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Anageo 2.2

Aufgaben
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Anageo 2.2
Abb. 1: Skipiste.
Anageo 2.2
Abb. 1: Skipiste.
Im Bild ist ein Ausschnitt aus einem Skigebiet zu sehen. Vereinfacht werden die Pisten und Wege in den betrachteten Abschnitten als geradlinig verlaufend sowie Objekte als Punkte angenommen. Es gilt $1\,\text{LE} = 100\,\text{m}$. Zwei Skipisten werden durch Teile der Geraden $g$ und $h$ modelliert.
Die Gerade $g$ hat die Gleichung
$\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\11\\15\end{pmatrix}+r \begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}$; $r \in \mathbb{R}$.
Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $P_1(-2\mid 8\mid 13,5)$ und $P_2(-4\mid 12\mid 15,5)$. Zwischen der Bezeichnung von Gerade und entsprechender Piste wird nicht unterschieden. Im Punkt $K(0 \mid 7 \mid 15,75)$ ist eine Kamera installiert, die Bilder vom Skigebiet sendet.
a) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade $h$ an. Beide Geraden treffen in einem Punkt $Q$ aufeinander. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes $Q$.
(5P)
b) Ein Skifahrer startet im Punkt $P_2$ und fährt die Piste $h$ hinunter. Nach 20 Sekunden passiert er den Punkt $P_3(-3,5 \mid 11 \mid 15)$. Zeigen Sie, dass $P_3$ auf der Piste $h$ liegt. Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der er in den letzten 20 Sekunden unterwegs war. Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Piste $h$ gegenüber einer horizontalen Ebene.
(8P)
c) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$, in der die Pisten $g$ und $h$ liegen.
[Zur Kontrolle: $E: -y + 2z = 19$]
Weisen Sie nach, dass die geradlinige Bahn $b: \vec{x}= \left(\begin{array}{ccc} -3,75\\ 12\\ 15,75\end{array}\right) + m\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$; $m \in \mathbb{R}$
eines Skilifts parallel zu $E$ verläuft.
Berechnen Sie den Abstand des Skilifts zur Ebene $E$.
(9P)
d) Die Kamera im Punkt $K$ hat bei einem Schwenk über das Skigebiet zu zwei verschiedenen Zeitpunkten die Punkte $P_1$ und $P_2$ erfasst.
Berechnen Sie die Größe des Winkels $P_1KP_2$.
(4P)
e) Zur Beschneiung der Pisten $g$ und $h$ soll in einem Punkt $S$ eine Schneekanone aufgestellt werden. $S$ soll neben den Pisten in der Ebene $E$ aus Teilaufgabe c) liegen und zu beiden Pisten den gleichen Abstand haben.
Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Ermittlung der Koordinaten eines möglichen Punktes $S$.
(4P)

(30P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:BlickHirschenkogel.JPG – WA-Wien, CC BY-SA.
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Zwei Skipisten werden vereinfacht durch Teilstrecken zweier Geraden $g$ und $h$ beschrieben.
Die Gleichung von $g$ ist gegeben: $g:\; \vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\11\\15\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}$
Du sollst nun die Gleichung von $h$ angeben. Diese verläuft durch die Punkte $P_1(-2\mid8\mid13,5)$ und $P_2(-4\mid12\mid15,5)$.
Verwende die Koordinaten eines Punktes als Stützvektor und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{P_1P_2}$ als Richtungsvektor.
$h:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OP_1}+s\cdot\overrightarrow{P_1P_2}$
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zwischen $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ berechnen
Anschließend sollst du den Schnittpunkt beider Geraden berechnen.
Setze dazu beide Geradengleichungen gleich und stelle dir damit ein LGS auf.
Löse das lineare Gleichungssystem nach den Parametern $r$ und $s$. Erhältst du Werte für diese, so haben die Geraden einen Schnittpunkt, andernfalls nicht.
Um die Koordinate des Schnittpunktes letztendlich zu erhalten, kannst du den ermittelten Wert eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und so die Koordinaten berechnen.
b) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{P_3}$ auf $\boldsymbol{h}$ liegt
Nun fährt ein Skifahrer vom Punkt $P_2(-4\mid12\mid15,5)$ aus, innerhalb von 20 sec, zum Punkt $P_3(-3,5\mid11\mid15)$.
Du sollst zeigen, dass $P_3$ auf $h$ liegt. Führe dazu eine Punktprobe durch, indem du den Ortsvektor von $P_3$ für $\overrightarrow{x}$ in die Geradengleichung zu $h$ einsetzt.
