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Teil A

Aufgaben
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A 1.0
Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt sich jeweils näherungsweise durch die Expotentialfunktion der Form $y=(y_A-y_U)\cdot 0,9^x+y_U$ $\mathbb{G}=\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+, y_A\in \mathbb{R}^+)$ beschreiben.
Dabei ist nach $x$ Minuten die Temperatur des Wassers auf $y~^{\circ}\text{C}$ gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt $y_A~^{\circ}\text{C}$ und die Umgebungstemperatur $y_U~^{\circ}\text{C}$.
Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
#exponentialfunktion
A 1.1
Im ersten Versuch kühlt $95~^{\circ}\text{C}$ heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von $20~^{\circ}\text{C}$ ab.
Berechne, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf $60~^{\circ}\text{C}$ gesunken ist.
(2 P)
A 1.2
Im zweiten Versuch kühlt $72~^{\circ}\text{C}$ heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von $18~^{\circ}\text{C}$ für $3$ Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlungsvorgang in einem zweiten Raum für weitere $8$ Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von $39~^{\circ}\text{C}$ besitzt.
Berechne die Umgebungstemperatur im zweiten Raum.
(3 P)
A 2.0
Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $[BC]$ und der Höhe $[AM]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ mit der Spitze $S$. Der Punkt $D\in[AM]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[DS]$, die senkrecht auf der Grundfläche steht.
Es gilt: $\overline{AM}=8~\text{cm};\quad$ $\overline{AD}=4,5~\text{cm};\quad$ $\overline{DS}=8,5~\text{cm}.$
Die untenstehende Zeichung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCS$.
In der Zeichung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \quad$ $\omega=45^{\circ};\quad$ $[AM]$ liegt auf der Schrägbildachse.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Teil A
Abb. 1: Pyramide $ABCS$
Teil A
Abb. 1: Pyramide $ABCS$
#pyramide
A 2.1
Berechne das Maß des Winkels $MAC$.
[Ergebnis: $\sphericalangle MAC = 32,01^{\circ}$ ]
(1 P)
A 2.2
Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[DS]$. Die Winkel $DAP_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ~]0^{\circ}; 62,10^{\circ}[$.
Zeichne den Punkt $P_1$ und die Strecke $[AP_1]$ für $\phi=40^{\circ}$ in das Schrägbild zu $A~2.0$ ein.
(1 P)
A 2.3
Durch die Punkte $P_n$ verlaufen zur Grundfläche $ABC$ parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide $ABCS$ in Punkten $E_n \in [BS]$, $F_n\in [BS]$ und $G_n \in [CS]$ und die Strecke $[MS]$ in Punkten $N_n$ schneiden. Die Dreiecke $E_nF_nG_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $E_nF_nG_nD$ mit der Spitze $D$.
Zeichne die Pyramide $E_1F_1G_1D$ und den Punkt $N_1$ in das Schrägbild zu $A~2.0$ ein.
(1 P)
#pyramide
A 2.4
Berechne die Längen der Strecken $[DP_n]$ und $[E_nN_n]$ in Anhängigkeit von $\phi$.
[Ergebnisse: $\overline{DP_n}(\phi)=4,5\cdot \tan(\phi) ~\text{cm};\quad$ $\overline{E_nN_n}(\phi)=(8-4,24\cdot \tan(\phi)~\text{cm}$ ]
(3 P)
A 2.5
Berechne das Volumen der Pyramide $E_1F_1G_1D$.
(3 P)
#volumen#pyramide
A 3.0
Gegeben sind Dreiecke $AB_nC$ mit der Seitenlänge $\overline{AC}=4~\text{cm}.$
Die Winkel $B_nAC$ haben das Maß $\alpha$ mit $\alpha \in ]0^{\circ}; 60^{\circ}[.$
Das Maß der Winkel $ACB_n$ ist doppelt so groß wie das Maß der winkel $B_nAC.$
A 3.1
Ergänze die Zeichnung zum Dreieck $AB_1C$ mit $\alpha=50^{\circ}$.
Teil A
Abb. 2: Zeichnung A 3.1
Teil A
Abb. 2: Zeichnung A 3.1
(1 P)
#dreieck
A 3.2
Bestimme die Länge der Strecken $[B_nC]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ und vereinfache mithilfe einer Supplementbeziehung.
