Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BB, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis 1.2

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit der Gleichung $f_a(x)=\sqrt{ax}-\dfrac{1}{2}x^2$; $a\in \mathbb{R}$, $a > 0$.
Die Graphen dieser Funktionen sind $G_a$.
a) Geben Sie den Definitionsbereich sowie das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \rightarrow +\infty$ an. Jeder Graph $f_a$ besitzt genau zwei Nullstellen. Berechnen Sie diese.
(8P)
b) Zeigen Sie, dass die Ableitungsfunktionen $f^{'}_a$ die Gleichung $f^{'}_a(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{ax}}-x$ haben.
Begründen Sie, dass ein möglicher lokaler Extrempunkt von $G_a$ immer ein Hochpunkt des Graphen ist.
Bestimmen Sie für $a = 4$ die Koordinaten des zugehörigen Hochpunktes.
(14P)
c) Es existiert genau ein Graph $G_a$, dessen Tangente im Punkt $(1 \mid f_a (1))$ mit den beiden Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt.
Ermitteln Sie den zugehörigen Parameterwert $a$.
(5P)
d) Ein Optiker hat eine Werbefirma damit beauftragt, ein Logo für sein Geschäft anzufertigen. Die Werbefirma hat ein brillenähnliches Logo entworfen, für das sie unter anderem im Intervall $\left[0;2\right]$ den Graphen $G_2$ und im Intervall $\left[0;3\right]$ den durch Spiegelung von $G_2$ an der $x$-Achse entstehenden Graphen $K$ verwendet hat (siehe Abbildung). Geben Sie eine Gleichung für die zu $K$ gehörende Funktion $k$ an.
Berechnen Sie die von $G_2$ und $K$ im I. und IV. Quadranten eingeschlossene Fläche, die einem Brillenglas entspricht, und geben Sie diese in Quadratmetern an $(1\,\text{LE} = 0,5\,\text{m})$.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
(8P)
e) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Funktionen, deren Graphen im Intervall $\left[-3;0\right]$ bzw. $\left[-2;0\right]$ das Logo zu einer symmetrischen „Brille“ vervollständigen.
Begründen Sie am Beispiel von $G_2$ und $K$, dass die modellhaften „Brillengläser“ im Koordinatenursprung keinen „Knick“ haben, das heißt, dass die Graphen im Übergangspunkt eine gemeinsame Tangente besitzen.
(5P)

(40P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Definitionsbereich angeben
Du hast folgende Funktionsschar gegeben:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&\sqrt{ax}-\frac{1}{2}x^2&\scriptsize{ a\in\mathbb{R};\; a>0}\\ \end{array}$
Überlege dir nun, für welche Werte von $x$ die Funktion definiert ist. Beachte dabei, dass die Wurzelfunktion für negative Werte nicht definiert ist.
$\blacktriangleright$ Verhalten von $\boldsymbol{f_a}$ für $\boldsymbol{x\rightarrow+\infty}$
Überlege dir wie sich die Funktion für sehr große Werte verhält.
$\blacktriangleright$ Berechne die Nullstellen
Um die Nullstellen der Funktion $f_a$ zu berechnen, setzt du die Funktionsgleichung gleich Null und löst nach $x$ auf.
b) $\blacktriangleright$ Bestätige die Angabe
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Ableitungsfunktionen $f'_a$ folgende Gleichung haben:
$f'_a(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax}}-x$
Um dies zu zeigen, bildest du die erste Ableitung der Funktionsschar $f_a$. Dazu benötigst du die Faktorregel, die Summenregel und die Kettenregel.
Den Ausdruck mit der Wurzel kannst du davor umschreiben. Es gilt:
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
$\blacktriangleright$ Begründe, dass ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_a}$ ein Hochpunkt ist
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Willst du nun bestätigen, dass ein möglicher Extrempunkt der Graphen von $f_a$ ein Hochpunkt ist, so kannst du hier zeigen, dass die zweite Ableitung von $f$ für jeden Wert von $x$ negativ ist:
$f_a''(x)<0$
$\blacktriangleright$ Bestimme den Hochpunkt von $\boldsymbol{G_4}$
Nun sollst du für $a=4$ den zum Graphen von $f_4$ zugehörigen Hochpunkt bestimmen. Aus dem vorherigen Aufgabenteil sind dir notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum bekannt. Außerdem hast du bestätigt, dass jeder Extrempunkt der Funktionsschar einen Hochpunkt darstellt.
