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Gruppe 2

Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Gerade $g_1$ mit der Funktionsgleichung $g_1: \, y = \frac{1}{3}x+2.$
a)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ von $g_1$ mit der $x$-Achse und gib $N$ an.
b)
Die Gerade $g_2$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $P(0\mid 7)$ und steht senkrecht auf der Geraden $g_1.$
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_2$ rechnerisch.
c)
Die Gerade $g_3$ verläuft durch die Punkte $Q(-3\mid -2)$ und $R(6\mid 1).$
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
d)
Zeichne die Geraden $g_1$ und $g_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-7$ bis $4,$ $y$-Achse von $-1$ bis $9$]
e)
Die Gerade $g_4$ wird durch die Gleichung $-2x= -y+7$ bestimmt. Sie schneidet die Gerade $g_1$ im Punkt $S.$
Ermittle rechnerisch die Koordinaten von $S.$
f)
Berechne die Größe des spitzen Winkels $\alpha,$ den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt.
g)
Die Gerade $g_5$ durch den Punkt $T(15\mid -25)$ verläuft parallel zur $x$-Achse.
Gib die Funktionsgleichung von $g_5$ an.
(8 Punkte)
2.
In einem rechtwinkligen Dreieck $ADC$ (siehe Skizze) hat die Strecke $[CD]$ eine Länge von $5\,\text{cm},$ die Strecke $[AD]$ eine Länge von $3\,\text{cm}.$ Die Größe des Winkels $\gamma_1$ beträgt $25^{\circ}.$
Gruppe 2
Abb. 1: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Gruppe 2
Abb. 1: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
a)
Bestimme rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks $EDC.$
b)
Berechne die Länge der Strecke $[BD].$
(5 Punkte)
#dreieck
3.
Bei einer Schilddrüsenerkrankung verwendet man für Untersuchungen ein Kontrastmittel mit Iod-123. Dabei werden den Patienten pro Kilogramm Körpergewicht $0,5\,\text{g}$ Iod-123 verabreicht.
Iod-123 hat eine Halbwertszeit von $13$ Stunden.
a)
Bei einer solchen Untersuchung erhält eine $60\,\text{kg}$ schwere Patientin die entsprechende Menge an Iod-123.
Berechne ausgehend davon die Menge an Iod-123, die nach $65$ Stunden noch nicht zerfallen ist.
b)
Ermittle rechnerisch die Zeitspanne, nach der noch ein Zehntel der verabreichten Menge Iod-123 vorhanden ist.
c)
Berechne den stündlichen Abbau von Iod-123 in Prozent.
(5 Punkte)
#halbwertszeit
4.
Beim „Zorbing“ rollt eine Person im Inneren einer doppelwandigen, meist durchsichtigen Kugel einen Abhang hinunter (siehe Bild).
Vereinfacht betrachtet handelt es sich bei einer Zorbing-Kugel um eine äußere und innere Kugel mit gleichem Mittelpunkt (siehe Skizze). Der Einstiegstunnel wird bei den folgenden Aufgaben vernachlässigt.
Der Radius $r_a$ der äußeren Kugel ist um $70\,\text{cm}$ größer als der Radius $r_i$ der inneren Kugel. Die äußere Kugel hat einen Durchmesser von $3,20\,\text{m}.$
a)
Berechne das Volumen des Hohlraums zwischen der äußeren und der inneren Kugel in Liter.
b)
Nach jeder Benutzung muss die Kugel außen gereinigt werden.
Berechne die zu reinigende Fläche.
(4 Punkte)
#kugel
5.
a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $A(-2\mid 3)$ und $B(1\mid 6).$
Berechne die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.
b)
Eine weitere Normalparabel hat die Funktionsgleichung $p_2:\, y = -x^2+2x+3.$
Berechne die Scheitelpunktform von $p_2$ und gib den Scheitelpunkt $S$ an.
c)
Die Parabel $p_2$ schhneidet die $x$-Achse in den Punkten $N_1$ und $N_2.$
Berechne die $x$-Koordinaten dieser Punkte.
d)
Die Parabel $p_3: \, y = x^2-1$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $C$ und $D.$
Ermittle rechnerisch die Koordinaten dieser Schnittpunkte und gib $C$ und $D$ an.
e)
Zeichne die PArabeln $p_2$ und $p_3$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-3$ bis $4,$ $y$-Achse von $-3$ bis $5$]
f)
Die Parabeln $p_4$ und $p_5$ sind durch folgende Funktionsgleichungen bestimmt:
$p_4:\, y = x^2+1 \quad $ $p_5: \, y = -x^2-1$
Wähle eine der beiden Parabeln $p_4$ oder $p_5$ aus und gib die Anzahl ihrer Schnittpunkte mit der Parabel $p_3$ an.
