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Analysis 2.1

Aufgaben
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Skateboardanlage

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(ax+1)\cdot\mathrm e^{-x+a}$;   $x\in\mathbb{R}$, $a\in\mathbb{R}$, $a\geq0$.
Die zugehörigen Graphen sind $G_a$.
a)  Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_a$ mit den Koordinatenachsen.
Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ in Abhängigkeit von $a$ an.
(8P)
b)  Für $f_a$ gilt: Wenn ein Graph der Funktionenschar $f_a$ für $a>0$ in einem Punkt $H_a$ eine zur $x$-Achse parallele Tangente besitzt, dann ist dieser Punkt ein lokaler Hochpunkt von $G_a$. (Das darfst du ohne Nachweis verwenden.)
Bestimme unter dieser Voraussetzung die Koordinaten von $H_a$.
[Kontrollergebnis: $f'_a(x)=\mathrm e^{-x+a}(-ax+a-1)]$
(7P)
c)  Der Graph $G_0$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen und der Geraden $x=2$ eine Fläche ein, die dem Querschnitt einer Skateboardrampe entspricht. Der Betreiber der Skateboardanlage möchte auf dieser Querschnittsfläche ein dreieckiges Firmenlogo anbringen. Die Basis des Dreiecks $OQP$ soll auf der $x$-Achse liegen, das Dreieck soll gleichschenklig sein, und der Punkt $P(x_P\mid f_0(x_P))$, der auf $G_0$ liegt, soll so gewählt werden, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist.
Analysis 2.1
Analysis 2.1
$\;\;$  Zeige, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks mit der Gleichung $A(x_P)=x_P\cdot\mathrm e^{-x_P}$ berechnet werden kann und bestimme die Koordinaten des Punktes $P$.
(9P)
d)  Der Betreiber will zwei der in c) beschriebenen Rampen an ihren höchsten Stellen mit einem Quader verbinden $(1\,\text{LE}=1\,\text{m})$.
Analysis 2.1
Quelle: Fotolia.com © Gino Santa Maria
Analysis 2.1
Quelle: Fotolia.com © Gino Santa Maria
Der Quader hat eine Länge von $4\,\text{m}$ und ist $1\,\text{m}$ hoch. Die Tiefe des zusammengesetzten Körpers beträgt $1,25\,\text{m}$.
Berechne das Volumen des Gesamtkörpers.
(6P)
e)  Eine weitere Rampe soll durch einen anderen Graphen $G_a$ mit $0<a<1$ modelliert werden. Nun soll der Winkel an der Verbindungsstelle zu einem in der Höhe angepassten Quader 150° betragen.
Ermittle durch systematisches Probieren ein Intervall der Länge $\frac{1}{10}$, in dem der Parameter des Graphen liegt, der hierfür geeignet ist.
(5P)
f)  Anstelle von $G_0$ soll eine neue obere Begrenzung des Rampenquerschnitts im Intervall $[0;2]$ mithilfe einer quadratischen Parabel $p$ modelliert werden. Diese soll in ihrem höchsten Punkt $R(0\mid p(0))$ und ihrem niedrigsten Punkt $Q(2\mid p(2))$ mit $G_0$ übereinstimmen und im Punkt $Q(2\mid p(2))$ das gleiche Gefälle wie die ursprünglich mit $G_0$ modellierte Rampe aufweisen.
Ermittle eine mögliche Gleichung für die Parabel.
(5P)

(40P)
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Tipps
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a) 
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Betrachte die Funktionenschar $f_a$ mit dem folgenden Funktionsterm:
$f_a(x)=(a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a};\;x \in \mathbb{R};\;a \in \mathbb{R^+_0}$
Die zugehörigen Graphen $G_a$ schneiden die Koordinatenachsen. Bestimme die Koordinaten dieser Schnittpunkte.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Bei Schnittpunkten mit der $x$-Achse, ist die $y$-Koordinate gleich Null. Das heißt, du kannst den Term der Funktion mit Null gleichsetzen $\boldsymbol{f_a(x)=0}$ und alle Schnittstellen mit der $x$-Achse bestimmen, indem du die Gleichung nach $x$ auflöst.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
Der Graph schneidet die $y$-Achse, an der Stelle $\boldsymbol{x=0}$. Setze also $x=0$ in den Funktionsterm ein und berechne so die $y$-Koordinate:
$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \to + \infty}$
Betrachte nun die Funktionswerte von $f_a$ für besonders große Werte von $x$.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle \lim_{x \to \infty}\; f_a(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right) \\ \end{array}$
Für die weitere Berechnung des Limes betrachten wir die einzelnen Terme und setzen gedanklich besonders große Werte für $x$ ein.