Es ist hier also ausreichend, die Funktionsterm $f_4(x)$ und $f_4'(x)$ zu bestimmen und mittels der ersten Ableitungsfunktion die Extremstelle zu bestimmen. Mit $f_4(x)$ bestimmst du dann die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts
c) $\blacktriangleright$ Bestimme eine Wert für $\boldsymbol{a}$
Du sollst nun einen Wert für $a$ bestimmen, sodass die Tangente des Graphen in dem Punkt $(1\mid f_a(1))$ mit den den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck bilden.
Dies ist der Fall, wenn die Tangente eine Steigung von $1$ bzw. $-1$ hat. Denn dann schneidet sie beide Koordinatenachsen in einem $45^{\circ}$ Winkel, wodurch ein gleichschenkliges Dreieck entsteht. Die Steigung der Tangenten entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung $f_a'$ an dieser Stelle. Außerdem darf die Tangente nicht durch den Koordinatenursprung gehen, da die Tangente ansonsten kein Dreieck mit den Koordinatenachsen bildet.
Du kannst wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme den Wert von $a$, indem du in den Term der ersten Ableitung mit $f_a'(1) = \pm 1$ einsetzt und nach $a$ löst
  2. Prüfe, ob die Tangente durch den Ursprung geht
d) $\blacktriangleright$ Bestimme eine Gleichung von $\boldsymbol{k}$
Bei dem Graph der Funktion $k$ handelt es sich um den an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelten Graphen $G_2$.
Wird eine Funktion $f$ an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelt gilt für die gespiegelte Funktion $f_s$:
$f_s(x) = -f(x)$
$\blacktriangleright$ Berechne die Fläche $\boldsymbol{A}$
Nun sollst du die im ersten und vierten Quadranten eingeschlossene Fläche von $G_2$ und $K$ berechnen. Diese Fläche wird durch das Intervall $[0;2]$ begrenzt.
Der Inhalt dieser Fläche entspricht dem Integral der Funktion $f_2$ und der zuvor aufgestellten Funktion $k$ über dem Intervall $\left[0;2\right]$.
Da der Graph $K$ aus einer Spiegelung des Graphen von $G_2$ an der $x$–Achse entstanden ist, genügt es, den Flächeninhalt zwischen $G_2$ und der $x$–Achse zu berechnen und anschließend mit $2$ zu multiplizieren.
e) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichungen der beiden Funktionen
Die Graphen in dem Intervall $[-2;0]$ und $[-3;0]$ erhältst du durch Spiegelung der Graphen $G_2$ und $K$ an der $y$–Achse bzw. durch die Spiegelung des Graphen $H$ an der $x$–Achse.
  • Den Graphen im Intervall $\left[-2;0\right]$ erhältst du, indem du den Graph der Funktion $f_2$ an der $y$–Achse spiegelst. Wir nennen diesen Graphen $H$ zur Funktion $h$.
  • Den Graphen $I$ zur Funktion $i$ im Intervall $\left[-3;0\right]$ erhältst du, indem du den Graphen $H$ an der $x$–Achse spiegelst.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Wie du eine Funktion an der $\boldsymbol{x}$–Achse spiegelst, weißt du aus Teilaufgabe d). Hier nochmal zur Erinnerung:
$f(x)\Rightarrow-f(x)$
Wird ein Graph an der $\boldsymbol{y}$–Achse gespiegelt, so erhältst du den zugehörigen Funktionsterm durch:
$f(x)\Rightarrow f(-x)$
Du kannst so vorgehen:
  1. Bestimme eine Gleichung von der Funktion $h$
  2. Bestimme eine Gleichung von der Funktion $i$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Definitionsbereich angeben
Du hast folgende Funktionsschar gegeben:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&\sqrt{ax}-\frac{1}{2}x^2&\scriptsize{ a\in\mathbb{R};\; a>0}\\ \end{array}$
Überlege dir nun, für welche Werte von $x$ die Funktionsschar definiert ist. Beachte dabei, dass die Wurzelfunktion für negative Werte nicht definiert ist.
Da $a$ mit $a>0$ laut Aufgabenstellung positiv ist, darf $x$ nicht kleiner als Null sein, damit der Wert unter der Wurzel nicht negativ ist.
