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Gruppe 1

Aufgaben
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1.
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Geraden $g_1:$
a)
Gib die Funktionsgleichung von $g_1$ an (siehe Abbildung).
b)
Die Gerade $g_2$ durch den Ursprung ist parallel zur Geraden $g_1.$
Gib die Funktionsgleichung von $g_2$ an.
c)
Die Gerade $g_4$ verläuft durch den Punkt $D(4\mid 1)$ und ist parallel zur Geraden $g_3: \, y= 0,5x+3.$
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_4.$
d)
Zeichne die Geraden $g_3$ und $g_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-4$ bis $6,$ $y$-Achse von $-3$ bis $5$]
e)
Gegeben ist die Gerade $g_5: y = \frac{2}{3}x-2.$
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ von $g_5$ mit der $x$-Achse und gib $N$ an.
f)
Weise nach, dass der Punkt $A(-3\mid -4)$ auf der Geraden $g_5$ liegt.
g)
Die Geraden $g_6$ wird durch die Gleichung $4= -2x-2y$ bestimmt und schneidet die Gerade $g_5$ im Punkt $C.$
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $C$ und gib diesen an.
h)
Überprüfe rechnerisch die folgende Aussage:
Die Geraden $g_5$ und $g_6$ stehen aufeinander senkrecht.
(9 Punkte)
#funktionsgleichung#linearefunktion
2.
Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch:
$\dfrac{x-4}{6} + \dfrac{4(x-11)}{x-6} = \dfrac{16-x}{2}$
(4 Punkte)
#lösungsmenge#definitionsbereich#bruchgleichung
3.
a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $A(-4\mid 6)$ und $B(-2\mid -2).$
Gib die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform an.
b)
Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2(-1\mid 2).$
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_2$ in der Normalform.
c)
Zeichne die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-5$ bis $3,$ $y$-Achse von $-4$ bis $7$]
d)
Die Parabeln $p_3$ und $p_4$ sind durch folgende Funktionsgleichungen bestimmt:
$p_3: \, x^2-4x=y-5$
$p_4:\, y= -x^2 +4x-1$
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Parabel $p_3$ mit der Parabel $p_4$ und gib diese Punkte an.
e)
Durch Spiegelung der Parabel $p_3$ an der $x$-Achse entsteht die Parabel $p_5.$
Gib die Funktionsgleichung von $p_5$ in der Scheitelpunktform an.
(8 Punkte)
#scheitelpunktform#parabel#quadratischefunktion
4.
Im Dreieck $ABC$ hat die Strecke $[BC]$ eine Länge von $4\,\text{cm}$ und der Winkel $\alpha$ eine Größe von $53,13^{\circ}$ (siehe Skizze).
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats $AEFG.$
Gruppe 1
Abb. 2: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Gruppe 1
Abb. 2: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
(4 Punkte)
#rechtwinkligesdreieck#quadrat
5.
Aus einem Behälter wird zweimal nacheinander eine Kugel entnommen. Das folgende Baumdiagramm stellt dieses Zufallsexperiment dar:
a)
Notiere auf deinem Lösungsblatt die Nummer des Behälters (siehe Abbildung unten), die zum dargestellten Baumdiagramm passt.
Gruppe 1
Abb. 4: (1)
Gruppe 1
Abb. 5: (2)
Gruppe 1
Abb. 6: (3)
Gruppe 1
Abb. 4: (1)
Gruppe 1
Abb. 5: (2)
Gruppe 1
Abb. 6: (3)
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem (im Baumdiagramm dargestellten) Vorgang mindestens eine der beiden entnommenen Kugeln weiß ist.
c)
Das Zufallsexperiment wiird wiederholt, ohne dass die beiden nacheinander entnommenen Kugeln zurückgelegt werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der entnommenen Kugeln weiß ist.
(4 Punkte)
#zufallsexperiment#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
6.
Die folgenden Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter durch den entsprechenden Term und schreibe die mathematisch richtigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
a)
$($$-3z)^2 = 0,25x^4y^2-$$ + $
b)
$(4\sqrt{z} +$ $)\cdot (4\sqrt{z}-$ $)=$ $-25x^2$
(3 Punkte)
#binomischeformeln
7.
Gruppe 1
Abb. 7: Skizze (nicht maßstabsgerecht)
Gruppe 1
Abb. 7: Skizze (nicht maßstabsgerecht)
#kugel
8.