Kannst du einen Parameterwert für $t$ finden, so liegt der Punkt $P_3$ auf der Geraden.
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeit des Skifahrers bestimmen
Anschließend sollst du nun die Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ des Skifahrers innerhalb dieses Zeitabschnitts berechnen.
Die Formel dazu lautet:
$v=\dfrac{\text{zurückgelegter Weg}}{\text{dafür benötigte Zeit}}=\dfrac{s}{t}$
Der zurückgelegte Weg entspricht dem Betrag, also der Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{P_2P_3}$.
$\blacktriangleright$ Neigungswinkel der Skipiste berechnen
Bestimme im letzten Schritt die Größe des Neigungswinkels zwischen der Geraden $h$ und einer horizontalen Ebene, also der $\boldsymbol{x}$–$\boldsymbol{y}$–Ebene.
Die Gleichung der $x$–$y$–Ebene lautet: $E_{xy}:\; z=0$
Denn in der $x$–$y$–Ebene können die Koordinaten $x$ und $y$ alle beliebigen Werte annehmen, nur die $z$ –Koordinate muss immer gleich Null sein.
Die Formel zur Berechnung des Neigungswinkels lautet:
$\sin\alpha=\dfrac{\left|\overrightarrow{rv}\cdot \vec{n}\right|}{\left|\overrightarrow{rv}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}$
  • $\overrightarrow{rv}:$ Richtungsvektor von $h$
  • $\vec{n}:$ Normalenvektor von $E_{xy}$
c) $\blacktriangleright$ Koordinatengleichung ermitteln
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst eine Koordinatengleichung der Ebenen $E$ ermitteln, in der die Geraden $g$ und $h$ liegen.
Die Koordinatengleichung einer Ebenen hat die allgemeine Form:
$E:\quad n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=b$
Der Normalenvektor der Ebene, in der die Geraden $g$ und $h$ liegen, steht senkrecht auf der Ebene. Da er senkrecht auf der Ebene steht, steht er folglich auch senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene enthalten sind. Das heißt $\vec{n}$ steht senkrecht auf den Richtungsvektoren der Geraden $g$ und $h$.
Gehe wie folgt vor:
  • Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ dieser Ebene aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren von $g$ und $h$.
  • Setze einen Punkt in die Koordinatengleichung ein, der in $E$ liegt, um $b$ zu berechnen.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren berechnest du wie folgt:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Parallelität beweisen
Im 2. Schritt sollst du nun beweisen, dass die Bahn $b$ mit der Gleichung $\vec{x}=\begin{pmatrix}-3,75\\12\\15,75\end{pmatrix}+m\cdot\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}$ parallel zur eben aufgestellten Ebenen $E$ verläuft.
Dazu hast du den Normalenvektor von $E$ bestimmt. Dieser verläuft orthogonal zu $E$.
Anageo 2.2
Anageo 2.2
Soll die Bahn $b$ parallel zur Ebene verlaufen, so muss der Normalenvektor der Ebene senkrecht/orthogonal zum Richtungsvektor $\overrightarrow{rv_b}$ von $b$ sein.
Prüfe nun, ob $\vec{n}$ und der Richtungsvektor von $b$ orthogonal zueinander stehen, indem du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnest.
Wenn das Skalarprodukt Null ergibt, dann stehen Richtungsvektor $\overrightarrow{rv_b}$ und Normalenvektor $\vec{n}$ orthogonal zueinander.
Ist das der Fall, so hast du gezeigt, dass die Bahn $b$ parallel zur Ebene $E$ verläuft.
$\blacktriangleright$ Abstand berechnen
Im letzten Schritt sollst du dann den Abstand zwischen der Geraden $b$ und $E$ berechnen.
Zuvor hast du nachgewiesen, dass die Bahn $b$ und die Ebene $E$ parallel zueinander sind.
Damit hat jeder Punkt der Bahn $b$ den gleichen Abstand zur Ebene und wir können den Abstand zwischen der Bahn und der Ebene bestimmen, indem wir den Abstand eines Punktes auf der Geraden zur Ebene ermitteln.
Es handelt es sich somit um eine Abstandsberechnung Punkt–Ebene.