(2 P)
A 3.3
Das Dreieck $AB_2C$ ist gleichschenklig mit der Basis $[AB_2]$.
Begründe, dass das Dreieck $AB_2C$ rechtwinklig ist.
(2 P)
#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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A 1.1
$\blacktriangleright$  Zeit berechnen
Aus dem Aufgabentext kannst du $y_A=95~^{\circ}\text{C}$, $y_U=20~^{\circ}\text{C}$ und $y=60~^{\circ}\text{C}$ ablesen. Setze nun alle Informationen in die gegebene Gleichung ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 60~^{\circ}\text{C}&=&(95~^{\circ}\text{C}-20~^{\circ}\text{C})\cdot 0,9^x+20~^{\circ}\text{C} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 60~^{\circ}\text{C}&=& 75~^{\circ}\text{C}\cdot 0,9^x+20~^{\circ}\text{C} &\quad \scriptsize \mid -20~^{\circ}\text{C}\; \\[5pt] 40~^{\circ}\text{C}&=& 75~^{\circ}\text{C}\cdot 0,9^x &\quad \scriptsize \mid :75^{\circ}\text{C}\; \\[5pt] \dfrac{40}{75}&=& 0,9^x &\quad \scriptsize \mid \log_{0,9} \; \\[5pt] \log_{0,9}\left(\dfrac{40}{75}\right)&=& x &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 6,0 &\approx& x \end{array}$
$ x\approx 6,0 $
Die Wassertemperatur ist also nach $6$ Minuten auf $60~^{\circ}\text{C}$ gesunken.
A 1.2
$\blacktriangleright$  Temperatur nach erstem Raum berechnen
Für den ersten Raum kannst du $y_A=72~^{\circ}\text{C}$ und $y_U=18~^{\circ}\text{C}$ aus der Aufgabenstellung ablesen. Damit gilt für die Temperatur nach $x=3$ Minuten:
$\begin{array}[t]{rll} y(3)&=& (72~^{\circ}\text{C}-18~^{\circ}\text{C})\cdot 0,9^3+18~^{\circ}\text{C}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 57,4 ~^{\circ}\text{C} \end{array}$
$ y(3) \approx 57,4~^{\circ}\text{C} $
$\blacktriangleright$  Temperatur des zweiten Raumes berechnen
Mit der neuen Anfangstemperatur $y_A=57,4~^{\circ}\text{C}$ und den Angaben $x=8$ und $y(8)=39~^{\circ}\text{C}$ erhältst du für die Umgebungstemperatur $y_u$:
$\begin{array}[t]{rll} 39~^{\circ}\text{C}&=& (57,4-y_U)\cdot 0,9^8+y_U &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 39~^{\circ}\text{C}&\approx& (57,4~^{\circ}\text{C}-y_U)\cdot 0,43+y_U &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 39~^{\circ}\text{C}&\approx& 24,7~^{\circ}\text{C}-0,43\cdot y_U+y_U &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 39~^{\circ}\text{C}&\approx& 24,7~^{\circ}\text{C}+0,57 \cdot y_U &\quad \scriptsize \mid -24,7~^{\circ}\text{C} \; \\[5pt] 14,3~^{\circ}\text{C} &\approx& 0,57 \cdot y_U &\quad \scriptsize \mid :0,57 \; \\[5pt] 25,1~^{\circ}\text{C} &\approx& y_U \end{array}$
$ y_U\approx 25,1~^{\circ}\text{C} $
Im zweiten Raum herrscht also eine Temperatur von $y_U=25,1~^{\circ}\text{C}$.