$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \to - \infty}$
Betrachte nun die Funktionswerte von $f_a$ für besonders kleine Werte von $x$.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\; f_a(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right) \\ \end{array}$
Auch hier betrachten wir die einzelnen Terme und setzen in diesem Fall besonders kleine Werte für $x$ ein.
b) 
$\blacktriangleright$ Koordinaten des lokalen Hochpunktes bestimmen
Laut Aufgabenstellung darfst du folgende Eigenschaft ohne Nachweis verwenden:
Wenn ein Graph der Funktionenschar $f_a$ für $a>0$ in einem Punkt $H_a$ eine zur $x$-Achse parallele Tangente besitzt, dann ist dieser Punkt ein lokaler Hochpunkt von $G_a$.
Anders formuliert heißt das, dass die Funktionenschar an den Stellen ein lokales Maximum besitzt, an denen der Graph die Steigung Null aufweist. Um die Koordinaten von $H_a$ zu bestimmen, kannst damit in folgenden Schritten vorgehen:
  • Bestimme alle Stellen, an denen die Graphen $G_a$ Steigung Null besitzen. Diese entsprechen den $x$-Koordinaten von $H_a$
  • Setze die gefundenen Stellen in den Term der Funktionenschar $f_a$ ein, um die $y$-Koordinate von $H_a$ zu erhalten.
c) 
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks
Im Folgenden betrachten wir die Funktionenschar für $a=0$ und damit den entsprechenden Funktionsterm:
$f_0(x)=(0 \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{\,-x\,+\,0}=\mathrm{e}^{\,-x}$
Der Graph $G_0$ dieser Funktion schließt zusammen mit einer Geraden $y:\, x=0$ eine Fläche ein, die den Querchnitt einer Skateboardrampe modellieren soll. Auf dieser Querschnittsfläche soll ein gleichschenkliges Dreieck $OQP$ angebracht werden, dessen Eckpunkte allgemein angegeben werden können:
  • $O(0 \mid 0)$
  • $Q(2 \cdot x_p \mid 0)$
  • $P(x_p \mid f_0(x_p))$
Der Punkt $P$ liegt hierbei auf dem Graphen zur Funktion $f_0$ und soll so gewählt werden, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist. Da das Dreieck gleichschenklig sein soll, muss die $x$-Koordinate von $Q$ dem Wert $2 \cdot x_p$ entsprechen.
Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks durch die Gleichung
$A(x_p)=x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p}$
beschrieben werden kann.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Zuvor hast du gezeigt, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ durch folgenden Funktionsterm berechnet werden kann:
$A(x_p)=x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p}$
Da der Punkt $P$ so gewählt werden soll, dass der Flächeninhalt maximal wird, kannst du zunächst die Funktion $A$ auf Maxima untersuchen. Die Maximalstelle entspricht dann der gesuchten $x$-Koordinate für den Punkt $P$.
Eine Funktion $A$ hat an der Stelle $x_M$ eine Maximalstelle, falls die folgenden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{A'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{A''(x_M)<0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die erste und zweite Ableitung der Funktion $A$ und überprüfe im Anschluss notwendiges und hinreichendes Kriterium.
