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Gruppe 1

Aufgaben PLUS
Lösungen PLUS
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1.
a)
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $D(1|6)$ und $B(4|3)$. Berechne die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.
b)
Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat die Funktionsgleichung $p_2:\quad y=-x^2+x+3,75$. Gebe die Scheitelpunktform dieser Parabel an.
c)
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ der Parabel $p_2$ mit der $x$-Achse und gebe diese Punkte an.
d)
Eine weitere nach unten geöffnete Normalparabel $p_3$ hat den Scheitelpunkt $S_3(4|7)$. Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Parabel $p_3$ in der Normalform.
e)
Die Parabel $p_4$ hat die Funktionsgleichung $p_4: \quad y=(x-2)^2+3$.
Gebe die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_4$ von $p_4$ an.
f)
Gebe die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten $G$ und $H$ an, die auf der Parabel $p_4$ liegen.
g)
Zeichne die Graphen der Parabeln $p_3$ und $p_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1~\text{cm}$.
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-2$ bis $8$, $y$-Achse von $-1$ bis $10$
(8 P.)
#parabel
2.
Folgende Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter $\square$ durch die entsprechenden Terme und schreibe die vollständigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
a)
$\color{#87c800}{\square}+\color{#87c800}{\square}+\dfrac{1}{4}c^8=(3ab^2+\color{#87c800}{\square})^2$
b)
$5,25z^2-30yz+\color{#87c800}{\square}=(\color{#87c800}{\square}-\color{#87c800}{\square})^2$
(3 P.)
#binomischeformeln
3.
In einer Figur (siehe Skizze) ist $[AB]$ parallel zu $[ED]$.
Es gilt: $\overline{AC}=2,5~\text{dm}$, $\overline{AF}=1,25~\text{dm}$ und $\overline{FG}=1,5~\text{dm}$
Skizze
Abb. 1: Dreieck $ABC$
Skizze
Abb. 1: Dreieck $ABC$
a)
Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$ rechnerisch.
b)
Berechne jeweils die Länge der Strecken $[ED]$ und $[AB]$.
c)
Ermittle rechnerisch den Flächeninhalt des Trapezes $ABDE$
(5 P.)
#dreieck
4.
Folgende Wertepaare sind Punkte auf der Geraden $g_1$:
$x$$-10$$ -5$$ 0$$2,5$
$y$$ -4$$-1 $$2 $$ 3,5$
$x$$y$
$-10$$-4$
$-5$$ -1$
$ 0$$2$
$2,5$$3,5$
a)
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_1$ rechnerisch.
b)
Die Gerade $g_2$ ist durch die Gleichung $-x+5y=20$ bestimmt.
Die Gerade $g_3$ steht senkrecht auf der Geraden $g_2$ und verläuft durch den Punkt $A(-3|0)$.
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
c)
Überprüfe rechnerisch, ob die Gerade $g_4:\quad y=-5x-5$ die Gerade $g_2$ im Punkt $B(5|5)$ schneidet.
d)
Überprüfe folgende Aussagen und begründe deine Entscheidung:
1.
Die Gerade $g_4$ verläuft parallel zur Geraden $g_5$, die durch die Gleichung $-5x+y=-3$ bestimmt ist.
2.
Die Gerade $g_4$ steht senkrecht auf der Geraden $g_6:\quad y=0,2x$.
e)
Zeichne den Graphen der Geraden $g_1$ und $g_6$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1~\text{cm}$
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-6$ bis $6$, $y$-Achse von $-3$ bis $6$
(8 P.)
#gerade
5.
In einem Spiel werden gleiche Würfel mit den Augenzahlen $1$ bis $6$ verwendet.
a)
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $3$ zu erreichen.
b)
Éin Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Die Zahlen werden in der gewürfelten Reihenfolge notiert.
Ermittle rechnerisch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei dreimaligem Werfen eines Würfels die Kombination $4/4/4$ ergibt.
(3 P.)
#wahrscheinlichkeit
6.
Schreibe die folgenden Aussagen auf dein Lösungsblatt und ersetze jeweils den Platzhalter $\color{#87c800}{\square}$ so, dass die Streckenverhältnisse richtig wiedergegeben werden ( $g_1~||~g_2~||~g_3~||~g_4$ ):
Skizze
Abb. 2: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 2: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
a)
$\dfrac{a+c}{f}=\dfrac{\color{#87c800}{\square}}{e}$
b)
$\dfrac{w}{\color{#87c800}{\square}}=\dfrac{b+d}{d}$
c)
$\dfrac{\color{#87c800}{\square}}{f}=\dfrac{x}{y}$
(3 P.)
7.
Gebe die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch:
$\dfrac{8x+39}{4x-12}=x$
(3 P.)
#gleichung
8.
Am 31. Dezember $2007$ hatte eine bayerische Stadt $133~539$ Einwohner.
Am letzten Tag des Jahres $2016$ waren es nur noch $124~698$ Einwohner
a)
Berechne den durchschnittlichen jährlichen Bevölkerungsrückgang in Bezug auf das jeweilige Vorjahr in Prozent.
a)
Ab dem 1. Januar $2017$ möchte die Stadt einen durchschnittlichen jährlichen Bevölkerungszuwachs von $0,6~\%$ in Bezug auf das jeweilige Vorjahr erreichen.
Ermittle rechnerisch, in wie vielen Jahren die Einwohnerzahl auf $150~00$ anwahsen würde.
c)
Am 31. Dezember $2007$ hatte ein Nachbarort $2205$ Einwohner.
Dort stieg die Einwohnerzahl in den folgenden fünf Jahren um $0,7~\%$ im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr. In den darauffolgenden vier Jahren erhöhte sie sich um jeweils $1,4~\%$ im Vergleich zum Vorjahr.
Bestimme rechnerisch die Einwohnerzahl des Nachbarortes am Ende des Jahres $2016$.
(5 P.)
#prozent
9.
In einem Würfel wird eine Kugel von zwei gespannten Seilen gehalten, die jeweils eine Würfelecke mit der Kugeloberfläche verbinden (sihe Skizze).
Skizze
Abb. 3: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 3: Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
Die jeweils $3,0~\text{cm}$ langen Schnüre verlaufen entlang der Raumdiagonalen, auf der sich auch der Mittelpunkt der Kugel befindet.
Die Kugel hat ein Volumen von $33,5~\text{cm}^3$. Der Winkel $\beta$ beträgt gerundet $35,27^{\circ}$.
Berechne das Volumen der Würfels.
(4 P.)
#volumen
10.
Die Geschwister Lena und Patrick gehen mit ihren Eltern in Theater. Der Eintritt kostet für alle zusammen $64~€$. Die Vorstellung besucht auch Herr Stur mit seinen drei Kindern und zahlt insgesamt $60~€$.
a)
Eines der folgenden vier Gleichungssysteme $A$ bis $D$ stellt diesen Sachverhalt richtig dar:
$B \qquad \begin{array}[t]{rll} \text{(I)} \quad 2x+2y&=&4 \\ \text{(II)}\quad ~ 3x+y&=&4\end{array}$
$D \qquad \begin{array}[t]{rll} \text{(I)} \qquad x+y&=&32 \\ \text{(II)}\quad ~ x+3y&=&30\end{array}$
Gebe dieses Gleichungssystem auf deinem Lösungsblatt an.
b)
Ermittle rechnerisch den jeweiligen Eintrittspreis für ein Kind und eine erwachsene Person.
(3 P.)
#gleichungssystem
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