejahren noch $16\%$ des Vorjahreswerts. Du hast nun also ein $q_1=1-0,23=0,77$ und ein $q_2=1-0,16=0,84$. Setze diese nun per Multiplikation in die Wachstumsformel ein, beachte dabei, dass $q_1$ nur einmal gilt, während $q_2$ für die weiteren drei Jahre zum Tragen kommt.
 c)
$\blacktriangleright$ Wertverlust berechnen
Thomas kauft sich ebenfalls einen Roller. Dieser kostet $3.200\, €$. Du sollst den jährlich gleichbleibenden Wertverlust in Bezug auf den Vorjahreswert berechnen, wenn gilt, dass der Roller nach zehn Jahren noch einen Wert von $500\, €$ aufweist. Stelle dazu die Wachstumsformel nach $q$ um.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben und Lösungsmenge berechnen
Es ist die folgende Gleichung gegeben:
$6=\dfrac{36}{6-3x}-\dfrac{5x}{3x-6}$
Du sollst sowohl die Definitionsmenge als auch die Lösungsmenge für diese Gleichung angeben.
Beginne mit der Definitionsmenge. Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für $x$ überhaupt erlaubt sind einzusetzen. In dieser Gleichung stehen zwei Brüche und für Brüche gilt, dass der Nenner nicht Null sein darf, da man durch Null nicht teilen kann.
Die Lösungsmenge sind nun die Werte für $x$, für die die Gleichung stimmt und die nicht durch die Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Du erhälst sie, wenn du durch Äquivalenzumformungen und $p$-$q$-Formel nach $x$ auflöst.

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$ Höhe eines gleichschenkligen Trapezes bestimmen
Es ist das gleichschenklige Trapez $ABCD$ gegeben. Zusätzlich sind auf dem Trapez die Punkte $E$, $F$ und $G$ zu finden. Folgende Streckenlängen sind in der Aufgabenstellung gegeben: $[AE]=8,5\, \text{cm}$ und $[EG]=2,5\, \text{cm}$. Außerdem kennst du den Winkel $\alpha=28^{\circ}$, der von $[AB]$ und $[AE]$ eingeschlossen wird.
Du sollst die Höhe $h=[BE]$ berechnen. Du kannst diese Strecke auch als Kathete des rechtwinkligen Dreiecks $\color{#87c800}{ABE}$ betrachten.
Gruppe 2
Abb. 2 Skizze des Trapez
Gruppe 2
Abb. 2 Skizze des Trapez
b)
$\blacktriangleright$ Streckenlängen berechnen
Du sollst die Längen der Strecken $[AB]$ und $[BC]$ berechnen. Betrachte zur Berechnung der Strecke $[AB]$ das Dreieck $\color{#87c800}{ABE}$, für die Strecke $[BC]$ ist das Dreieck $\color{#dc1400}{BCE}$ hilfreich.
Außerdem wird dir der Kathetensatz sehr nützlich sein.
$p\cdot q=h^2$
$p\cdot q=h^2$
Gruppe 2
Abb. 3 Skizze des Trapez
Gruppe 2
Abb. 3Skizze des Trapez
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Trapez bestimmen
Gruppe 2
Abb. 4 Skizze des Trapez
Gruppe 2
Abb. 4Skizze des Trapez

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Eigenschaften der zentrischen Streckung benennen
Durch eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k=\frac{1}{3}$ wird aus dem Parallelogramm $ABCD$ das Bildparallelogramm $A'B'C'D'$. Im folgenden werden zwei Aussagen über diese Streckung getroffen, die falsch sind. Du sollst die beiden Aussagen berichtigen.
  1. Die Strecke [A'B'] ist dreimal so lang wie die Strecke [AB]
  2. Der Flächeninhalt der Originalfigur beträgt ein Drittel des Flächeninhalts der Bildfigur
An der ersten Aussage stimmt der Ausdruck „dreimal so lang“ nicht.
Bei der zweiten Aussage musst du beachten, dass für Flächen gestreckter Figuren gilt: $F'=k^2\cdot F$.
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Gerade $g_1$ verläuft durch die Punkte $A (-2\mid 6)$ und $B(4\mid 3)$. Du sollst nun die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ rechnerisch bestimmen. Allgemein gilt für die Funktionsgleichung einer Geraden:
$y=m\cdot x+t$
$y=m\cdot x+t$
Die Steigung $m$ lässt sich aus den Koordinaten der beiden Punkte berechnen. Dabei gilt:
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
$m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
Setze nun die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ein:
$m=\dfrac{6-3}{-2-4}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}$
Den y-Achsenabschnitt $t$ berechnest du anschließend, indem du einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzt und nach $t$ umstellst. Verwende beispielsweise die Koordinaten von $A$.
$\begin{array}[t]{rll} 6&=&-\frac{1}{2}\cdot (-2)+t \\[5pt] 6&=&1 +t &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 5&=&t\\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $g_1$ lautet somit
$g_1: \quad y=-\frac{1}{2}\cdot x +5$
Sichere dich noch zunästzlich durch die Punktprobe ab. Dazu setzt du die Koordinaten deines zweiten Punktes $B$ in die Geradengleichung ein und überprüfst, ob das Ergebnis stimmt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\frac{1}{2}\cdot 4 +5\\[5pt] &=& -2+5 \\[5pt] &=& 3 \\[5pt] &=& y_B \\[5pt] \end{array}$
Dadurch hast du nachgewiesen, dass $B$ ebenfalls auf der Geraden $g_1$ liegt.
