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Anageo 2.1

Aufgaben
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Ein Künstler bereitet für eine Ausstellung im Freien eine Installation vor. Dafür hat er fünf verschieden große, dreieckige Segeltücher hergestellt.
In den Punkten $A(5\mid 3 \mid 1)$ und $B( -3\mid 7 \mid 9)$ des Geländes sollen jeweils zwei Ecken aller fünf Segeltücher befestigt werden. Die jeweils dritte Ecke der fünf Segeltücher soll in verschiedenen Punkten der Schar $ C_k( 2+ k\mid -3 + 4k\mid 10 - k )$ mit $k \in \mathbb{R}$ so angebracht werden, dass die Tücher straff gespannt sind und fünf ebene Dreiecke bilden.
Um die dritte Ecke der Tücher jeweils im Punkt $C_k$ zu befestigen, wird ein Seil gespannt. Dieses Seil wird durch die Gerade $g$ beschrieben (s.Abb.).
Es gilt: $1\,\text{LE} = 1\,\text{m}$.
Anageo 2.1 Abb.: Ansicht der Installation von oben (nicht maßstabsgetreu)
Anageo 2.1 Abb.: Ansicht der Installation von oben (nicht maßstabsgetreu)
a) Geben Sie eine Gleichung für $g$, auf der alle Punkte $C_k$ liegen, an.
Zeigen Sie, dass die Gerade durch $A$ und $B$ und die Gerade $g$ windschief sind.
(6P)
b) Ein Segeltuch wird in $A$, $B$ und im Punkt $C_0$ befestigt.
Zeigen Sie, dass dieses Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
Bestimmen Sie die Größe der Basiswinkel.
Berechnen Sie die Fläche des Segeltuchs in $\text{m}^2$.
(10P)
c) In der Ebene, zu der $A$ und $B$ symmetrisch liegen, sollen Stahlschnüre zwischen den Segeltüchern gespannt werden. An den Stahlschnüren sind farbige Strahler befestigt, um die Segeltücher abends anzuleuchten.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene $E$, in der die Stahlschnüre liegen, in Koordinatenform an.
Zeigen Sie, dass alle Stahlschnüre am Seil aus Aufgabe a) befestigt werden können.
(6P)
d) Begründen Sie, dass alle fünf Segeltücher die Form eines gleichschenkligen Dreiecks haben.
(3P)
e) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $C_k$, an dem das Segeltuch mit der kleinstmöglichen Fläche befestigt werden müsste.
(5P)

(30P)
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Gib eine Gleichung für $\boldsymbol{g}$ an
Auf der Geraden $g$ liegen alle Punkte $C_k$. Die Punkte der Schar $C_k$ haben die Koordinaten $C_k(2+k\mid-3+4k\mid10-k)$.
Die $x$–, $y$– und $z$–Koordinate der Schar $C_k$ kannst du in zwei Teile aufteilen: In einen Term ohne und einen Term mit dem Parameter $k$. Die Terme ohne $k$ kannst du als Komponenten des Stützvektors verwenden und den Term mit $k$ als Komponenten des Richtungsvektors der Geraden $g$.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass die Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{AB}$ windschief sind
Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Kollinear bedeutet, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Eine Gleichung der Geraden $g$ hast du bereits gegeben.
Gehe wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $AB$ auf
  2. Prüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind
  3. Prüfe, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben
b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass das Segeltuch ein gleichschenkliges Dreieck ist
Damit das Segeltuch ein gleichschenkliges Dreieck $ABC_0$ ist, muss es zwei gleich lange Seiten haben. Die Länge einer Seite entspricht jeweils dem Abstand zwischen den Eckpunkten.
Den Abstand $d$ zweier Punkte $P(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und $Q(q_1\mid q_2\mid q_3)$ berechnest du mit folgender Formel:
$d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$
Die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ sind dir bekannt. Um die Koordinaten von dem Punkt $C_0$ zu erhalten setzt du in die Koordinaten von $C_k$ für $k$ den Wert $0$ ein.
Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme die Koordinaten von $C_0$
  2. Berechne die Seitenlängen
$\blacktriangleright$ Bestimme die Größe des Basiswinkels $\boldsymbol{\alpha}$
Der Basiswinkel $\alpha$ ist der Winkel, der am Punkt $A$ liegt.
Einen Winkel zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$
Bei dem Vektor $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ handelt es sich in diesem Fall um die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC_0}$.
