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Teil A

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A 1.0
Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt sich jeweils näherungsweise durch die Expotentialfunktion der Form $y=(y_A-y_U)\cdot 0,9^x+y_U$ $\mathbb{G}=\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+, y_A\in \mathbb{R}^+)$ beschreiben.
Dabei ist nach $x$ Minuten die Temperatur des Wassers auf $y~^{\circ}\text{C}$ gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt $y_A~^{\circ}\text{C}$ und die Umgebungstemperatur $y_U~^{\circ}\text{C}$.
Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
#exponentialfunktion
A 1.1
Im ersten Versuch kühlt $95~^{\circ}\text{C}$ heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von $20~^{\circ}\text{C}$ ab.
Berechne, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf $60~^{\circ}\text{C}$ gesunken ist.
(2 P)
A 1.2
Im zweiten Versuch kühlt $72~^{\circ}\text{C}$ heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von $18~^{\circ}\text{C}$ für $3$ Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlungsvorgang in einem zweiten Raum für weitere $8$ Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von $39~^{\circ}\text{C}$ besitzt.
Berechne die Umgebungstemperatur im zweiten Raum.
(3 P)
A 2.0
Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $[BC]$ und der Höhe $[AM]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ mit der Spitze $S$. Der Punkt $D\in[AM]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[DS]$, die senkrecht auf der Grundfläche steht.
Es gilt: $\overline{AM}=8~\text{cm};\quad$ $\overline{AD}=4,5~\text{cm};\quad$ $\overline{DS}=8,5~\text{cm}.$
Die untenstehende Zeichung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCS$.
In der Zeichung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \quad$ $\omega=45^{\circ};\quad$ $[AM]$ liegt auf der Schrägbildachse.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnung
Abb. 1: Pyramide $ABCS$
Zeichnung
Abb. 1: Pyramide $ABCS$
#pyramide
A 2.1
Berechne das Maß des Winkels $MAC$.
[Ergebnis: $\sphericalangle MAC = 32,01^{\circ}$ ]
(1 P)
A 2.2
Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[DS]$. Die Winkel $DAP_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ~]0^{\circ}; 62,10^{\circ}[$.
Zeichne den Punkt $P_1$ und die Strecke $[AP_1]$ für $\phi=40^{\circ}$ in das Schrägbild zu $A~2.0$ ein.
(1 P)
A 2.3
Durch die Punkte $P_n$ verlaufen zur Grundfläche $ABC$ parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide $ABCS$ in Punkten $E_n \in [BS]$, $F_n\in [BS]$ und $G_n \in [CS]$ und die Strecke $[MS]$ in Punkten $N_n$ schneiden. Die Dreiecke $E_nF_nG_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $E_nF_nG_nD$ mit der Spitze $D$.
Zeichne die Pyramide $E_1F_1G_1D$ und den Punkt $N_1$ in das Schrägbild zu $A~2.0$ ein.
(1 P)
#pyramide
A 2.4
Berechne die Längen der Strecken $[DP_n]$ und $[E_nN_n]$ in Anhängigkeit von $\phi$.
[Ergebnisse: $\overline{DP_n}(\phi)=4,5\cdot \tan(\phi) ~\text{cm};\quad$ $\overline{E_nN_n}(\phi)=(8-4,24\cdot \tan(\phi)~\text{cm}$ ]
(3 P)
A 2.5
Berechne das Volumen der Pyramide $E_1F_1G_1D$.
(3 P)
#volumen#pyramide
A 3.0
Gegeben sind Dreiecke $AB_nC$ mit der Seitenlänge $\overline{AC}=4~\text{cm}.$
Die Winkel $B_nAC$ haben das Maß $\alpha$ mit $\alpha \in ]0^{\circ}; 60^{\circ}[.$
Das Maß der Winkel $ACB_n$ ist doppelt so groß wie das Maß der winkel $B_nAC.$
A 3.1
Ergänze die Zeichnung zum Dreieck $AB_1C$ mit $\alpha=50^{\circ}$.
Zeichnung
Abb. 2: Zeichnung A 3.1
Zeichnung
Abb. 2: Zeichnung A 3.1
(1 P)
#dreieck
A 3.2
Bestimme die Länge der Strecken $[B_nC]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ und vereinfache mithilfe einer Supplementbeziehung.
(2 P)
A 3.3
Das Dreieck $AB_2C$ ist gleichschenklig mit der Basis $[AB_2]$.
Begründe, dass das Dreieck $AB_2C$ rechtwinklig ist.
(2 P)
#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
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