#steigung#punktprobe
 b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen
Die Gerade $g_2$ ist gegeben mit
$g_2: \quad y=1,5\cdot x+3$
Diese Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $N$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ berechnen. Die $x$-Achse ist beschrieben durch den Funktionsterm $y=0$. Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du diese Funktionsgleichung mit $g_2$ gleich und erhältst so den $x$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 1,5\cdot x +3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] -3&=& 1,5 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; : 1,5\\[5pt] -2&=& x \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten von $N$ sind somit gegeben durch $(-2 \mid 0)$.
c)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Es ist die Gerade $g_3$ gesucht. Du weißt, dass $g_3$ durch den Ursprung verläuft und die Gerade $g_2$ senkrecht schneidet. Auf Grund der Information, dass die Gerade durch den Ursprung verläuft, weißt du, dass $b=0$ ist. Die zweite Information gibt dir die Steigung von $g_3$: schneiden sich zwei Geraden senkrecht, dann gilt für die beiden Steigungen $m_1$ und $m_2$ allgemein, dass
$m_1=-\frac{1}{m_2}$
Für die Steigung der Gerade $g_3$ gilt daher mit der Steigung $1,5=\frac{3}{2}$ von $g_2$: $m_3=-\frac{2}{3}$. Damit kommst du auf die Funktionsgleichung von $g_3$:
$y=-\frac{2}{3}x$
Die Gerade $g_3$ wird also durch $y=-\frac{2}{3}x$ beschrieben.
#orthogonal
 d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
Es ist die Gerade $g_4$ gegeben durch die Funktionsgleichung
$y=10x-14\, .$
Die Gerade $g_4$ und die Gerade $g_2$ schneiden sich im Punkt $T$. Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ berechnen. Dazu setzt du die Geradengleichungen der beiden Geraden gleich.
$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot x -14&=& 1,5\cdot x +3 &\quad \scriptsize \mid\; +14\\[5pt] 10\cdot x &=& 1,5 \cdot x +17&\quad \scriptsize \mid\; -(1,5 \cdot x) \\[5pt] 8,5\cdot x&=& 17 &\quad \scriptsize \mid\; :(8,5) \\[5pt] x&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$ x=2 $
Dadurch hast du den $x$-Wert des Schnittpunktes bestimmt. Als nächstes berechnest du die $y$-Koordinate. Dazu setzt du die eben berechnete $x$-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, beispielsweise in $g_4$:
$ 10\cdot 2-14=20-14=6$
Der Schnittpunkt $T$ ist demnach gegeben durch $T(2\mid 6)$.
#geradengleichung
 e)
$\blacktriangleright$ Geraden in Koordinatensystem zeichnen
Du sollst die Geraden $g_2(x)$ und $g_3(x)$ in ein Koordinatensystem einzeichnen. Es ist am einfachsten eine Gerade zu konstruieren, wenn man zwei Punkte, die sich auf der Gerade befinden, miteinander verbindet. Ein möglicher Punkt ist der $y$-Achsenabschnitt der jeweiligen Gerade. Für die Gerade $g_2$ hast du so einen Punkt bei $(0\mid 3)$, für die Gerade $g_3$ ist ein Punkt der Ursprung $(0\mid 0)$.
Nun berechnest du jeweils einen zweiten Punkt. Für $g_3$ bietet sich beispielsweise $x=3$ an. Damit erhältst du den $y$-Wert $-2$, sodass du den Punkt $(3\mid -2)$ erhältst. Verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt und verlängere die Strecke in beide Richtungen, damit hast du die Gerade $g_3$ gezeichnet.
Für die Gerade $g_2$ kannst du zum Beispiel $x=2$ wählen, dann ist der $y$-Wert $6$. Dann verbindest du die Punkte $(0\mid 3)$ und $(2\mid 6)$, verlängerst diese Strecke und hast damit die Gerade $g_2$ in das Koordinatensystem eingezeichnet. Das Ergebnis sollte der unten stehenden Abbildung gleichen.
Gruppe 2
Abb. 1 Geraden $g_2$ und $g_3$ in einem Koordinatensystem
Gruppe 2
Abb. 1 Geraden $g_1$ und $g_3$ in einem Koordinatensystem

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Streckenlängen durch Strahlensatz bestimmen
Dir sind in der nebenstehenden Skizze die Strecken $a$ bis $i$ gegeben. Es gilt, dass $g$, $h$ und $i$ zueinander parallel sind. Folgende Längen sind dir gegeben: $a=4\,\text{cm}$, $b=5\,\text{cm}$, $d=6\,\text{cm}$, $g=3\,\text{cm}$ und $i=6,75\,\text{cm}$.
Du sollst die Längen der Strecken $c$, $h$ und $f$ berechnen. Dabei hilft dir der 2. Strahlensatz. Nach diesem gilt:
Gruppe 2
Abb. 2 Skizze für den Strahlensatz
Gruppe 2
Abb. 2 Skizze für den Strahlensatz
Gruppe 2
Abb. 3 Skizze für den Strahlensatz
Gruppe 2
Abb. 3 Skizze für den Strahlensatz
Gruppe 2
Abb. 4 Skizze für den Strahlensatz
Gruppe 2
Abb. 4 Skizze für den Strahlensatz
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3\,\text{cm}}{6,75}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{(6\,\text{cm}+f)}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (6\,\text{cm}+f) \\[5pt] \dfrac{3\,\text{cm}\cdot (6\,\text{cm}+f)}{6,75}&=&4\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{6,75\,\text{cm}}{3\,\text{cm}} \\[5pt] 6\,\text{cm}+f&=& \dfrac{4\,\text{cm}\cdot 6,75\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\; -6\,\text{cm} \\[5pt] f&=&\dfrac{27\,\text{cm}^2}{3\,\text{cm}}-6\,\text{cm}& \\[5pt] f&=&9\,\text{cm}-6\,\text{cm} & \\[5pt] f &=&3\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ f=3\,\text{cm} $
Die gesuchten Strecken haben also eine Länge von $h=4,5\,\text{cm}$, $c=7,5\,\text{cm}$ und $f=3\,\text{cm}$.