Frau Geiz will zum 1. Januar 2018 bei einer Onlinebank $3.000\,€$ anlegen. Ihr Wunsch ist es, idesen Betrag in den nächsten $17$ Jahren mit Zins und Zinseszins zu vervierfachen.
a)
Notiere auf deinem Lösungsblatt alle Gleichungen, die diesen Sachverhalt richtig darstellen.
  • $12.000 = q^{17}\cdot 3.000$
  • $q= \sqrt[17]{4}$
  • $12.000 = 4\cdot q^{17}\cdot 3.000$
  • $q^{17} = \frac{1}{4}$
b)
Die Bank gewährt Frau Geiz einen Zinssatz von $2,51\,\%.$
Berechne, nach wie vielen Jahren sich das Kapital tatsächlich vervierfacht hätte.
c)
Berechne die Höhe des Kapitals, das Frau Geiz anlegen müsste, damit sie bei einem Zinssatz von $2,51\,\%$ nach $17$ Jahren einen Gesamtbetrag von $12.000\,€$ zur Verfügung hätte.
(4 Punkte)
#zinssatz#zinseszins
9.
Das Viereck $ABCD$ wird durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k=3$ auf das Viereck $A'B'C'D'$ abgebildet.
Begründe, ob die jeweiligen Aussagen wahr oder falsch sind.
(1)
Die Strecken des Vierecks $ABCD$ sind dreimal so lang wie die des Bildvierecks $A'B'C'D'.$
(2)
Der Flächeninhalt des Bildvierecks $A'B'C'D'$ ist neunmal so groß wie der Flächeninhalt des Vierecks $ABCD.$
(3)
Der Winkel $\alpha$ ist dreimal so groß wie der Winkel $\alpha'.$
(3 Punkte)
#zentrischestreckung
10.
Vereinfach den folgenden Term so weit wie möglich.
Es gilt: $x,$ $y,$ $z \neq 0.$
$ \dfrac{\left(3x^2+4x^2\right)\cdot x^3\cdot y^5 \cdot 2z^{-4}}{x^4\cdot y^5\cdot y^{-3}\cdot 2z^2\cdot z^{-6}}$
(2 Punkte)

(45 Punkte)
#bruch
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Da $g_1$ eine Gerade ist, hat die Funktionsgleichung folgende Form:
$g_1: \, y = m_1\cdot x + t_1$
Aus der Abbildung lässt sich der $y$-Achsenabschnitt $t_1$ ablesen: $t_1= 5.$
Zudem lässt sich ablesen, dass der Punkt $R(-6\mid 3,5)$ auf der Geraden liegt. Einsetzen der Koordinaten von $R$ und $t_1=5$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m_1\cdot x +t_1 \\[5pt] 3,5&=& m_1\cdot (-6) +5 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -1,5&=& m_1\cdot (-6)&\quad \scriptsize \mid\;:(-6) \\[5pt] \frac{1}{4}&=&m_1 \end{array}$
$ \frac{1}{4}=m_1 $
Die Funktionsgleichung von $g_1$ lautet:
$g_1:\, y = \frac{1}{4}x +5$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Da $g_2$ parallel zu $g_1$ verläuft, muss sie die gleiche Steigung $m_2 = m_1=\frac{1}{4}$ besitzen. Da sie durch den Ursprung verläuft ist der $y$-Achsenabschnitt $t_2 = 0.$
Die Funktionsgleichung von $g_2$ lautet:
$g_2: \, y = \frac{1}{4}x$
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktionsgleichung von $g_4$ muss ebenfalls die Form $y = m_4\cdot x +t_4$ haben. Da $g_4$ parallel zu $g_3$ verlaufen soll, muss die Steigung $m_4=m_3$ dieselbe wie bei $g_3$ sein, also $m_4 = 0,5.$
Der Punkt $D(4\mid 1)$ soll auf $g_4$ liegen. Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung gemeinsam mit $m_4=0,5$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&m_4\cdot x +t_4 &\quad \scriptsize \mid\;m_4 =0,5 \\[5pt] 1&=&0,5\cdot 4 +t_4 \\[5pt] 1&=&2+t_4 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -1&=&t_4 \end{array}$