Diese Vektoren und ihre Beträge sind dir bekannt. Setze die Werte in die Formel zur Berechnung des Winkels ein.
$\blacktriangleright$ Berechne die Fläche $\boldsymbol{A}$ des Segeltuchs
Die Fläche $A$ eines Dreiecks berechnest du so:
$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$
Dabei ist $a$ eine Seitenlänge des Dreiecks und $h_a$ die zugehörige Höhe.
Dir sind alle Seitenlängen des Dreiecks und der Winkel $\alpha$ bekannt. Nun benötigst du noch die Höhe $h_a$, um den Flächeninhalt des Segeltuchs zu berechnen. Die Höhe $h_a$ teilt das Dreieck $ABC_0$ in zwei gleichgroße rechtwinklige Dreiecke, da du zuvor gezeigt hast, dass es sich hierbei um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen kannst du die Höhe $h_a$ berechnen.
Trigonometrische Beziehungen:
$\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Anageo 2.1
Anageo 2.1
Gehe wie folgt vor:
  1. Berechne die Höhe $h_a$
  2. Berechne den Flächeninhalt $A$
c) $\blacktriangleright$ Gib eine Gleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ in Koordinatenform an
Damit du eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform aufstellen kannst, benötigst du zunächst die Normalenform.
Normalenform:
$\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)\cdot\overrightarrow{n}=0$
Dabei ist der Vektor $\overrightarrow{p}$ ein Ortsvektor eines Punktes $P$, der in der Ebene liegt. Der Vektor $\overrightarrow{n}$ entspricht dem Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow{x}$ einer Variablen.
Durch Ausmultiplizieren erhältst du die Koordinatenform.
Koordinatenform:
$ax+by+cz=d$
Die Ebene $E$ liegt symmetrisch zu den Punkten $A$ und $B$. Das bedeutet, dass der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ in der Ebene liegen muss, damit die Punkte $A$ und $B$ gleich weit von der Ebene entfernt liegen. Außerdem muss der Vektor $\overrightarrow{AB}$ orthogonal zu der Ebenen $E$ verlaufen, damit die Punkte $A$ und $B$ gleichweit von der Ebene $E$ entfernt sind. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ entspricht demnach dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebenen $E$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes $M$
  2. Stelle eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform auf
  3. Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um
$\blacktriangleright$ Zeige, dass die Gerade $\boldsymbol{g}$ in der Ebene $\boldsymbol{E}$ liegt
Alle Stahlschnüre liegen in der Ebene $E$. Damit diese alle an dem Seil aus Teilaufgabe a) befestigt sind, muss die Gerade $g$ in der Ebenen $E$ liegen. Um dies zu prüfen, setzt du die einzelnen Einträge der Geraden $g$ in die Koordinatenform der Ebene $E$.
d) $\blacktriangleright$ Begründe, dass alle Segeltücher gleichschenklige Dreiecke sind
Um zu begründen, dass alle Segeltücher die Form eines gleichschenkligen Dreiecks haben, gibt es zwei Möglichkeiten.
Du kannst dies mit Hilfe der Symmetrie begründen (Lösungsweg A) oder rechnerisch (Lösungsweg B).
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A
Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass die Ebene $E$ symmetrisch zu den Punkten $A$ und $B$ verläuft. Die Gerade $g$, auf der alle Eckpunkte $C_k$ liegen, liegt in der Ebene $E$. Damit ist sie ebenfalls symmetrisch zu den zwei weiteren Eckpunkten $A$ und $B$.
Damit haben alle Segeltücher die Form eines gleichschenkligen Dreiecks.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Damit die Dreiecke $ABC_k$ gleichschenklig sind, müssen die Strecken $\overline{AC_k}$ und $\overline{BC_k}$ gleich lang sein. Berechne nun den Abstand zwischen den Punkten $A$, $C_k$ und $B$, $C_k$ in Abhängigkeit von $k$.
e) $\blacktriangleright$ Bestimme die Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{C_k}$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $C_k$ berechnen, an dem das kleinstmögliche Segeltuch befestigt ist.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich über:
$A=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h_a$
Die Strecke $\overline{AB}$ bleibt bei jedem Dreieck gleich, da diese Punkte fest sind. Da jedoch der Punkt $C_k$ für unterschiedliche $k$ variabel ist, verändert sich die Höhe $h_a$.