#strahlensatz

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten erstellen
Ein Kartenstapel, bestehend aus insgesamt sechs Karten, setzt sich aus einer Dame (D), drei Königen (K) und zwei Assen (A) zusammen. Es werden nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen.
Du sollst die Ereignisse, die durch das Herausnehmen der Karten auftreten können, in einem Baumdiagramm darstellen. Du sollst die einzelnen Äste des Baumdiagramms mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriften.
Überlege zunächst, welche Ereignisse möglich sind und welche Wahrscheinlichkeiten jeweils gelten. Für die Wahrscheinlichkeit $P$ für ein Ereignis $A$ gilt dabei allgemein:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Möglichkeiten für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
$P(A)=\dfrac{\text{Alle Optionen für Ereignis A}}{\text{Gesamtanzahl}}$
Bevor sich Barbara die erste Karte nimmt, befinden sich insgesamt sechs Karten im Stapel. Die möglichen Ereignisse für das erste Herausnehmen sind demnach D, K und A. Das Baumdiagramm hat also zunächst drei Äste, die jeweils auf eines der drei Ereignisse zeigen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis die eine Dame zu ziehen, ist
$P_1$(D)$=\frac{1}{6}$
Analog gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses einen der drei Könige beziehungsweise eines der beiden Asse zu bekommen:
$P_1$(K)$=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$P_1$(A)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
Nachdem Barbara die erste Karte gezogen hat, sind nur noch insgesamt fünf Karten vorhanden. War die erste Karte eine Dame, sind weiterhin 3 Könige und 2 Asse vorhanden. Die möglichen Ereignisse sind also K und A. Der Knotenpunkt des Ereignisses D verzweigt sich demnach nur in zwei Äste.
Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ereignisse ergeben sich dann zu:
$P_2$(K)$=\frac{3}{5}$
$P_2$(A)$=\frac{2}{5}$
War die erste Karte hingegen ein König, gibt es immer noch eine Dame und zwei Asse, aber nur noch zwei Könige. Die möglichen Ereignisse sind D, K und A und der Knotenpunkt des Ereignisses K verzweigt sich in drei Äste.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind:
$P_2$(D)$=\frac{1}{5}$
$P_2$(K)$=\frac{2}{5}$
$P_2$(A)$=\frac{2}{5}$
Die dritte Variante ist die, dass die erste Karte ein Ass war. Es gibt dann noch eine Dame, drei Könige und ein Ass. Vom Knotenpunkt A aus gibt es wieder drei weitere Äste mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:
$P_2$(D)$=\frac{1}{5}$
$P_2$(K)$=\frac{3}{5}$
$P_2$(A)$=\frac{1}{5}$
Das Baumdiagramm sieht schlussendlich folgendermaßen aus:
Gruppe 2
Abb. 5: Baumdiagramm
Gruppe 2
Abb. 5: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Karten, die Barbara zieht, die Dame ist, nimmst du das erstellte Baumdiagramm zur Hilfe. Du gehst vom Startpunkt all die Pfade entlang, die das Ereigniss D beinhalten. Die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade multiplizierst du miteinander (1. Pfadregel) und addierst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade anschließend (2. Pfadregel).
In diesem Fall kommst du auf eine Wahrscheinlichkeit von
$P$(D)$=P_1$(D)$+P_1$(K)$\cdot P_2$(D)$+P_1$(A)$\cdot P_2$(D)$=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit innerhalb der zwei Züge eine Dame zu ziehen, ist $\frac{1}{3}$.
c)
$\blacktriangleright$ Alle möglichen Anordnungen bestimmen
Es gibt einen zweiten Kartenstapel mit acht Karten. Jede Karte unterscheidet sich von den anderen. Du sollst berechnen, wie viele Anordnungsmöglichkeiten sich mit diesen Karten ergeben, wenn du sie in einer Reihe auslegen würdest. Für die erste Position hast du noch alle acht Karten zur Verfügung, daher hast du acht Möglichkeiten für Position $\text{Pos}_1$. An der zweiten Stelle $\text{Pos}_2$ hast du noch sieben Karten, da du eine Karte ja bereits für die erste Stelle verwendet hast. Für $\text{Pos}_3$ hast du noch sechs Karten, für $\text{Pos}_4$ sind es noch fünf, usw., bis du für die letzte Position nur noch eine Karte, also eine Möglichkeit übrig hast.
Die Anzahl der Möglichkeiten für die einzelnen Positionen multiplizierst du miteinander, dann erhältst du alle Möglichkeiten, die sich aus acht unterschiedlichen Karten ergeben.
