Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Mittelschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Mittlerer Schulabschluss
Qualifizierender Abschlus...
VERA 8
Mittlerer Schu...
Prüfung
wechseln
Mittlerer Schulabschluss
Qualifizierender Abschluss
VERA 8
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Gruppe 1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $D(1|6)$ und $B(4|3)$. Berechne die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.
b)
Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat die Funktionsgleichung $p_2:\quad y=-x^2+x+3,75$. Gebe die Scheitelpunktform dieser Parabel an.
c)
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ der Parabel $p_2$ mit der $x$-Achse und gebe diese Punkte an.
d)
Eine weitere nach unten geöffnete Normalparabel $p_3$ hat den Scheitelpunkt $S_3(4|7)$. Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Parabel $p_3$ in der Normalform.
e)
Die Parabel $p_4$ hat die Funktionsgleichung $p_4: \quad y=(x-2)^2+3$.
Gebe die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_4$ von $p_4$ an.
f)
Gebe die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten $G$ und $H$ an, die auf der Parabel $p_4$ liegen.
g)
Zeichne die Graphen der Parabeln $p_3$ und $p_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1~\text{cm}$.
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-2$ bis $8$, $y$-Achse von $-1$ bis $10$
(8 P.)
#parabel
2.
Folgende Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter $\square$ durch die entsprechenden Terme und schreibe die vollständigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
a)
$\color{#87c800}{\square}+\color{#87c800}{\square}+\dfrac{1}{4}c^8=(3ab^2+\color{#87c800}{\square})^2$
b)
$5,25z^2-30yz+\color{#87c800}{\square}=(\color{#87c800}{\square}-\color{#87c800}{\square})^2$
(3 P.)
#binomischeformeln
3.
In einer Figur (siehe Skizze) ist $[AB]$ parallel zu $[ED]$.
Es gilt: $\overline{AC}=2,5~\text{dm}$, $\overline{AF}=1,25~\text{dm}$ und $\overline{FG}=1,5~\text{dm}$
Skizze
Abb. 1: Dreieck $ABC$
Skizze
Abb. 1: Dreieck $ABC$
a)
Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$ rechnerisch.
b)
Berechne jeweils die Länge der Strecken $[ED]$ und $[AB]$.
c)
Ermittle rechnerisch den Flächeninhalt des Trapezes $ABDE$
(5 P.)
#dreieck
4.
Folgende Wertepaare sind Punkte auf der Geraden $g_1$:
$x$$-10$$ -5$$ 0$$2,5$
$y$$ -4$$-1 $$2 $$ 3,5$
$x$$y$
$-10$$-4$
$-5$$ -1$
$ 0$$2$
$2,5$$3,5$
a)
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_1$ rechnerisch.
b)
Die Gerade $g_2$ ist durch die Gleichung $-x+5y=20$ bestimmt.
Die Gerade $g_3$ steht senkrecht auf der Geraden $g_2$ und verläuft durch den Punkt $A(-3|0)$.
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
c)
Überprüfe rechnerisch, ob die Gerade $g_4:\quad y=-5x-5$ die Gerade $g_2$ im Punkt $B(5|5)$ schneidet.
d)
Überprüfe folgende Aussagen und begründe deine Entscheidung:
1.
Die Gerade $g_4$ verläuft parallel zur Geraden $g_5$, die durch die Gleichung $-5x+y=-3$ bestimmt ist.
2.
Die Gerade $g_4$ steht senkrecht auf der Geraden $g_6:\quad y=0,2x$.
e)
Zeichne den Graphen der Geraden $g_1$ und $g_6$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1~\text{cm}$
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-6$ bis $6$, $y$-Achse von $-3$ bis $6$
(8 P.)
#gerade
5.
In einem Spiel werden gleiche Würfel mit den Augenzahlen $1$ bis $6$ verwendet.
a)
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $3$ zu erreichen.
b)
Éin Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Die Zahlen werden in der gewürfelten Reihenfolge notiert.
Ermittle rechnerisch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei dreimaligem Werfen eines Würfels die Kombination $4/4/4$ ergibt.
(3 P.)
#wahrscheinlichkeit
6.
