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Teil A

Aufgaben
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A 0.0
Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man näherungsweise durch die Funktion $f: y=5000\cdot 1,75^x \quad$ $(\mathbb{G} = \mathbb{R}^{+}_{0} \times \mathbb{R}^{+}_{0})$ beschreiben, wobei $x$ die Anzahl der Jahre und $y$ die Anzahl der Ladestationen darstellt.
A 1.1
Ergänze die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichne dann den Graphen der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein.
$x$$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $
$5000 \cdot 1,75^x$$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$5000 \cdot 1,75^x$
$0 $$ $
$1 $$ $
$2 $$ $
$3 $$ $
$4 $$ $
Teil A
Abb. 1: Koordinatensystem
Teil A
Abb. 1: Koordinatensystem
(2P)
#graph
A 1.2
Ermittle mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen haben wird.
(2P)
#prozent
A 1.3
Gebe an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde.
(1P)
A 2.0
Teil A
Abb. 2: Zeichnung des Vierecks $ABCD$
Teil A
Abb. 2: Zeichnung des Vierecks $ABCD$
A 2.1
Berchne die Länge der Diagonalen $[BD]$ und den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $BCD$.
[Ergebnisse: $\overline{BD}=9,4~\text{cm}$; $A=23,9 ~\text{cm}^2$]
(4P)
A 2.2
Der Punkt $E$ liegt auf der Strecke $[BC]$. Die Dreiecke $ABE$ und $BCD$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.
Berechne die Länge der Strecke $[AE]$.
[Teilergebnis: $\overline{BE}=6,5~\text{cm}$; Ergebnis: $\overline{AE}=8,3~\text{cm}$]
(2P)
A2.3
Der Kreis um $E$ mit dem Radius $3~\text{cm}$ schneidet die Strecke $[AE]$ im Punkt $P$ und die Strecke $[BE]$ im Punkt $Q$.
Zeichne den Kreisbogen $\widetilde{PQ}$ in die Zeichnung zu $A~2.0$ ein.
Berechne dann den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die Strecken $[QE],~[EP]$ und den Kreisbogen $\widetilde{PQ}$ begrenzt wird.
(2P)
#kreisbogen#kreissektor
A 3.0
Teil A
Abb. 3: Skizze Axialschnitt $ABCD$
Teil A
Abb.3: Skizze Axialschnitt $ABCD$
(2P)
A 3.1
Zeige rechnerisch, dass für die Strecke $[MD]$ und $[AN]$ gilt:
$\overline{MD}=1,7~\text{cm}$ und $\overline{AN}=1,0 ~\text{cm}$.
(2P)
A 3.2
Berechne das Volumen $V$ der Cremefüllung.
(3P)
#volumen
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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A 1.1
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ausfüllen
Für die vollständige Wertetabelle folgt durch Einsetzen der $x$-Werte in die gegebene Funktionsgleichung und anschließendem Runden auf Tausender:
$x$$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $
$5000 \cdot 1,75^{x}$$ 5000$$9000 $$15000 $$ 27000$$47000 $
$x$$5000 \cdot 1,75^x$
$0 $$5000 $
$1 $$9000 $
$2 $$15000 $
$3 $$27000 $
$4 $$47000 $
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Für den Graphen folgt damit:
Teil A
Abb. 1: Graph von $f$
Teil A
Abb. 1: Graph von $f$
A 1.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jahre ermitteln
Eine Zunahme um $600\%$ der anfänglichen $5000$ Ladestationen führt zu einem Bestand von $5000+5000 \cdot 6 = 35000$ Ladestationen.
Anhand des Graphen folgt also, dass nach etwa $3,5$ Jahren die Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen haben.
Teil A
Abb. 2: Wert am Graph von $f$ ablesen
Teil A
Abb. 2: Wert am Graph von $f$ ablesen
#zunahme
A 1.3
$\blacktriangleright$  Zunahme angeben
Anhand der Funktionsgleichung $y=5000 \cdot 1,75^x$ lässt sich erkennen, dass es nach einem Jahr $175\%$ der Ladestationen aus dem Vorjahr gibt. Dies enstpricht also einer jährlichen Zunahme von $75\%$.
#zunahme#prozent
A 2.1
$\blacktriangleright$  Länge der Diagonalen berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ gilt $\overline{AB}=7,8 ~\text{cm}$ und $\overline{AD}=5,2 ~\text{cm}$. Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}^2&=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2 &\quad \scriptsize \mid\sqrt \; \\[5pt] \overline{BD}&=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AD}^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=\sqrt{(7,8 ~\text{cm})^2+(5,2~\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &= \sqrt{60,8 ~\text{cm}^2 + 27,0 ~\text{cm}^2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx 9,4 ~\text{cm} \end{array}$
$ \overline{BD}\approx 9,4 ~\text{cm} $
Somit beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ etwa $9,4 ~\text{cm}$.