Damit die Fläche des Segeltuchs minimal wird, muss die Höhe $h_a$ minimal sein. Diese Höhe entspricht dem Abstand der Punkte $C_k$ zu dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$, da du zuvor gezeigt hast, dass alle Dreiecke $ABC_k$ gleichschenklig sind. Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass der Mittelpunkt $M$ die Koordinaten $M(1\mid5\mid5)$ hat.
Berechne nun den Abstand der Punkte $M$ und $C_k$ in Abhängigkeit von $k$. Diesen Abstand kannst du als Funktion $h$ ansehen, die in $k$ variabel ist. Anschließend kannst du die Funktion $h$ auf Extremstellen untersuchen. An der Stelle, an der die Funktion $h$ ein Minimum hat, wird der Abstand zwischen $M$ und $C_k$ für diesen Wert von $k$ und damit der Flächeninhalt des Segeltuchs minimal.
Für einen Minimalstelle $x_E$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)>0}$
Du kannst nun folgendermaßen vorgehen:
  1. Bestimme den Abstand der Punkte $M$ und $C_k$ und fasse diesen als Funktion h auf
  2. Bilde die erste und zweite Ableitung dieser Funktion $h$
  3. Prüfe die notwendige sowie die hinreichende Bedingung, und ermittle so das $k$, für das die Funktion h minimal wird
  4. Berechne die Koordinaten des Punktes $C_k$ mit dem minimalen Abstand
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a) $\blacktriangleright$ Gib eine Gleichung für $\boldsymbol{g}$ an
Auf der Geraden $g$ liegen alle Punkte $C_k$. Die Punkte der Schar $C_k$ haben die Koordinaten $C_k(2+k\mid-3+4k\mid10-k)$.
Die $x$–, $y$– und $z$–Koordinate der Schar $C_k$ kannst du in zwei Teile aufteilen: In einen Term ohne und einen Term mit dem Parameter $k$. Die Terme ohne $k$ kannst du als Komponenten des Stützvektors verwenden und den Term mit $k$ als Komponenten des Richtungsvektors der Geraden $g$.
Du erhältst demnach als Gleichung der Geraden $g$ in Parameterform:
$\begin{array}{rcll} g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}2+k\\-3+4k\\10-k\end{pmatrix}\\ g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}2\\-3\\10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\4k\\-k\end{pmatrix}\\ g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}2\\-3\\10\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Die Gerade $g$ hat folgende Gleichung:
$g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\10\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix} \qquad \scriptsize{ k\in\mathbb{R}}$
$\blacktriangleright$ Zeige, dass die Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{AB}$ windschief sind
Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Kollinear bedeutet, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Eine Gleichung der Geraden $g$ hast du bereits gegeben.
Gehe wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $AB$ auf
  2. Prüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind
  3. Prüfe, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben
1. Schritt: Stelle eine Gleichung der Geraden $\boldsymbol{AB}$ auf
Du hast die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ gegeben. Du kannst als Stützvektor den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ wählen und als Richtungsvektor den Vektor $\overrightarrow{AB}$.
$\begin{array}{rcll} AB:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\ AB:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}-3\\7\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}\right)\\ AB:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-8\\4\\8\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Im letzten Schritt darfst du den Richtungsvektor der Geraden $g$ vereinfachen, da nur dessen Richtung und nicht dessen Länge relevant ist. Du kannst den Richtungsvektor folgendermaßen vereinfachen:
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}-8\\4\\8\end{pmatrix}&=&4\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\\ &\mathrel{\widehat{=}}&\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Du erhältst also folgende Gleichung für die Gerade $AB$:
$ AB:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} \qquad \scriptsize{ r\in\mathbb{R}}$
2. Schritt: Prüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind
Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}$ und die Gerade $AB$ den Richtungsvektor $\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$.
Du überprüfst nun, ob du einen Parameter $b$ findest, sodass folgende Gleichung erfüllt werden kann:
$\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}$$=b\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$
Wird die Gleichung erfüllt, so sind die beiden Vektoren kollinear.
Du erhältst ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrcrl} Ⅰ&1&=&-2b\\ Ⅱ&4&=&1b\\ Ⅲ&-1&=&2b\\ \end{array}$
Die erste und dritte Gleichung werden für $b=-\frac{1}{2}$ erfüllt. Setzt du jedoch $b=-\frac{1}{2}$ in Gleichung Ⅱ ein, so erhältst du:
$\begin{array}{rcll} 4&=&1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\\ 4&=&-\frac{1}{2} \end{array}$
Diese Gleichung stimmt nicht, also gibt es keinen Parameter $b$, der alle Gleichungen löst. Damit haben die beiden Vektoren kein gemeinsamen Vielfaches und sind somit nicht kollinear.