Schreibe die folgenden Aussagen auf dein Lösungsblatt und ersetze jeweils den Platzhalter $\color{#87c800}{\square}$ so, dass die Streckenverhältnisse richtig wiedergegeben werden ( $g_1~||~g_2~||~g_3~||~g_4$ ):
Skizze
Abb. 2: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 2: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
a)
$\dfrac{a+c}{f}=\dfrac{\color{#87c800}{\square}}{e}$
b)
$\dfrac{w}{\color{#87c800}{\square}}=\dfrac{b+d}{d}$
c)
$\dfrac{\color{#87c800}{\square}}{f}=\dfrac{x}{y}$
(3 P.)
7.
Gebe die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch:
$\dfrac{8x+39}{4x-12}=x$
(3 P.)
#gleichung
8.
Am 31. Dezember $2007$ hatte eine bayerische Stadt $133~539$ Einwohner.
Am letzten Tag des Jahres $2016$ waren es nur noch $124~698$ Einwohner
a)
Berechne den durchschnittlichen jährlichen Bevölkerungsrückgang in Bezug auf das jeweilige Vorjahr in Prozent.
a)
Ab dem 1. Januar $2017$ möchte die Stadt einen durchschnittlichen jährlichen Bevölkerungszuwachs von $0,6~\%$ in Bezug auf das jeweilige Vorjahr erreichen.
Ermittle rechnerisch, in wie vielen Jahren die Einwohnerzahl auf $150~00$ anwahsen würde.
c)
Am 31. Dezember $2007$ hatte ein Nachbarort $2205$ Einwohner.
Dort stieg die Einwohnerzahl in den folgenden fünf Jahren um $0,7~\%$ im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr. In den darauffolgenden vier Jahren erhöhte sie sich um jeweils $1,4~\%$ im Vergleich zum Vorjahr.
Bestimme rechnerisch die Einwohnerzahl des Nachbarortes am Ende des Jahres $2016$.
(5 P.)
#prozent
9.
In einem Würfel wird eine Kugel von zwei gespannten Seilen gehalten, die jeweils eine Würfelecke mit der Kugeloberfläche verbinden (sihe Skizze).
Skizze
Abb. 3: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 3: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
Die jeweils $3,0~\text{cm}$ langen Schnüre verlaufen entlang der Raumdiagonalen, auf der sich auch der Mittelpunkt der Kugel befindet.
Die Kugel hat ein Volumen von $33,5~\text{cm}^3$. Der Winkel $\beta$ beträgt gerundet $35,27^{\circ}$.
Berechne das Volumen der Würfels.
(4 P.)
#volumen
10.
Die Geschwister Lena und Patrick gehen mit ihren Eltern in Theater. Der Eintritt kostet für alle zusammen $64~€$. Die Vorstellung besucht auch Herr Stur mit seinen drei Kindern und zahlt insgesamt $60~€$.
a)
Eines der folgenden vier Gleichungssysteme $A$ bis $D$ stellt diesen Sachverhalt richtig dar:
$B \qquad \begin{array}[t]{rll} \text{(I)} \quad 2x+2y&=&4 \\ \text{(II)}\quad ~ 3x+y&=&4\end{array}$
$D \qquad \begin{array}[t]{rll} \text{(I)} \qquad x+y&=&32 \\ \text{(II)}\quad ~ x+3y&=&30\end{array}$
Gebe dieses Gleichungssystem auf deinem Lösungsblatt an.
b)
Ermittle rechnerisch den jeweiligen Eintrittspreis für ein Kind und eine erwachsene Person.
(3 P.)