Begründe deine Antwort entweder anhand einer Skizze, mit eigenen Worten oder durch Rechnung.
(8 Punkte)
#parabel#scheitelpunktform#scheitelpunkt
6.
Jede der folgenden vier Aussagen ist für $a> 1$ korrekt. Weise dies jeweils durch mathematische Umformungen nach.
a)
$3\sqrt{9a^4} = 9a^2$
b)
$\sqrt[3]{729a^8} \neq 9a^2$
c)
$\dfrac{27a^{-2}}{3a^{-4}} = 9a^2$
d)
$\dfrac{1}{6^{-1}} +3a^2 \neq 9a^2$
(2 Punkte)
#potenzgesetze#wurzel#potenz
7.
Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\dfrac{10}{x+3} + \dfrac{9(x-4)}{x+1} = \dfrac{5x}{x+3} -6$
(4 Punkte)
#bruchgleichung
8.
Notiere auf deinem Lösungsblatt, ob die jeweilige Behauptung richtig (r) oder falsch (f) ist.
a)
Der Sinus eines Winkels kann nie größer als $1$ sein.
b)
$V_{\text{Kugel}}$ (mit Durchmesser $d= 10\,\text{cm}$) $< V_{\text{Würfel}}$ (mit Kantenlänge $a=10\,\text{cm}$).
c)
Eine Gerade hat mit einer Parabel immer zwei Schnittpunkte.
d)
Die Wahrscheinlichkeit, dass du die korrekten Lösungen für die Teilaufgaben a), b) und c) errätst, beträgt $8^{-1}.$
(2 Punkte)
#kugel#würfel#parabel#sinus#wahrscheinlichkeit
9.
a)
Schreibe die folgenden Aussagen auf dein Lösungsblatt und ersetze jeweils den Platzhalter so, dass die Beziehungen richtig wiedergegeben werden.
Es gilt: $a \parallel b \parallel c$
Gruppe 2
Abb. 4: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Gruppe 2
Abb. 4: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
(I)
$\dfrac{c}{a}= \dfrac{}{x}$
(II)
$\cdot a = b\cdot m$
b)
Die Länge der Strecke $a$ beträgt $3,5\,\text{m}.$ Sie wird durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum $S$ auf die Strecke $c$ mit der Länge $875\,\text{cm}$ abgebildet.
Berechne den Streckungsfaktor $k.$
(3 Punkte)
#zentrischestreckung
10.
Bei einem Skirennen starten zwölf Läufer: vier Deutsche, fünf Österreicher und drei Schweizer.
Die Startreihenfolge wird ausgelost, indem die Namen der Läufer nacheinander und zufällig aus einer Lostrommel gezogen werden.
a)
Erstelle für die Vergabe der ersten zwei Startplätze ein Baumdiagramm, das nur die Nationalitäten der Läufer berücksichtigt.
Beschrifte die Äste mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
b)
Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den ersten beiden Startern keiner aus der Schweiz befindet.
c)
Die Österreicher planen für ihr Training ein eigenes Rennen.
Berechne die Anzahl aller Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sich die fünf Läufer dabei platzieren können. Gehe davon aus, dass alle Skifahrer mit unterschiedlichen Zeiten ins Ziel kommen.
(4 Punkte)

(45 Punkte)
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
https://goo.gl/AkW9mZ – Zorbing, Einalem, CC BY-SA 2.0.
[3]
© 2017 – SchulLV.
[4]
© 2017 – SchulLV.
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt angeben
Für den Schnittpunkt mit der $x$-Achse muss $y_N=0$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} y_N&=& \frac{1}{3}\cdot x_N +2 \\[5pt] 0&=& \frac{1}{3}\cdot x_N +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] -2&=& \frac{1}{3}\cdot x_N&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3 \\[5pt] -6&=& x_N \end{array}$
$ -6= x_N$
Der Schnittpunkt von $g_1$ mit der $x$-Achse ist $N(-6\mid 0).$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Die Funktionsgleichung von $g_2$ muss die Form $g_2:\, y = m_2 \cdot x +t_2$ haben.