Den Abstand kannst du mit der Hesse'schen Normalenform berechnen:
$d(p;E)=\dfrac{\left|n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z-b\right|}{\left|\vec{n}\right|}$
$n_1, n_2$ und $n_3$ stellen hier jeweils die $x$,$y$ und $z$–Koordinate des Normalenvektors $\vec{n}$ dar.
d) $\blacktriangleright$ Größe des Winkels $\boldsymbol{P_1KP_2}$ berechnen
Eine Kamera ist im Punkt $K(0\mid7\mid15,75)$ installiert.
Bei einem Schwenk über das Skigebiet erfasst sie zu zwei verschiedenen Zeitpunkten die Punkte $P_1$ und $P_2$.
Anageo 2.2
Anageo 2.2
Du sollst den Winkel $\boldsymbol{\beta}$ zwischen den beiden Verbindungsvektoren berechnen.
Die Formel dazu lautet:
$\cos\beta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
e) $\blacktriangleright$ Lösungsweg beschreiben
Nun soll neben den Pisten $g$ und $h$ in einem Punkt $S$ eine Schneekanone aufgestellt werden. Dieser soll zu beiden Pisten den gleichen Abstand haben und in der Ebene aus c) liegen.
Du sollst nun einen Lösungsweg beschreiben, um einen solchen Punkt zu bestimmen. Dabei sollst du den Weg nur beschreiben, eine Rechnung ist hier nicht notwendig.
Da $S$ zu $g$ und $h$ den gleichen Abstand haben soll, muss $S$ irgendwo zwischen beiden Pisten liegen.
Es ist hilfreich, wenn du dir dazu eine Skizze zeichnest:
Anageo 2.2
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a) $\blacktriangleright$ Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Zwei Skipisten werden vereinfacht durch Teilstrecken zweier Geraden $g$ und $h$ beschrieben.
Die Gleichung von $g$ ist gegeben: $g:\; \vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\11\\15\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}$
Du sollst nun die Gleichung von $h$ angeben. Diese verläuft durch die Punkte $P_1(-2\mid8\mid13,5)$ und $P_2(-4\mid12\mid15,5)$.
Verwende die Koordinaten eines Punktes als Stützvektor und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{P_1P_2}$ als Richtungsvektor.
$h:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OP_1}+s\cdot\overrightarrow{P_1P_2}$
Für die Geradengleichung von $h$ folgt also:
$h:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OP_1}+s\cdot \overrightarrow{P_1P_2}$$=\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-4-(-2)\\12-8\\15,5-13,5\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zwischen $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ berechnen
Anschließend sollst du den Schnittpunkt beider Geraden berechnen.
Setze dazu beide Geradengleichungen gleich und stelle dir damit ein LGS auf.
Löse das lineare Gleichungssystem nach den Parametern $r$ und $s$. Erhältst du Werte für diese, so haben die Geraden einen Schnittpunkt, andernfalls nicht.
Um die Koordinate des Schnittpunktes letztendlich zu erhalten, kannst du den ermittelten Wert eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und so die Koordinaten berechnen.
Setze die Gleichungen der Geraden $g$ und $h$ gleich:
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}-2\\11\\15\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}&\scriptsize{\mid\;-\begin{pmatrix}-2\\11\\15\end{pmatrix};\;-s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix} }\\ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}-s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0\\-3\\-1,5\end{pmatrix}& \end{array}$
Liest du nun die Einträge zeilenweise ab, erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&-2r&+&2s&=&0&\\ Ⅱ&-2r&-&4s&=&-3&\; \text{Rechne: }Ⅱ-Ⅰ\\ Ⅲ&-r&-&2s&=&-1,5&\\ \hline Ⅰ&-2r&+&2s&=&0&\\ Ⅱa&&&6s&=&3& \\ &&&s&=&\dfrac{1}{2}& \;\text{Setze s in } Ⅰ\;\text{ein}\\ \hline &-2r&+&2\cdot\dfrac{1}{2}&=&0& \mid\;-1\\ &-2r&&&=&-1& \\ &r&&&=&\dfrac{1}{2}& \\ \end{array}$
Du erhältst $s=\dfrac{1}{2}$ und $r=\dfrac{1}{2}$.
Einsetzen von $\boldsymbol{s}$ in die Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ liefert:
$\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-3\\10\\14,5\end{pmatrix}$
Hier hätte das Einsetzen von $r$ in $g$ die gleiche Lösung geliefert.
Die Koordinaten des Schnittpunktes $Q$ lauten $Q(-3\mid10\mid14,5)$.
b) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{P_3}$ auf $\boldsymbol{h}$ liegt
Nun fährt ein Skifahrer vom Punkt $P_2(-4\mid12\mid15,5)$ aus, innerhalb von 20 sec, zum Punkt $P_3(-3,5\mid11\mid15)$.