#gleichungssystem
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung berechnen
Die Normalform einer Parabel hat die allgemeine Form:
$y=x^2+px+q$
Setze nun beide Punkte $D$ und $B$ in die allgemeine Form und löse das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6&=& 1^2&+&1\cdot p &+&q &\quad \\ \text{II}\quad&3&=& 4^2&+&4\cdot p&+&q &\quad \\ \hline \text{I}\quad&6&=& 1&+& p &+&q &\quad \scriptsize\mid\; -1 \\ \text{II}\quad&3&=& 16&+&4\cdot p&+&q &\quad \scriptsize \mid~ -16\\ \hline \text{I}\quad&5&=& p &+&q &&&\quad \scriptsize \\ \text{II}\quad&-13&=& 4\cdot p&+&q &&&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $p$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=&p+q &\quad \scriptsize \mid\; -r \\[5pt] 5-q&=& p \end{array}$
Und setze dies für $p$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $q$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} -13&=&4 \cdot(5-q)+q &\quad \scriptsize \\[5pt] -13&=& 20-4\cdot q+q &\quad \scriptsize \\[5pt] -13&=& 20-3\cdot q &\quad \scriptsize \mid~ -20\\[5pt] -33&=& -3\cdot q &\quad \scriptsize \mid~ :(-3)\\[5pt] 11&=& q \end{array}$
Für $p$ gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&5-11 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-6 \end{array}$
$ p=-6\\ q=11$
Setze die Werte für $p$ und $q$ in die allgemeine Normalform ein, um die Funktionsgleichung der Parabel zu erhalten:
$p_1: \quad y=x^2-6x+11$
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform angeben
Durch quadratische Ergänzung erhältst du die Scheitelpunktform:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+x+3,75&=&-(x^2-x-3,75) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\left(x^2-x-3,75+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-3,75-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-(x-0,5)^2+3,75-\dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-(x-0,5)^2+4 \end{array}$
$ y=-(x-0,5)^2+4 $
Für die Funktionsgleichung gilt also $p_2:\quad y=-(x-0,5)^2+4$
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Für Schnittpunkunkte mit der $x$-Achse gilt $y=0$. Setze also die Funktionsgleichung null und löse mithilfe der $abc$-Formel (Mitternachtsformel) auf:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+x+3,75&=&0 &\quad \scriptsize\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot (-1)\cdot 3,75}}{2\cdot (-1)} \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+15}}{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm 4}{-2} \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{3}{2}=-1,5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{5}{2}=2,5 \end{array}$
$ -x^2+x+3,75=0 \\[5pt] x_1= -1,5 \\[5pt] x_2= 2,5 $
Für die beiden Punkte gilt also:
$N_1(-1,5|0)$ und $N_2(2,5|0)$
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Normalform ermitteln
Die Parabel ist nach unten geöffnet, um $4$ nach rechts und um $7$ nach oben verschoben. Schreibe die Funktionsgleichung zuerst in der Scheitelpunktform:
$p_3:\quad y=-(x-4)^2+7$
Durch ausmultiplizieren der Scheitelpunktsform erhältst du die Normalform:
$\begin{array}[t]{rll} -(x-4)^2+7&=&-(x^2-2\cdot 4\cdot x +4^2)+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-x^2+8 x -16+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-x^2+8x -9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ y=-x^2+8x -9 $
Die Funktionsgleichung in Normalform ist also: $p_3: \quad y=-x^2+8x-9$
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Scheitelpunkts angeben
Anhand der Scheitelpunktform kannst du erkennen, dass die Parabel um $2$ nach rechts und um $3$ nach oben verschoben ist. Also git für den Scheitlpunkt:
$S_4(2|3)$
f)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von zwei Punkten angeben
Wähle zwei beliebige $x$-Werte, z.B. $x_1=0$ und $x_2=1$. Setze diese in die Funktionsgleichungen ein, um den $y$-Wert zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&(-2)^2+3=4+3=7 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&(-1)^2+3=1+3=4 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_1&=&7 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=& 4 \end{array} $
Für die Punkte gilt also:
$G(0|7)$ und $H(1|4)$
g)
$\blacktriangleright$  Parabeln einzeichnen