d) 
$\blacktriangleright$ Gesamtvolumen des Körpers
Es werden nun zwei der zuvor betrachteten Rampen mit einem Quader zusammengesetzt. Der Quader hat die Maße $(4\,\text{m} \times 1,25\,\text{m} \times 1\,\text{m})$, die Rampen sind ebenfalls $1,25\,$m breit. Deine Aufgabe ist es, das Gesamtvolumen zu berechnen. Dabei kannst du die Rampen als liegende Prismen annehmen. Für das Volumen eines Prismas gilt die folgende Formel:
$V = G \cdot h$
Die Grundfläche $G$ entspricht hierbei der zuvor betrachteten Querschnittsfläche. Den Inhalt dieser Querschnittsfläche kannst du bestimmen, indem du über die Funktion $f_0$ im Intervall $\left[ 0;\;2\right]$ integrierst:
$\displaystyle \int_0^2\;f_0(x_p)\;\mathrm{d}x_p$
e) 
$\blacktriangleright$ Parameter für Modellierung finden
Eine weitere Rampe soll durch den Graphen $G_a$ so modelliert werden, dass die Größe des Winkels an der Verbindungsstelle $150^\circ$ beträgt. Dabei soll sich der Parameter $a$ der Funktionenschar im Intervall $(0;\,1)$ befinden.
In der Aufgabenstellung wird verlangt, einen passenden Parameter durch systematisches Probieren zu ermitteln. Hierbei soll jeweils in $\frac{1}{10}$-Schritten vorgegangen werden.
Analysis 2.1
Analysis 2.1
Der gesuchte Winkel $\alpha$ hängt mit der Steigung $m$, die der Graph an der Stelle $x=0$ aufweist, zusammen:
$m = \tan (\alpha) = \tan (150^\circ)$
Bestimme über diese Beziehung die gesuchte Steigung des Graphen an der Stelle $x=0$ und teste welcher Wert für $a$ diese Bedingung erfüllt.
f) 
$\blacktriangleright$ Mögliche Gleichung entwickeln
Eine quadratische Parabel hat im allgemeinen folgende Form:
$p(x) = a\cdot x^2 +b\cdot x +c$
Du benötigst also mindestens drei Gleichungen, um die fehlenden drei Parameter zu berechnen. Der Aufgabenstellung kannst du folgende Informationen über die quadratische Funktion entnehmen:
  • $p(0)=f_0(0)$
  • $p(2)=f_0(2)$
  • $p'(2)=f_0'(2)$
Durch Einsetzen erhältst du hieraus ein lineares Gleichungssystem, welches du nach $a$,$b$ und $c$ lösen kannst.
Bilde dazu zunächst die allgemeine erste Ableitungsfunktion von $p$ und berechne $f_0(0)$, $f_0(2)$ und $f_0'(2)$.
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Lösungen
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a) 
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Betrachte die Funktionenschar $f_a$ mit dem folgenden Funktionsterm:
$f_a(x)=(a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a};\;x \in \mathbb{R};\;a \in \mathbb{R^+_0}$
Die zugehörigen Graphen $G_a$ schneiden die Koordinatenachsen. Bestimme die Koordinaten dieser Schnittpunkte.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Bei Schnittpunkten mit der $x$-Achse, ist die $y$-Koordinate gleich Null. Das heißt, du kannst den Term der Funktion mit Null gleichsetzen $\boldsymbol{f_a(x)=0}$ und alle Schnittstellen mit der $x$-Achse bestimmen, indem du die Gleichung nach $x$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&(a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a} \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass mindestens ein Term Null sein muss, damit das Produkt Null wird. Da du weißt, dass die $\mathrm{e}$-Funktion für keinen Wert gleich Null werden kann, genügt es, im Folgenden nur noch den Term $(a \cdot x + 1)$ zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&a \cdot x + 1 & \mid\; \scriptsize -1 \\[5pt] -1&=&a \cdot x & \mid\; \scriptsize :a \\[5pt] x&=&-\frac{1}{a} & \\ \end{array}$
Die Graphen $G_a$ schneiden die $x$-Achse im Punkt $\boldsymbol{S_x\left( -\frac{1}{a} \mid 0 \right)}$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
Der Graph schneidet die $y$-Achse, an der Stelle $\boldsymbol{x=0}$. Setze also $x=0$ in den Funktionsterm ein und berechne so die $y$-Koordinate:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=&(a \cdot 0 + 1) \cdot \mathrm{e}^{0+a} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{a} \\[5pt] \end{array}$
Die Graphen $G_a$ schneiden die $y$-Achse im Punkt $\boldsymbol{S_y\left(0 \mid \mathrm{e}^{a} \right)}$.