$8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40.320$
Es gibt für acht unterschiedliche Spielkarten also insgesamt $40.320$ Anordnungsmöglichkeiten.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung einer Normalparabel aufstellen
Du hast eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ mit den Punkten $A\,(1\mid 11)$ und $B\,(-3\mid -5)$. Du sollst nun die Normalform der Parabel $p_1$ angeben. Die Normalform sieht allgemein folgendermaßen aus:
$y=x^2+px+q$
$y=x^2+px+q$
Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ in die allgemeine Form ein und löse das daraus entstandene Gleichungssystem, um die Variablen $p$ und $q$ zu bekommen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 1^2+1p+q&=& 11&\quad \scriptsize\mid\;\cdot 3\\[5pt] \text{II}\quad& (-3)^2-3p+q&=& -5 &\\[5pt] \hline \text{I'}\quad& 3+3p+3q&=& 33&\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}=\text{III}\\[5pt] \text{II}\quad& 9-3p+q&=& -5 &\\[5pt] \hline \text{III}\quad& 12+4q&=& 28 &\quad \scriptsize\mid\; -12\\[5pt] & 4q&=& 16 & \quad \scriptsize\mid\;:4\\[5pt] & q&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
$ q=4 $
Setze nun $q=4$ in $\text{I}$ ein und berechne so $p$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 1^2+1p+4&=& 11&\quad \scriptsize\mid\;-5\\[5pt] & p&=& 6&\\[5pt] \end{array}$
Zur Überprüfung setzt du $p=6$ und $q=4$ in die zweite Gleichung ein und überprüfst, ob sie stimmt.
$-5=9-3\cdot6+4=9-18+4=-5$
Die Gleichung stimmt, die Funktionsgleichung der Parabel $p_1$ lautet somit
$y=x^2+6x+4\, .$
#gleichungssystem
b)
$\blacktriangleright$ Normalform in Scheitelform umformen
Eine zweite Parabel $p_2$ ist gegeben durch die Normalform:
$y=x^2+3x+4,25$
Du sollst diese Gleichung nun in die Scheitelform umformen. Die allgemeine Scheitelform sieht folgendermaßen aus:
$y=(x-x_s)^2+y_s$
$y=(x-x_s)^2+y_s$
Um das zu erreichen, musst du den rechten Term der Normalform derart umformen oder quadratisch ergänzen, dass du ein Binom erhältst.
$\begin{array}{} y&=x^2+3x+4,25& \quad \scriptsize\mid\;\text{zur 1. Binomischen Formel erweitern}\\ &=x^2+2\cdot 1,5 \cdot x+1,5^2+(4,25-1,5^2)&\quad \scriptsize\mid\;\text{zur 1. Binomischen Formel umformen}\\ &=(x+1,5)^2+2&\\ \end{array}$
$ y=(x+1,5)^2+2 $
Du hast nun die Scheitelform der Parabel $p_2:$
$y=(x+1,5)^2+2$
#binomischeformeln
c)
$\blacktriangleright$ Parabel an $\boldsymbol{y}$-Achse spiegeln
Durch Spiegelung der Parabel $p_2$ an der $y$-Achse entsteht die Parabel $p_3$. Du sollst die Funktionsgleichung in Normalform für diese Parabel ermitteln.
Allgemein gilt für eine an der $y$-Achse gespiegelte Parabel $p'$, dass sich der Scheitelpunkt $S'$ aus dem Scheitelpunkt $S$ der ursprünglichen Parabel $p$ bestimmen lässt: Die $y$-Koordinate ist bei beiden Scheitelpunkten die selbe, die $x$-Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
Aus Aufgabenteil b) kannst du den Scheitelpunkt der Parabel $p_2$ ablesen: $S_2\,(-1,5\mid 2)$. Daraus ergibt sich, dass der Scheitelpunkt $S_3$ die Koordinaten $(1,5\mid 2)$ hat. Damit kannst du die Funktionsgleichung von $p_3$ zunächst in der Scheitelfom darstellen.
$y=(x-1,5)^2+2$
Du musst nun den rechten Term ausmultiplizieren, dann erhältst du die Normalform für $p_3$:
$y=x^2-3x+2,25+2=x^2-3x+4,25\, .$
$p_3$ lässt sich somit in der Normalform als $y=x^2-3x+4,25$ darstellen.
d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen
Es gibt eine vierte Parabel $p_4$, die durch die folgende Funktionsgleichung in Normalform angegeben ist:
$y=-x^2+4,25$
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte $C$ und $D$ von $p_4$ mit der Parabel $p_2$ angeben. Nutze dazu die $\color{#87c800}{p}$-$\color{#87c800}{q}$-Formel:
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Setze nun die Funktionsterme von $p_4$ und $p_2$ gleich und stelle eine quadratische Gleichung auf
$\begin{array}{rll} x^2+3x+4,25&=-x^2+4,25& \quad \scriptsize\mid\;-4,25\\ x^2+3x&=-x^2& \quad \scriptsize\mid\;+x^2\\ 2x^2+3x&=0& \quad \scriptsize\mid\;:2\\ x^2+\frac{3}{2}x&=0&\ \end{array}$
$ x^2+\frac{3}{2}x=0 $
und löse mit der $p$-$q$-Formel nach $x$ auf:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=-\dfrac{\frac{3}{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\frac{3}{2}}{2}\right)^2}&\\ &=-\dfrac{3}{4} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}& \\ x_1&=0&\\ x_2&=-\dfrac{3}{2}&\ \end{array}$
Nun musst du die $x$-Werte in eine der Parabelfunktionsgleichungen von $p_2$ oder $p_4$ einsetzen und kannst dann die $y$-Werte berechnen. Im folgenden wird die Funktionsgleichung von $p_4$ verwendet.
$\begin{array}{rll} x_1: \quad& y_1&=0^2+4,25=4,25\\ x_2: \quad& y_2&=-\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+4,25=2\\ \end{array}$
Die Schnittpunkte haben also die Koordinaten $C\,(0\mid 4,25)$ und $D\,\left(-\dfrac{3}{2}\mid 2\right)$.