3. Schritt: Prüfe, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben
Um zu prüfen, ob die Geraden $g$ und $AB$ einen Schnittpunkt haben, stellst du ein lineares Gleichungssystem auf, bei welchem du die Geradengleichungen gleichsetzt. Löse anschließend nach den beiden vorhandenen Parametern $k$ und $r$ auf.
Erhältst du Werte für die Parameter, sodass die Gleichungen gelöst werden können, so liegt ein Schnittpunkt vor.
Erhältst du aber eine falsche Aussage, liegt kein Schnittpunkt vor. In diesem Fall sind die Geraden dann zueinander windschief.
$\begin{array}{rcll} g&=&AB\\ \begin{pmatrix}2\\-3\\10\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&2&+&k&=&5&-&2r\\ Ⅱ&-3&+&4k&=&3&+&r\\ Ⅲ&10&-&k&=&1&+&2r&\mid\; Ⅰ+Ⅲ\\ \hline Ⅰ&2&+&k&=&5&-&2r\\ Ⅱ&-3&+&4k&=&3&+&r\\ Ⅲa&2+k&+&10-k&=&5-2r&+&1+2r\\ &&&12&=&6\\ \end{array}$
Dies ergibt einen Widerspruch. Das lineare Gleichungssystem ist somit nicht lösbar.
Die Geraden $g$ und $AB$ haben keinen Schnittpunkt und sind nicht kollinear. Die Geraden stehen windschief zueinander.
b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass das Segeltuch ein gleichschenkliges Dreieck ist
Damit das Segeltuch ein gleichschenkliges Dreieck $ABC_0$ ist, muss es zwei gleich lange Seiten haben. Die Länge einer Seite entspricht jeweils dem Abstand zwischen den Eckpunkten.
Den Abstand $d$ zweier Punkte $P(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und $Q(q_1\mid q_2\mid q_3)$ berechnest du mit folgender Formel:
$d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$
Die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ sind dir bekannt. Um die Koordinaten von dem Punkt $C_0$ zu erhalten setzt du in die Koordinaten von $C_k$ für $k$ den Wert $0$ ein.
Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme die Koordinaten von $C_0$
  2. Berechne die Seitenlängen
1. Schritt: Bestimme die Koordinaten von $\boldsymbol{C_0}$
Der Punkt $C_k$ hat die Koordinaten $C_k(2+k\mid-3+4k\mid10-k)$. Der Punkt $C_0$ hat damit folgende Koordinaten:
$C_0(2\mid-3\mid10)$
2. Schritt: Berechne die Seitenlängen
Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$:
$\begin{array}{rcll} d_{AB}&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\\ &=&\sqrt{(-3-5)^2+(7-3)^2+(9-1)^2}\\ &=&\sqrt{(-8)^2+4^2+8^2}\\ &=&\sqrt{64+16+64}\\ &=&\sqrt{144}\\ &=&12\\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AB}$ ist $12$ LE lang.
Strecke $\boldsymbol{\overline{BC_0}}$:
$\begin{array}{rcll} d_{BC_0}&=&\sqrt{(c_{0_1}-b_1)^2+(c_{0_2}-b_2)^2+(c_{0_3}-b_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+3)^2+(-3-7)^2+(10-9)^2}\\ &=&\sqrt{5^2+(-10)^2+1^2}\\ &=&\sqrt{25+100+1}\\ &=&\sqrt{126}\\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{BC_0}$ ist $\sqrt{126}$ LE lang.
Strecke $\boldsymbol{\overline{AC_0}}$:
$\begin{array}{rcll} d_{AC_0}&=&\sqrt{(c_{0_1}-a_1)^2+(c_{0_2}-a_2)^2+(c_{0_3}-a_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2-5)^2+(-3-3)^2+(10-1)^2}\\ &=&\sqrt{(-3)^2+(-6)^2+9^2}\\ &=&\sqrt{9+36+81}\\ &=&\sqrt{126}\\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC_0}$ ist $\sqrt{126}$ LE lang.
Damit sind die Strecken $\overline{AC_0}$ und $\overline{BC_0}$ gleich lang. Das Segeltuch hat zwei gleich lange Seiten. Es hat damit die Form eines gleichschenkligen Dreiecks.
