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Gruppe 2

Aufgaben PLUS
Lösungen PLUS
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1.
Gegeben ist die Gerade $g_1$ mit der Funktionsgleichung $g_1: \, y = \frac{1}{3}x+2.$
a)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ von $g_1$ mit der $x$-Achse und gib $N$ an.
b)
Die Gerade $g_2$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $P(0\mid 7)$ und steht senkrecht auf der Geraden $g_1.$
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_2$ rechnerisch.
c)
Die Gerade $g_3$ verläuft durch die Punkte $Q(-3\mid -2)$ und $R(6\mid 1).$
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
d)
Zeichne die Geraden $g_1$ und $g_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-7$ bis $4,$ $y$-Achse von $-1$ bis $9$]
e)
Die Gerade $g_4$ wird durch die Gleichung $-2x= -y+7$ bestimmt. Sie schneidet die Gerade $g_1$ im Punkt $S.$
Ermittle rechnerisch die Koordinaten von $S.$
f)
Berechne die Größe des spitzen Winkels $\alpha,$ den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt.
g)
Die Gerade $g_5$ durch den Punkt $T(15\mid -25)$ verläuft parallel zur $x$-Achse.
Gib die Funktionsgleichung von $g_5$ an.
(8 Punkte)
2.
In einem rechtwinkligen Dreieck $ADC$ (siehe Skizze) hat die Strecke $[CD]$ eine Länge von $5\,\text{cm},$ die Strecke $[AD]$ eine Länge von $3\,\text{cm}.$ Die Größe des Winkels $\gamma_1$ beträgt $25^{\circ}.$
Abb. 1: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Abb. 1: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
a)
Bestimme rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks $EDC.$
b)
Berechne die Länge der Strecke $[BD].$
(5 Punkte)
#dreieck
3.
Bei einer Schilddrüsenerkrankung verwendet man für Untersuchungen ein Kontrastmittel mit Iod-123. Dabei werden den Patienten pro Kilogramm Körpergewicht $0,5\,\text{g}$ Iod-123 verabreicht.
Iod-123 hat eine Halbwertszeit von $13$ Stunden.
a)
Bei einer solchen Untersuchung erhält eine $60\,\text{kg}$ schwere Patientin die entsprechende Menge an Iod-123.
Berechne ausgehend davon die Menge an Iod-123, die nach $65$ Stunden noch nicht zerfallen ist.
b)
Ermittle rechnerisch die Zeitspanne, nach der noch ein Zehntel der verabreichten Menge Iod-123 vorhanden ist.
c)
Berechne den stündlichen Abbau von Iod-123 in Prozent.
(5 Punkte)
#halbwertszeit
4.
Beim „Zorbing“ rollt eine Person im Inneren einer doppelwandigen, meist durchsichtigen Kugel einen Abhang hinunter (siehe Bild).
Vereinfacht betrachtet handelt es sich bei einer Zorbing-Kugel um eine äußere und innere Kugel mit gleichem Mittelpunkt (siehe Skizze). Der Einstiegstunnel wird bei den folgenden Aufgaben vernachlässigt.
Der Radius $r_a$ der äußeren Kugel ist um $70\,\text{cm}$ größer als der Radius $r_i$ der inneren Kugel. Die äußere Kugel hat einen Durchmesser von $3,20\,\text{m}.$
a)
Berechne das Volumen des Hohlraums zwischen der äußeren und der inneren Kugel in Liter.
b)
Nach jeder Benutzung muss die Kugel außen gereinigt werden.
Berechne die zu reinigende Fläche.
