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Gruppe 1

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Lösungen PLUS
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung berechnen
Die Normalform einer Parabel hat die allgemeine Form:
$y=x^2+px+q$
Setze nun beide Punkte $D$ und $B$ in die allgemeine Form und löse das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&6&=& 1^2&+&1\cdot p &+&q &\quad \\ \text{II}\quad&3&=& 4^2&+&4\cdot p&+&q &\quad \\ \hline \text{I}\quad&6&=& 1&+& p &+&q &\quad \scriptsize\mid\; -1 \\ \text{II}\quad&3&=& 16&+&4\cdot p&+&q &\quad \scriptsize \mid~ -16\\ \hline \text{I}\quad&5&=& p &+&q &&&\quad \scriptsize \\ \text{II}\quad&-13&=& 4\cdot p&+&q &&&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $p$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=&p+q &\quad \scriptsize \mid\; -r \\[5pt] 5-q&=& p \end{array}$
Und setze dies für $p$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $q$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} -13&=&4 \cdot(5-q)+q &\quad \scriptsize \\[5pt] -13&=& 20-4\cdot q+q &\quad \scriptsize \\[5pt] -13&=& 20-3\cdot q &\quad \scriptsize \mid~ -20\\[5pt] -33&=& -3\cdot q &\quad \scriptsize \mid~ :(-3)\\[5pt] 11&=& q \end{array}$
Für $p$ gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&5-11 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-6 \end{array}$
$ p=-6\\ q=11$
Setze die Werte für $p$ und $q$ in die allgemeine Normalform ein, um die Funktionsgleichung der Parabel zu erhalten:
$p_1: \quad y=x^2-6x+11$
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform angeben
Durch quadratische Ergänzung erhältst du die Scheitelpunktform:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+x+3,75&=&-(x^2-x-3,75) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\left(x^2-x-3,75+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-3,75-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-(x-0,5)^2+3,75-\dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-(x-0,5)^2+4 \end{array}$
$ y=-(x-0,5)^2+4 $
Für die Funktionsgleichung gilt also $p_2:\quad y=-(x-0,5)^2+4$
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Für Schnittpunkunkte mit der $x$-Achse gilt $y=0$. Setze also die Funktionsgleichung null und löse mithilfe der $abc$-Formel (Mitternachtsformel) auf:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+x+3,75&=&0 &\quad \scriptsize\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot (-1)\cdot 3,75}}{2\cdot (-1)} \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+15}}{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm 4}{-2} \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{3}{2}=-1,5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{5}{2}=2,5 \end{array}$
$ -x^2+x+3,75=0 \\[5pt] x_1= -1,5 \\[5pt] x_2= 2,5 $
Für die beiden Punkte gilt also:
$N_1(-1,5|0)$ und $N_2(2,5|0)$
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Normalform ermitteln
Die Parabel ist nach unten geöffnet, um $4$ nach rechts und um $7$ nach oben verschoben. Schreibe die Funktionsgleichung zuerst in der Scheitelpunktform:
$p_3:\quad y=-(x-4)^2+7$
Durch ausmultiplizieren der Scheitelpunktsform erhältst du die Normalform:
$\begin{array}[t]{rll} -(x-4)^2+7&=&-(x^2-2\cdot 4\cdot x +4^2)+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-x^2+8 x -16+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-x^2+8x -9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ y=-x^2+8x -9 $
Die Funktionsgleichung in Normalform ist also: $p_3: \quad y=-x^2+8x-9$
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Scheitelpunkts angeben
Anhand der Scheitelpunktform kannst du erkennen, dass die Parabel um $2$ nach rechts und um $3$ nach oben verschoben ist. Also git für den Scheitlpunkt:
$S_4(2|3)$
f)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von zwei Punkten angeben
Wähle zwei beliebige $x$-Werte, z.B. $x_1=0$ und $x_2=1$. Setze diese in die Funktionsgleichungen ein, um den $y$-Wert zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&(-2)^2+3=4+3=7 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&(-1)^2+3=1+3=4 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_1&=&7 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=& 4 \end{array} $
Für die Punkte gilt also:
$G(0|7)$ und $H(1|4)$