Zeichne zuerst die Scheitelpunkte ein. Zeichne dann nach unten geöffnete Normalparabeln an die Scheitelpunkte:
Graph
Abb. 1: Graphen der Parabeln $g_3$ und $g_4$
Graph
Abb. 1: Graphen der Parabeln $g_3$ und $g_4$
#abc-formel#schnittpunkt#nullstelle
2
$\blacktriangleright$  Terme vervollständigen
Für die Aufagbe benötigst du die $1.$ und die $2.$ Binomische Formel:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
a)
Benutze die $1.$ Binomische Formel und betrachte zuerst das $1.$ Kästchen. Hier muss $a^2$ stehen, wobei $a=3ab^3$ ist. Also:
$a^2=(3ab^3)^2=3^2a^2\left(b^3\right)^2=9a^2b^6$
$ a^2=9a^2b^6 $
Betrachte als nächstes das $3.$ Kästchen. Hier muss $b$ stehen. Du kannst $b^2=\dfrac{1}{4}c^8$ ablesen. Also:
$c=\sqrt{\dfrac{1}{4}c^8}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}\cdot \sqrt{c^8}=\dfrac{1}{2}c^4$
$ c=\sqrt{\dfrac{1}{4}c^8}=\dfrac{1}{2}c^4 $
Für das $2.$ Kästchen gilt $2ab$, also:
$2ab=2\cdot 3ab^3\cdot \dfrac{1}{2}c^4=3ab^3c^4$
Setzt du dies ein, erhältst du:
$\color{#87c800}{9a^2b^6}+\color{#87c800}{3ab^3c^4}+\dfrac{1}{4}c^8=(3ab^2+\color{#87c800}{\dfrac{1}{2}c^4})^2$
$ … $
b)
Dies ist die $2.$ Binomische Formel. Betrachte zuerst das $2.$ Kästchen, indem $a$ stehen muss. Aus der Formel kannst du $a^2=6,25z^2$ ablesen. Also:
$a=\sqrt{6,25z^2}=2,5z$
Außerdem kannst du $2ab=30yz$ aus dem gegebenen Term ablesen. Setzte hier $a$ ein und löse nach $b$ auf, um $b$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 2ab&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot (2,5z)\cdot b&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 5zb&=& 30yz &\quad \scriptsize \mid~ :(5z) \\[5pt] b&=&6z &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 2ab&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot (2,5z)\cdot b&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 5zb&=& 30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&6z &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array} $
Jetzt kannst du noch $b^2$ berechnen:
$b^2=(6z)^2=36z^2$
Setzt du nun wieder alles in die Gleichung ein, erhältst du:
$5,25z^2-30yz+\color{#87c800}{36y^2}=(\color{#87c800}{2,5z}-\color{#87c800}{6y})^2$
$ … $
3.
a)
$\blacktriangleright$  Winkel $\alpha$ bestimmen
Mithilfe des Kosinus erhältst du im Dreieck $AFC$ für $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,25~\text{dm}}{2,5~\text{dm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid~ \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&60^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,25~\text{dm}}{2,5~\text{dm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&60^{\circ} \end{array} $
b)
$\blacktriangleright$  Strecken berechnen
Für die Strecke $[AB]$ gilt im Dreieck $ABC$ mit dem Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{2,5~\text{dm}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid~ \cdot \overline{AB} \\[5pt] \dfrac{\overline{AB}}{2}&=& 2,5~\text{dm} &\quad \scriptsize \mid~ \cdot 2 \\[5pt] \overline{AB}&=& 5~\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{2,5~\text{dm}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AB}&=& 5~\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array} $
Die Strecke $[ED]$ kannst du mit dem Strahlensatz berechnen:
$\dfrac{\overline{ED}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CG}}{\overline{CF}}$
Die fehlende Strecke $[CF]$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2&=&\overline{AC}^2-\overline{AF}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CF}^2&=&(2,5~\text{dm})^2-(1,25~\text{dm})^2 &\quad \scriptsize \mid~ \sqrt{} \\[5pt] \overline{CF}&=&\sqrt{(2,5~\text{dm})^2-(1,25~\text{dm})^2} \\[5pt] &\approx&2,2~\text{dm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2&=&\overline{AC}^2-\overline{AF}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&2,2~\text{dm} \end{array}$
Für $\overline{CG}$ gilt damit:
$\overline{CG}=\overline{CF}-\overline{FG}=2,2~\text{dm}-1,5~\text{dm}=0,7~\text{dm}$
$ \overline{CG}=0,7~\text{dm} $
