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1.
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Geraden $g_1:$
a)
Gib die Funktionsgleichung von $g_1$ an (siehe Abbildung).
b)
Die Gerade $g_2$ durch den Ursprung ist parallel zur Geraden $g_1.$
Gib die Funktionsgleichung von $g_2$ an.
c)
Die Gerade $g_4$ verläuft durch den Punkt $D(4\mid 1)$ und ist parallel zur Geraden $g_3: \, y= 0,5x+3.$
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_4.$
d)
Zeichne die Geraden $g_3$ und $g_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-4$ bis $6,$ $y$-Achse von $-3$ bis $5$]
e)
Gegeben ist die Gerade $g_5: y = \frac{2}{3}x-2.$
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ von $g_5$ mit der $x$-Achse und gib $N$ an.
f)
Weise nach, dass der Punkt $A(-3\mid -4)$ auf der Geraden $g_5$ liegt.
g)
Die Geraden $g_6$ wird durch die Gleichung $4= -2x-2y$ bestimmt und schneidet die Gerade $g_5$ im Punkt $C.$
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $C$ und gib diesen an.
h)
Überprüfe rechnerisch die folgende Aussage:
Die Geraden $g_5$ und $g_6$ stehen aufeinander senkrecht.
(9 Punkte)
#funktionsgleichung#linearefunktion
2.
Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch:
$\dfrac{x-4}{6} + \dfrac{4(x-11)}{x-6} = \dfrac{16-x}{2}$
(4 Punkte)
#lösungsmenge#definitionsbereich#bruchgleichung
3.
a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $A(-4\mid 6)$ und $B(-2\mid -2).$
Gib die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform an.
b)
Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2(-1\mid 2).$
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_2$ in der Normalform.
c)
Zeichne die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-5$ bis $3,$ $y$-Achse von $-4$ bis $7$]
d)
Die Parabeln $p_3$ und $p_4$ sind durch folgende Funktionsgleichungen bestimmt:
$p_3: \, x^2-4x=y-5$
$p_4:\, y= -x^2 +4x-1$
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Parabel $p_3$ mit der Parabel $p_4$ und gib diese Punkte an.
e)
Durch Spiegelung der Parabel $p_3$ an der $x$-Achse entsteht die Parabel $p_5.$
Gib die Funktionsgleichung von $p_5$ in der Scheitelpunktform an.
(8 Punkte)
#scheitelpunktform#parabel#quadratischefunktion
4.
Im Dreieck $ABC$ hat die Strecke $[BC]$ eine Länge von $4\,\text{cm}$ und der Winkel $\alpha$ eine Größe von $53,13^{\circ}$ (siehe Skizze).
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats $AEFG.$
Abb. 2: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Abb. 2: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
(4 Punkte)
#rechtwinkligesdreieck#quadrat
5.
Aus einem Behälter wird zweimal nacheinander eine Kugel entnommen. Das folgende Baumdiagramm stellt dieses Zufallsexperiment dar:
a)
Notiere auf deinem Lösungsblatt die Nummer des Behälters (siehe Abbildung unten), die zum dargestellten Baumdiagramm passt.
Abb. 4: (1)
Abb. 5: (2)
Abb. 6: (3)
Abb. 4: (1)
Abb. 5: (2)
Abb. 6: (3)
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem (im Baumdiagramm dargestellten) Vorgang mindestens eine der beiden entnommenen Kugeln weiß ist.
c)
Das Zufallsexperiment wiird wiederholt, ohne dass die beiden nacheinander entnommenen Kugeln zurückgelegt werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der entnommenen Kugeln weiß ist.
(4 Punkte)
#zufallsexperiment#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
6.
Die folgenden Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter durch den entsprechenden Term und schreibe die mathematisch richtigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
a)
$($$-3z)^2 = 0,25x^4y^2-$$ + $
b)
$(4\sqrt{z} +$ $)\cdot (4\sqrt{z}-$ $)=$ $-25x^2$
(3 Punkte)
#binomischeformeln
7.
Abb. 7: Skizze (nicht maßstabsgerecht)
Abb. 7: Skizze (nicht maßstabsgerecht)
#kugel
8.
Frau Geiz will zum 1. Januar 2018 bei einer Onlinebank $3.000\,€$ anlegen. Ihr Wunsch ist es, idesen Betrag in den nächsten $17$ Jahren mit Zins und Zinseszins zu vervierfachen.
a)
Notiere auf deinem Lösungsblatt alle Gleichungen, die diesen Sachverhalt richtig darstellen.
  • $12.000 = q^{17}\cdot 3.000$
  • $q= \sqrt[17]{4}$
  • $12.000 = 4\cdot q^{17}\cdot 3.000$
  • $q^{17} = \frac{1}{4}$
b)
Die Bank gewährt Frau Geiz einen Zinssatz von $2,51\,\%.$
Berechne, nach wie vielen Jahren sich das Kapital tatsächlich vervierfacht hätte.
c)
Berechne die Höhe des Kapitals, das Frau Geiz anlegen müsste, damit sie bei einem Zinssatz von $2,51\,\%$ nach $17$ Jahren einen Gesamtbetrag von $12.000\,€$ zur Verfügung hätte.
(4 Punkte)
#zinssatz#zinseszins
9.
Das Viereck $ABCD$ wird durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k=3$ auf das Viereck $A'B'C'D'$ abgebildet.
Begründe, ob die jeweiligen Aussagen wahr oder falsch sind.
(1)
Die Strecken des Vierecks $ABCD$ sind dreimal so lang wie die des Bildvierecks $A'B'C'D'.$
(2)
Der Flächeninhalt des Bildvierecks $A'B'C'D'$ ist neunmal so groß wie der Flächeninhalt des Vierecks $ABCD.$
(3)
Der Winkel $\alpha$ ist dreimal so groß wie der Winkel $\alpha'.$
(3 Punkte)
#zentrischestreckung
10.
Vereinfach den folgenden Term so weit wie möglich.
Es gilt: $x,$ $y,$ $z \neq 0.$
$ \dfrac{\left(3x^2+4x^2\right)\cdot x^3\cdot y^5 \cdot 2z^{-4}}{x^4\cdot y^5\cdot y^{-3}\cdot 2z^2\cdot z^{-6}}$
(2 Punkte)

(45 Punkte)
#bruch
Bildnachweise [nach oben]
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