g)
$\blacktriangleright$  Parabeln einzeichnen
Zeichne zuerst die Scheitelpunkte ein. Zeichne dann nach unten geöffnete Normalparabeln an die Scheitelpunkte:
Graph
Abb. 1: Graphen der Parabeln $g_3$ und $g_4$
Graph
Abb. 1: Graphen der Parabeln $g_3$ und $g_4$
#abc-formel#schnittpunkt#nullstelle
2
$\blacktriangleright$  Terme vervollständigen
Für die Aufagbe benötigst du die $1.$ und die $2.$ Binomische Formel:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
a)
Benutze die $1.$ Binomische Formel und betrachte zuerst das $1.$ Kästchen. Hier muss $a^2$ stehen, wobei $a=3ab^3$ ist. Also:
$a^2=(3ab^3)^2=3^2a^2\left(b^3\right)^2=9a^2b^6$
$ a^2=9a^2b^6 $
Betrachte als nächstes das $3.$ Kästchen. Hier muss $b$ stehen. Du kannst $b^2=\dfrac{1}{4}c^8$ ablesen. Also:
$c=\sqrt{\dfrac{1}{4}c^8}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}\cdot \sqrt{c^8}=\dfrac{1}{2}c^4$
$ c=\sqrt{\dfrac{1}{4}c^8}=\dfrac{1}{2}c^4 $
Für das $2.$ Kästchen gilt $2ab$, also:
$2ab=2\cdot 3ab^3\cdot \dfrac{1}{2}c^4=3ab^3c^4$
Setzt du dies ein, erhältst du:
$\color{#87c800}{9a^2b^6}+\color{#87c800}{3ab^3c^4}+\dfrac{1}{4}c^8=(3ab^2+\color{#87c800}{\dfrac{1}{2}c^4})^2$
$ … $
b)
Dies ist die $2.$ Binomische Formel. Betrachte zuerst das $2.$ Kästchen, indem $a$ stehen muss. Aus der Formel kannst du $a^2=6,25z^2$ ablesen. Also:
$a=\sqrt{6,25z^2}=2,5z$
Außerdem kannst du $2ab=30yz$ aus dem gegebenen Term ablesen. Setzte hier $a$ ein und löse nach $b$ auf, um $b$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 2ab&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot (2,5z)\cdot b&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 5zb&=& 30yz &\quad \scriptsize \mid~ :(5z) \\[5pt] b&=&6z &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 2ab&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot (2,5z)\cdot b&=&30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] 5zb&=& 30yz &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&6z &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array} $
Jetzt kannst du noch $b^2$ berechnen:
$b^2=(6z)^2=36z^2$
Setzt du nun wieder alles in die Gleichung ein, erhältst du:
$5,25z^2-30yz+\color{#87c800}{36y^2}=(\color{#87c800}{2,5z}-\color{#87c800}{6y})^2$
$ … $
3.
a)
$\blacktriangleright$  Winkel $\alpha$ bestimmen
Mithilfe des Kosinus erhältst du im Dreieck $AFC$ für $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,25~\text{dm}}{2,5~\text{dm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid~ \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&60^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,25~\text{dm}}{2,5~\text{dm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&60^{\circ} \end{array} $
b)
$\blacktriangleright$  Strecken berechnen
Für die Strecke $[AB]$ gilt im Dreieck $ABC$ mit dem Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{2,5~\text{dm}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid~ \cdot \overline{AB} \\[5pt] \dfrac{\overline{AB}}{2}&=& 2,5~\text{dm} &\quad \scriptsize \mid~ \cdot 2 \\[5pt] \overline{AB}&=& 5~\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{2,5~\text{dm}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AB}&=& 5~\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array} $
Die Strecke $[ED]$ kannst du mit dem Strahlensatz berechnen:
$\dfrac{\overline{ED}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CG}}{\overline{CF}}$
Die fehlende Strecke $[CF]$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2&=&\overline{AC}^2-\overline{AF}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CF}^2&=&(2,5~\text{dm})^2-(1,25~\text{dm})^2 &\quad \scriptsize \mid~ \sqrt{} \\[5pt] \overline{CF}&=&\sqrt{(2,5~\text{dm})^2-(1,25~\text{dm})^2} \\[5pt] &\approx&2,2~\text{dm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2&=&\overline{AC}^2-\overline{AF}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&2,2~\text{dm} \end{array}$
Für $\overline{CG}$ gilt damit:
$\overline{CG}=\overline{CF}-\overline{FG}=2,2~\text{dm}-1,5~\text{dm}=0,7~\text{dm}$
$ \overline{CG}=0,7~\text{dm} $