$\blacktriangleright$ Bestimme die Größe des Basiswinkels $\boldsymbol{\alpha}$
Der Basiswinkel $\alpha$ ist der Winkel, der am Punkt $A$ liegt.
Einen Winkel zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$
Bei dem Vektor $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ handelt es sich in diesem Fall um die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC_0}$.
Diese Vektoren und ihre Beträge sind dir bekannt. Setze die Werte in die Formel zur Berechnung des Winkels ein.
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha&=&\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC_0}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC_0}\right|}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{\begin{pmatrix}-8\\4\\8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\-6\\9\end{pmatrix}}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{-8\cdot(-3)+4\cdot(-6)+8\cdot9}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{24-24+72}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{72}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&0,535&\scriptsize{ \mid\; \cos^{-1}}\\ \alpha&=&57,7^{\circ}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha&=&\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC_0}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC_0}\right|}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{\begin{pmatrix}-8\\4\\8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\-6\\9\end{pmatrix}}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{-8\cdot(-3)+4\cdot(-6)+8\cdot9}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{24-24+72}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&\dfrac{72}{12\cdot\sqrt{126}}\\ \cos\alpha&=&0,535&\\ \alpha&=&57,7^{\circ}\\ \end{array}$
Der Basiswinkel ist etwa $57,7^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$ Berechne die Fläche $\boldsymbol{A}$ des Segeltuchs
Die Fläche $A$ eines Dreiecks berechnest du so:
$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$
Dabei ist $a$ eine Seitenlänge des Dreiecks und $h_a$ die zugehörige Höhe.
Dir sind alle Seitenlängen des Dreiecks und der Winkel $\alpha$ bekannt. Nun benötigst du noch die Höhe $h_a$, um den Flächeninhalt des Segeltuchs zu berechnen. Die Höhe $h_a$ teilt das Dreieck $ABC_0$ in zwei gleichgroße rechtwinklige Dreiecke, da du zuvor gezeigt hast, dass es sich hierbei um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen kannst du die Höhe $h_a$ berechnen.
Trigonometrische Beziehungen:
$\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Anageo 2.1
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Gehe wie folgt vor:
  1. Berechne die Höhe $h_a$
  2. Berechne den Flächeninhalt $A$
1. Schritt: Berechne $\boldsymbol{h_a}$
Du hast den Winel $\alpha$ gegeben und die Hypothenuse $\overline{AC_0}$. Die gesuchte Höhe $h_a$ entspricht der Gegenkathete. Es bietet sich demnach an die erste trigononetrische Beziehung zu verwenden:
$\begin{array}{rcll} \sin\alpha&=&\dfrac{h_a}{\overline{AC_0}}&\scriptsize{ \mid\; \cdot\overline{AC_0}}\\ \sin\alpha\cdot\overline{AC_0}&=&h_a\\ h_a&=&\sin57,7^{\circ}\cdot\sqrt{126}\\ h_a&=&9,49\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \sin\alpha&=&\dfrac{h_a}{\overline{AC_0}}&\\ \sin\alpha\cdot\overline{AC_0}&=&h_a\\ h_a&=&\sin57,7^{\circ}\cdot\sqrt{126}\\ h_a&=&9,49\\ \end{array}$
Die Höhe $h_a$ ist $9,49$ LE hoch.
2. Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$
Setze nun die Werte in die Formel zur Flächenberechnung ein.
$\begin{array}{rcll} A&=&\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h_a\\ A&=&\frac{1}{2}\cdot12\cdot9,49\\ A&=&56,94\\ \end{array}$
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
Das Segeltuch hat eine Fläche von etwa $57\;\text{m}^2$.
c) $\blacktriangleright$ Gib eine Gleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ in Koordinatenform an
Damit du eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform aufstellen kannst, benötigst du zunächst die Normalenform.
Normalenform:
$\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)\cdot\overrightarrow{n}=0$
Dabei ist der Vektor $\overrightarrow{p}$ ein Ortsvektor eines Punktes $P$, der in der Ebene liegt. Der Vektor $\overrightarrow{n}$ entspricht dem Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow{x}$ einer Variablen.
Durch Ausmultiplizieren erhältst du die Koordinatenform.