Der Definitionsbereich lautet:
$\begin{array}{rcl} D&=&\{x\in\mathbb{R},x\geq0\} \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Verhalten von $\boldsymbol{f_a}$ für $\boldsymbol{x\rightarrow+\infty}$
Um das Verhalten des Graphen von $f_a$ für $\boldsymbol{x\rightarrow+\infty}$ zu bestimmen, musst du dir überlegen, wie sich die Funktion für sehr große $x$-Werte verhält. Da der quadratische Term $\frac{1}{2}x^2$ schneller wächst als der Wurzelterm $\sqrt{ax}$, ergibt sich:
$\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x) = -\infty$
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen der Funktion $f_a$ zu berechnen, setzt du die Funktionsgleichung gleich Null und löst nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{ax}-\frac{1}{2}x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{1}{2}x^2\\[5pt] \sqrt{ax}&=& \frac{1}{2}x^2 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] ax&=& \frac{1}{4}x^4 &\quad \scriptsize \mid\; :x; \; x \neq 0\\[5pt] a&=& \frac{1}{4}x^3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] 4a&=&x^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;} \\[5pt] \sqrt[3]{4a}&=&x &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Beim Auflösen der Gleichung musstest du beim Teilen durch $x$ die Möglichkeit ausschließen, dass $x=0$ ist. Also musst du jetzt noch überprüfen, ob $x=0$ eine Nullstelle ist: $f(0)=\sqrt{a\cdot 0}-\frac{1}{2} \cdot 0^2=0$
Die Funktionenschar $f_a$ hat also die Nullstellen:
  • $x_1 = 0$
  • $x_2 = \sqrt[3]{4a}$
b) $\blacktriangleright$ Ableitung bilden
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Ableitungsfunktionen $f'_a$ folgende Gleichung haben:
$f'_a(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax}}-x$
Um dies zu zeigen, bildest du die erste Ableitung der Funktionsschar $f_a$. Dazu benötigst du die Faktorregel, die Summenregel und die Kettenregel.
Den Ausdruck mit der Wurzel kannst du davor umschreiben. Es gilt:
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
Du erhältst:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&\sqrt{ax}-\frac{1}{2}x^2 \\ f_a(x)&=&(ax)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^2\\ \end{array}$
Bilde nun die erste Ableitung $f'_a$.
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^2\\ f_a'(x)&=&\frac{1}{2}\cdot(ax)^{-\frac{1}{2}}\cdot a-2\cdot\frac{1}{2}x\\ f_a'(x)&=&\dfrac{a}{2\sqrt{ax}}-x\\ \end{array}$
Die Ableitungsfunktionen $f_a'$ haben die Gleichung:
$\begin{array}{rcl} f_a'(x)&=&\dfrac{a}{2\sqrt{ax}}-x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Begründe, dass ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_a}$ ein Hochpunkt ist
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Willst du nun bestätigen, dass ein möglicher Extrempunkt der Graphen von $f_a$ ein Hochpunkt ist, kannst du zeigen, dass die zweite Ableitung von $f$ für jeden Wert von $x$ negativ ist:
$f_a''(x)<0$
Du musst also $f_a'(x)$ nochmal ableiten. Dafür schreibst du dir $f_a'(x)$ wieder mit Exponenten statt Wurzeln auf und fasst zusammen:
$f_a'(x)=\frac{1}{2}\cdot(ax)^{-\frac{1}{2}}\cdot a-2\cdot\frac{1}{2}x= \frac{1}{2}\cdot(ax)^{-\frac{1}{2}}\cdot a-x$
Durch Ableiten ergibt sich:
$\begin{array}{rcll} f_a''(x)&=&-\frac{1}{4} \cdot(ax)^{-\frac{3}{2}}\cdot a^2-1\\ \end{array}$
Da $a>0$ gilt, ist $f_a''(x)$ wie gewünscht im gesamten Definitionsbereich negativ. Ein möglicher lokaler Extrempunkt von dem Graph $G_a$ ist demnach immer ein Hochpunkt.
$\blacktriangleright$ Bestimme den Hochpunkt von $\boldsymbol{G_4}$
Nun sollst du für $a=4$ den zum Graphen von $f_4$ zugehörigen Hochpunkt bestimmen. Aus dem vorherigen Aufgabenteil sind dir notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum bekannt. Außerdem hast du bestätigt, dass jeder Extrempunkt der Funktionsschar einen Hochpunkt darstellt.