Setze nun alle Längen in den Strahlensatz ein und löse nach $\overline{ED}$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ED}}{5~\text{dm}}&=&\dfrac{0,7~\text{dm}}{2,2~\text{dm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 5~\text{dm} \\[5pt] \overline{ED}&=&\dfrac{0,7\cdot 5}{2,2}~\text{dm} \\[5pt] &\approx&1,6~\text{dm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ED}}{5~\text{dm}}&=&\dfrac{0,7~\text{dm}}{2,2~\text{dm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{ED}&=&\dfrac{0,7\cdot 5}{2,2}~\text{dm} \\[5pt] &\approx&1,6~\text{dm} \end{array} $
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für ein Trapez gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h$
Wobei $h=\overline{FG}$, $a=\overline{AB}$ und $c=\overline{ED}$ sind. Somit gilt für den Flächeninhalt des Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot(\overline{AB}+\overline{ED})\cdot \overline{FG} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot(5~\text{dm}+1,6~\text{dm})\cdot 1,5~\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&5,0~\text{dm}^2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot(\overline{AB}+\overline{ED})\cdot \overline{FG} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&5,0~\text{dm}^2 \end{array} $
#kosinus#satzdespythagoras#strahlensatz
4.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g_1$ bestimmen
Setze $2$ Punke aus der Wertetabelle in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+c$ ein. Damit kannst du das Gleichungssystem nach $m$ und $c$ auflösen. Der beste Punkt ist $(0|2)$, da du damit direkt $c$ erhältst:
$2=m\cdot 0+c=c$
Setze jetzt $c$ und einen weiteren Punkt, z.B. $(-5|-1)$, in die allgemeine Geradengleichung und löse nach $m$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-5m+2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -3&=&-5m &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] \dfrac{3}{5}&=&m \end{array}$
Somit ist die Funktionsgleichung:
$g_1:\quad y=\dfrac{3}{5}x+2$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g_3$ bestimmen
Steht eine Gerade mit Steigung $m_A$ senkrecht auf einer zweiten Gerade mit Steigung $m_B$, dann gilt:
$m_A=-\dfrac{1}{m_B}$
Stelle die Funktionsgleichung von $g_2$ in die Form der allgemeinen Geradengleichung um:
$\begin{array}[t]{rll} -x+5y&=&20 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 5y&=&x+20 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{5}x+4 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} -x+5y&=&20 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{5}x+4 \end{array} $
Die Steigung der Geraden $g_2$ kann jetzt als $m_2=\dfrac{1}{5}$ abgelesen werden. Für die Steigung der Geraden $g_3$ gilt also:
$m_3=-\dfrac{1}{m_2}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{5}}=-5$
Setze nun $m_3$ und den Punkt $A(-3|0)$ in die allgemeine Geradenglecihung ein, um $c$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-5\cdot (-3) +c &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&15 +c &\quad \scriptsize \mid\;-15\\[5pt] -15&=&c \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 0&=&-5\cdot (-3) +c &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&15 +c &\quad \scriptsize \\[5pt] -15&=&c \end{array} $
Somit gilt für die Funktionsgleichung:
$g_3:\quad y=-5x-15$
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt prüfen
Du kannst die Geraden gleich setzen und nach $x$ auflösen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. Da allerdings schon ein Punkt gegeben ist, ist es einfacher zu überprüfen, ob der Punkt $B(5|5)$ auf beiden Geraden liegt. Sollte dies der Fall sein, dann ist $B$ ein gemeinsamer Schnittpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} g_2:& \quad -5+5\cdot 5&=& 20 \\[5pt] &\qquad \quad 20&=&20 \quad \checkmark \\[5pt] g_4:& \qquad \quad 5&=&-5\cdot 5-5 \\[5pt] &\qquad \quad 5&=&-30 \quad \text{↯} \\[5pt] \end{array}$
$g_2:\quad \checkmark \\[5pt] g_4: \quad \text{↯} $
Der Punkt $B(5|5)$ ist demnach kein gemeinsamer Schnittpunkt
d)
$\blacktriangleright$  Aussagen überprüfen
1.
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Schreibe also die Funktionsgleichung von $g_5$ zunächst in der allgemeinen Geradenform:
$\begin{array}[t]{rll} -5x+y&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; +5x \\[5pt] y&=& 5x-3 \end{array}$
Die Steigung ist also $m_5=5$. Die Gerade $g_4$ hat jedoch eine Steigung von $g_4=-5$. Damit sind die Geraden nicht parallel und die Aussage ist falsch.
2.
