Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch M II
Digitales Schulbuch M I
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Realschulabsch...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Teil A

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
A 0.0
Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man näherungsweise durch die Funktion $f: y=5000\cdot 1,75^x \quad$ $(\mathbb{G} = \mathbb{R}^{+}_{0} \times \mathbb{R}^{+}_{0})$ beschreiben, wobei $x$ die Anzahl der Jahre und $y$ die Anzahl der Ladestationen darstellt.
A 1.1
Ergänze die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichne dann den Graphen der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein.
$x$$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $
$5000 \cdot 1,75^x$$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$5000 \cdot 1,75^x$
$0 $$ $
$1 $$ $
$2 $$ $
$3 $$ $
$4 $$ $
Graph
Abb. 1: Koordinatensystem
Graph
Abb. 1: Koordinatensystem
(2P)
#graph
A 1.2
Ermittle mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen haben wird.
(2P)
#prozent
A 1.3
Gebe an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde.
(1P)
A 2.0
Zeichnung
Abb. 2: Zeichnung des Vierecks $ABCD$
Zeichnung
Abb. 2: Zeichnung des Vierecks $ABCD$
A 2.1
Berchne die Länge der Diagonalen $[BD]$ und den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $BCD$.
[Ergebnisse: $\overline{BD}=9,4~\text{cm}$; $A=23,9 ~\text{cm}^2$]
(4P)
A 2.2
Der Punkt $E$ liegt auf der Strecke $[BC]$. Die Dreiecke $ABE$ und $BCD$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.
Berechne die Länge der Strecke $[AE]$.
[Teilergebnis: $\overline{BE}=6,5~\text{cm}$; Ergebnis: $\overline{AE}=8,3~\text{cm}$]
(2P)
A2.3
Der Kreis um $E$ mit dem Radius $3~\text{cm}$ schneidet die Strecke $[AE]$ im Punkt $P$ und die Strecke $[BE]$ im Punkt $Q$.
Zeichne den Kreisbogen $\widetilde{PQ}$ in die Zeichnung zu $A~2.0$ ein.
Berechne dann den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die Strecken $[QE],~[EP]$ und den Kreisbogen $\widetilde{PQ}$ begrenzt wird.
(2P)
#kreisbogen#kreissektor
A 3.0
Skizze
Abb. 3: Skizze Axialschnitt $ABCD$
Skizze
Abb.3: Skizze Axialschnitt $ABCD$
(2P)
A 3.1
Zeige rechnerisch, dass für die Strecke $[MD]$ und $[AN]$ gilt:
$\overline{MD}=1,7~\text{cm}$ und $\overline{AN}=1,0 ~\text{cm}$.
(2P)
A 3.2
Berechne das Volumen $V$ der Cremefüllung.
(3P)
#volumen
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
A 1.1
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ausfüllen
Für die vollständige Wertetabelle folgt durch Einsetzen der $x$-Werte in die gegebene Funktionsgleichung und anschließendem Runden auf Tausender:
$x$$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $
$5000 \cdot 1,75^{x}$$ 5000$$9000 $$15000 $$ 27000$$47000 $
$x$$5000 \cdot 1,75^x$
$0 $$5000 $
$1 $$9000 $
$2 $$15000 $
$3 $$27000 $
$4 $$47000 $
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Für den Graphen folgt damit:
Graph
Abb. 1: Graph von $f$
Graph
Abb. 1: Graph von $f$
A 1.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jahre ermitteln
Eine Zunahme um $600\%$ der anfänglichen $5000$ Ladestationen führt zu einem Bestand von $5000+5000 \cdot 6 = 35000$ Ladestationen.
Anhand des Graphen folgt also, dass nach etwa $3,5$ Jahren die Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen haben.
Graph
Abb. 2: Wert am Graph von $f$ ablesen
Graph
Abb. 2: Wert am Graph von $f$ ablesen
#zunahme
A 1.3
$\blacktriangleright$  Zunahme angeben
Anhand der Funktionsgleichung $y=5000 \cdot 1,75^x$ lässt sich erkennen, dass es nach einem Jahr $175\%$ der Ladestationen aus dem Vorjahr gibt. Dies enstpricht also einer jährlichen Zunahme von $75\%$.
#zunahme#prozent
A 2.1
$\blacktriangleright$  Länge der Diagonalen berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ gilt $\overline{AB}=7,8 ~\text{cm}$ und $\overline{AD}=5,2 ~\text{cm}$. Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}^2&=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2 &\quad \scriptsize \mid\sqrt \; \\[5pt] \overline{BD}&=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AD}^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=\sqrt{(7,8 ~\text{cm})^2+(5,2~\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &= \sqrt{60,8 ~\text{cm}^2 + 27,0 ~\text{cm}^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx 9,4 ~\text{cm} \end{array}$
$ \overline{BD}\approx 9,4 ~\text{cm} $
Somit beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ etwa $9,4 ~\text{cm}$.