Setze nun alle Längen in den Strahlensatz ein und löse nach $\overline{ED}$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ED}}{5~\text{dm}}&=&\dfrac{0,7~\text{dm}}{2,2~\text{dm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 5~\text{dm} \\[5pt] \overline{ED}&=&\dfrac{0,7\cdot 5}{2,2}~\text{dm} \\[5pt] &\approx&1,6~\text{dm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ED}}{5~\text{dm}}&=&\dfrac{0,7~\text{dm}}{2,2~\text{dm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{ED}&=&\dfrac{0,7\cdot 5}{2,2}~\text{dm} \\[5pt] &\approx&1,6~\text{dm} \end{array} $
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für ein Trapez gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h$
Wobei $h=\overline{FG}$, $a=\overline{AB}$ und $c=\overline{ED}$ sind. Somit gilt für den Flächeninhalt des Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot(\overline{AB}+\overline{ED})\cdot \overline{FG} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot(5~\text{dm}+1,6~\text{dm})\cdot 1,5~\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&5,0~\text{dm}^2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot(\overline{AB}+\overline{ED})\cdot \overline{FG} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&5,0~\text{dm}^2 \end{array} $
#kosinus#satzdespythagoras#strahlensatz
4.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g_1$ bestimmen
Setze $2$ Punke aus der Wertetabelle in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+c$ ein. Damit kannst du das Gleichungssystem nach $m$ und $c$ auflösen. Der beste Punkt ist $(0|2)$, da du damit direkt $c$ erhältst:
$2=m\cdot 0+c=c$
Setze jetzt $c$ und einen weiteren Punkt, z.B. $(-5|-1)$, in die allgemeine Geradengleichung und löse nach $m$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-5m+2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -3&=&-5m &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] \dfrac{3}{5}&=&m \end{array}$
Somit ist die Funktionsgleichung:
$g_1:\quad y=\dfrac{3}{5}x+2$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g_3$ bestimmen
Steht eine Gerade mit Steigung $m_A$ senkrecht auf einer zweiten Gerade mit Steigung $m_B$, dann gilt:
$m_A=-\dfrac{1}{m_B}$
Stelle die Funktionsgleichung von $g_2$ in die Form der allgemeinen Geradengleichung um:
$\begin{array}[t]{rll} -x+5y&=&20 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 5y&=&x+20 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{5}x+4 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} -x+5y&=&20 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{5}x+4 \end{array} $
Die Steigung der Geraden $g_2$ kann jetzt als $m_2=\dfrac{1}{5}$ abgelesen werden. Für die Steigung der Geraden $g_3$ gilt also:
$m_3=-\dfrac{1}{m_2}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{5}}=-5$
Setze nun $m_3$ und den Punkt $A(-3|0)$ in die allgemeine Geradenglecihung ein, um $c$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-5\cdot (-3) +c &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&15 +c &\quad \scriptsize \mid\;-15\\[5pt] -15&=&c \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 0&=&-5\cdot (-3) +c &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&15 +c &\quad \scriptsize \\[5pt] -15&=&c \end{array} $
Somit gilt für die Funktionsgleichung:
$g_3:\quad y=-5x-15$
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt prüfen
Du kannst die Geraden gleich setzen und nach $x$ auflösen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. Da allerdings schon ein Punkt gegeben ist, ist es einfacher zu überprüfen, ob der Punkt $B(5|5)$ auf beiden Geraden liegt. Sollte dies der Fall sein, dann ist $B$ ein gemeinsamer Schnittpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} g_2:& \quad -5+5\cdot 5&=& 20 \\[5pt] &\qquad \quad 20&=&20 \quad \checkmark \\[5pt] g_4:& \qquad \quad 5&=&-5\cdot 5-5 \\[5pt] &\qquad \quad 5&=&-30 \quad \text{↯} \\[5pt] \end{array}$
$g_2:\quad \checkmark \\[5pt] g_4: \quad \text{↯} $
Der Punkt $B(5|5)$ ist demnach kein gemeinsamer Schnittpunkt
d)
$\blacktriangleright$  Aussagen überprüfen
1.
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Schreibe also die Funktionsgleichung von $g_5$ zunächst in der allgemeinen Geradenform:
$\begin{array}[t]{rll} -5x+y&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; +5x \\[5pt] y&=& 5x-3 \end{array}$
Die Steigung ist also $m_5=5$. Die Gerade $g_4$ hat jedoch eine Steigung von $g_4=-5$. Damit sind die Geraden nicht parallel und die Aussage ist falsch.
2.