Koordinatenform:
$ax+by+cz=d$
Die Ebene $E$ liegt symmetrisch zu den Punkten $A$ und $B$. Das bedeutet, dass der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ in der Ebene liegen muss, damit die Punkte $A$ und $B$ gleich weit von der Ebene entfernt liegen. Außerdem muss der Vektor $\overrightarrow{AB}$ orthogonal zu der Ebenen $E$ verlaufen, damit die Punkte $A$ und $B$ gleichweit von der Ebene $E$ entfernt sind. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ entspricht demnach dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebenen $E$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes $M$
  2. Stelle eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform auf
  3. Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um
1. Schritt: Berechne die Koordinaten von dem Punkt $\boldsymbol{M}$
Den Mittelpunkt zwischen den Punkten $A$ und $B$ berechnest du mit folgender Formel:
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$
Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ in die Formel ein.
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{OM}&=&\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\\ &=&\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\7\\9\end{pmatrix}\right)\\ &=&\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\10\\10\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Mittelpunkt $M$ hat die Koordinaten $M(1\mid5\mid5)$.
2. Schritt: Normalenform
Nun kennst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene $E$. Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ entspricht dem Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$.
Setze $\overrightarrow{n}$ und die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ für $\overrightarrow{p}$ als einen Punkt in der Ebene in die Normalenform ein:
$\begin{array}{rcll} \left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}\right)\cdot\overrightarrow{n}&=&0\\ \left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}&=&0\\ \end{array}$
3. Schritt: Umwandlung in die Koordinatenform
Durch Ausmultiplizieren der Normalenform erhältst du eine Koordinatenform der Ebene $E$.
$\begin{array}{rcll} \left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}&=&0\\ -2x+y+2z+2-5-10&=&0\\ -2x+y+2z-13&=&0&\scriptsize{ \mid\; +13}\\ -2x+y+2z&=&13\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}&=&0\\ -2x+y+2z+2-5-10&=&0\\ -2x+y+2z-13&=&0&\\ -2x+y+2z&=&13\\ \end{array}$
Eine Gleichung in Koordinatenform der Ebene $E$ lautet:
$E:-2x+y+2z=13$
$\blacktriangleright$ Zeige, dass die Gerade $\boldsymbol{g}$ in der Ebene $\boldsymbol{E}$ liegt
Alle Stahlschnüre liegen in der Ebene $E$. Damit diese alle an dem Seil aus Teilaufgabe a) befestigt sind, muss die Gerade $g$ in der Ebenen $E$ liegen. Um dies zu prüfen, setzt du die einzelnen Einträge der Geraden $g$ in die Koordinatenform der Ebene $E$.
$\begin{array}{rcll} E:-2x+y+2z&=&13\\ -2\cdot(2+k)+(-3+4k)+2\cdot(10-k)&=&13\\ -4-2k-3+4k+20-2k&=&13\\ 13&=&13\\ \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt.
Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$. Alle Stahlschnüre sind damit an dem Seil aus Teilaufgabe a) befestigt.
d) $\blacktriangleright$ Begründe, dass alle Segeltücher gleichschenklige Dreiecke sind
Um zu begründen, dass alle Segeltücher die Form eines gleichschenkligen Dreiecks haben, gibt es zwei Möglichkeiten.
Du kannst dies mit Hilfe der Symmetrie begründen (Lösungsweg A) oder rechnerisch (Lösungsweg B).
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A
Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass die Ebene $E$ symmetrisch zu den Punkten $A$ und $B$ verläuft. Die Gerade $g$, auf der alle Eckpunkte $C_k$ liegen, liegt in der Ebene $E$. Damit ist sie ebenfalls symmetrisch zu den zwei weiteren Eckpunkten $A$ und $B$. Alle Punkte auf der Geraden $g$ haben demnach den gleichen Abstand von den Punkten $A$ und $B$. Die Dreiecke $ABC_k$ sind alle gleichschenklig.
Damit haben alle Segeltücher die Form eines gleichschenkligen Dreiecks.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Damit die Dreiecke $ABC_k$ gleichschenklig sind, müssen die Strecken $\overline{AC_k}$ und $\overline{BC_k}$ gleich lang sein. Berechne nun den Abstand zwischen den Punkten $A$, $C_k$ und $B$, $C_k$ in Abhängigkeit von $k$. Sind die Abstände gleich, so sind alle Dreiecke $ABC_k$ gleichschenklig.