$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \to + \infty}$
Betrachte nun die Funktionswerte von $f_a$ für besonders große Werte von $x$.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle \lim_{x \to \infty}\; f_a(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right) \\ \end{array}$
Für die weitere Berechnung des Limes betrachten wir die einzelnen Terme und setzen gedanklich besonders große Werte für $x$ ein:
$\boldsymbol{\mathrm{e}^{\,-x\,+\,a}}$ $\boldsymbol{(a \cdot x + 1)}$
Der Exponent wird für $x \to \infty$ trotz des Summanden $+a$ besonders klein und konvergiert mit exponentiellem Wachstum gegen Null. Für $x \to \infty$ nähert sich der Term mit linearem Wachstum $\infty$ an.
Da exponentielles Wachstum stärker als lineares Wachstum ist, können wir den linearen Term vernachlässigen und es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\lim_{x \to \infty}\; f_a(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right)&=&0 \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \to - \infty}$
Betrachte nun die Funktionswerte von $f_a$ für besonders kleine Werte von $x$.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\; f_a(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right) \\ \end{array}$
Auch hier betrachten wir die einzelnen Terme und setzen in diesem Fall besonders kleine Werte für $x$ ein:
$\boldsymbol{\mathrm{e}^{\,-x\,+\,a}}$ $\boldsymbol{(a \cdot x + 1)}$
Der Exponent wird für $x \to -\infty$ sehr groß und nähert sich mit exponentiellem Wachstum $+\infty$. Für $a>0$ und $x \to -\infty$ wird dieser lineare Term besonders klein. Für $a=0$ und $x \to -\infty$ wird dieser lineare Term $1$
Hier musst du eine Fallunterschiedung machen. Für $a=0$ ist das exponentielles Wachstum stärker als das lineares Wachstum, sodass gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \; f_0(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right)&=&+ \infty \\ \end{array}$
Für $a>0$ müssen wir die Vorzeichen der Funktion beachten. Da $-$ und $+$ zusammen $-$ ergeben, gilt für die Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \; f_0(x)&=&\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\; \left((a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a}\right)&=&- \infty \\ \end{array}$
b) 
$\blacktriangleright$ Koordinaten des lokalen Hochpunktes bestimmen
Laut Aufgabenstellung darfst du folgende Eigenschaft ohne Nachweis verwenden:
Wenn ein Graph der Funktionenschar $f_a$ für $a>0$ in einem Punkt $H_a$ eine zur $x$-Achse parallele Tangente besitzt, dann ist dieser Punkt ein lokaler Hochpunkt von $G_a$.
Anders formuliert heißt das, dass die Funktionenschar an den Stellen ein lokales Maximum besitzt, an denen der Graph die Steigung Null aufweist. Um die Koordinaten von $H_a$ zu bestimmen, kannst damit in folgenden Schritten vorgehen:
  • Bestimme alle Stellen, an denen die Graphen $G_a$ Steigung Null besitzen. Diese entsprechen den $x$-Koordinaten von $H_a$
  • Setze die gefundenen Stellen in den Term der Funktionenschar $f_a$ ein, um die $y$-Koordinate von $H_a$ zu erhalten.