Damit $g_2$ senkrecht auf $g_1$ steht, muss für die Steigungen $m_1$ von $g_1$ und $m_2$ von $g_2$ folgendes gelten:
$m_1\cdot m_2 = -1$
Mit der Steigung $m_1= \frac{1}{3}$von $g_1$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} m_1\cdot m_2&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\; m_1 = \frac{1}{3} \\[5pt] \frac{1}{3}\cdot m_2&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] m_2&=&-3 \end{array}$
$ m_2=-3 $
$g_2$ soll durch den Punkt $P(0\mid 7)$ verlaufen. Einsetzen der Koordinaten gemeinsam mit dem berechneten Wert für $m_2$ in die Funktionsgleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m_2 \cdot x + t_2 &\quad \scriptsize \mid\; m_2 = -3 \\[5pt] y&=&-3\cdot x +t_2 &\quad \scriptsize \mid\;P(0\mid 7) \\[5pt] 7&=&-3\cdot 0 +t_2 \\[5pt] 7&=& t_2 \end{array}$
$ 7= t_2 $
Die Funktionsgleichung von $g_2$ lautet:
$g_2: \, y = -3\cdot x +7$
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktionsgleichung von $g_3$ hat die Form $g_3: \, y = m_3\cdot x +t_3.$ Einsetzen der Koordinaten der beiden Punkte in diese Gleichung liefert folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=& m_3 \cdot (-3) + t_3 \\ &-2&=& -3m_3 + t_3 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}-\text{II}\\[5pt] \text{II}\quad&1&=& m_3\cdot 6 + t_3 \\ &1&=& 6m_3 + t_3 \\[5pt] \hline \text{Ia}\quad&-3&=& -9m_3 &\quad \scriptsize \mid\; : (-9) \\ &\frac{1}{3}&=& m_3 \\ \end{array}$
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 1&=&6m_3 +t_3 &\quad \scriptsize \mid\; m_3 = \frac{1}{3} \\[5pt] 1&=& 6\cdot \frac{1}{3} +t_3 \\[5pt] 1&=& 2+t_3 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] -1&=& t_3 \end{array}$
$ -1= t_3 $
Die Funktionsgleichung von $g_3$ lautet:
$g_3: \, y = \frac{1}{3}x -1$
d)
$\blacktriangleright$  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
Gruppe 2
Abb. 1: Geraden $g_1$ und $g_2$
Gruppe 2
Abb. 1: Geraden $g_1$ und $g_2$
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts ermitteln
Die Koordinaten von $S(x_S\mid y_S)$ müssen beide Funktionsgleichungen erfüllen. Es muss also folgendes lineares Gleichungssystem erfüllt sein:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2x_S&=& -y_S+7 \\ \text{II}\quad&y_S &=& \frac{1}{3}x_s +2 \\ \end{array}$
Einsetzen von $\text{II}$ in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -2x_S&=& -y_S+7 &\quad \scriptsize \mid\; y_S= \frac{1}{3}x_S +2 \\[5pt] -2x_S&=& - \left( \frac{1}{3}x_S +2\right) +7 \\[5pt] -2x_S&=& -\frac{1}{3}x_S -2 +7 \\[5pt] -2x_S&=& -\frac{1}{3}x_S +5 &\quad \scriptsize \mid\;+ \frac{1}{3}x_S \\[5pt] -\frac{5}{3}x_S&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\frac{5}{3} \right)\\[5pt] x_S &=& -3 \end{array}$
$ x_S = -3 $
Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen liefert die zugehörige $y$-Koordinate:
$\begin{array}[t]{rll} y_S&=& \frac{1}{3}\cdot (-3) +2 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ y_S = 1 $
Der Schnittpunkt der beiden Geraden $g_1$ und $g_4$ hat die Koordinaten $S(-3\mid 1).$
f)
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels berechnen
Betrachtet wird das Dreieck, das die Gerade $g_1$ mit den beiden Koordinatenachsen bildet. Dieses ist rechtwinklig. Die Gegenkathete des gesuchten Winkels ist $2$ Längeneinheiten lang, die Ankathete $6$ Längeneinheiten. Die gesuchte Winkelgröße kann dann mit dem Tangens berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} \\[5pt] \tan \alpha&=& \dfrac{2}{6}&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 18,43^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 18,43^{\circ} $
Der spitze Winkel $\alpha$, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt, hat eine Größe von ca. $18,43^{\circ}.$
g)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Die Funktionsgleichung von $g_5$ besitzt die Form $y = m_5\cdot x +t_5.$
Da $g_5$ parallel zur $x$-Achse verläuft, gilt für den Steigungswert $m_5 = 0,$ da die Gerade nicht ansteigt bzw. abfällt.