Es ist hier also ausreichend, die Funktionsterm $f_4(x)$ und $f_4'(x)$ zu bestimmen und mittels der ersten Ableitungsfunktion die Extremstelle zu bestimmen. Mit $f_4(x)$ bestimmst du dann die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes.
Um den Hochpunkt zu bestimmen musst zuerst $4$ in die erste Ableitung einsetzen und sie dann gleich Null setzen.
$f_4'(x) = \dfrac{4}{2 \cdot \sqrt{4 \cdot x}} - x = \dfrac{2}{2 \cdot \sqrt{x}} - x = \dfrac{1}{\sqrt{x}} - x$
$\begin{array}{rcll} f_4'(x)&=&0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{x}} - x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +x\\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{x}} &=&x &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] \dfrac{1}{x} &=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 1 &=&x^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] 1 &=&x &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_4$ besitzt also bei $x_H = 1$ den Hochpunkt $H$. Die vollständigen Koordinaten erhältst du, wenn du diesen Wert einsetzt:
$f_4(1) = 2 \cdot \sqrt{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \dfrac{3}{2}=1,5$
Hochpunkt $H$ hat die Koordinaten $H(1\mid1,5)$.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme eine Wert für $\boldsymbol{a}$
Du sollst nun einen Wert für $a$ bestimmen, sodass die Tangente des Graphen in dem Punkt $(1\mid f_a(1))$ mit den den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck bilden.
Dies ist der Fall, wenn die Tangente eine Steigung von $1$ bzw. $-1$ hat. Denn dann schneidet sie beide Koordinatenachsen in einem $45^{\circ}$ Winkel, wodurch ein gleichschenkliges Dreieck entsteht. Die Steigung der Tangenten entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung $f_a'$ an dieser Stelle. Außerdem darf die Tangente nicht durch den Koordinatenursprung gehen, da die Tangente ansonsten kein Dreieck mit den Koordinatenachsen bildet.
Du kannst wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme den Wert von $a$, indem du in den Term der ersten Ableitung mit $f_a'(1) = \pm 1$ einsetzt und nach $a$ löst
  2. Prüfe, ob die Tangente durch den Ursprung geht
1. Schritt: Bestimme $\boldsymbol{a}$
Setze den Wert $x=1$ in die erste Ableitung ein und setze sie zuerst gleich mit $+1$:
$\begin{array}{rcll} f_a'(1)&=&+1 \\ \frac{a}{2\sqrt{a}}-1&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \frac{a}{2\sqrt{a}} &=&2 &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 2\\[5pt] \frac{a}{\sqrt{a}} &=&4 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] \frac{a^2}{a} &=&16 &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=&16 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Da die Bedingung $a>0$ hier erfüllt ist, ist $a=16$ eine Lösung.
Jetzt setze $x=1$ in die erste Ableitung ein und setze sie gleich mit $-1$:
$\begin{array}{rcll} f_a'(1)&=&-1 \\ \frac{a}{2\sqrt{a}}-1&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \frac{a}{2\sqrt{a}} &=&0 &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 2\sqrt {a}\\[5pt] a &=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Hier ist $a>0$ nicht erfüllt, also ist $a=0$ keine Lösung. Der gesucht Wert für $a$ ist also: $a=16$
2. Schritt: Prüfe, ob die Tangente durch den Ursprung geht
Eine Tangente ist ein lineare Funktion. Diese hat die allgemeine Gleichung $\boldsymbol{t(x)=mx+b}$. Dabei ist $m$ die Steigung und das $b$ der $\boldsymbol{y}$–Achsenabschnitt. Setzt du einen Punkt der Tangente und die Steigung in die Gleichung ein, kannst du den $y$–Achsenabschnitt berechnen.
Du weißt, dass die Tangente im Punkt $(1\mid f_{16}(1))$ anliegt. Berechne zunächst den Wert der $y$–Koordinate.
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&\sqrt{ax}-\frac{1}{2}x^2\\ f_{16}(x)&=&\sqrt{16x}-\frac{1}{2}x^2\\ f_{16}(1)&=&\sqrt{16\cdot1}-\frac{1}{2}\cdot1^2\\ f_{16}(1)&=&4-\frac{1}{2}\\ f_{16}(1)&=&3,5\\ \end{array}$
Damit geht die Tangente $t$ durch den Punkt $(1 \mid 3,5)$. Setze nun die Werte in die Tangentengleichung ein. Die Steigung hat den Wert $1$.