#pq-formel#quadratischegleichung
 e)
$\blacktriangleright$ Geradengleichung mit Hilfe der Geradenabbildung bestimmen
Du siehst in der Abbildung ein Koordinatensystem, in das eine Parabel und eine Gerade, die die Parabel zwei mal schneidet, eingezeichnet sind. Du sollst an Hand der Abbildung die Geradengleichung bestimmen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Geraden mit der Parabel kannst du ablesen: $P\,(-4\mid 3)$ und $Q\,(0\mid -5)$. $Q$ ist außerdem der Schnittpunkt mit der $y$-Achse, sodass du sofort den $\color{#87c800}{y}$-Achsenabschnitt $t$ der Geradengleichung benennen kannst: $t=-5$.
Die Steigung der Funktionsgleichung kannst du entweder mit Hilfe der Kästchen abzählen, oder rechnerisch bestimmen, indem du die Koordinaten von $P$ und $t=-5$ in die allgemeine Form der Geradengleichung einsetzt und nach $m$ auflöst:
$\begin{array}{rll} 3&=-4\cdot m-5& \quad \scriptsize\mid\;+5\\ 8&=-4\cdot m& \quad \scriptsize\mid\;:(-4)\\ -2&=m&\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Gerade lautet mit diesen Werten
$y=-2x-5\, .$
#steigung
f)
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen einer Geraden und der $\boldsymbol{x}$-Achse berechnen
Du sollst den spitzen Winkel $\alpha$ berechnen, der von der Geraden $g$ und der $x$-Achse eingeschlossen ist. Für den Winkel $\alpha$ zwischen einer Geraden mit Steigung $m$ und der $x$-Achse gilt allgemein
$\tan \alpha= \mid m \mid \, .$
$\tan \alpha= \mid m \mid \, .$
Du musst also den Betrag der Steigung in die Arkustangensfunktion einsetzen und erhältst so den Winkel.
$\tan^{-1}\mid -2 \mid=\tan^{-1}2\approx 63,43^{\circ}$
Der Winkel zwischen der Geraden $g$ und der $x$-Achse ist demnach etwa $\alpha=63,43^{\circ}$.
g)
$\blacktriangleright$ Parabelgleichung in Normalform aus Abbildung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung der Parabel $p_5$ an Hand der Abbildung rechnerisch bestimmen. Dazu kannst du entweder wie in Aufgabenteil a) mit den Punkten $P$ und $Q$ vorgehen, oder du verwendest den Scheitelpunkt $S_5$ und stellst damit zunächst die Scheitelpunktform auf. Diese formst du dann in die Normalform um.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Beginne mit der Variante mit den Punkten $P$ und $Q$. Setze zunächst die Koordinaten von $Q$ in die allgemeine Form der nach unten geöffneten Normalparabel ein:
$y=-x^2+px+q$
$y=-x^2+px+q$
$-5=-0^2+0p+q=q$
Verwende nun $q=-5$ und die Koordinaten von $P$, um $p$ zu berechnen:
$\begin{array}{rll} 3&=-(-4)^2-4p-5& \quad \scriptsize\mid\;+5+16\\ 24&=-4p& \quad \scriptsize\mid\;:(-4)\\ -6&=p&\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich damit zu
$y=-x^2-6x-5$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Du kommst auch mit dem Scheitelpunkt $S_5\, (-3\mid 4)$ auf die Lösung. Nutze dazu die allgemeine Form der Scheitelform für eine nach unten geöffnete Normalparabel:
$y=-(x-x_S)^2+y_S$
$y=-(x-x_S)^2+y_S$
Setze die Koordinaten von $S_5$ ein:
$\begin{array}{rll} y&=-(x-(-3))^2+4&\\ &=-(x+3)^2+4&\\ &=-(x^2+6x+9)+4&\\ &=-x^2-6x-9+4\\ &=-x^2-6x-5\\ \end{array}$
Du siehst, beide Wege führen zu dem Ergebnis $y=-x^2-6x-5$.
#scheitelpunktform#scheitelpunkt

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Term vereinfachen
Dir ist der folgende Term gegeben:
$\dfrac{4x^4\cdot 3y^{-8} \cdot 5z^{-3} \cdot 2x^{-2} \cdot 4y^7 \cdot 1z^4}{16z\cdot 15x^2 \cdot 3y^{-2}}$
mit $x,y,z \neq 0$.
Du sollst diesen Ausdruck nun soweit wie möglich vereinfachen, d.h. du sollst, wo es möglich ist, kürzen. Bedenke dabei, dass du Zahlen und Variablen, die keinen Exponenten haben, durch Division kürzt, während Zahlen oder Variablen mit Exponent gekürzt werden, indem du die Exponenten voneinander abziehst. Kürze zunächst die Zahlen ohne Exponenten: die $16$ im Nenner lässt sich mit den beiden $4$ern im Zähler zu einer $1$ kürzen. Das gleiche gilt für die $15$ im Nenner und die $5$ und $3$ im Zähler. Fasse anschließend die Potenzen, die die gleiche Basis haben, durch Addition der Exponenten zusammen und kürze dann diese.