A 2.1
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Da das Dreieck $ABC$ gleichschenklig mit der Basis $[BC]$ ist, erhältst du die Strecke $[MC]$ mit:
$\overline{MC}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}=5~\text{cm}$
Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck $ACM$ für den Winkel $\alpha=\sphericalangle MAC$ :
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{MC}}{\overline{AM}} &\quad \scriptsize \mid \tan^{-1} \; \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{MC}}{\overline{AM}}\right) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{5 ~\text{cm}}{8~\text{cm}}\right) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 32,01^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{MC}}{\overline{AM}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \alpha&\approx& 32,01^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
#tangens#rechtwinkligesdreieck
A 2.2
$\blacktriangleright$  Punkt und Strecke einzeichnen
Mithilfe der Winkelangabe $\sphericalangle DAP_1=\phi =40~^{\circ}$, kannst du eine Linie ziehen, die sich mit der Höhe $[DS]$ schneidet. Der Schnittpunkt ist der Punkt $P_1$:
Teil A
Abb. 1: Pyramide $ABCS$ mit Strecke $[AP_1]$
Teil A
Abb. 1: Pyramide $ABCS$ mit Strecke $[AP_1]$
A 2.3
$\blacktriangleright$  Pyramide einzeichnen
Zeichne zuerst die Punkte $E_1$ und $N_1$, die auf der gleichen Höhe wie $P_1$ liegen, ein. Danach kannst du im $45^{\circ}$ Winkel zur Horizontalen eine Linie durch $N_1$ ziehen. Diese schneidet die Strecken $[BS]$ und $[CS]$ in den Punkten $F_1$ und $G_1$.
Teil A
Abb. 2: Skizze mit Pyramide $E_nF_nG_nD$
Teil A
Abb. 2l: Skizze mit Pyramide $E_nF_nG_nD$
A 2.4
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $[DP_n]$ berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck $ADP_n$ gilt mit dem Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\phi)&=& \dfrac{\overline{DP_n}}{\overline{AD}}&\quad \scriptsize \mid \cdot \overline{AD}\; \\[5pt] \tan(\phi)\cdot \overline{AD}&=& \overline{DP_n}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{DP_n}&=& \tan(\phi)\cdot \overline{AD}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\tan(\phi)\cdot 4,5~\text{cm}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 4,5\cdot \tan(\phi) ~\text{cm}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$\tan(\phi)= \dfrac{\overline{DP_n}}{\overline{AD}} \\[5pt] \overline{DP_n}= 4,5\cdot \tan(\phi) ~\text{cm}$
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $[E_nN_n]$ berechnen
Mit dem Strahlensatz gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{E_nN_n}}{\overline{AM}}&=&\dfrac{\overline{P_1S}}{\overline{DS}} &\quad \scriptsize \mid \cdot \overline{AM}\; \\[5pt] \overline{E_nN_n}&=&\dfrac{\overline{P_1S}\cdot \overline{AM}}{\overline{DS}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{E_nN_n}&=&\dfrac{(\overline{DS}-\overline{DP_n})\cdot \overline{AM}}{\overline{DS}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{E_nN_n}&=&\dfrac{(8,5~\text{cm}-4,5\cdot \tan(\phi)~\text{cm})\cdot 8~\text{cm}}{8,5~\text{cm}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{E_nN_n}(\phi)&=&\dfrac{68~\text{cm}^2-36\cdot \tan(\phi)~\text{cm}^2}{8,5~\text{cm}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx&(8-4,24\cdot \tan(\phi))~\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{\overline{E_nN_n}}{\overline{AM}}=\dfrac{\overline{P_1S}}{\overline{DS}} \\[5pt] \overline{E_nN_n}\approx 8-4,24\cdot \tan(\phi) $
#rechtwinkligesdreieck#tangens#strahlensatz
A 2.5
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Für das Volumen einer Pyramide gilt:
$A=\dfrac{1}{3}\cdot Grundseite \cdot Höhe$
Die Höhe ist hier durch $DP_1$ gegeben und lässt sich durch die zuvor berechnete Bedingung mit $\phi=40^{\circ}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DP_1}&=& 4,5\cdot \tan(40^{\circ}) ~\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 3,78 ~\text{cm} \end{array}$
Das Dreieck $E_1F_1G_1$ stellt die Grundseite dar. Der Flächeninhalt lässt sich durch
$A=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{F_1G_1} \cdot \overline{E_1N_1}$