$ -1=t_4$
Die Funktionsgleichung von $g_4$ lautet:
$g_4: \, y = 0,5x-1$
d)
$\blacktriangleright$  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
Gruppe 1
Abb. 1: $g_3$ und $g_4$
Gruppe 1
Abb. 1: $g_3$ und $g_4$
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt angeben
Für den Schnittpunkt $N(x_N\mid y_N)$ mit der $x$-Achse muss gelten $y_N = 0.$ Gleichsetzen mit dem Funktionsterm liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \frac{2}{3}x_N-2 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 2&=& \frac{2}{3}x_N&\quad \scriptsize \mid\; :\frac{2}{3}\\[5pt] 3&=& x_N \end{array}$
$ 3= x_N $
Der Schnittpunkt von $g_5$ mit der $x$-Achse lautet $N(3\mid 0).$
f)
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g_5,$ wenn seine Koordinaten die zugehörige Funktiosngleichung erfüllen. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g_5:\, y&=& \frac{2}{3}x-2 &\quad \scriptsize \mid\;A(-3\mid -4) \\[5pt] -4&=& \frac{2}{3}\cdot (-3) -2 \\[5pt] -4&=& -2-2 \\[5pt] -4&=& -4 \end{array}$
$ -4=-4 $
Die Koordinaten von $A$ erfüllen die Funktionsgleichung von $g_5.$ Der Punkt $A$ liegt also auf der Geraden $g_5.$
g)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt angeben
Damit die Funktionsterme von $g_5$ und $g_6$ gleichgesetzt werden können, muss die Gleichung von $g_6$ zunächst nach $y$ umgeformt werden:
$\begin{array}[t]{rll} g_6: \, 4&=& -2x-2y &\quad \scriptsize \mid\;+2y \\[5pt] 4+2y&=& -2x &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] 2y&=&-2x-4 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] y&=& -x -2 \end{array}$
$ y= -x -2 $
Gleichsetzen liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} y_C&=&y_C \\[5pt] -x_C -2 &=& \frac{2}{3}x_C-2 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] -x_C&=& \frac{2}{3}x_C &\quad \scriptsize \mid\;+x_C \\[5pt] 0&=& \frac{5}{3}x_C &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{5}{3}\\[5pt] 0&=& x_C \end{array}$
$ 0= x_C $
Die $y$-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} y_C&=& \frac{2}{3}\cdot 0-2 \\[5pt] &=& 0-2\\[5pt] &=& -2 \end{array}$
$ y_C=-2 $
Der Schnittpunkt von $g_5$ und $g_6$ lautet $C(0\mid -2).$
h)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Damit die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen, muss für die beiden Steigungswerte folgende Gleichung gelten:
$m_5\cdot m_6 = -1$
Mit $m_5= \frac{2}{3}$ und $m_6= -1$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} m_5\cdot m_6&=& \frac{2}{3}\cdot (-1) \\[5pt] &=& - \frac{2}{3} \\[5pt] &\neq& -1 \end{array}$
$ m_5\cdot m_6 = - \frac{2}{3} $
Da für die Steigungswerte der Geraden nicht $m_5\cdot m_6= -1$ gilt, stehen sie nicht senkrecht aufeinander.
#punktprobe
2.
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angeben
Die Definitionsmenge beinhaltet alle Werte, die für $x$ eingesetzt werden könnten. Da es sich um eine Bruchgleichung handelt und der Nenner eines Bruchs nicht null sein darf, müssen die Nullstellen der Nenner aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.