Die Steigung der Geraden $g_6$ kannst du ablesen: $m_6=0,2$. Benutze die Bedingung von zuvor für senkrecht aufeinander stehende Geraden:
$-\dfrac{1}{0,2}=-5=m_4$
Die beiden Geraden stehen demnach senkrecht aufeinander und die Aussage ist richtig.
e)
$\blacktriangleright$  Geraden einzeichnen
Starte jeweils mit dem $y$-Achsenabschnitt $c$ der beiden Geraden. Dieser ist
$c_1=2$ und $c_6=0$
Zeichne von diesem Punkt ausgehend ein Steigungsdreieck und zeichne damit einen weiteren Punkt ein. Verbinde nun die Punkte, um die Geraden zu erhalten:
Graph
Abb. 2: Graphen der Geraden $g_1$ und $g_6$
Graph
Abb. 2: Graphen der Geraden $g_1$ und $g_6$
#schnittpunkt
5.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3
Die Augensumme $3$ kannst du nur mit einer $1$ und einer $2$ erreichen. Die Wahrscheinlichkeit eine $1$ oder $2$ zu würfeln beträgt jeweils $P(1)=P(2)=\dfrac{1}{6}$. Die Reihenfolge, bzw. welcher Würfel die $1$, bzw. die $2$ würfelt, ist egal, weshalb es $2$ Pfade gibt. Es gilt daher:
$P(\text{Augensumme 3})=2\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{36}\approx 0,0556=5,56~\%$
$ P(\text{Augensumme 3})= \dfrac{2}{36} $
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Ergebnisse bestimmen
Für das erste Mal würfeln gibt es $6$ mögliche Ergebnisse, nämlich die Zahlen $1$ bis $6$. Auch beim zweiten und dritten Mal gibt es jewils $6$ mögliche Ergebnisse. Kombinierst du diese, mit Beachtung der Reihenfolge erhältst du:
$6\cdot 6\cdot 6=6^3=216$
Es gibt also insgesamt $216$ Anordnungsmöglichkeiten.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Kombination 4/4/4
Die Wahrscheinlichkeit eine $4$ zu würfeln beträgt $P(4)=\dfrac{1}{6}$. Mit dem Pfadmultiplikationsgesetz erhältst du für $3$ Vieren hintereinander:
$P(4/4/4)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}\approx 0,0046=0,46~\%$
$ P(4/4/4)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3 $
#prozent
6.
$\blacktriangleright$  Streckenverhältnis wiedergeben
Da die Geraden $g_1$ bis $g_4$ parallel sind, kannst du mithilfe des Strahlensatzes die Streckenverhältnisse angeben:
a)
$\dfrac{a+c}{f}=\dfrac{\color{#87c800}{b+d}}{e}$
b)
$\dfrac{w}{\color{#87c800}{x}}=\dfrac{b+d}{d}$
c)
$\dfrac{\color{#87c800}{c}}{f}=\dfrac{x}{y}$
#strahlensatz
7.
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angeben
Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du die Nullstelle des Nenners berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x-12&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] 4x&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Da du nicht durch Null teilen darfst, darf $x=3$ nicht eingesetzt werden und ist deshalb nicht in der Definitionsmenge:
$D=\mathbb{R} \setminus \{ 3\}$
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung, indem du zuerst mit dem Nenner multiplizierst und dann die Gleichung sortierst:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8x+39}{4x-12}&=&x &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (4x-12) \\[5pt] (8x+39)&=&x\cdot (4x-12) &\quad \scriptsize \\[5pt] 8x+39&=&4x^2-12x &\quad \scriptsize \mid\;-(8x+39) \\[5pt] 0&=& 4x^2-20x-39 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 4x^2-20x-39=0 $
Benutze jetzt die $abc$-Formel (Mitternachtsformel), um nach $x$ aufzulösen::
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{20 \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 4\cdot (-39)}}{2\cdot 4} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{20 \pm \sqrt{400+624}}{8} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{20 \pm 32}{8} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{52}{8}=6,5\\[5pt] x_2&=&\dfrac{-12}{8}=-1,5 \end{array}$
$ x_1=6,5\\[5pt] x_2=-1,5$
Damit gilt für die Lösungsmenge:
$L=\{-1,5~;~6,5 \}$
#bruchgleichung#abc-formel
8.