1. Schritt: $\boldsymbol{x}$-Koordinate ermitteln
Die Steigung eines Schaubildes wird an jeder Stelle $x$ durch die erste Ableitung der entsprechenden Funktion beschrieben. Leite die Funktionenschar $f_a$ einmal ab und setze anschließend mit Null gleich, um die Stellen zu erhalten, an denen $G_a$ Steigung Null aufweist:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=&(a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{\,-x+a} \\[5pt] f'_a(x)&=& a \cdot \mathrm{e}^{-x+a} + (a \cdot x + 1) \cdot (-1) \cdot \mathrm{e}^{\,-x+a} \\[5pt] &=& \left(a + (a \cdot x + 1) \cdot (-1)\right) \cdot \mathrm{e}^{\,-x+a} \\[5pt] &=& \left(- a \cdot x +a - 1 \right) \cdot \mathrm{e}^{\,-x+a} \\ \end{array}$
Gleichsetzen mit Null liefert die gesuchten Stellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& f'_a(x) \\[5pt] &=& \left(- a \cdot x +a - 1 \right) \cdot \mathrm{e}^{\,-x+a} \\ \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass mindestens ein Term Null sein muss, damit das Produkt Null wird. Da du weißt, dass die $\mathrm{e}$-Funktion für keinen Wert gleich Null werden kann, genügt es, im Folgenden nur noch den Term $(- a \cdot x +a - 1)$ zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \left(- a \cdot x +a - 1 \right) &\mid\; \scriptsize +1-a \\[5pt] 1-a &=& -a \cdot x &\mid\; \scriptsize :(-a) \\[5pt] x&=& -\frac{1-a}{a} \\[5pt] x&=& \frac{a-1}{a} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph besitzt an den Stellen $\boldsymbol{x=\frac{a-1}{a}}$ waagerechte Tangenten und damit laut Aufgabenstellung lokale Maxima.
2. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate ermitteln
Setze $x=\frac{a-1}{a}$ in den Term der Funktionenschar, um die $y$-Koordinaten des Hochpunktes $H_a$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} f_a \left(\frac{a-1}{a}\right)&=&(a \cdot \frac{a-1}{a} + 1) \cdot \mathrm{e}^{\,-\frac{a-1}{a}\,+\,a}& \\[5pt] &=&(a - 1 + 1) \cdot \mathrm{e}^{\,a\,-\,\frac{a-1}{a}}& \\[5pt] &=&a \cdot \mathrm{e}^{\,a\,-\,\frac{a-1}{a}}& \\ \end{array}$
Der Hochpunkt $H_a$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{H_a\left( \frac{a-1}{a}\mid a \cdot \mathrm{e}^{\,a\,-\,\frac{a-1}{a}} \right)}$.
c) 
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks
Im Folgenden betrachten wir die Funktionenschar für $a=0$ und damit den entsprechenden Funktionsterm:
$f_0(x)=(0 \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{\,-x\,+\,0}=\mathrm{e}^{\,-x}$
Der Graph $G_0$ dieser Funktion schließt zusammen mit einer Geraden $y:\, x=0$ eine Fläche ein, die den Querchnitt einer Skateboardrampe modellieren soll. Auf dieser Querschnittsfläche soll ein gleichschenkliges Dreieck $OQP$ angebracht werden, dessen Eckpunkte allgemein angegeben werden können:
  • $O(0 \mid 0)$
  • $Q(2 \cdot x_p \mid 0)$
  • $P(x_p \mid f_0(x_p))$
Der Punkt $P$ liegt hierbei auf dem Graphen zur Funktion $f_0$ und soll so gewählt werden, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist. Da das Dreieck gleichschenklig sein soll, muss die $x$-Koordinate von $Q$ dem Wert $2 \cdot x_p$ entsprechen.
Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks durch die Gleichung
$A(x_p)=x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p}$
beschrieben werden kann. Hierbei kannst du zunächst verwenden, dass bei diesem gleichschenkligen Dreieck $OQP$ die Höhe gerade dem Funktionswert $f_0(x_p)$ und die Grundseite dem Wert $2 \cdot x_p$ entsprechen.
Für die Flächeninhaltsformel gilt dann demnach:
$A_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x_p \cdot f_0(x_p)=x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p}=A(x_p)$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Zuvor hast du gezeigt, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ durch folgenden Funktionsterm berechnet werden kann:
$A(x_p)=x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p}$
Da der Punkt $P$ so gewählt werden soll, dass der Flächeninhalt maximal wird, kannst du zunächst die Funktion $A$ auf Maxima untersuchen. Die Maximalstelle entspricht dann der gesuchten $x$-Koordinate für den Punkt $P$.
Eine Funktion $A$ hat an der Stelle $x_M$ eine Maximalstelle, falls die folgenden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{A'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{A''(x_M)<0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die erste und zweite Ableitung der Funktion $A$ und überprüfe im Anschluss notwendiges und hinreichendes Kriterium.