Ein Nenner lautet $x-6.$ Für $x=6$ würde dieser null werden. Alle anderen reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden. Die Definitionsmenge lautet also:
$D= \mathbb{R}\setminus \{6\}$
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x-4}{6}+\dfrac{4(x-11)}{x-6}&=& \dfrac{16-x}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-6)\cdot6\\[5pt] (x-4)(x-6) +4(x-11)\cdot 6&=& (16-x)(x-6)\cdot 3 \\[5pt] x^2-4x-6x+24 +24(x-11)&=& 3\cdot (16x-x^2-96+6x) \\[5pt] x^2-4x-6x+24+24x-264&=& 48x-3x^2-288+18x \\[5pt] x^2 +14x-240 &=& 66x -3x^2-288 &\quad \scriptsize \mid\;-66x \\[5pt] x^2-52x -240&=& -3x^2 -288 &\quad \scriptsize \mid\; +3x^2\\[5pt] 4x^2 -52x -240&=&-288 &\quad \scriptsize \mid\;+288 \\[5pt] 4x^2-52x +48&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] x^2-13x+12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-13}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-13}{2} \right)^2 -12} \\[5pt] &=& \frac{13}{2}\pm \sqrt{\frac{121}{4}} \\[5pt] &=& \frac{13}{2}\pm \frac{11}{2} \\[5pt] x_1&=& \frac{13}{2} + \frac{11}{2} \\[5pt] &=& 12 \\[5pt] x_2&=& \frac{13}{2}- \frac{11}{2} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 12 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $L= \{1;12\}.$
#pq-formel
3.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Normalform angeben
Die Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel hat allgemein die Form $y = x^2+px+q.$ Mit den Koordinaten der beiden Punkte $A$ und $B$ ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6&=& (-4)^2+p\cdot (-4) + q \\ &6&=& 16-4p +q &\quad \scriptsize \mid\; -16\\ &-10&=& -4p +q \\[5pt] \text{II}\quad&-2&=& (-2)^2+p\cdot (-2) + q \\ &-2&=& 4-2p + q &\quad \scriptsize \mid\; -4\\ &-6&=& -2p + q \\ \hline \text{I}\quad &-10&=& -4p +q &\quad \text{I}-\text{II}\\ \text{II}\quad &-6&=& -2p + q \\ \hline \text{Ia}\quad &-4&=& -2p&\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\ &2&=& p \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6&=& … \\ \text{II}\quad&-2&=&… \\ \hline &2&=& p \\ \end{array}$
Einsetzen von $p$ in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\, -6&=& -2p+q &\quad \scriptsize \mid\; p=2 \\[5pt] -6&=&-2\cdot 2 +q \\[5pt] -6&=& -4+q &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] -2&=& q \end{array}$
$ -2= q $
Die Funktionsgleichung von $p_1$ in Normalform lautet: $p_1: \, y = x^2 +2x-2.$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Normalform ermitteln
Die Normalform einer Funktionsgleichung ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform. Die Scheitelpunktform einer nach unten geöffneten Normalparabel lautet $y = -(x-x_S)^2+y_S,$ wobei $S(x_S\mid y_S)$ der Scheitelpunkt der Parabel ist. Für $p_2$ ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} p_2:\, y&=& -(x-(-1))^2 +2 \\[5pt] &=& -(x+1)^2 +2\\[5pt] &=& -\left(x^2+2x+1\right) +2\\[5pt] &=& -x^2-2x-1 +2\\[5pt] &=& -x^2-2x+1 \end{array}$
$ p:2: -x^2-2x+1 $
Die Funktionsgleichung von $p_2$ in Normalform lautet also $p_2:\, y = -x^2-2x+1.$
c)
$\blacktriangleright$  Parabeln in ein Koordinatensystem einzeichnen
Gruppe 1
Abb. 2: $p_1$ und $p_2$
Gruppe 1
Abb. 2: $p_1$ und $p_2$
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte angeben
Einsetzen der Gleichung von $p_4$ in die Gleichung von $p_3$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x&=& y-5 &\quad \scriptsize \mid\;y = -x^2 +4x-1 \\[5pt] x^2-4x&=& -x^2+4x-1 -5 \\[5pt] x^2-4x&=&-x^2+4x-6 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt] -4x&=& -2x^2+4x-6&\quad \scriptsize \mid\;+4x \\[5pt] 0&=& -2x^2+8x-6 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] 0&=& x^2 -4x+3 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2- 3}\\[5pt] &=& 2 \pm \sqrt{1}\\[5pt] x_1&=& 2 -1\\[5pt] &=& 1 \\[5pt] x_2&=& 2+1\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$
Die zugehörigen $y$-Koordinaten lauten:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& -1^2+4\cdot 1 -1 \\[5pt] &=& 2\\[10pt] y_2&=& -3^2+4\cdot 3 -1 \\[5pt] &=& 2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& 2 \\[10pt] y_2&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Schnittpunkte der Parabeln sind $P(1\mid 2)$ und $Q(3\mid 2).$
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Scheitelpunktform angeben