Die Steigung der Geraden $g_6$ kannst du ablesen: $m_6=0,2$. Benutze die Bedingung von zuvor für senkrecht aufeinander stehende Geraden:
$-\dfrac{1}{0,2}=-5=m_4$
Die beiden Geraden stehen demnach senkrecht aufeinander und die Aussage ist richtig.
e)
$\blacktriangleright$  Geraden einzeichnen
Starte jeweils mit dem $y$-Achsenabschnitt $c$ der beiden Geraden. Dieser ist
$c_1=2$ und $c_6=0$
Zeichne von diesem Punkt ausgehend ein Steigungsdreieck und zeichne damit einen weiteren Punkt ein. Verbinde nun die Punkte, um die Geraden zu erhalten:
Graph
Abb. 2: Graphen der Geraden $g_1$ und $g_6$
Graph
Abb. 2: Graphen der Geraden $g_1$ und $g_6$
#schnittpunkt
5.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3
Die Augensumme $3$ kannst du nur mit einer $1$ und einer $2$ erreichen. Die Wahrscheinlichkeit eine $1$ oder $2$ zu würfeln beträgt jeweils $P(1)=P(2)=\dfrac{1}{6}$. Die Reihenfolge, bzw. welcher Würfel die $1$, bzw. die $2$ würfelt, ist egal, weshalb es $2$ Pfade gibt. Es gilt daher:
$P(\text{Augensumme 3})=2\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{36}\approx 0,0556=5,56~\%$
$ P(\text{Augensumme 3})= \dfrac{2}{36} $
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Ergebnisse bestimmen
Für das erste Mal würfeln gibt es $6$ mögliche Ergebnisse, nämlich die Zahlen $1$ bis $6$. Auch beim zweiten und dritten Mal gibt es jewils $6$ mögliche Ergebnisse. Kombinierst du diese, mit Beachtung der Reihenfolge erhältst du:
$6\cdot 6\cdot 6=6^3=216$
Es gibt also insgesamt $216$ Anordnungsmöglichkeiten.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Kombination 4/4/4
Die Wahrscheinlichkeit eine $4$ zu würfeln beträgt $P(4)=\dfrac{1}{6}$. Mit dem Pfadmultiplikationsgesetz erhältst du für $3$ Vieren hintereinander:
$P(4/4/4)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}\approx 0,0046=0,46~\%$
$ P(4/4/4)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3 $
#prozent
6.
$\blacktriangleright$  Streckenverhältnis wiedergeben
Da die Geraden $g_1$ bis $g_4$ parallel sind, kannst du mithilfe des Strahlensatzes die Streckenverhältnisse angeben:
a)
$\dfrac{a+c}{f}=\dfrac{\color{#87c800}{b+d}}{e}$
b)
$\dfrac{w}{\color{#87c800}{x}}=\dfrac{b+d}{d}$
c)
$\dfrac{\color{#87c800}{c}}{f}=\dfrac{x}{y}$
#strahlensatz
7.
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angeben
Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du die Nullstelle des Nenners berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x-12&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] 4x&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Da du nicht durch Null teilen darfst, darf $x=3$ nicht eingesetzt werden und ist deshalb nicht in der Definitionsmenge:
$D=\mathbb{R} \setminus \{ 3\}$
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung, indem du zuerst mit dem Nenner multiplizierst und dann die Gleichung sortierst:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8x+39}{4x-12}&=&x &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (4x-12) \\[5pt] (8x+39)&=&x\cdot (4x-12) &\quad \scriptsize \\[5pt] 8x+39&=&4x^2-12x &\quad \scriptsize \mid\;-(8x+39) \\[5pt] 0&=& 4x^2-20x-39 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 4x^2-20x-39=0 $
Benutze jetzt die $abc$-Formel (Mitternachtsformel), um nach $x$ aufzulösen::
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{20 \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 4\cdot (-39)}}{2\cdot 4} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{20 \pm \sqrt{400+624}}{8} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{20 \pm 32}{8} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{52}{8}=6,5\\[5pt] x_2&=&\dfrac{-12}{8}=-1,5 \end{array}$
$ x_1=6,5\\[5pt] x_2=-1,5$
Damit gilt für die Lösungsmenge:
$L=\{-1,5~;~6,5 \}$
#bruchgleichung#abc-formel
8.