(4 Punkte)
#kugel
5.
a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $A(-2\mid 3)$ und $B(1\mid 6).$
Berechne die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.
b)
Eine weitere Normalparabel hat die Funktionsgleichung $p_2:\, y = -x^2+2x+3.$
Berechne die Scheitelpunktform von $p_2$ und gib den Scheitelpunkt $S$ an.
c)
Die Parabel $p_2$ schhneidet die $x$-Achse in den Punkten $N_1$ und $N_2.$
Berechne die $x$-Koordinaten dieser Punkte.
d)
Die Parabel $p_3: \, y = x^2-1$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $C$ und $D.$
Ermittle rechnerisch die Koordinaten dieser Schnittpunkte und gib $C$ und $D$ an.
e)
Zeichne die PArabeln $p_2$ und $p_3$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}.$
[Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-3$ bis $4,$ $y$-Achse von $-3$ bis $5$]
f)
Die Parabeln $p_4$ und $p_5$ sind durch folgende Funktionsgleichungen bestimmt:
$p_4:\, y = x^2+1 \quad $ $p_5: \, y = -x^2-1$
Wähle eine der beiden Parabeln $p_4$ oder $p_5$ aus und gib die Anzahl ihrer Schnittpunkte mit der Parabel $p_3$ an.
Begründe deine Antwort entweder anhand einer Skizze, mit eigenen Worten oder durch Rechnung.
(8 Punkte)
#parabel#scheitelpunktform#scheitelpunkt
6.
Jede der folgenden vier Aussagen ist für $a> 1$ korrekt. Weise dies jeweils durch mathematische Umformungen nach.
a)
$3\sqrt{9a^4} = 9a^2$
b)
$\sqrt[3]{729a^8} \neq 9a^2$
c)
$\dfrac{27a^{-2}}{3a^{-4}} = 9a^2$
d)
$\dfrac{1}{6^{-1}} +3a^2 \neq 9a^2$
(2 Punkte)
#potenzgesetze#wurzel#potenz
7.
Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\dfrac{10}{x+3} + \dfrac{9(x-4)}{x+1} = \dfrac{5x}{x+3} -6$
(4 Punkte)
#bruchgleichung
8.
Notiere auf deinem Lösungsblatt, ob die jeweilige Behauptung richtig (r) oder falsch (f) ist.
a)
Der Sinus eines Winkels kann nie größer als $1$ sein.
b)
$V_{\text{Kugel}}$ (mit Durchmesser $d= 10\,\text{cm}$) $< V_{\text{Würfel}}$ (mit Kantenlänge $a=10\,\text{cm}$).
c)
Eine Gerade hat mit einer Parabel immer zwei Schnittpunkte.
d)
Die Wahrscheinlichkeit, dass du die korrekten Lösungen für die Teilaufgaben a), b) und c) errätst, beträgt $8^{-1}.$
(2 Punkte)
#kugel#würfel#parabel#sinus#wahrscheinlichkeit
9.
a)
Schreibe die folgenden Aussagen auf dein Lösungsblatt und ersetze jeweils den Platzhalter so, dass die Beziehungen richtig wiedergegeben werden.
Es gilt: $a \parallel b \parallel c$
Abb. 4: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Abb. 4: Skizze (nicht maßstabsgetreu)
(I)
$\dfrac{c}{a}= \dfrac{}{x}$
(II)
$\cdot a = b\cdot m$
b)
Die Länge der Strecke $a$ beträgt $3,5\,\text{m}.$ Sie wird durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum $S$ auf die Strecke $c$ mit der Länge $875\,\text{cm}$ abgebildet.
Berechne den Streckungsfaktor $k.$
(3 Punkte)
#zentrischestreckung
10.
Bei einem Skirennen starten zwölf Läufer: vier Deutsche, fünf Österreicher und drei Schweizer.
Die Startreihenfolge wird ausgelost, indem die Namen der Läufer nacheinander und zufällig aus einer Lostrommel gezogen werden.
a)
Erstelle für die Vergabe der ersten zwei Startplätze ein Baumdiagramm, das nur die Nationalitäten der Läufer berücksichtigt.
Beschrifte die Äste mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
b)
Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den ersten beiden Startern keiner aus der Schweiz befindet.
c)
Die Österreicher planen für ihr Training ein eigenes Rennen.
Berechne die Anzahl aller Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sich die fünf Läufer dabei platzieren können. Gehe davon aus, dass alle Skifahrer mit unterschiedlichen Zeiten ins Ziel kommen.
(4 Punkte)

(45 Punkte)
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
https://goo.gl/AkW9mZ – Zorbing, Einalem, CC BY-SA 2.0.
[3]
© 2017 – SchulLV.
[4]
© 2017 – SchulLV.
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