$\begin{array}{} &\dfrac{\color{#87c800}{4}x^4\cdot \color{#dc1400}{3}y^{-8} \cdot \color{#dc1400}{5}z^{-3} \cdot 2x^{-2} \cdot \color{#87c800}{4}y^7 \cdot 1z^4}{\color{#87c800}{16}z\cdot \color{#dc1400}{15}x^2 \cdot 3y^{-2}}& \quad \scriptsize\mid\; \color{#87c800}{16} \text{ mit }\color{#87c800}{4}\cdot \color{#87c800}{4} \text{ und } \color{#dc1400}{15} \text{ mit } \color{#dc1400}{3}\cdot \color{#dc1400}{5} \text{ kürzen }\\ =&\dfrac{\color{#87c800}{x^4}\cdot \color{#dc1400}{y^{-8}} \cdot z^{-3} \cdot 2\color{#87c800}{x^{-2}} \cdot \color{#dc1400}{y^7} \cdot 1z^4}{z\cdot x^2 \cdot 3y^{-2}}& \quad \scriptsize\mid\; \text{Fasse Potenzen mit gleichem Basiswert zuammen}\\ =&\dfrac{2\cdot x^{4+(-2)}\cdot y^{-8+7}\cdot z^{-3+4}}{3\cdot x^2\cdot y^{-2}\cdot z}&\\ =&\dfrac{2\cdot x^2\cdot y^{-1}\cdot z}{3\cdot x^2\cdot y^{-2}\cdot z}& \quad \scriptsize\mid\; \text{Potenzen kürzen}\\ =&\dfrac{2\cdot x^{2-2} \cdot y^{-1-(-2)}\cdot z^{1-1}}{3}&\\ =&\dfrac{2\cdot y}{3}&\\ =&\dfrac{2}{3}y&\\ \end{array}$
$ \dfrac{2}{3}y $
Der Term kann nun nicht weiter vereinfacht werden und lautet in seiner einfachsten Form $\dfrac{2}{3}y$.
#termumformen

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Volumen eines Körpers bestimmen
Gruppe 2
Abb. 6: Skizze des Werkstücks
Gruppe 2
Abb. 6: Skizze des Werkstücks
Du musst nun den Kegelradius und die Höhe $h$ des Kegels berechnen, um auf das Volumen zu kommen. Dazu verwendest du den Winkel $\alpha$ und die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus, da die Höhe des Kegels mit der Grundfläche des Kegels einen rechten Winkel bildet (siehe Skizze).
$\sin \alpha=\dfrac{\color{#dc1400}{\text{Gegenkathete}}}{\color{#87c800}{\text{Hypotenuse}}}$
$\sin \alpha=\dfrac{\color{#dc1400}{\text{Gegenkathete}}}{\color{#87c800}{\text{Hypotenuse}}}$
$\cos \alpha=\dfrac{\color{#dc1400}{\text{Ankathete}}}{\color{#87c800}{\text{Hypotenuse}}}$
$\cos \alpha=\dfrac{\color{#dc1400}{\text{Ankathete}}}{\color{#87c800}{\text{Hypotenuse}}}$
Die Hypotenuse ist dir mit der Mantellinie $s$ gegeben. Da du auch den Winkel kennst, kannst du nun durch einfaches Umstellen die Höhe $h$ (Gegenkathete) und den Kegelradius $r$ (Ankathete) berechnen:
$\begin{array}{rll} \sin (53,1)&=\dfrac{h}{15\, \text{cm}}& \quad \scriptsize\mid\; \cdot 15\, \text{cm} \\ 15\, \text{cm} \cdot \sin (53,1)&=h&\\ 12\, \text{cm}&\approx h&\\ \cos (53,1)&=\dfrac{r}{15\, \text{cm}}& \quad \scriptsize\mid\; \cdot 15\, \text{cm} \\ 15\, \text{cm} \cdot \cos (53,1)&=r&\\ 9\, \text{cm}&\approx r&\\ \end{array}$
$ \begin{array}{rll} 12\, \text{cm}&\approx h&\\ 9\, \text{cm}&\approx r&\\ \end{array} $
Setze diese Werte nun in die Gleichung für das Volumen ein und rechne es aus:
$V_{\text{Werkstück}}=\frac{1}{3}\pi (9\, \text{cm})^2\cdot 12\, \text{cm}-\frac{16}{81}\pi (9\, \text{cm})^3\approx565,5\, \text{cm}^3$
$ V_{\text{Werkstück}}\approx565,5\, \text{cm}^3 $
Das Werkstück hat also ein Volumen von ca. $565,5\, \text{cm}^3$.
#kosinus#trigonometrie#sinus

Aufgabe 7

 a)
$\blacktriangleright$ Anzahl Jahre berechnen
Markus hat einen Motorroller zum Preis von $2.800\, €$ gekauft.
Du sollst berechnen, nach wie vielen Jahren der Roller nur noch einen Wert von $210\, €$ hätte, wenn der Wertverlust jedes Jahr $21\%=0,21$ zum Vorjahreswert beträge. Verwende dazu die Wachstumsformel:
$H_n=H_0\cdot(1-\frac{p}{100})^n$
$H_n=H_0\cdot(1-\frac{p}{100})^n$
Der Anfangswert des Rollers ist $H_0=2.800\, €$, der Endwert $H_n=210\, €$. Der Wertverlust ist $p=21$, sodass $1-\frac{p}{100}=q=0,79$. Nun musst du nach der Anzahl der Verlustperioden $n$ umstellen:
$\begin{array}{rll} H_n&=H_0\cdot q^n& \quad \scriptsize\mid\; H_0 \\ \dfrac{H_n}{H_0}&=q^n& \quad \scriptsize\mid\; \log_q\\ \log_q\left(\dfrac{H_n}{H_0}\right)&=n&\quad \scriptsize\mid\; \log_q(x)=\frac{\ln x}{\ln q}\\ \frac{\ln\left(\dfrac{H_n}{H_0}\right)}{\ln q}&=n&\quad \scriptsize\mid\; \text{Werte einsetzen}\\ \frac{\ln\left(\dfrac{210}{2.800}\right)}{\ln 0,79}&=n&\\ 11&\approx n&\\ \end{array}$
$ 11 \approx n $
Nach etwa $11$ Jahren hätte der Roller mit dem gegeben jährlichen Wertverlust einen Wert von $210\, €$.
 b)
$\blacktriangleright$ Restwert nach einer gegeben Anzahl an Jahren berechnen
Nun sollst du den Wert des Rollers nach vier Jahren berechnen. Allerdings ist der Wertverlust nun nicht mehr gleichbleibend. Im ersten Jahr ist er $23\%$, in den Folgejahren noch $16\%$ des Vorjahreswerts. Du hast nun also ein $q_1=1-0,23=0,77$ und ein $q_2=1-0,16=0,84$. Setze diese nun per Multiplikation in die Wachstumsformel ein, beachte dabei, dass $q_1$ nur einmal gilt, während $q_2$ für die weiteren drei Jahre zum Tragen kommt.