$\begin{array}{rcll} t(x)&=&mx+b\\ 3,5&=&1\cdot1+b&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ 2,5=&b\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} t(x)&=&mx+b\\ 3,5&=&1\cdot1+b&\\ 2,5=&b\\ \end{array}$
Die Tangente hat einen $y$–Achsenabschnitt von $2,5$. Sie geht damit nicht durch den Ursprung.
Für $a=16$ bildet die Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck.
d) $\blacktriangleright$ Bestimme eine Gleichung von $\boldsymbol{k}$
Bei dem Graph der Funktion $k$ handelt es sich um den an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelten Graphen $G_2$.
Wird eine Funktion $f$ an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelt gilt für die gespiegelte Funktion $f_s$:
$f_s(x) = -f(x)$
In diesem Fall gilt demnach:
$k(x)=-f_2(x)$
Die Gleichung der Funktion $f_2$ lautet:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&\sqrt{ax}-\frac{1}{2}x^2\\ f_2(x)&=&\sqrt{2x}-\frac{1}{2}x^2\\ \end{array}$
Für die Funktion $k$ gilt demnach:
$\begin{array}{rcll} k(x)&=&-f_2(x)\\ k(x)&=&-\left(\sqrt{2x}-\frac{1}{2}x^2\right)\\ k(x)&=&-\sqrt{2x}+\frac{1}{2}x^2\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $k$ lautet:
$\begin{array}{rcll} k(x)&=&-\sqrt{2x}+\frac{1}{2}x^2\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Berechne die Fläche $\boldsymbol{A}$
Nun sollst du die im ersten und vierten Quadranten eingeschlossene Fläche von $G_2$ und $K$ berechnen. Diese Fläche wird durch das Intervall $[0;2]$ begrenzt.
Der Inhalt dieser Fläche entspricht dem Integral der Funktion $f_2$ und der zuvor aufgestellten Funktion $k$ über dem Intervall $\left[0;2\right]$.
Da der Graph $K$ aus einer Spiegelung des Graphen von $G_2$ an der $x$–Achse entstanden ist, genügt es, den Flächeninhalt zwischen $G_2$ und der $x$–Achse zu berechnen und anschließend mit $2$ zu multiplizieren.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&2\displaystyle\int_0^2 {f_2(x)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&2\displaystyle\int_0^2 {\left( \sqrt{2x}-\frac{1}{2}x^2 \right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&2\displaystyle\int_0^2 {\left( (2x)^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2 \right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&2\left[\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}(2x)^\frac{3}{2}-\dfrac{1}{6}x^3\right]_0^2& \\[5pt] =&2\left[\dfrac{1}{3}(2x)^\frac{3}{2}-\dfrac{1}{6}x^3\right]_0^2& \\[5pt] =&2 \left(\left(\dfrac{1}{3}(2 \cdot 2)^\frac{3}{2}-\dfrac{1}{6}2^3\right)-\left(\dfrac{1}{3}(2\cdot 0)^\frac{3}{2}-\dfrac{1}{6}0^3\right)\right)& \\[5pt] =& 2 \left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}\right)& \\[5pt] A=&\dfrac{8}{3}\, \text{FE}& \\ \end{array}$
Die Fläche $A$ hat einen Flächeninhalt von $\frac{8}{3}$ FE.
Es gilt: $1\;\text{LE}=0,5\,\text{m}$
Damit gilt für die Flächeneinheit:
$1\;\text{FE}=0,25\;\text{m}^2$
Die eingeschlossene Fläche hat damit einen Flächeninhalt von:
$\begin{array}{rcll} A&=&\frac{8}{3}\cdot0,25\;\text{m}^2\\ A&=&0,67\;\text{m}^2\\ \end{array}$
Die Fläche in einem Brillenglas ist etwa $0,67\;\text{m}^2$ groß.
e) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichungen der beiden Funktionen
Die Graphen in dem Intervall $[-2;0]$ und $[-3;0]$ erhältst du durch Spiegelung der Graphen $G_2$ und $K$ an der $y$–Achse bzw. durch die Spiegelung des Graphen $H$ an der $x$–Achse.