Auflösen der Funktionsgleichung von $p_3$ nach $y$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} p_3:\, x^2-4x&=&y-5 &\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] x^2-4x+5 &=& y \end{array}$
$ x^2-4x+5 = y$
Eine Spiegelung an der $x$-Achse erhält man durch die Multiplikation mit dem Faktor $-1:$
$\begin{array}[t]{rll} p_5:\, y &=& -1\cdot \left( x^2-4x+5\right) &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung}\\[5pt] &=& -\left( x^2-2\cdot 2x+ (-2)^2 - (-2)^2 +5\right) \\[5pt] &=& -\left( \left(x-2 \right)^2 - (-2)^2 +5\right) \\[5pt] &=& -\left( \left(x-2 \right)^2 +1\right) \\[5pt] &=& -\left(x-2 \right)^2 -1 \end{array}$
$p_5:\, y = -\left(x-2 \right)^2 -1 $
Die Funktionsgleichung von $p_5$ in Scheitelpunktform lautet: $p_5:\, y = -\left(x-2 \right)^2 -1$
#gleichungssystem#quadratischeergänzung#pq-formel
4.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen
Mit dem Sinus ergibt sich für das rechtwinklige Dreieck $ABC:$
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\\[5pt] \sin 53,13^{\circ} &=& \dfrac{4}{\overline{AB}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt] \sin 53,13^{\circ}\cdot \overline{AB}&=& 4&\quad \scriptsize \mid\;: \sin 53,13^{\circ} \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{4}{\sin 53,13^{\circ}} \\[5pt] \overline{AB}&\approx& 5 \end{array}$
$ \overline{AB}\approx 5 $
2. Schritt: $\boldsymbol{\overline{BD}}$ berechnen
Mit dem Kathetensatz folgt für das rechtwinklige Dreieck $ABD:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}^2 &=& \overline{BC}\cdot \overline{BD} \\[5pt] 5^2&\approx& 4\cdot \overline{BD} &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] 6,25&\approx& \overline{BD} \end{array}$
$ 6,25\approx \overline{BD} $
3. Schritt: $\boldsymbol{\overline{EA}}$ berechnen
Mit dem Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck $EBD$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}^2&=& \overline{AB}\cdot \overline{EB} &\quad \scriptsize \mid\; \overline{EB} = \overline{AB}+\overline{EA}\\[5pt] \overline{BD}^2&=& \overline{AB}\cdot \left( \overline{AB}+\overline{EA}\right) \\[5pt] 6,25^2&\approx& 5\cdot \left(5+\overline{EA} \right) \\[5pt] 39,0625&\approx& 5\cdot\left(5+\overline{EA} \right) &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 7,8125&\approx& 5+\overline{EA} &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 2,8125&\approx& \overline{EA} \end{array}$
$ 2,8125\approx \overline{EA} $
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt des Quadrats ergibt sich dann mit der zugehörigen Formel:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \overline{EA}^2 \\[5pt] &\approx& 2,8125^2 \\[5pt] &\approx& 7,91 \end{array}$
$ A \approx 7,91$
Das Quadrat $AEFG$ besitzt einen Flächeninhalt von ca. $7,91\,\text{cm}^2.$
#sinus
5.
a)
$\blacktriangleright$  Nummer des Behälters notieren
Dem Baumdiagramm kann man entnehmen, dass sich insgesamt $13$ Kugeln im Behälter befinden müssen, davon eine rote, zwei grüne und zehn weiße. Der einzige Behälter, auf den dies zutrifft ist Behälter Nummer (3).
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel und der Pfadadditionsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(w)&=& \frac{1}{13}\cdot \frac{10}{13}+ \frac{2}{13}\cdot \frac{10}{13} + \frac{10}{13}\cdot \frac{1}{13}+\frac{10}{13}\cdot \frac{2}{13}+\frac{10}{13}\cdot \frac{10}{13} \\[5pt] &\approx& 0,9467 \\[5pt] &=& 94,67\,\% \end{array}$
$ P(w)\approx 94,67\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $94,67\,\%$ ist mindestens eine der beiden entnommenen Kugeln weiß.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Beim zweiten Zug befindet sich die zuvor entnommene Kugel nicht mehr im Behälter. Es gibt dann also insgesamt nur noch $12$ Kugeln, die gezogen werden können. Wie oben ergibt sich mit den Pfadregeln nun:
$\begin{array}[t]{rll} P(w)&=& \frac{1}{13}\cdot \frac{10}{12}+ \frac{2}{13}\cdot \frac{10}{12} + \frac{10}{13}\cdot \frac{1}{12}+\frac{10}{13}\cdot \frac{2}{12}+\frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12} \\[5pt] &\approx& 0,9615 \\[5pt] &=& 96,15\,\% \end{array}$
$ P(w)\approx 96,15\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $96,15\,\%$ wird beim Ziehen ohne Zurücklegen mindestens eine weiße Kugel gezogen.