a)
$\blacktriangleright$  Jährlichen Bevölkerungsrückgang berechnen
Nach einem Jahr ist nur noch ein gewisser Prozentsatz $q$ der Bevölkerung vorhanden. Nach $9$ Jahren gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} 124~698&=&133~539\cdot q^9 &\quad \scriptsize \mid\; :133~539 \\[5pt] 0,9338&\approx& q^9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[9]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 0,9924&\approx &q \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 124~698&=&133~539\cdot q^9 &\quad \scriptsize \\[5pt]] 0,9924&\approx &q \end{array}$
Nach Einem Jahr sind also durchschnittlich noch $99,24~\%$ des Bevölkerung vorhanden. Demnach gilt für den Rückgang:
$1-q=1-0,9924=0,0076=0,76~\%$
$ 1-q=0,76~\% $
Der jährliche Rückgang ist also etwa $0,8~\%$.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jahre berechnen
Nach einem Jahr ist die Bevölkerung also $100,6~\%$ des Vorjahres. Nach $n$ Jahren gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} 150~000&=&124~698\cdot 1,006^n &\quad \scriptsize \mid\; :124~698 \\[5pt] 1,203&\approx& 1,006^n &\quad \scriptsize \mid\; \log_{1,006} \\[5pt] 30,90&\approx&n \end{array}$
n\approx 30,90
Nach $31$ Jahren ist die Einwohnerzahl auf $150~000$ angewachsen.
c)
$\blacktriangleright$  Einwohnerzahl bestimmen
Die Bevölkerung wächst $5$ Jahre lang mit $0,7~\%$ und für $4$ Jahre mit $1,4~\%$. Also:
$2205\cdot 1,007^5 \cdot 1,014^4\approx 2414$
Am Ende des Jahres 2016 ist die Einwohnerzahl $2414$.
#prozent#wachstum
9.
$\blacktriangleright$  Raumdiagonale bestimmen
Die Diagonale des Würfels besteht aus $2$ Schnüren mit je $3~\text{cm}$ und der Kugel. Berechne deshalb zuerst den Radius der Kugel. Mit der Volumenformel einer Kugel gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 33,5~\text{cm}^3&=&\dfrac{4}{3}\cdot 3,14 \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid~ :\left(\dfrac{4}{3}\cdot 3,14\right) \\[5pt] 8~\text{cm}^3&\approx&r^3 &\quad \scriptsize \mid~ \sqrt[3]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 2~\text{cm}&=&r \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] r&=& 2~\text{cm} \end{array} $
Somit ist die Raumdiagonale:
$D=3~\text{cm}+3~\text{cm}+2~\text{cm}+2~\text{cm}=10~\text{cm}$
$ D=10~\text{cm} $
Skizze
Abb. 3: Skizze des Würfels
Skizze
Abb. 3: Skizze des Würfels
#sinus#kugel
10.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem angeben
Die erste Zeile der Gleichungssysteme beschreibt den Sachverhalt von Lena, Patrick und deren Eltern. Der Preis wird demnach für $2$ Kinder und $2$ Erwachsene berechnet:
$2x+2y=64~€$
Gleichungssystem $A$ könnte also in Frage kommen. Aber auch Gleichungssystem $C$ und $D$ haben die gleiche Gleichung, nur durch $2$ geteilt:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+2y&=&64~€&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x+y&=&32~€ \end{array}$
Die zweite Gleichung muss den Sachverhalt von Herrn Stur mit seinen drei Kindern beschreiben, also $3$ Kinder und $1$ Erwachsenen. Es ist allerdings unklar, welche Variable für Kinder und welche für Erwachsene verwendet wird. Die Zeile lautet damit:
$3x+y=60~€$ oder $x+3y=60~€$
Nur das Gleichungssystem $C$ erfüllt eine dieser Gleichungen und ist daher richtig. $y$ steht also für den Kinderpreis und $x$ für den Erwachsenenpreis.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse zuerst Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} x+y&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; -y \\[5pt] x&=&32-y \end{array}$
Setze jetzt das Ergebnis in Gleichung $\text{(II)}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} (y-32)+3y&=&60 &\quad \scriptsize\\[5pt] 2y-32&=&60 &\quad \scriptsize \mid\; +32 \\[5pt] 2y&=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] y&=&14 \end{array}$
Ein Kinterticket kostet also $14~€$. Setze dies nun in die umgestellt Gleichung $\text{(I)}$, um den Preis für Erwachsene zu bestimmen:
$x=32-y=32-14=18$
Eine Erwachsene Person kostet also $18~€$.
#gleichung#gleichungssystem
Bildnachweise [nach oben]
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