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Teil A
Abb. 3: Skizze mit Winkel $\beta_1$ und $\beta_2$
Teil A
Abb. 3: Skizze mit Winkel $\beta_1$ und $\beta_2$
und für den Flächeninhalt $A_{BCD}$:
$\begin{array}[t]{rll} A_{BCD}&=&=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD}\cdot \overline{BC} \cdot \sin(\beta_2) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 9,4 ~\text{cm} \cdot 8,6 ~\text{cm} \cdot \sin(36,3^{\circ}) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 23,9 ~\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_{BCD}\approx 23,9 ~\text{cm}^3 $
#rechtwinkligesdreieck#satzdespythagoras#flächeninhalt#dreieck#sinus
A 2.2
$\blacktriangleright$  Strecke $\overline{BE}$ bestimmen
Mit dem gegebenen Flächeninhalt des Dreiecks $ABE$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{BCD} &=& A_{ABE} &=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BE} \cdot \sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid :\left(\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \sin(\beta)\right) \; \\[5pt] && \dfrac{2A_{ABE}}{\overline{AB}\cdot \sin(\beta)}&=& \overline{BE} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &&\dfrac{2\cdot 23,9 ~\text{cm}^2}{7,8 ~\text{cm} \cdot \sin(70^{\circ})}&=& \overline{BE} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] && 6,5 ~\text{cm}&\approx& \overline{BE} \end{array}$
$ \overline{BE} \approx 6,5 ~\text{cm} $
$\blacktriangleright$  Strecke $\overline{AE}$ bestimmen
Mit Hilfe des Kosinussatzes folgt für die Strecke $\overline{AE}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BE} \cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\sqrt \; \\[5pt] \overline{AE}&=&\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BE} \cdot \cos(\beta)} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \sqrt{7,8^2 ~\text{cm}^2+6,5^2 ~\text{cm}^2 -2\cdot 7,8~\text{cm} \cdot 6,5 ~\text{cm} \cdot \cos(70^{\circ})} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 8,3 ~\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AE} \approx 8,3 ~\text{cm}$
#strahlensatz#kosinussatz#flächeninhalt#sinus
A 2.3
$\blacktriangleright$  Kreissektor einzeichnen
Für den Kreisbogen zwischen $P$ und $Q$ mit Radius $\overline{EP}=\overline{EQ}=3~\text{cm}$ um $E$ erhält man:
Teil A
Abb. 4: Kreisbogen einzeichnen
Teil A
Abb. 4: Kreisbogen einzeichnen
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Kreissektors berechnen
Teil A
Abb. 5: Skizze zum Flächeninhalt
Teil A
Abb. 5: Skizze zum Flächeninhalt
Damit lässt sich der Flächeninhalt des Kreissektors betsimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{\epsilon}{360}\cdot \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{62^{\circ}}{360} \cdot \pi \cdot (3~\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 4,9 ~\text{cm}^2 \end{array}$
#flächeninhalt#sinussatz
A 3.1
$\blacktriangleright$  Strecken $\overline{MD}$ und $\overline{AN}$ berechnen
Teil A
Abb. 6: Skizze mit Winkeln $\alpha$ und $\beta$
Teil A
Abb. 6: Skizze mit Winkeln $\alpha$ und $\beta$
Sowie äquivalent im Dreieck $SNA$ mit $\delta=\alpha$ und
$\overline{NS}=\overline{MS}-\overline{MN}=5 ~\text{cm} - 2~\text{cm} = 3~\text{cm}$
$ \overline{NS}= 3~\text{cm} $
gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{NS}}{\overline{AN}} &\quad \scriptsize \mid \cdot \overline{AN} \; \\[5pt] \tan(\alpha) \cdot \overline{AN}&=& \overline{NS} &\quad \scriptsize \mid :\tan(\alpha) \; \\[5pt] \overline{AN}&=&\dfrac{\overline{NS}}{\tan(\alpha)} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{3~\text{cm}}{\tan(71,6^{\circ})} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 1,0 ~\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AN} \approx 1,0 ~\text{cm} $
#tangens#rechtwinkligesdreieck
A 3.2
$\blacktriangleright$  Berechnung des Volumen der Cremefüllung
Teil A
Abb. 7: Skizze Kegelstumpf
Teil A
Abb. 7: Skizze Kegelstumpf
Das Volumen der Cremefüllung beträgt $100\%-89\%=11\%$ der gesamten Praline. Also erhätst du:
$V=0,11 \cdot V_{\text{ges}}\approx 1,3 ~\text{cm}^3$
für das Volumen $V$ der Cremefüllung.
#kegel
Bildnachweise [nach oben]
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