1. Schritt: Ableitungen bilden
Beim Bilden der Ableitungen musst du darauf achten, die Produktregel zu verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} A(x_p) &=&x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\[5pt] A'(x_p) &=&\mathrm{e}^{\,-x_p} - x_p \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\[5pt] &=&(1-x_p) \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\[5pt] A''(x_p)&=&(-1) \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} - (1-x_p) \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\[5pt] &=&((-1)- (1-x_p)) \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\[5pt] &=&(x_p -2) \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\ \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Für die notwendige Bedingung muss $\boldsymbol{A'(x_M)=0}$ gelten, überprüfe:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& A'(x_p) \\[5pt] &=&(1-x_p) \cdot \mathrm{e}^{\,-x_p} \\ \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass mindestens ein Term Null sein muss, damit das Produkt Null wird. Da du weißt, dass die $\mathrm{e}$-Funktion für keinen Wert gleich Null werden kann, genügt es, im Folgenden nur noch den Term $(1-x_p)$ zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& (1-x_p) & \mid \; \scriptsize +x_p \\[5pt] x_p&=& 1 \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass sich an der Stelle $\boldsymbol{x_M=1}$ eine potentielle Maximalstelle befindet, für die du noch das hinreichende Kriterium überprüfen musst.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Für die hinreichende Bedingung muss $\boldsymbol{A''(x_M)<0}$ gelten, rechne nach:
$\begin{array}[t]{rll} A''(1) &=& (1-2) \cdot \mathrm{e}^{\,-1} \\[5pt] &=& - \mathrm{e}^{\,-1} \\[5pt] &<& 0 \\[5pt] \end{array}$
Damit ist der Funktionswert der zweiten Ableitung $A''$ echt kleiner Null und die hinreichende Bedingung somit erfüllt. Folglich liegt an der Stelle $x_M=1$ eine Maximalstelle vor.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten von $\boldsymbol{P}$ ermitteln
Mit der Maximalstelle $x_M=1$ haben wir bereits die $x$-Koordinate des Punktes $P$ berechnet, für den das Dreieck maximal wird. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_M=1$ in den Term der Funktion $f_0$ einsetzt, da der Punkt auf dem Graphen der Funktion $f_0$ liegen soll:
$\begin{array}[t]{rll} f_0(1) &=& \mathrm{e}^{\,-1} \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes $P$ lauten $\boldsymbol{P\left( 1 \mid \mathrm{e}^{\,-1} \right)}$.
d) 
$\blacktriangleright$ Gesamtvolumen des Körpers
Es werden nun zwei der zuvor betrachteten Rampen mit einem Quader zusammengesetzt. Der Quader hat die Maße $(4\,\text{m} \times 1,25\,\text{m} \times 1\,\text{m})$, die Rampen sind ebenfalls $1,25\,$m breit. Deine Aufgabe ist es, das Gesamtvolumen zu berechnen. Dabei kannst du die Rampen als liegende Prismen annehmen. Für das Volumen eines Prismas gilt die folgende Formel:
$V = G \cdot h$
Die Grundfläche $G$ entspricht hierbei der zuvor betrachteten Querschnittsfläche. Den Inhalt dieser Querschnittsfläche kannst du bestimmen, indem du über die Funktion $f_0$ im Intervall $\left[ 0;\;2\right]$ integrierst:
$\displaystyle \int_0^2\;f_0(x_p)\;\mathrm{d}x_p$
Volumen Quader:
Das Volumen des Quaders kannst du direkt berechnen:
$V_{Quader}=4\,\text{m} \cdot 1,25\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 5\,\text{m}^3$
Das Volumen des Quaders beträgt $\boldsymbol{5}$ m$\boldsymbol{^3}$
Flächeninhalt Querschnittsfläche:
Integriere über die Funktion $f_0$ im Intervall $\left[ 0;\;2\right]$:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \displaystyle \int_0^2\;f_0(x_p)\;\mathrm{d}x_p \\[5pt] &=& \displaystyle \int_0^2\;\mathrm{e}^{\,-x_p}\;\mathrm{d}x_p \\[5pt] &=& \left[- \mathrm{e}^{\,-x_p}\right]^2_0 \\[5pt] &=& \left(- \mathrm{e}^{\,-2}\right) - \left(- \mathrm{e}^{\,0}\right) \\[5pt] &=& \left(- \mathrm{e}^{\,-2}\right) + 1 \\ \end{array}$
Die Querschnittsfläche ist $\boldsymbol{1-\mathrm{e}^{\,-2}}$ m$\boldsymbol{^2}$ groß.
