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Hilfsmittelfreier Teil 1

Aufgaben
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Teil 1 - Analysis

a)  Im Bild sind die Graphen $G_1$ und $G_2$ dargestellt. Einer der beiden ist der Graph einer Funktion $f$, der andere der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$.
Gib an, welcher der beiden Graphen die Ableitungsfunktion zeigt und begründe deine Entscheidung.
Hilfsmittelfreier Teil 1
Hilfsmittelfreier Teil 1
(2P)
b)  Ermittle diejenige Stammfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=-2\mathrm e^{2x}+1$, deren Graph die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid5)$ schneidet.
(3P)
c)  Aus einem $20$ Meter langen Draht soll das Kantenmodell eines Quaders mit quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Die Seitenlänge der Quadrate ist $a$. Stelle eine Funktion in Abhängigkeit von $a$ auf, mit der man das Volumen des Quaders ermitteln kann. Gib den Definitionsbereich für diese Funktion an.
(5P)

Teil 2 - Analytische Geometrie und Lineare Algebra

a)  Gegeben sind die Punkte $P(1\mid-2\mid1)$, $Q(2\mid-3\mid-1)$ und $R(-1\mid4\mid2)$.
Gib eine Gleichung der Geraden $g$ an, die durch den Punkt $R$ und parallel zur Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
(2P)
b)  Ermittle zwei Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{c}$, so dass gilt:
Je zwei der drei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ sind orthogonal zueinander.
(4P)
c)  $E_m$ ist die mittelparallele Ebene, die alle Punkte enthält, die zu den beiden Ebenen $E_1:2x+3y-4z=d_1$    und    $E_2:2x+3y-4z=d_2$ den gleichen Abstand haben.
Weise nach, dass $E_m$ die Gleichung $2x+3y-4z=\dfrac{d_1+d_2}{2}$ mit $d_1$, $d_2\neq0$ hat.
(4P)

Teil 3 - Stochastik

a)  Bei einem Multiple-Choice-Test sollen 4 Fragen durch Ankreuzen beantwortet werden. Es gibt stets 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand durch willkürliches Raten alle Antworten richtig angekreuzt hat.
(3P)
b)  Vervollständige die gegebene Vierfeldertafel und gib die folgenden Wahrscheinlichkeiten an: $P\left(\overline{A}\cap B\right)$ und $P_A(B)$.
$\;\;\;\;A$$\;\;\;\overline{A}$
$\;\;\;B$$0,25$$0,8$
$\;\;\;\overline{B}$$0,15$
$\;$
(4P)
c)  Ein fairer Würfel wird insgesamt $20$-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen eine gerade Zahl erscheint. Es gelte $P(X=3)=w$.
Gib an, für welchen Wert dieser Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit ebenfalls $w$ beträgt und begründe deine Entscheidung.
(3P)

(30P)
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Tipps
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Teil 1 - Analysis

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Beachte hierbei, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ die Steigung des Graphen der ursprünglichen Funktion $f$ beschreibt. Helfen kann dir beispielsweise die Betrachtung der Extrempunkte der Graphen mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen: Besitzt eine Funktion eine Extremstelle, so muss die erste Ableitungsfunktion dort eine Nullstelle besitzen.
b) 
$\blacktriangleright$  Stammfunktion ermitteln
Bilde hier zunächst die allgemeinen Stammfunktionen $F_c$ von $f$ mit den bekannten Integrationsregeln. Im Anschluss setzt du die Koordinaten des Schnittpunkts in $F_c(x)$ ein um den Parameter $c$ zu bestimmen.
c) 
$\blacktriangleright$  Funktion für das Volumen bestimmen
Bei einem Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ ist das Volumen gegeben durch $V= a\cdot b\cdot c$. Bei einer quadratischen Grundfläche gilt $a=b$. Da die Summe der Kantenlängen $a$,$b$ und $c$ in diesem Fall durch die Länge des Drahts mit $20\,$ m vorgegeben ist, kannst du nun noch $c$ in Abhängigkeit von $a$ darstellen. Setzt du anschließend alle Kantenlängen in Abhängigkeit von $a$ in die Volumenformel ein erhältst du die gesuchte Funktion.
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich angeben
Überlege dir welche Werte in $V(a)$ eingesetzt werden können und welche im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