Du sollst zeigen, dass $P_3$ auf $h$ liegt. Führe dazu eine Punktprobe durch, indem du den Ortsvektor von $P_3$ für $\overrightarrow{x}$ in die Geradengleichung zu $h$ einsetzt.
Kannst du einen Parameterwert für $t$ finden, so liegt der Punkt $P_3$ auf der Geraden.
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} \begin{pmatrix}-3,5\\11\\15\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}}\\ \begin{pmatrix}-1,5\\3\\1,5\end{pmatrix}&=&s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}& \end{array}$
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} \begin{pmatrix}-3,5\\11\\15\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}-2\\8\\13,5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}-1,5\\3\\1,5\end{pmatrix}&=&s\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}& \end{array}$
Es folgen drei Gleichungen:
$-1,5=-2s\quad\Longleftrightarrow\quad s=\dfrac{3}{4}$
$3=4s\quad\Longleftrightarrow\quad s=\dfrac{3}{4}$
$1,5=2s\quad\Longleftrightarrow\quad s=\dfrac{3}{4}$
Die Punktprobe wird somit erfüllt für $s=\dfrac{3}{4}$. $P_3$ liegt auf $h$.
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeit des Skifahrers bestimmen
Anschließend sollst du nun die Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ des Skifahrers innerhalb dieses Zeitabschnitts berechnen.
Die Formel dazu lautet:
$v=\dfrac{\text{zurückgelegter Weg}}{\text{dafür benötigte Zeit}}=\dfrac{s}{t}$
Der zurückgelegte Weg entspricht dem Betrag, also der Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{P_2P_3}$.
Der Skifahrer legt innerhalb von 20 sec eine Strecke von $s=|\overrightarrow{P_2P_3}|$ zurück:
$\overrightarrow{P_2P_3}=\begin{pmatrix}-3,5-(-4)\\11-12\\15-15,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5\\-1\\-0,5\end{pmatrix}$
$s=\left|\overrightarrow{P_2P_3}\right|=\left|\begin{pmatrix}0,5\\-1\\-0,5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0,5^2+(-1)^2+(-0,5)^2}=\sqrt{1,5}\approx 1,225 $LE
Es gilt:
$1\,\mathrm{LE}\mathrel{\widehat{=}}100\,\mathrm{m}$
Der Skifahrer legt somit eine Strecke von 122,5 m zurück.
$v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{122,5\,\mathrm{m}}{20\,\mathrm{sec}}=6,125\,\frac{m}{sec}$
Der Skifahrer hat in den angegebenen 20 sec eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 6,125 $\frac{m}{sec}$.
$\blacktriangleright$ Neigungswinkel der Skipiste berechnen
Bestimme im letzten Schritt die Größe des Neigungswinkels zwischen der Geraden $h$ und einer horizontalen Ebene, also der $\boldsymbol{x}$–$\boldsymbol{y}$–Ebene.
Die Gleichung der $x$–$y$–Ebene lautet: $E_{xy}:\; z=0$
Denn in der $x$–$y$–Ebene können die Koordinaten $x$ und $y$ alle beliebigen Werte annehmen, nur die $z$ –Koordinate muss immer gleich Null sein.
Die Formel zur Berechnung des Neigungswinkels lautet:
$\sin\alpha=\dfrac{\left|\overrightarrow{rv}\cdot \vec{n}\right|}{\left|\overrightarrow{rv}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}$
  • $\overrightarrow{rv}:$ Richtungsvektor von $h$
  • $\vec{n}:$ Normalenvektor von $E_{xy}$
Du kannst den Normalenvektor der Ebenen $E_{xy}$ aus der Ebenengleichung in Koordinatenform direkt ablesen mit: $\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
Der Richtungsvektor $\overrightarrow{rv}$ von $h$ lautet: $\overrightarrow{rv}=\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}$
Setze nun beide Vektoren in die Formel zur Berechnung des Neigungswinkels ein:
$\sin\alpha=\dfrac{\left|\overrightarrow{rv}\circ \vec{n}\right|}{\left|\overrightarrow{rv}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}$$=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}$$=\dfrac{\left|-2\cdot0+4\cdot0+2\cdot1\right|}{\sqrt{(-2)^2+4^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2}}$$=\dfrac{|2|}{\sqrt{24}}\approx0,408\quad\mid\;\sin^{-1}$
$\alpha\approx24,1^{\circ}$
Der Neigungswinkel der Geraden $h$ beträgt ungefähr $24,1^{\circ}$.
c) $\blacktriangleright$ Koordinatengleichung ermitteln
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst eine Koordinatengleichung der Ebenen $E$ ermitteln, in der die Geraden $g$ und $h$ liegen.