Der $y$-Achsenabschnitt $t_5$ kann durch Einsetzen der Koordinaten von $T$ gemeinsam mit $m_5=0$ in die Funktionsgleichung ermittelt werden:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&m_5\cdot x +t_5 &\quad \scriptsize \mid\;m_5=0 \\[5pt] y&=& 0\cdot x + t_5 &\quad \scriptsize \mid\;T(15\mid -25) \\[5pt] -25&=& t_5 \end{array}$
$ -25 = t_5 $
Die Funktionsgleichung von $g_5$ lautet also:
$g_5: \, y = -25$
#steigungswinkel
2.
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen
Mit dem Kathetensatz folgt für das Dreieck $EDC:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}^2&=& \overline{AD}\cdot \overline{DE} \\[5pt] \left( 5\,\text{cm}\right)^2&=& 3\,\text{cm} \cdot \overline{DE} \\[5pt] 25\,\text{cm}^2&=& 3\,\text{cm} \cdot \overline{DE} &\quad \scriptsize \mid\; : 3\,\text{cm}\\[5pt] \frac{25}{3} \,\text{cm}&=& \overline{DE} \\[5pt] 8,3 \,\text{cm}&\approx& \overline{DE} \\[5pt] \end{array}$
$ 8,3 \,\text{cm}\approx \overline{DE} $
2. Schritt: $\boldsymbol{\overline{CE}}$ berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras folgt für das Dreieck $EDC:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}^2 +\overline{CE}^2 &=& \overline{DE}^2 \\[5pt] \left( 5\,\text{cm}\right)^2 + \overline{CE}^2&\approx& \left(8,3\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] 25\,\text{cm}^2 +\overline{CE}^2&\approx& 68,89\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; -25\,\text{cm}^2\\[5pt] \overline{CE}^2&\approx& 43,89\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \overline{CE}&\approx& 6,6\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{CE}\approx 6,6\,\text{cm}$
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Da das Dreieck $EDC$ rechtwinklig ist, kann der Flächeninhalt wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_{EDC}&=& \dfrac{\overline{CD}\cdot \overline{CE}}{2}\\[5pt] &\approx& \dfrac{5\,\text{cm}\cdot 6,6\,\text{cm}}{2}\\[5pt] &\approx& 16,5\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_{EDC}\approx 16,5\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $EDC$ beträgt ca. $ 16,5\,\text{cm}^2.$
b)
$\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck $ADC:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2 +\overline{AC}^2&=& \overline{CD}^2 \\[5pt] \left(3\,\text{cm} \right)^2 + \overline{AC}^2 &=& \left(5\,\text{cm} \right)^2 \\[5pt] 9\,\text{cm}^2 +\overline{AC}^2 &=& 25\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; -9\,\text{cm}^3 \\[5pt] \overline{AC}^2 &=& 16\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC}&=& 4\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AC} = 4\,\text{cm} $
2. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck $ADC$ gilt für den Sinus:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \gamma_2 &=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{CD}} \\[5pt] \sin \gamma_2 &=& \dfrac{3\,\text{cm}}{5\,\text{cm}} \\[5pt] \sin \gamma_2 &=& \dfrac{3}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \gamma_2 &\approx& 37^{\circ} \end{array}$
$ \gamma_2 \approx 37^{\circ} $
3. Schritt: $\boldsymbol{\overline{BD}}$ berechnen
In dem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ gilt für den Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \left(\gamma_1 +\gamma_2 \right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \\[5pt] \tan \left(\gamma_1 +\gamma_2 \right)&=&\dfrac{\overline{AD} +\overline{BD}}{\overline{AC}} \\[5pt] \tan \left(25^{\circ}+37^{\circ} \right)&=&\dfrac{3\,\text{cm} +\overline{BD}}{4\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] \tan \left(62^{\circ} \right) \cdot 4\,\text{cm} &=&3\,\text{cm} +\overline{BD} &\quad \scriptsize \mid\; : -3\,\text{cm} \\[5pt] 4,5\,\text{cm}&\approx & \overline{BD}\\[5pt] \end{array}$
$ 4,5\,\text{cm}\approx \overline{BD} $
Die Länge der Strecke $[BD]$ beträgt ca. $4,5\,\text{cm}.$
#tangens#rechtwinkligesdreieck#sinus#satzdespythagoras#kathete
3.