Strecke $\boldsymbol{\overline{AC_k}}$:
$\begin{array}{rcll} d_{A,C_k}&=&\sqrt{(c_{k_1}-a_1)^2+(c_{k_2}-a_2)^2+(c_{k_3}-a_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+k-5)^2+(-3+4k-3)^2+(10-k-1)^2}\\ &=&\sqrt{(-3+k)^2+(-6+4k)^2+(9-k)^2}&\scriptsize{ \text{Beachte die binomischen Formel}} \\ &=&\sqrt{9-6k+k^2+36-48k+16k^2+81-18k+k^2}\\ &=&\sqrt{126-72k+18k^2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} d_{A,C_k}&=&\sqrt{(c_{k_1}-a_1)^2+(c_{k_2}-a_2)^2+(c_{k_3}-a_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+k-5)^2+(-3+4k-3)^2+(10-k-1)^2}\\ &=&\sqrt{(-3+k)^2+(-6+4k)^2+(9-k)^2}&\\ &=&\sqrt{9-6k+k^2+36-48k+16k^2+81-18k+k^2}\\ &=&\sqrt{126-72k+18k^2}\\ \end{array}$
Die Punkte $A$ und $C_k$ haben den Abstand $\sqrt{126-72k+18k^2}$.
Strecke $\boldsymbol{\overline{BC_k}}$:
$\begin{array}{rcll} d_{A,C_k}&=&\sqrt{(c_{k_1}-b_1)^2+(c_{k_2}-b_2)^2+(c_{k_3}-b_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+k+3)^2+(-3+4k-7)^2+(10-k-9)^2}\\ &=&\sqrt{(5+k)^2+(-10+4k)^2+(1-k)^2}&\scriptsize{ \text{Beachte die binomischen Formel}} \\ &=&\sqrt{25+10k+k^2+100-80k+16k^2+1-2k+k^2}\\ &=&\sqrt{126-72k+18k^2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} d_{A,C_k}&=&\sqrt{(c_{k_1}-b_1)^2+(c_{k_2}-b_2)^2+(c_{k_3}-b_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+k+3)^2+(-3+4k-7)^2+(10-k-9)^2}\\ &=&\sqrt{(5+k)^2+(-10+4k)^2+(1-k)^2}&\\ &=&\sqrt{25+10k+k^2+100-80k+16k^2+1-2k+k^2}\\ &=&\sqrt{126-72k+18k^2}\\ \end{array}$
Die Punkte $B$ und $C_k$ haben den Abstand $\sqrt{126-72k+18k^2}$.
Die Strecken $\overline{AC_k}$ und $\overline{BC_k}$ sind gleich lang. Damit sind die Dreiecke $ABC_k$ bzw. die Segeltücher gleichschenklig.
e) $\blacktriangleright$ Bestimme die Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{C_k}$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $C_k$ berechnen, an dem das kleinstmögliche Segeltuch befestigt ist.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich über:
$A=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h_a$
Die Strecke $\overline{AB}$ bleibt bei jedem Dreieck gleich, da diese Punkte fest sind. Da jedoch der Punkt $C_k$ für unterschiedliche $k$ variabel ist, verändert sich die Höhe $h_a$.
Damit die Fläche des Segeltuchs minimal wird, muss die Höhe $h_a$ minimal sein. Diese Höhe entspricht dem Abstand der Punkte $C_k$ zu dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$, da du zuvor gezeigt hast, dass alle Dreiecke $ABC_k$ gleichschenklig sind. Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass der Mittelpunkt $M$ die Koordinaten $M(1\mid5\mid5)$ hat.
Berechne nun den Abstand der Punkte $M$ und $C_k$ in Abhängigkeit von $k$. Diesen Abstand kannst du als Funktion $h$ ansehen, die in $k$ variabel ist. Anschließend kannst du die Funktion $h$ auf Extremstellen untersuchen. An der Stelle, an der die Funktion $h$ ein Minimum hat, wird der Abstand zwischen $M$ und $C_k$ für diesen Wert von $k$ und damit der Flächeninhalt des Segeltuchs minimal.