Die Koordinatengleichung einer Ebenen hat die allgemeine Form:
$E:\quad n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=b$
Der Normalenvektor der Ebene, in der die Geraden $g$ und $h$ liegen, steht senkrecht auf der Ebene. Da er senkrecht auf der Ebene steht, steht er folglich auch senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene enthalten sind. Das heißt $\vec{n}$ steht senkrecht auf den Richtungsvektoren der Geraden $g$ und $h$.
Gehe wie folgt vor:
  • Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ dieser Ebene aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren von $g$ und $h$.
  • Setze einen Punkt in die Koordinatengleichung ein, der in $E$ liegt, um $b$ zu berechnen.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren berechnest du wie folgt:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}$
Bilde das Vektorprodukt zwischen den Richtungsvektoren von $g$ und $h$, um $\vec{n}_E$ zu erhalten.
$\overrightarrow{n}_E$$=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-2\cdot2-(-1)\cdot4\\-1\cdot(-2)-(-2)\cdot2\\-2\cdot4-(-2)\cdot(-2)\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}0\\6\\-12\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$
Damit lautet der Normalenvektor: $\overrightarrow{n}_E=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$
Diesen kannst du nun in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform einsetzen und erhältst:
$E:\quad y-2z=b$
Setze einen Punkt ein, der auf $g$ oder $h$ liegt, um einen Wert für $b$ zu ermitteln.
Einen solchen Punkt kannst du aus dem Stützvektor von $\boldsymbol{g}$ ablesen: $(-2\mid11\mid15)$
Einsetzen in $E$ liefert:
$\begin{array}{rcll} 11-2\cdot15&=&b& \\ b&=&-19& \\ \end{array}$
Für die Koordinatengleichung von $E$ folgt dadurch:
$E:\quad y-2z=-19$
$\blacktriangleright$ Parallelität beweisen
Im 2. Schritt sollst du nun beweisen, dass die Bahn $b$ mit der Gleichung $\vec{x}=\begin{pmatrix}-3,75\\12\\15,75\end{pmatrix}+m\cdot\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}$ parallel zur eben aufgestellten Ebenen $E$ verläuft.
Dazu hast du den Normalenvektor von $E$ bestimmt. Dieser verläuft orthogonal zu $E$.
Anageo 2.2
Anageo 2.2
Soll die Bahn $b$ parallel zur Ebene verlaufen, so muss der Normalenvektor der Ebene senkrecht/orthogonal zum Richtungsvektor $\overrightarrow{rv_b}$ von $b$ sein.
Prüfe nun, ob $\vec{n}$ und der Richtungsvektor von $b$ orthogonal zueinander stehen, indem du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnest.
Wenn das Skalarprodukt Null ergibt, dann stehen Richtungsvektor $\overrightarrow{rv_b}$ und Normalenvektor $\vec{n}$ orthogonal zueinander.
Ist das der Fall, so hast du gezeigt, dass die Bahn $b$ parallel zur Ebene $E$ verläuft.
Der Richtungsvektor von $b$ ist: $\overrightarrow{rv_b}=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}$.
Wenn das Skalarprodukt von $\overrightarrow{rv_b}$ und $\overrightarrow{n_E}$ gleich Null ist, dann liegt $b$ parallel zu $E$.
$\overrightarrow{rv_b}\circ\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}=5\cdot0+2\cdot1+1\cdot(-2)=0$
Damit liegt $b$ parallel zu $E$.
$\blacktriangleright$ Abstand berechnen
Im letzten Schritt sollst du dann den Abstand zwischen der Geraden $b$ und $E$ berechnen.
Zuvor hast du nachgewiesen, dass die Bahn $b$ und die Ebene $E$ parallel zueinander sind.
Damit hat jeder Punkt der Bahn $b$ den gleichen Abstand zur Ebene und wir können den Abstand zwischen der Bahn und der Ebene bestimmen, indem wir den Abstand eines Punktes auf der Geraden zur Ebene ermitteln.
Es handelt es sich somit um eine Abstandsberechnung Punkt–Ebene.