a)
$\blacktriangleright$  Restmenge berechnen
Pro Kilogramm Körpergewicht werden $0,5\,\text{g}$ Iod-123 verabreicht:
$60\cdot 0,5\,\text{g} = 30\,\text{g} $
Es werden also $30\,\text{g}$ Iod-123 verabreicht. Mit der Halbwertszeit von $13$ Stunden ergibt sich folgende Formel für die Restmenge nach $n$ Stunden:
$W_n = 30 \cdot 0,5^{\frac{n}{13}}$
$\begin{array}[t]{rll} W_{65}&=& 30\cdot 0,5^{\frac{65}{13}} \\[5pt] &=& 0,9375 \end{array}$
Nach $65$ Stunden sind noch $0,9375\,\text{g}$ Iod-123 nicht zerfallen.
b)
$\blacktriangleright$  Zeitspanne ermitteln
Es wurden $30\,\text{g}$ Iod-123 verabreicht. Ein Zehntel davon ist:
$\dfrac{30\,\text{g}}{10} = 3\,\text{g}$
In der Gleichung von oben kann nun für $W_n = 3$ eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 30\cdot 0,5^{\frac{n}{13}} &\quad \scriptsize \mid\; :30 \\[5pt] 0,1 &=& 0,5^{\frac{n}{13}} &\quad \scriptsize \mid\; \log_{0,5} \\[5pt] \log_{0,5}0,1 &=& \frac{n}{13} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 13 \\[5pt] 43&\approx& n \end{array}$
$ 43\approx n$
Nach ca. $43$ Stunden ist noch ein Zehntel der verabreichten Menge Iod-123 vorhanden.
c)
$\blacktriangleright$  Stündlichen Abbau berechnen
Der Anteil des Iods, der nach einer Stunde noch übrig ist ergibt sich wie folgt:
$\sqrt[13]{0,5} \approx 0,948$
Nach einer Stunde sind also $5,2\,\%$ des Iods abgebaut.
#logarithmusgesetze#logarithmus
4.
a)
$\blacktriangleright$  Volumen des Hohlraums berechnen
1. Schritt: Radien berechnen
Der Durchmesser der äußeren Kugel ist $d_a= 3,20\,\text{m}.$ Der Radius der äußeren Kugel ist also:
$r_a = \frac{d_a}{2} = \frac{3,20\,\text{m}}{2} = 1,60\,\text{m}$
Der Radius der inneren Kugel ist um $70\,\text{cm}$ kleiner als der Radius der äußeren Kugel:
$\begin{array}[t]{rll} &r_i \\[5pt] =& r_a -70\,\text{cm} \\[5pt] =&1,60\,\text{m} - 70\,\text{cm} \\[5pt] =& 0,90\,\text{m} \end{array}$
2. Schritt: Volumen berechnen
Das Volumen des Hohlraums ist die Differenz des Volumens der äußeren Kugel und dem der inneren Kugel. Mit der Formel für das Volumen einer Kugel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_H&=& V_a -V_i \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_a^3 - \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_i^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left(1,60\,\text{m}\right)^3 - \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(0,90\,\text{m}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 14,1\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V_H \approx 14,1\,\text{m}^3 $
Ein Kubikmeter entspricht $1.000$ Litern. Der Hohlraum zwischen den beiden Kugeln hat also ein Volumen von ca. $14.100\,l.$
b)
$\blacktriangleright$  Größe der Fläche berechnen
Die zu reinigende Fläche ist die Oberfläche der äußeren Kugel. Diese kann mithilfe des bereits bestimmten Radius $r_a = 1,60\,\text{m}$ mit der Formel für die Oberfläche einer Kugel bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} O_a&=& 4\cdot \pi \cdot r_a^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \pi \cdot \left(1,60\,\text{m} \right)^2 \\[5pt] &\approx& 32,17\,\text{m}^2 \end{array}$
$ O_a \approx 32,17\,\text{m}^2 $
Die zu reinigende Fläche ist ca. $32,17\,\text{m}^2$ groß.