Volumen Rampe:
Das Volumen der Rampe erhältst du, indem du die Volumenformel für Prismen anwendest. Die Höhe des Prismas bzw. Rampe ist in der Aufgabenstellung mit $1,25\,$ m gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Rampe}&=& G \cdot h \\[5pt] &=& \left(1-\mathrm{e}^{\,-2}\right) \cdot 1,25 \\[5pt] &\approx& 1,08 \\ \end{array}$
Das Volumen der Rampe beträgt $\boldsymbol{1,08}$ m$\boldsymbol{^3}$. Beachte im nächsten Schritt, dass zwei Rampen angebracht werden.
Volumen Gesamtkörper:
Da sich das Gesamtvolumen aus den einzelnen Teilvolumina, die du bereits bestimmt hast, zusammensetzt, kannst du folgende Rechnung vornehmen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Ges}&=& 2 \cdot V_{Rampe} + V_{Quader} \\[5pt] &=& 2 \cdot 1,08 + 5 \\[5pt] &=& 7,16 \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des gesamten Körpers beträgt ungefähr $\boldsymbol{7,16}$ m$\boldsymbol{^3}$.
e) 
$\blacktriangleright$ Parameter für Modellierung finden
Eine weitere Rampe soll durch den Graphen $G_a$ so modelliert werden, dass die Größe des Winkels an der Verbindungsstelle $150^\circ$ beträgt. Dabei soll sich der Parameter $a$ der Funktionenschar im Intervall $(0;\,1)$ befinden.
In der Aufgabenstellung wird verlangt, einen passenden Parameter durch systematisches Probieren zu ermitteln. Hierbei soll jeweils in $\frac{1}{10}$-Schritten vorgegangen werden.
Analysis 2.1
Analysis 2.1
Der gesuchte Winkel $\alpha$ hängt mit der Steigung $m$, die der Graph an der Stelle $x=0$ aufweist, zusammen:
$m = \tan (\alpha) = \tan (150^\circ)$
Bestimme über diese Beziehung die gesuchte Steigung des Graphen an der Stelle $x=0$ und teste welcher Wert für $a$ diese Bedingung erfüllt.
Wir können dies direkt berechnen, und erhalten die Steigung des Graphen:
$\tan (\alpha) \approx -0,577$
Das heißt, wir suchen einen Wert für den Parameter $a$, sodass die Steigung des Graphen an der Stelle $x=0$ den Wert $\boldsymbol{m=-0,577}$ annimmt. Betrachte dazu die erste Ableitung der Funktionenschar $f_a$ an der Stelle $0$:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& (a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a} \\[5pt] f'_a(x)&=& a \cdot \mathrm{e}^{-x+a} - (a \cdot x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a} \\[5pt] &=& (a-a\cdot x -1) \cdot \mathrm{e}^{-x+a} \\[5pt] f'_a(0)&=& (a-a\cdot 0 -1) \cdot \mathrm{e}^{-0+a} \\[5pt] &=& (a-1) \cdot \mathrm{e}^{a} \\ \end{array}$
In der Aufgabenstellung wird verlangt, dass du für $a$ im Intervall $(0;\,1)$ in $\frac{1}{10}$-Schritten Werte einsetzt. Das heißt konkret: Teste für $a=\frac{1}{10};\,\frac{2}{10};\,…\,\frac{9}{10}$.