$\begin{array}{rll} H_n&=H_0\cdot q_1\cdot q_2^3& \quad \scriptsize\mid\; \text{Werte einsetzen} \\ &=2.800\, € \cdot 0,77 \cdot (0,84)^3\\ &=1.278\, €\\ \end{array}$
$ H_n=1.278 \, € $
Der Wert des Rollers wäre nach vier Jahren noch $1.278\, €$.
 c)
$\blacktriangleright$ Wertverlust berechnen
Thomas kauft sich ebenfalls einen Roller. Dieser kostet $3.200\, €$. Du sollst den jährlich gleichbleibenden Wertverlust in Bezug auf den Vorjahreswert berechnen, wenn gilt, dass der Roller nach zehn Jahren noch einen Wert von $500\, €$ aufweist. Stelle dazu die Wachstumsformel nach $q$ um.
$\begin{array}{rll} H_n&=H_0\cdot q^n& \quad \scriptsize\mid\; :H_0 \\ \dfrac{H_n}{H_0}&=q^n& \quad \scriptsize\mid\; \sqrt[n]{}\\ \sqrt[n]{\dfrac{H_n}{H_0}}&=q& \quad \scriptsize\mid\; \text{Werte einsetzen}\\ \sqrt[10]{\dfrac{500}{3200}}&=q&\\ 0,83&=q&\\ \end{array}$
Der jährliche Wertverlust wäre damit $1-0,83=0,17=17\%$.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben und Lösungsmenge berechnen
Es ist die folgende Gleichung gegeben:
$6=\dfrac{36}{6-3x}-\dfrac{5x}{3x-6}$
Du sollst sowohl die Definitionsmenge als auch die Lösungsmenge für diese Gleichung angeben.
Beginne mit der Definitionsmenge. Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für $x$ überhaupt erlaubt sind einzusetzen. In dieser Gleichung stehen zwei Brüche und für Brüche gilt, dass der Nenner nicht Null sein darf, da man durch Null nicht teilen kann. Daraus folgt, dass
$6-3x\neq 0$ und $3x-6 \neq 0$ gilt, also $ x\neq 2$
$x$ darf also alle Werte annehmen außer $2$. Die Definitionsmenge schreibt man dann:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}$
Die Lösungsmenge sind nun die Werte für $x$, für die die Gleichung stimmt. Du erhälst sie, wenn du durch Äquivalenzumformungen
$\begin{array}{rll} 6&=\dfrac{36}{6-3x}-\dfrac{5x}{3x-6}&\quad \scriptsize\mid\;\cdot (3x-6) \\ 6\cdot (3x-6)&=\dfrac{36\cdot (3x-6)}{6-3x}-5x&\quad \scriptsize\mid\;\cdot (6-3x) \\ 6\cdot (3x-6)\cdot (6-3x)&=36\cdot (3x-6)-5x\cdot (6-3x)& \\ 6(18x-9x^2-36+18x)&=108x-216-30x+15x^2&\\ 108x-54x^2-216+108x&=108x-216-30x+15x^2&\quad \scriptsize\mid\;+216\\ 108x-54x^2+108x&=108x-30x+15x^2&\quad \scriptsize\mid\;-108x\\ 108x-54x^2&=-30x+15x^2&\quad \scriptsize\mid\;+54x^2-108x\\ 0&=69x^2-138x&\quad \scriptsize\mid\;:69\\ 0&=x^2-2&\\ \end{array}$
$ 0=x^2-2 $
und $p$-$q$-Formel nach $x$ auflöst.
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$\begin{array}{rl} x_{1,2}&=\frac{2}{2}\pm \sqrt {\left( {\frac{2}{2}} \right)^2 }\\ &=1 \pm \sqrt {1^2}\\ & =1 \pm 1\\ x_1&=2\\ x_2&=0\\ \end{array}$
Die Werte $0$ und $2$ lösen die Gleichung, allerdings wurde durch die Definitionsmenge zuvor festgelegt, dass $2$ ein unzulässiger Wert ist. Die Lösungsmenge ist demnach:
$\mathbb{L}=\{0\}$
#pq-formel

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$ Höhe eines gleichschenkligen Trapezes bestimmen
Es ist das gleichschenklige Trapez $ABCD$ gegeben. Zusätzlich sind auf dem Trapez die Punkte $E$, $F$ und $G$ zu finden. Folgende Streckenlängen sind in der Aufgabenstellung gegeben: $[AE]=8,5\, \text{cm}$ und $[EG]=2,5\, \text{cm}$. Außerdem kennst du den Winkel $\alpha=28^{\circ}$, der von $[AB]$ und $[AE]$ eingeschlossen wird.
Du sollst die Höhe $h=[BE]$ berechnen. Du kannst diese Strecke auch als Kathete des rechtwinkligen Dreiecks $\color{#87c800}{ABE}$ betrachten. Dann kannst du über die Sinusfunktion die Länge der Strecke $[BE]$ berechnen, da du die Hypotenusenlänge kennst: $[AE]=8,5\, \text{cm}$.