berechnen. Die Strecke $[E_1N_1]$ kannst du ebenso über die zuvor berechnete Formel mit $\phi=40^{\circ}$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{E_1N_1}&=&(8-4,24\cdot \tan(40^{\circ}))~\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 4,44~\text{cm} \end{array}$
$\overline{E_1N_1}\approx 4,44~\text{cm}$
Da die Winkel im Dreieck $E_1F_1G_1$ denen im Dreieck $ABC$ entsprechen, gilt $\sphericalangle N_1E_1G_1=\sphericalangle MAC=\alpha$. Damit kannst du mithilfe des Tangens im Dreieck $E_1F_1N_1$ die Seite $\overline{F_1N_1}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{F_1G_1}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{F_1N_1}}{\overline{E_1N_1}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot \overline{F_1G_1}}{\overline{E_1N_1}} &\quad \scriptsize \mid \cdot \overline{E_1N_1}\; \\[5pt] \tan(\alpha)\cdot\overline{E_1N_1} &=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{F_1G_1} &\quad \scriptsize \mid \cdot 2 \; \\[5pt] 2\cdot \tan(\alpha)\cdot\overline{E_1N_1} &=& \overline{F_1G_1} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 2\cdot \tan(40^{\circ})\cdot4,44~\text{cm} &=& \overline{F_1G_1} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 5,55~\text{cm} &\approx& \end{array}$
$ \overline{F_1G_1} \approx 5,55 ~\text{cm} $
Jetzt kannst du das Volumen der Pyramide $E_1F_1G_1D$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac {1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{F_1G_1}\cdot\overline{E_1N_1} \cdot \overline{DP_1} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& \dfrac {1}{6} \cdot 5,55~\text{cm} \cdot 4,44~\text{cm} \cdot 3,78~\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 15,52 ~\text{cm}^3 \end{array}$
$ V \approx 15,52 ~\text{cm}^3 $
#tangens
A 3.1
$\blacktriangleright$  Dreieck zeichnen
Da der Winkel $\sphericalangle B_nAC=\alpha$ ist, kannst du an den Punkt $A$ eine Linie mit dem Winkel $\alpha=50^{\circ}$ einzeichnen. Mit dem Winkel $\sphericalangle ACB_n=2\cdot \alpha$, kannst du an den Punkt $C$ eine weitere Linie im Winkel $2\cdot \alpha=100^{\circ}$ zeichnen. Der Schnittpunkt der beiden Linien bildet den Punkt $B_1$.
Teil A
Abb. 3: Dreieck $AB_1C$
Teil A
Abb. 3: Dreieck $AB_1C$
A 3.2
$\blacktriangleright$  Strecke $[B_nC]$ bestimmen
Mithilfe des Sinussatzes erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{B_nC(\alpha)}}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\alpha) \\[5pt] \overline{B_nC}&=&\dfrac{\overline{AC}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} \end{array}$
$\overline{B_nC}=\dfrac{\overline{AC}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}$
Den fehlenden Winkel $\gamma$ kannst du über die Winkelinnensumme mihilfe von $\alpha$ ausdrücken:
$\gamma=180-\alpha-2\cdot \alpha=180-3\cdot \alpha$
$ \gamma=180-3\cdot \alpha $
Mithilfe der Supplementbeziehung kannst du $\sin(\gamma)$ umschreiben:
$\sin(\gamma)=\sin(180-3\cdot \alpha)=\sin(3\cdot \alpha)$
$\sin(\gamma)=\sin(3\cdot \alpha)$
Damit gilt für die Dreicke $[B_nC]$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{B_nC}&=&\dfrac{\overline{AC}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4~\text{cm}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(3\cdot \alpha)}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4\sin(\alpha)}{\sin(3\cdot \alpha)}~\text{cm} \end{array}$
#sinussatz
A 3.3
$\blacktriangleright$  Begründe
Für ein gleichschenkliges Dreieck sind die Winkel, die an die Basis grenzen, gleich. Im Dreieck $AB_2C$ mit Basis $[AB_2]$ gilt also:
$\sphericalangle B_2AC=CB_2A=\alpha$
Der Winkel $\sphericalangle ACB_2$ ist in der Aufgabenstellung als $2\cdot \alpha$ definiert. Mit der Winkelsumme im Dreieck gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&\alpha+\alpha+2\cdot \alpha &\quad \scriptsize \\[5pt] 180^{\circ}&=& 4\cdot \alpha &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 90^{\circ}&=& 2\cdot \alpha \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&\alpha+\alpha+2\cdot \alpha &\quad \scriptsize \\[5pt] 90^{\circ}&=& 2\cdot \alpha \end{array}$
Der Winkel $\sphericalangle ACB_2=2\alpha=90^{\circ}$ ist also ein rechter Winkel und damit das Dreieck $AB_2C$ ein rechtwinkliges Dreieck.
#winkelsätze#gleichschenkligesdreieck#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
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