$\begin{array}[t]{rll} f'_{\frac{1}{10}}(0)&=& (\frac{1}{10}-1) \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{10}} \\[5pt] &\approx& -0,99 \\[5pt] f'_{\frac{2}{10}}(0)&=& (\frac{2}{10}-1) \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{10}} \\[5pt] &\approx& -0,98 \\[5pt] f'_{\frac{5}{10}}(0)&=& (\frac{3}{10}-1) \cdot \mathrm{e}^{\frac{5}{10}} \\[5pt] &\approx& -0,82 \\[5pt] f'_{\frac{7}{10}}(0)&=& (\frac{7}{10}-1) \cdot \mathrm{e}^{\frac{7}{10}} \\[5pt] &\approx& -0,60 \\[5pt] f'_{\frac{8}{10}}(0)&=& (\frac{8}{10}-1) \cdot \mathrm{e}^{\frac{8}{10}} \\[5pt] &\approx& -0,45 \\ \end{array}$
Du kannst erkennen, dass $a$ Im Intervall $[\frac{7}{10}; \frac{8}{10}]$ liegen muss damit die Größe des Winkels $150^\circ$ beträgt.
f) 
$\blacktriangleright$ Mögliche Gleichung entwickeln
Eine quadratische Parabel hat im allgemeinen folgende Form:
$p(x) = a\cdot x^2 +b\cdot x +c$
Du benötigst also mindestens drei Gleichungen, um die fehlenden drei Parameter zu berechnen. Der Aufgabenstellung kannst du folgende Informationen über die quadratische Funktion entnehmen:
  • $p(0)=f_0(0)$
  • $p(2)=f_0(2)$
  • $p'(2)=f_0'(2)$
Durch Einsetzen erhältst du hieraus ein lineares Gleichungssystem, welches du nach $a$,$b$ und $c$ lösen kannst.
Bilde dazu zunächst die allgemeine erste Ableitungsfunktion von $p$ und berechne $f_0(0)$, $f_0(2)$ und $f_0'(2)$:
$\begin{array}[t]{rll} p'(x)&=& 2ax +b&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0'(x)&=&-\mathrm e^{-x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(0)&=&\mathrm e^{-0}=1 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(2)&=&\mathrm e^{-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0'(2)&=& -\mathrm e^{-2} \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1&=&a\cdot 0^2 + b\cdot 0 +c\quad \\ \text{II}\quad&\mathrm e^{-2}&=&a\cdot 2^2 +b\cdot 2 +c\quad\\ \text{III}\quad&-\mathrm e^{-2}&=&2a\cdot 2 +b\quad\\ \end{array}$
Aus I erhältst du direkt $c=1$. Bleibt noch ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten $a$ und $b$ aus den Gleichungen II und III:
$\begin{array}{} \text{IIa}\quad&\mathrm e^{-2}&=&4a +2b +1\quad\\ \text{III}\quad&-\mathrm e^{-2}&=&4a +b\quad\\ \end{array}$
Dieses kannst du mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Löse dazu III nach $b$ auf und setze in IIa ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}& -\mathrm e^{-2}&=& 4a +b&\quad \scriptsize \mid\; -4a \\[5pt] \text{IIIa}&-\mathrm e^{-2}-4a&=&b &\quad \scriptsize \\[10pt] \text{IIa}&\mathrm e^{-2}&=&4a +2b +1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\mathrm e^{-2}&=& 4a +2\left(-\mathrm e^{-2}-4a\right) +1&\quad \scriptsize \\[5pt] &\mathrm e^{-2}&=& 4a -2\mathrm e^{-2}-8a +1&\quad \scriptsize \mid\; -1 + 2\mathrm e^{-2} \\[5pt] &3\cdot\mathrm e^{-2} -1&=& -4a &\quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] &\dfrac{-3\cdot\mathrm e^{-2} +1}{4}&=& a \\[5pt] \end{array}$
Eingesetzt in IIIa ergibt das wiederum:
$b = -\mathrm e^{-2}-4a$$ = -\mathrm e^{-2}-4\cdot \dfrac{-3\cdot\mathrm e^{-2} +1}{4} $$= -\mathrm e^{-2}+3\cdot\mathrm e^{-2} -1 $$= 2\cdot\mathrm e^{-2} -1$
Eine mögliche Gleichung für die quadratische Parabel ist gegeben durch $p(x)= \dfrac{1-3\cdot \mathrm e^{-2}}{4}\cdot x^2 + \left(-1+ 2\cdot\mathrm e^{-2}\right)x +1$.
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