5.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Normalform angeben
Die Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel hat allgemein die Form $y = x^2+px+q.$ Mit den Koordinaten der beiden Punkte $A$ und $B$ ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3&=& (-2)^2+p\cdot (-2) + q \\ &3&=& 4-2p +q &\quad \scriptsize \mid\; -4\\ &-1&=& -2p +q \\[5pt] \text{II}\quad&6&=& 1^2+p\cdot 1 + q \\ &6&=& 1+p + q &\quad \scriptsize \mid\; -1\\ &5&=& p + q \\ \hline \text{I}\quad &-1&=& -2p +q &\quad \text{I}-\text{II}\\ \text{II}\quad &5&=& p + q \\ \hline \text{Ia}\quad &-6&=& -3p&\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\ &2&=& p \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3&=& … \\ \text{II}\quad&6&=&… \\ \hline &2&=& p \\ \end{array}$
Einsetzen von $p = 2$ in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 5&=& p+q &\quad \scriptsize \mid\; p=2 \\[5pt] 5&=&2+q&\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 3&=& q \\[5pt] \end{array}$
$ 3= q $
Die Funktionsgleichung von $p_1$ in Normalform lautet: $p_1: \, y = x^2 +2x+3.$
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform angeben
$\begin{array}[t]{rll} p_1: \quad y &=& -x^2+2x+3 \\[5pt] &=& -(x^2-2x) + 3 &\quad \scriptsize \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] &=& -(x^2 -2\cdot 1\cdot x + 1^2 -1^2) +3 \\[5pt] &=& -\left((x-1)^2 - 1^2\right) +3 \\[5pt] &=& -(x-1)^2 +1^2 +3 \\[5pt] &=& -(x-1)^2 +4 \end{array}$
$p_1: \quad y = -(x-1)^2 +4 $
Die Scheitelpunktform der Parabel $p_2$ lautet $p_2: \, y = -(x-1)^2 +4.$ Daraus können die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt abgelesen werden: $S(1\mid 4).$
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
Für die $y$-Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse muss $y=0$ gelten. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+2x+3 &\quad \scriptsize \mid\; y=0 \\[5pt] 0&=&-x^2+2x+3 &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] 0&=& x^2 -2x-3&\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-2}{2}\right)^2 -(-3)} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{1+3} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{4} \\[5pt] &=& 1\pm 2\\[5pt] x_1&=& 1-2\\[5pt] &=& -1\\[5pt] x_2&=& 1+2\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -1\\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$
Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ von $p_2$ mit der $x$-Achse lauten $x_1 = -1$ und $x_2 = 3.$
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte angeben
Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-1&=& -x^2+2x+3 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] x^2&=& -x^2+2x+4&\quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt] 0&=&-2x^2+2x+4 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] 0&=&x^2-x-2 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-1}{2}\right)^2 -(-2)} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4} +2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}\\[5pt] x_1&=& \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] x_2&=&\frac{1}{2} +\frac{3}{2} \\[5pt] &=&2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -1 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
Die zugehörigen $y$-Koordinaten lauten:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& x_1^2-1 \\[5pt] &=&(-1)^2 -1 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] y_2&=& x_2^2 -1\\[5pt] &=& 2^2 -1 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Die Parabeln $p_2$ und $p_3$ schneiden sich in den beiden Punkten $C(-1\mid 0)$ und $D(2\mid 3).$
e)
$\blacktriangleright$  Parbeln in ein Koordinatensystem einzeichnen
Gruppe 2
Abb. 2: $p_2$ und $p_3$
Gruppe 2
Abb. 2: $p_2$ und $p_3$
f)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte begründen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A1: $\boldsymbol{p_4}$ anhand einer Skizze
Die beiden Parabeln $p_3$ und $p_4$ besitzen keinen Schnittpunkt.