#pfadregeln
6.
a)
$\blacktriangleright$  Platzhalter füllen
$0,25x^4y^2 = (0,5x^2y)^2$
$\begin{array}[t]{rll} \left(0,5x^2y-3z \right)^2 &=& 0,25x^4y^2 - 2\cdot 0,5x^2y\cdot 3z + (3z)^2 \\[5pt] &=&0,25x^4y^2 - 3x^2yz + 9z^2 \\[5pt] \end{array}$
$ \left(0,5x^2y-3z \right)^2 = … $
Die Gleichung lautet also:
$\left(0,5x^2y-3z \right)^2 = 0,25x^4y^2 - 3x^2yz + 9z^2$
b)
$\blacktriangleright$  Platzhalter füllen
$25x^2 = (5x)^2$
$\begin{array}[t]{rll} \left(4\sqrt{z} + 5x\right)\cdot \left(4\sqrt{z}-5x\right)&=& \left(4\sqrt{z} \right)^2-(5x)^2 \\[5pt] &=& 16z -25x^2 \\[5pt] \end{array}$
$ … = 16z -25x^2 $
Die Gleichung lautet somit:
$\left(4\sqrt{z} + 5x\right)\cdot \left(4\sqrt{z}-5x\right) = 16z -25x^2$
#binomischeformeln
7.
$\blacktriangleright$  Tiefe berechnen
1. Schritt: Volumen der Kugel berechnen
$:7,8$
Gruppe 1
$\begin{array}{clcll} &1\,\text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}&7,8\,\text{g}\\[5pt] &\frac{1}{7,8}\,\text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\text{g}\\[5pt] & \frac{87.500}{39}\,\text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}& 17.500\,\text{g}& \end{array}$ Gruppe 1
$:7,8$
$\cdot 17.500$
Gruppe 1
Gruppe 1
$\cdot 17.500$
$ \frac{87.500}{39}\,\text{cm}^3\mathrel{\widehat{=}} 17.500\,\text{g} $
Die Eisenkugel hat ein Volumen von $ \frac{87.500}{39}\,\text{cm}^3.$
2. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ der Kugel bestimmen
Einsetzen des Volumens in die Formel für das Volumen einer Kugel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\pi r^3 \\[5pt] \frac{87.500}{39}\,\text{cm}^3&=& \frac{4}{3}\pi r^3&\quad \scriptsize \mid\; : \frac{4}{3}\pi\\[5pt] \frac{21.875}{13\pi}\,\text{cm}^3&=& r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,} \\[5pt] 8,12 \,\text{cm} &\approx& r \end{array}$
$ 8,12 \,\text{cm} \approx r $
Der Radius $r$ der Kugel beträgt $r\approx 8,12\,\text{cm}.$
3. Schritt: $\boldsymbol{r-s}$ berechnen
von dem gegebenen rechtwinkligen Dreieck sind zwei Seitenlängen bekannt, $r\approx 8,12\,\text{cm}$ und $s=5\,\text{cm}.$ Die dritte Seitenlänge ist die Differenz aus dem Radius $r$ und der Tiefe $x,$ also $r-x.$ Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} (r-x)^2 + s^2&=& r^2 \\[5pt] (8,12\,\text{cm}-x)^2 + (5\,\text{cm})^2&\approx& (8,12 \,\text{cm} )^2 \\[5pt] (8,12\,\text{cm}-x)^2 +25\,\text{cm}^2&\approx& 65,9344\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; -25\,\text{cm}^2\\[5pt] (8,12\,\text{cm}-x)^2 &\approx& 40,9344\,\text{cm}^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 8,12\,\text{cm}-x &\approx& 6,40\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;-8,12\,\text{cm} \\[5pt] -x&\approx& -1,72\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] x&\approx&1,72\,\text{cm} \end{array}$
$ x\approx 1,72\,\text{cm} $
Die Tiefe beträgt ca. $1,72\,\text{cm}.$
#dreisatz#satzdespythagoras
8.