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Skizze
Abb. 3: Skizze mit Winkel $\beta_1$ und $\beta_2$
Skizze
Abb. 3: Skizze mit Winkel $\beta_1$ und $\beta_2$
und für den Flächeninhalt $A_{BCD}$:
$\begin{array}[t]{rll} A_{BCD}&=&=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD}\cdot \overline{BC} \cdot \sin(\beta_2) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 9,4 ~\text{cm} \cdot 8,6 ~\text{cm} \cdot \sin(36,3^{\circ}) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 23,9 ~\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_{BCD}\approx 23,9 ~\text{cm}^3 $
#rechtwinkligesdreieck#satzdespythagoras#flächeninhalt#dreieck#sinus
A 2.2
$\blacktriangleright$  Strecke $\overline{BE}$ bestimmen
Mit dem gegebenen Flächeninhalt des Dreiecks $ABE$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{BCD} &=& A_{ABE} &=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BE} \cdot \sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid :\left(\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \sin(\beta)\right) \; \\[5pt] && \dfrac{2A_{ABE}}{\overline{AB}\cdot \sin(\beta)}&=& \overline{BE} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &&\dfrac{2\cdot 23,9 ~\text{cm}^2}{7,8 ~\text{cm} \cdot \sin(70^{\circ})}&=& \overline{BE} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] && 6,5 ~\text{cm}&\approx& \overline{BE} \end{array}$
$ \overline{BE} \approx 6,5 ~\text{cm} $
$\blacktriangleright$  Strecke $\overline{AE}$ bestimmen
Mit Hilfe des Kosinussatzes folgt für die Strecke $\overline{AE}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BE} \cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\sqrt \; \\[5pt] \overline{AE}&=&\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BE} \cdot \cos(\beta)} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \sqrt{7,8^2 ~\text{cm}^2+6,5^2 ~\text{cm}^2 -2\cdot 7,8~\text{cm} \cdot 6,5 ~\text{cm} \cdot \cos(70^{\circ})} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 8,3 ~\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AE} \approx 8,3 ~\text{cm}$
#strahlensatz#kosinussatz#flächeninhalt#sinus
A 2.3
$\blacktriangleright$  Kreissektor einzeichnen
Für den Kreisbogen zwischen $P$ und $Q$ mit Radius $\overline{EP}=\overline{EQ}=3~\text{cm}$ um $E$ erhält man:
Skizze
Abb. 4: Kreisbogen einzeichnen
Skizze
Abb. 4: Kreisbogen einzeichnen
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Kreissektors berechnen
Skizze
Abb. 5: Skizze zum Flächeninhalt
Skizze
Abb. 5: Skizze zum Flächeninhalt
Damit lässt sich der Flächeninhalt des Kreissektors betsimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{\epsilon}{360}\cdot \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{62^{\circ}}{360} \cdot \pi \cdot (3~\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 4,9 ~\text{cm}^2 \end{array}$
#flächeninhalt#sinussatz
A 3.1
$\blacktriangleright$  Strecken $\overline{MD}$ und $\overline{AN}$ berechnen
Skizze
Abb. 6: Skizze mit Winkeln $\alpha$ und $\beta$
Skizze
Abb. 6: Skizze mit Winkeln $\alpha$ und $\beta$
Sowie äquivalent im Dreieck $SNA$ mit $\delta=\alpha$ und
$\overline{NS}=\overline{MS}-\overline{MN}=5 ~\text{cm} - 2~\text{cm} = 3~\text{cm}$
$ \overline{NS}= 3~\text{cm} $
gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{NS}}{\overline{AN}} &\quad \scriptsize \mid \cdot \overline{AN} \; \\[5pt] \tan(\alpha) \cdot \overline{AN}&=& \overline{NS} &\quad \scriptsize \mid :\tan(\alpha) \; \\[5pt] \overline{AN}&=&\dfrac{\overline{NS}}{\tan(\alpha)} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{3~\text{cm}}{\tan(71,6^{\circ})} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 1,0 ~\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AN} \approx 1,0 ~\text{cm} $
#tangens#rechtwinkligesdreieck
A 3.2
$\blacktriangleright$  Berechnung des Volumen der Cremefüllung
Skizze
Abb. 7: Skizze Kegelstumpf
Skizze
Abb. 7: Skizze Kegelstumpf
Das Volumen der Cremefüllung beträgt $100\%-89\%=11\%$ der gesamten Praline. Also erhätst du:
$V=0,11 \cdot V_{\text{ges}}\approx 1,3 ~\text{cm}^3$
für das Volumen $V$ der Cremefüllung.
#kegel
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[7]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App