Gruppe 2
Abb. 3: Es gibt keine Schnittpunkte von $p_3$ und $p_4$
Gruppe 2
Abb. 3: Es gibt keine Schnittpunkte von $p_3$ und $p_4$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A2: $\boldsymbol{p_4}$ mit eigenen Worten
Die beiden Parabeln $p_3$ und $p_4$ besitzen keinen Schnittpunkt.
Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln. $p_3$ ist um eine Längeneinheit in negative $y$-Richtung verschoben, $p_4$ um eine Längeneinheit in negative $y$-Richtung.
Die Parabel $p_4$ ist also im Vergleich zu $p_3$ insgesamt um zwei Längeneinheiten in positiver $y$-Richtung verschoben und liegt damit in jedem Punkt oberhalb der Parabel $p_3.$ Sie können sich also nicht berühren.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A3: $\boldsymbol{p_4}$ durch Rechnung
Die beiden Parabeln $p_3$ und $p_4$ besitzen keinen Schnittpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+1&=& x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\; -x^2\\[5pt] 1&=&-1 \end{array}$
$ 1 =-1 $
Beim Gleichsetzen der Funktionsterme gibt es keine Lösung. Die Funktionen haben also keine gemeinsamen Funktionswerte und die zugehörigen Parabeln dadurch auch keine gemeinsamen Punkte.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B1: $\boldsymbol{p_5}$ anhand einer Skizze
Die beiden Parabeln $p_3$ und $p_5$ haben genau einen Schnittpunkt.
Gruppe 2
Abb. 4: $p_3$ und $p_5$ berühren sich in genau einem Punkt, dem Scheitelpunkt
Gruppe 2
Abb. 4: $p_3$ und $p_5$ berühren sich in genau einem Punkt, dem Scheitelpunkt
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B2: $\boldsymbol{p_5}$ mit eigenen Worten
Die beiden Parabeln $p_3$ und $p_5$ haben genau einen Schnittpunkt.
$P_3$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel. Ihr tiefster Punkt ist also der Scheitelpunkt $S_3(0\mid -1).$ $p_5$ ist dagegen eine nach unten geöffnete Normalparabel. Ihr höchster Punkt ist der Scheitelpunkt $S_5(0\mid -1).$ Abgesehen vom Scheitelpunkt können diese Parabeln also keine Punkte gemeinsam haben. Sie besitzen daher genau einen Schnittpunkt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B3: $\boldsymbol{p_5}$ durch Rechnung
Die beiden Parabeln $p_3$ und $p_5$ haben genau einen Schnittpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} -x^2-1&=& x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;+1\\[5pt] -x^2&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2\\[5pt] 0&=& 2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0&=& x^2 \\[5pt] 0&=& x \end{array}$
$ 0= x $
Beim Gleichsetzen der Funktionsterme gibt es nur eine Lösung. Die Funktionen haben also an genau einer Stelle den gleichen Funktionswert. Damit schneiden sich die beiden Parabeln in genau einem Punkt.
#pq-formel
6.
a)
$\blacktriangleright$  Aussage nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} &3\sqrt{9a^4}\\[5pt] =& 3\cdot 3a^2 \\[5pt] =& 9a^2 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Aussage nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} &\sqrt[3]{729a^8}\\[5pt] =& \sqrt[3]{729}\cdot \sqrt[3]{a^8}\\[5pt] =& 9\cdot a^{\frac{8}{3}}\\[5pt] \neq& 9 a^{2}\\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Aussage nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{27a^{-2}}{3a^{-4}}\\[5pt] =& \dfrac{9a^{-2}}{a^{-4}}\\[5pt] =& 9a^{-2-(-4)}\\[5pt] =& 9a^{2}\\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Aussage nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} &\frac{1}{6^{-1}}+3a^2 \\[5pt] =& 6+3a^2\\[5pt] \neq& 9a^2 \end{array}$
7.
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angeben
Die Definitionsmenge beinhaltet alle Werte, die für $x$ eingesetzt werden könnten. Da es sich um eine Bruchgleichung handelt und der Nenner eines Bruchs nicht null sein darf, müssen die Nullstellen der Nenner aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.
In der Gleichung gibt es insgesamt 2 verschiedene Nenner, in denen die Variable $x$ vorkommt.