a)
$\blacktriangleright$  Richtige Gleichungen auswählen
Die allgemeine Formel für das Kapital $K_n$ nach $n$ Jahren lautet:
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0\cdot q^n \end{array}$
Dabei ist $K_0$ das Anfangskapital, das angelegt wird. $K_n$ ist das Kapital nach $n$ Jahren und $q$ der Zinsfaktor. Nach $17$ Jahren soll sich das Anfangskapital von $3.000\,€ $ vervierfacht haben, also soll $K_{17} = 12.000$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot 3.000&=& 3.000 \cdot q^{17} \\[5pt] 12.000&=& q^{17}\cdot 3.000 \end{array}$
Diese kann man noch umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 12.000&=& q^{17}\cdot 3.000 &\quad \scriptsize \mid\;:3.000 \\[5pt] 4&=& q^{17} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[17]{\,} \\[5pt] \sqrt[17]{4}&=& q \end{array}$
$ \sqrt[17]{4}= q $
Insgesamt stellen also folgende Gleichungen den Sachverhalt richtig dar:
  • $12.000= q^{17}\cdot 3.000$
  • $\sqrt[17]{4}= q$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jahre berechnen
Bei einem Zinssatz von $2,61\,\%$ ist $q= 1+\frac{2,51}{100} = 1,0251.$ Gesucht ist nun das $n,$ für das $K_n= 12.000$ ist. Mit der obigen Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0\cdot q^n \\[5pt] 12.000&=&3.000 \cdot 1,0251^n &\quad \scriptsize \mid\;:3.000 \\[5pt] 4&=& 1,0251^n &\quad \scriptsize \mid\;\log_{1,0251} \\[5pt] 55,92&=& n \end{array}$
$ 55,92= n $
Nach ca. $56$ Jahren hätte sich das Kapital vervierfacht.
c)
$\blacktriangleright$  Benötigtes Anfangskapital berechnen
Gesucht ist $K_0,$ sodass $K_{17}=12.000$ bei einem Zinsfaktor von $q = 1,0251$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} K_{17} &=& K_0 \cdot q^{17} \\[5pt] 12.000 &=& K_0 \cdot 1,0251^{17} &\quad \scriptsize \mid\; :1,0251^{17} \\[5pt] 7.873,27 &\approx & K_0 \end{array}$
$ 7.873,27 \approx K_0 $
Frau Geiz müsste ca. $ 7.873,27\,€$ anlegen, damit sie nach $17$ Jahren einen Gesamtbetrag von $12.000\,€$ zur Verfügung hat.
9.
(1)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Die Aussage ist falsch, da das Viereck $A'B'C'D'$ im Vergleich zum Viereck $ABCD$ um den Streckungsfaktor $k =3$ gestreckt ist, nicht andersherum. Eigentlich gilt also: Die Seiten des Vierecks $A'B'C'D'$ sind dreimal so lang wie die des Vierecks $ABCD.$
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Diese Aussage ist richtig, da der Flächeninhalt des Bildvierecks durch Multiplikation des Flächeninhalts des ursprünglichen Vierecks mit dem Faktor $k^2 =3^2 = 9$ entsteht.
(3)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Diese Aussage ist falsch, da die Vierecke $A'B'C'D'$ und $ABCD$ ähnlich sind und daher die Größen der Innenwinkel gleich sind. Es ist also $\alpha = \alpha'.$
10.
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{\left( 3x^2 + 4x^2\right)\cdot x^3\cdot y^5 \cdot 2z^{-4}}{x^4\cdot y^5\cdot y^{-3}\cdot 2z^2\cdot z^{-6}} &\quad \scriptsize \text{Zusammenfassen} \\[10pt] =&\dfrac{7x^2\cdot x^3\cdot y^5\cdot 2z^{-4}}{x^4\cdot y^5\cdot y^{-3}\cdot 2z^2\cdot z^{-6}} &\quad \scriptsize \text{gleiche Basis zusammenfassen } \\[10pt] =&\dfrac{7\cdot 2\cdot x^5\cdot y^5\cdot z^{-4}}{x^4\cdot y^2\cdot 2z^{-4}} \\[5pt] =&\dfrac{7\cdot 2\cdot x^5\cdot y^5\cdot z^{-4}}{2\cdot x^4\cdot y^2\cdot z^{-4}} &\quad \scriptsize \text{kürzen} \\[10pt] =& 7\cdot x^1\cdot y^3 \\[10pt] =& 7\cdot x\cdot y^3 \end{array}$
$ 7\cdot x\cdot y^3 $
#brüchekürzen
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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