Den Abstand kannst du mit der Hesse'schen Normalenform berechnen:
$d(p;E)=\dfrac{\left|n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z-b\right|}{\left|\vec{n}\right|}$
$n_1, n_2$ und $n_3$ stellen hier jeweils die $x$,$y$ und $z$–Koordinate des Normalenvektors $\vec{n}$ dar.
Die Koordinaten eines Punktes, der auf $b$ liegt, kannst du aus dem Stützvektor von $b$ ablesen
Sie lauten: $P(-3,75\mid 12\mid 15,75)$
Setze die Koordinaten, die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n}$ und den Wert für $b=-19$ in die Hesse'sche Normalenform ein:
$d(b;E)=\dfrac{\left|n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z-b\right|}{\left|\vec{n}\right|}$$=\dfrac{\left|0\cdot (-3,75)+1\cdot 12+(-2)\cdot 15,75+19\right|}{\sqrt{0^2+1^2+(-2)^2}}$$\approx 0,2236\,\mathrm{LE}$
Es gilt: $1\,\mathrm{LE}\mathrel{\widehat{=}}100\,\mathrm{m}$
Daraus folgt:
Der Skilift hat einen Abstand von ungefähr 22,36 m zur Ebene $E$.
d) $\blacktriangleright$ Größe des Winkels $\boldsymbol{P_1KP_2}$ berechnen
Eine Kamera ist im Punkt $K(0\mid7\mid15,75)$ installiert.
Bei einem Schwenk über das Skigebiet erfasst sie zu zwei verschiedenen Zeitpunkten die Punkte $P_1$ und $P_2$.
Anageo 2.2
Anageo 2.2
Du sollst den Winkel $\boldsymbol{\beta}$ zwischen den beiden Verbindungsvektoren berechnen.
Die Formel dazu lautet:
$\cos\beta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
1. Schritt: Verbindungsvektoren bestimmen
$\overrightarrow{KP_1}=\begin{pmatrix}-2-0\\8-7\\13,5-15,75\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-2\\1\\-2,25\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{KP_2}=\begin{pmatrix}-4-0\\12-7\\15,5-15,75\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-4\\5\\-0,25\end{pmatrix}$
2. Schritt: Winkel berechnen
Setze nun die Verbindungsvektoren in die zuvor genannte Formel zur Berechnung des Winkels ein:
$\cos\beta=\dfrac{\overrightarrow{KP_1}\cdot\overrightarrow{KP_2}}{|\overrightarrow{KP_1}|\cdot|\overrightarrow{KP_2}|}$$=\dfrac{\begin{pmatrix}-2\\1\\-2,25\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\-0,25\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\-2,25\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-4\\5\\-0,25\end{pmatrix}\right|}$$=\dfrac{8+5+0,5625}{\sqrt{10,0625}\cdot\sqrt{41,0625}}$$\approx0,667\quad\mid\;\cos^{-1}$
$\beta\approx 48,15^{\circ}$
Der Winkel zwischen den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{KP_1}$ und $\overrightarrow{KP_2}$ beträgt ungefähr $48,15^{\circ}$.
e) $\blacktriangleright$ Lösungsweg beschreiben
Nun soll neben den Pisten $g$ und $h$ in einem Punkt $S$ eine Schneekanone aufgestellt werden. Dieser soll zu beiden Pisten den gleichen Abstand haben und in der Ebene aus c) liegen.
Du sollst nun einen Lösungsweg beschreiben, um einen solchen Punkt zu bestimmen. Dabei sollst du den Weg nur beschreiben, eine Rechnung ist hier nicht notwendig.
Da $S$ zu $g$ und $h$ den gleichen Abstand haben soll, muss $S$ irgendwo zwischen beiden Pisten liegen.
Es ist hilfreich, wenn du dir dazu eine Skizze zeichnest:
Anageo 2.2
Anageo 2.2
Suche zwei Punkte $N_g$ und $N_h$ auf $g$ und $h$, die von $Q$(aus Teilaufgabe a)) den gleichen Abstand haben.
Für den gleichen Abstand können die normierten Richtungsvektoren der Geraden verwendet werden.
Da der Betrag eines normierten Vektors immer gleich 1 ist, sind die normierten Richtungsvektoren folglich gleich lang.
Die Schneekanone $S$ liegt auf dem Mittelpunkt der Strecke $\boldsymbol{\overline{N_gN_h}}$.
Anageo 2.2
Anageo 2.2
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