$\sin \alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin \alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Gruppe 2
Abb. 7 Skizze des Trapez
Gruppe 2
Abb. 7 Skizze des Trapez
#sinus#trigonometrie
b)
$\blacktriangleright$ Streckenlängen berechnen
Gruppe 2
Abb. 8 Skizze des Trapez
Gruppe 2
Abb. 8Skizze des Trapez
Vom Dreieck $BCE$ kennst du bisher nur die Kathete $[BE]=4\,$cm und die Höhe $[EG]=2,5\,$cm. Zur Berechnung der Hypotenus $[BC]$ teile diese in die zwei Teilstrecken $[BG]$ und $[GC]$ und berechne diese einzeln. Beginne mit der Strecke $[BG]$. Dies ist eine Kathete des Dreiecks $BGE$, von dem du bereits die Hypotenuse $[BE]=4\,$cm und die Kathete $[EG]=2,5\,$cm kennst. Die Länge der fehlenden Kathete errechnest du mit dem Satz des Pythagoras:
$[BG]=\sqrt{4^2-2,5^2}\,\text{cm}=3,12\,\text{cm}$
Die zweite Teilstrecke $[GC]$ kannst du nun mit dem Kathetensatz berechnen, da dir ja die Höhe $[EG]$ des Dreiecks $BCE$ bekannt ist. Der Kathetensatz sagt, dass das Produkt der beiden Teilstrecken $p$ und $q$ der Hypotenuse gleich dem Quadrat der Höhe $h$ des Dreiecks ist.
$p\cdot q=h^2$
$p\cdot q=h^2$
Du kannst nun nach der Teilstrecke $q=[GC]$ mit $p=[BG]$ umstellen und so die zweite Teilstrecke berechnen:
$[GC]=\dfrac{[EG]^2}{[BG]}=\dfrac{2,5^2}{[3,12]}\,\text{cm}=2\,\text{cm}$
Nun addierst du die beiden Teilstrecken und erhältst die Gesamtlänge der Strecke $[BC]$:
$[BG]+[GC]=3,12\,\text{cm}+2\,\text{cm}=5,12\,\text{cm}$
$ [BG]+[GC]=5,12\,\text{cm} $
Die Strecke $[AB]$ hat demnach eine Länge von $7,5\,\text{cm}$ und die Strecke $[BC]$ eine Länge von $5,12\,\text{cm}$.
#kathete#hypotenuse#satzdespythagoras#dreieck
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Trapez bestimmen
Gruppe 2
Abb. 9 Skizze des Trapez
Gruppe 2
Abb. 9Skizze des Trapez
Für das Rechteck ist der Flächeninhalt
$[AB]\cdot[BE]=7,5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2$
und für das rechtwinklige Dreieck
$\dfrac{[BE]\cdot[EC]}{2}=\dfrac{4\,\text{cm}\cdot \sqrt{5,12^2-4^2}\,\text{cm}}{2}=\dfrac{12,78\,\text{cm}^2}{2}=6,39\,\text{cm}^2\, .$
$ \dfrac{[BE]\cdot[EC]}{2}=6,39\,\text{cm}^2\, . $
Für das Trapez ergibt sich damit als Flächeninhalt
$A_{\text{Trapez}}=30\,\text{cm}^2+2\cdot 6,39\,\text{cm}^2=42,78\,\text{cm}^2 \, .$
$ A_{\text{Trapez}}=42,78\,\text{cm}^2 \, . $
Der Flächeninhalt des Trapez ist somit $42,78\,\text{cm}^2 \, .$
#rechteck#dreieck

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Eigenschaften der zentrischen Streckung benennen
Durch eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k=\frac{1}{3}$ wird aus dem Parallelogramm $ABCD$ das Bildparallelogramm $A'B'C'D'$. Im folgenden werden zwei Aussagen über diese Streckung getroffen, die falsch sind. Du sollst die beiden Aussagen berichtigen.
  1. Die Strecke [A'B'] ist dreimal so lang wie die Strecke [AB]
  2. Der Flächeninhalt der Originalfigur beträgt ein Drittel des Flächeninhalts der Bildfigur
An der ersten Aussage stimmt der Ausdruck „dreimal so lang“ nicht. Der Streckungsfaktor ist $\frac{1}{3}$, es müsste daher „ein Drittel so lang“ heißen.
Bei der zweiten Aussage musst du beachten, dass für Flächen gestreckter Figuren gilt: $F'=k^2\cdot F$. Mit $k=\frac{1}{3}$ ist $k^2=\frac{1}{9}$. Dies kannst du dir auch aus der Formel für den Flächeninhalt eines Trapez herleiten. Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapez lautet:
$F=\frac{a+c}{2}\cdot h$
$F=\frac{a+c}{2}\cdot h$
Dabei ist $a$ die Bezeichnung der längeren Grundseite, $c$ die kurze Grundseite. $h$ ist der Abstand der beiden Grundseiten, also die Höhe des Trapez.
Da bei einer Streckung um $k$ die Seiten sich ebenfalls um $k$ verändern, ist der Flächeninhalt des gestreckten Trapez gegeben durch
$F_{\text{gestreckt}}=\dfrac{\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}c}{2}\cdot \frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\dfrac{a+c}{2}\cdot \frac{1}{3}h=\frac{1}{9}\dfrac{a+c}{2}\cdot h=\frac{1}{9}F\, .$
$ F_{\text{gestreckt}}=\frac{1}{9}F\, . $
Die Fläche ist somit ein Neuntel der Originalfläche.
Damit lauten die korrekten Aussagen:
  1. Die Strecke [A'B'] ist ein Drittel so lang wie die Strecke [AB]
  2. Der Flächeninhalt der Originalfigur beträgt ein Neuntel des Flächeninhalts der Bildfigur
Bildnachweise [nach oben]
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