  • Den Graphen im Intervall $\left[-2;0\right]$ erhältst du, indem du den Graph der Funktion $f_2$ an der $y$–Achse spiegelst. Wir nennen diesen Graphen $H$ zur Funktion $h$.
  • Den Graphen $I$ zur Funktion $i$ im Intervall $\left[-3;0\right]$ erhältst du, indem du den Graphen $H$ an der $x$–Achse spiegelst.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Wie du eine Funktion an der $\boldsymbol{x}$–Achse spiegelst, weißt du aus Teilaufgabe d). Hier nochmal zur Erinnerung:
$f(x)\Rightarrow-f(x)$
Wird ein Graph an der $\boldsymbol{y}$–Achse gespiegelt, so erhältst du den zugehörigen Funktionsterm durch:
$f(x)\Rightarrow f(-x)$
Du kannst so vorgehen:
  1. Bestimme eine Gleichung von der Funktion $h$
  2. Bestimme eine Gleichung von der Funktion $i$
1. Schritt: Gleichung von der Funktion $\boldsymbol{h}$
Die Funktionsgleichung erhältst du, indem du den Graph zu $f_2$ an der $\boldsymbol{y}$–Achse spiegelst.
$\begin{array}{rcll} h(x)&=&f_2(-x)\\ h(x)&=&(2\cdot(-x))^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\cdot(-x)^2\\ h(x)&=&(-2x)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\cdot x^2\\ h(x)&=&\sqrt{-2x}-\frac{1}{2}\cdot x^2\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichung von der Funktion $\boldsymbol{i}$
Die Funktionsgleichung erhältst du, indem du den Graph zur Funktion $h$ an der $\boldsymbol{x}$–Achse spiegelst.
$\begin{array}{rcll} i(x)&=&-h(x)\\ i(x)&=&-\left((-2x)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\cdot x^2\right)\\ i(x)&=&-(-2x)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot x^2\\ i(x)&=&-\sqrt{-2x}+\frac{1}{2}\cdot x^2\\ \end{array}$
Die Gleichungen der beiden Funktionen lauten:
$\begin{array}{rcll} h(x)&=&\sqrt{-2x}-\frac{1}{2}x^2\\ i(x)&=&-\sqrt{-2x}+\frac{1}{2}x^2 \end{array}$
$\blacktriangleright$ Begründe, dass im Koordinatenursprung kein Knick vorliegt
Damit die Brillengläser im Koordinatenursprung keinen Knick haben, müssen sie eine gemeinsame Tangente haben. Die Steigung und damit die erste Ableitung muss demnach für $f_2'$ und $k'$ an der Stelle $x=0$ gleich sein.
Bilde nun die erste Ableitung $f_2'$ mit den Resultaten von oben und berechne die Steigung an der Stelle $x=0$.
Ist diese nicht definiert, benötigst du den Grenzwert. Beim Graphen von $k'$ handelt es sich um eine Spiegelung des Graphen von $f_2'$ an der $x$–Achse.
Erste Ableitung $\boldsymbol{f_2'}$ an der Stelle $\boldsymbol{x=0}$:
$\begin{array}{rcll} f_2'(x)&=&\dfrac{1}{\sqrt{2x}}- x\\ f_2'(0)&=&\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot0}}- 0 \end{array}$
Die erste Ableitung $f_2'$ ist an der Stelle $x=0$ nicht definiert, da man nicht durch Null dividieren darf.
Bilde nun den Grenzwert von $f_2'$ für $x\rightarrow0$.
Grenzwert:
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to0}f_2'&=&\lim\limits_{n\to0}\left(\frac{1}{\sqrt{2x}}- x\right)\\ &=&\infty\\ \end{array}$
Für $x\rightarrow0$ wird der Bruch besonders groß, aber der Wert der abgezogen wird, strebt gegen Null. Das heißt, $f'_2$ strebt insgesamt gegen $+\infty$.
Da $\lim\limits_{x\to0}f_2'=\infty$ gilt, ist die $y$–Achse eine Asymptote von $f_2'$. Da der Graph von $k'$ durch Spiegelung an der $x$–Achse entsteht, hat die Funktion $k'$ ebenfalls die $y$–Achse als Asymptote. Damit nähern sich beide Funktionen der Asymptote langsam an und haben somit keinen Knick im Koordinatenursprung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App