$\begin{array}[t]{rll} x_1+3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[10pt] x_1&=& -3 \\[5pt] x_2+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[10pt] x_2&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
Die Definitionsmenge lautet also:
$D= \mathbb{R}\setminus \{-3;-1\}$
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10}{x+3}+\dfrac{9(x-4)}{x+1}&=& \dfrac{5x}{x+3}-6 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x+3)\cdot(x+1)\\[5pt] 10(x+1) +9(x-4)(x+3)&=& 5x(x+1)-6(x+3)(x+1) \\[5pt] 10x+10+9(x^2-4x+3x-12) &=& 5x^2+5x-6(x^2+3x+1x+3) \\[5pt] 10x + 10 +9x^2 -9x-108&=& 5x^2+5x -6x^2-24x-18 \\[5pt] 9x^2+x-98 &=& -x^2-19x-18 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \\[5pt] 10x^2 +x-98&=& -19x -18 &\quad \scriptsize \mid\; +19x\\[5pt] 10x^2 +20x -98 &=& -18 &\quad \scriptsize \mid\;+18 \\[5pt] 10x^2+20x-80&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:10 \\[5pt] x^2+2x-8&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2} \right)^2 -(-8)} \\[5pt] &=& -1\pm \sqrt{9} \\[5pt] &=&-1\pm 3 \\[5pt] x_1&=&- 1 - 3 \\[5pt] &=& -4 \\[5pt] x_2&=&-1+ 3 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $L= \{-4;2\}.$
8.
$\blacktriangleright$  Angeben, ob die Behauptungen richtig oder falsch sind
a)
Der Sinus kann nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Die Behauptung ist also richtig. (r)
b)
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kugel}}&=&\frac{4}{3}\pi r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\pi \left( \frac{d}{2}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\pi d^3 \\[5pt] &\approx& \frac{3,2}{6}r^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &V_{\text{Kugel}}\\[5pt] =&\frac{4}{3}\pi r^3 \\[5pt] =& \frac{4}{3}\pi \left( \frac{d}{2}\right)^3 \\[5pt] =& \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} \\[5pt] =& \frac{1}{6}\pi d^3 \\[5pt] \approx& \frac{3,2}{6}r^3 \end{array}$
Das Volumen eines Würfels ist dagegen $V_{\text{Würfel}} = r^3$ und damit größer.
Die Aussage ist richtig. (r)
c)
Ist die Gerade beispielsweise die $x$-Achse und die Parabel $p$ mit $y = x^2+1,$ so haben die beiden keine Schnittpunkte, da die Parabel nach oben geöffnet und entlang der $y$-Achse nach oben verschoben ist.
Die Aussage ist falsch. (f)
d)
Bei jeder Teilaufgabe ist die Wahrscheinlichkeit für das Erraten der Lösung $0,5.$ Es ist also
$\begin{array}[t]{rll} p&=& 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{8} \\[5pt] &=& 8^{-1} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &p\\[5pt] =& 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5 \\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] =& \frac{1}{8} \\[5pt] =& 8^{-1} \\[5pt] \end{array}$
Die Aussage ist richtig. (r)
9.
a)
$\blacktriangleright$  Platzhalter ersetzen
Mit den Strahlensätzen folgt:
$\text{I}$
$\dfrac{c}{a} = \dfrac{x+y+z}{x} $
$\text{II}$
$ (m+n)\cdot a = b\cdot m $
b)
$\blacktriangleright$  Streckungsfaktor berechnen
Die Strecke $a$ ist $3,50\,\text{m} = 350\,\text{cm}$ lang. Der Streckungsfaktor ist das Verhältnis der Bildstrecke zur ursprünglichen Strecke:
$k = \dfrac{875}{350} = 2,5$
10.
a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Gruppe 2
Abb. 5: Baumdiagramm
Gruppe 2
Abb. 5: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem obigen Baumdiagramm und den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}+\frac{4}{12}\cdot\frac{5}{11}+\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}+\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11} \\[5pt] &=& \frac{6}{11} \\[5pt] &\approx& 0,5455 \\[5pt] &=& 54,55\,\% \end{array}$
$ p \approx 54,55\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $54,55\,\%$ befindet sich unter den ersten beiden Startern keiner aus der Schweiz.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten berechnen
Die Anzahl der Möglichkeiten fünf unterschiedliche Personen auf fünf Platzierungen zu verteilen kann mit der Fakultät berechnet werden:
$5! = 120$
Die fünf Läufer können sich in $120$ verschiedenen Reihenfolgen platzieren.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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