a)
$\blacktriangleright$  Jährlichen Bevölkerungsrückgang berechnen
Nach einem Jahr ist nur noch ein gewisser Prozentsatz $q$ der Bevölkerung vorhanden. Nach $9$ Jahren gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} 124~698&=&133~539\cdot q^9 &\quad \scriptsize \mid\; :133~539 \\[5pt] 0,9338&\approx& q^9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[9]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 0,9924&\approx &q \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 124~698&=&133~539\cdot q^9 &\quad \scriptsize \\[5pt]] 0,9924&\approx &q \end{array}$
Nach Einem Jahr sind also durchschnittlich noch $99,24~\%$ des Bevölkerung vorhanden. Demnach gilt für den Rückgang:
$1-q=1-0,9924=0,0076=0,76~\%$
$ 1-q=0,76~\% $
Der jährliche Rückgang ist also etwa $0,8~\%$.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jahre berechnen
Nach einem Jahr ist die Bevölkerung also $100,6~\%$ des Vorjahres. Nach $n$ Jahren gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} 150~000&=&124~698\cdot 1,006^n &\quad \scriptsize \mid\; :124~698 \\[5pt] 1,203&\approx& 1,006^n &\quad \scriptsize \mid\; \log_{1,006} \\[5pt] 30,90&\approx&n \end{array}$
n\approx 30,90
Nach $31$ Jahren ist die Einwohnerzahl auf $150~000$ angewachsen.
c)
$\blacktriangleright$  Einwohnerzahl bestimmen
Die Bevölkerung wächst $5$ Jahre lang mit $0,7~\%$ und für $4$ Jahre mit $1,4~\%$. Also:
$2205\cdot 1,007^5 \cdot 1,014^4\approx 2414$
Am Ende des Jahres 2016 ist die Einwohnerzahl $2414$.
#prozent#wachstum
9.
$\blacktriangleright$  Raumdiagonale bestimmen
Die Diagonale des Würfels besteht aus $2$ Schnüren mit je $3~\text{cm}$ und der Kugel. Berechne deshalb zuerst den Radius der Kugel. Mit der Volumenformel einer Kugel gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 33,5~\text{cm}^3&=&\dfrac{4}{3}\cdot 3,14 \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid~ :\left(\dfrac{4}{3}\cdot 3,14\right) \\[5pt] 8~\text{cm}^3&\approx&r^3 &\quad \scriptsize \mid~ \sqrt[3]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 2~\text{cm}&=&r \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] r&=& 2~\text{cm} \end{array} $
Somit ist die Raumdiagonale:
$D=3~\text{cm}+3~\text{cm}+2~\text{cm}+2~\text{cm}=10~\text{cm}$
$ D=10~\text{cm} $
Skizze
Abb. 3: Skizze des Würfels
Skizze
Abb. 3: Skizze des Würfels
#sinus#kugel
10.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem angeben
Die erste Zeile der Gleichungssysteme beschreibt den Sachverhalt von Lena, Patrick und deren Eltern. Der Preis wird demnach für $2$ Kinder und $2$ Erwachsene berechnet:
$2x+2y=64~€$
Gleichungssystem $A$ könnte also in Frage kommen. Aber auch Gleichungssystem $C$ und $D$ haben die gleiche Gleichung, nur durch $2$ geteilt:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+2y&=&64~€&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x+y&=&32~€ \end{array}$
Die zweite Gleichung muss den Sachverhalt von Herrn Stur mit seinen drei Kindern beschreiben, also $3$ Kinder und $1$ Erwachsenen. Es ist allerdings unklar, welche Variable für Kinder und welche für Erwachsene verwendet wird. Die Zeile lautet damit:
$3x+y=60~€$ oder $x+3y=60~€$
Nur das Gleichungssystem $C$ erfüllt eine dieser Gleichungen und ist daher richtig. $y$ steht also für den Kinderpreis und $x$ für den Erwachsenenpreis.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse zuerst Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} x+y&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; -y \\[5pt] x&=&32-y \end{array}$
Setze jetzt das Ergebnis in Gleichung $\text{(II)}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} (y-32)+3y&=&60 &\quad \scriptsize\\[5pt] 2y-32&=&60 &\quad \scriptsize \mid\; +32 \\[5pt] 2y&=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] y&=&14 \end{array}$
Ein Kinterticket kostet also $14~€$. Setze dies nun in die umgestellt Gleichung $\text{(I)}$, um den Preis für Erwachsene zu bestimmen:
$x=32-y=32-14=18$
Eine Erwachsene Person kostet also $18~€$.
#gleichung#gleichungssystem
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App