Für einen Minimalstelle $x_E$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)>0}$
Du kannst nun folgendermaßen vorgehen:
  1. Bestimme den Abstand der Punkte $M$ und $C_k$ und fasse diesen als Funktion h auf
  2. Bilde die erste und zweite Ableitung dieser Funktion $h$
  3. Prüfe die notwendige sowie die hinreichende Bedingung, und ermittle so das $k$, für das die Funktion h minimal wird
  4. Berechne die Koordinaten des Punktes $C_k$ mit dem minimalen Abstand
1. Schritt: Abstand der Punkte $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{C_k}$
Berechne den Abstand zwischen $M$ und $C_k$ wie folgt:
$\begin{array}{rcll} d_{M,C_k}&=&\sqrt{(c_{k_1}-m_1)^2+(c_{k_2}-m_2)^2+(c_{k_3}-m_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+k-1)^2+(-3+4k-5)^2+(10-k-5)^2}\\ &=&\sqrt{(1+k)^2+(-8+4k)^2+(5-k)^2}&\scriptsize{ \text{Beachte die binomische Formel}}\\ &=&\sqrt{1+2k+k^2+64-64k+16k^2+25-10k+k^2}\\ &=&\sqrt{90-72k+18k^2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} d_{M,C_k}&=&\sqrt{(c_{k_1}-m_1)^2+(c_{k_2}-m_2)^2+(c_{k_3}-m_3)^2}\\ &=&\sqrt{(2+k-1)^2+(-3+4k-5)^2+(10-k-5)^2}\\ &=&\sqrt{(1+k)^2+(-8+4k)^2+(5-k)^2}&\\ &=&\sqrt{1+2k+k^2+64-64k+16k^2+25-10k+k^2}\\ &=&\sqrt{90-72k+18k^2}\\ \end{array}$
Diesen Abstand interpretieren wir jetzt als eine Funktion $h$.
Der Term der Funktion $h$ lautet demnach:
$h(k)=\sqrt{90-72k+18k^2}$
Damit du von dieser Funktion leichter die Minimalstellen bestimmen kannst, verwendest du im weiteren Verlauf das Quadrat der Funktion, um die Wurzelfunktion zu umgehen.
Die Funktion $h^2$ lautet:
$h^2(k)=18k^2-72k+90$
2. Schritt: Bilde die erste und zweite Ableitung
Um die erste und zweite Ableitung der Funktion $h^2$ zu bilden, benötigst du die Faktorregel und die Summenregel.
Erste Ableitung $\boldsymbol{h^{2'}}$:
$\begin{array}{rcll} h^2(k)&=&18k^2-72k+90\\ h^{2'}(k)&=&18\cdot2\cdot k-72\\ h^{2'}(k)&=&36k-72\\ \end{array}$
Zweite Ableitung $\boldsymbol{h^{2''}}$:
$\begin{array}{rcll} h^{2'}(k=&36k-72\\ h^{2''}(k)&=&36\\ \end{array}$
3. Schritt: Prüfe die notwendige und hinreichende Bedingung
Notwendige Bedingung:
Setze nun die erste Ableitung $h^{2'}$ gleich Null und löse nach $k$ auf.
$\begin{array}{rcll} h^{2'}(k)&=&0 \\ 36k-72&=&0&\scriptsize{ \mid\; +72}\\ 36k&=&72&\scriptsize{ \mid\; :36}\\ k&=&2\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} h^{2'}(k)&=&0 \\ 36k-72&=&0&\\ 36k&=&72&\\ k&=&2\\ \end{array}$
Die Funktion $h^2$ hat an der Stelle $k=2$ vermutlich eine Extremstelle. Prüfe nun die hinreichende Bedingung, um dies zu bestätigen.
Hinreichende Bedingung:
Die zweite Ableitung $h^{2''}$ hat für jeden Wert von $k$ den selben Wert $36$. Dieser Wert ist größer Null. Die Funktion $h^2$ hat also an der Stelle $k=2$ ein Minimum.
Dies gilt auch für die Funktion $h$.
4. Schritt: Berechne die Koordinaten
Du weißt nun, dass für $k=2$ der Abstand zwischen den Punkten $M$ und $C_k$ minimal wird. Das heißt, dass das Segeltuch mit der kleinstmöglichen Fläche an dem Punkt $C_2$ befestigt werden muss.
Um die Koordinaten des Punktes $C_2$ zu berechnen, setzt du $k=2$ in die Koordinaten des Punktes $C_k$ ein.
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{OC_k}&=&\begin{pmatrix}2+k\\-3+4k\\10-k\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{OC_2}&=&\begin{pmatrix}2+2\\-3+4\cdot2\\10-2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{OC_2}&=&\begin{pmatrix}4\\5\\8\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $C_2$, an dem das Segeltuch mit der kleinstmöglichen Fläche befestigt werden muss, hat die Koordinaten $C_2(4\mid5\mid8)$.
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