Teil 2 - Analytische Geometrie und Lineare Algebra

a) 
$\blacktriangleright$  Geradengleichung aufstellen
Damit die Gerade durch den Punkt $R$ verläuft, wähle den Ortsvektor $\overrightarrow{OR}$ als Stützvektor der Geraden. Für die Parallelität wähle als Richtungsvektor den Verbindungsvektor zwischen $Q$ und $P$ $\overrightarrow{PQ}$.
b) 
$\blacktriangleright$  Vektoren ermitteln
Damit je zwei der drei Vektoren zueinander orthogonal sind, muss das Skalarprodukt von je zwei Vektoren Null ergeben:
  • $\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = 0$
  • $\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{c} = 0$
  • $\overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{b} = 0$
Mit $\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{c}= \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$ ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten. Du kannst es lösen, indem du beispielsweise $b_1$, $b_2$ und $c_1$ festlegst und dann nach den übrigen Unbekannten löst.
c) 
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung nachweisen
Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  1. Begründe, dass $E_m$ parallel zu den beiden Ebenen ist.
  2. Bestimme die Koordinaten eines Punktes $P_m$, der auf $E_m$ liegt.
  3. Bestimme die Hessesche Normalenform von $E_1$ und $E_2$ und berechne mit deren Hilfe den Abstand von $P_m$ zu $E_1$ und $E_2$.
Ist der Abstand gleich, so hast du wegen der Parallelität gezeigt, dass die Ebenengleichung korrekt ist.

Teil 3 - Stochastik

a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Aufgabe die richtige Antwort anzukreuzen beträgt $p = 0,25$, da immer genau eine der 4 Antwortmöglichkeiten richtig ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mit der Pfadmultiplikationsregel.
b) 
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel vervollständigen
In der unteren rechten Ecke steht immer 1. Diese kannst du direkt eintragen. Die Einträge der rechten Spalte geben immer die Summe der Einträge in der entsprechenden Zeile an, genauso die untere Zeile. Mit diesen Informationen kannst du nach und nach die fehlenden Werte berechnen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten angeben
Die erste Wahrscheinlichkeit kannst du direkt aus der Vierfeldertafel ablesen.
Die zweite kannst du über die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen:
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
c) 
$\blacktriangleright$  Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit angeben
Die Zufallsgröße $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da der Würfel fair ist und die einzelnen Würfe unabhängig voneinander sind. Die Parameter sind dabei $n =20$ und $p=0,5$. Du hast zwei Möglichkeiten den gesuchten Wert zu bestimmen:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Symmetrie
Für $p=0,5$ ist die Binomialverteilung symmetrisch, das heißt es gilt $P(X= k) = P(X=n-k)$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Binomialkoeffizient
Forme die Gleichung $P(X=3) = P(X=k)$ mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung um. Du bekommst dann eine Aussage über den Binomialkoeffizienten. Überlege dir für welche Werte dieser gleich ist.
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Lösungen
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Teil 1 - Analysis

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Beachte hierbei, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ die Steigung des Graphen der ursprünglichen Funktion $f$ beschreibt. Helfen kann dir beispielsweise die Betrachtung der Extrempunkte der Graphen mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen: Besitzt eine Funktion eine Extremstelle, so muss die erste Ableitungsfunktion dort eine Nullstelle besitzen.
Dir sollte auffallen, dass $G_1$ ungefähr an der Stelle $x =0,3$ einen Tiefpunkt besitzt. Dort schneidet $G_2$ allerdings nicht die $x$-Achse. Damit kann $G_1$ nicht der Graph zu $f$ und $G_2$ nicht der Graph zu $f'$ sein. Insgesamt gilt also:
$G_1$ besitzt an der Stelle $x\approx 0,3$ einen Tiefpunkt, aber $G_2$ besitzt dort keine Nullstelle. Wegen der notwendigen Bedingung für Extremstellen muss also $G_2$ der Graph zu $f$ und $G_1$ der Graph zu $f'$ sein.
b) 
$\blacktriangleright$  Stammfunktion ermitteln
Bilde hier zunächst die allgemeinen Stammfunktionen $F_c$ von $f$ mit den bekannten Integrationsregeln. Im Anschluss setzt du die Koordinaten des Schnittpunkts in $F_c(x)$ ein um den Parameter $c$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-2\mathrm e^{2x}+1 \quad \scriptsize \\[5pt] F_c(x)&=&-\mathrm e^{2x}+x+c\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $S_y(0\mid 5)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} F_c(x)&=&-\mathrm e^{2x}+x+c\quad \scriptsize \\[5pt] 5&=&-\mathrm e^{2\cdot 0}+0+c\quad \scriptsize \\[5pt] 5&=&-1+c\quad &\scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 6&=&c\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Stammfunktion von $f$ lautet $F(x)= -\mathrm e^{2x}+x+6$.
c) 
$\blacktriangleright$  Funktion für das Volumen bestimmen
Bei einem Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ ist das Volumen gegeben durch $V= a\cdot b\cdot c$. Bei einer quadratischen Grundfläche gilt $a=b$. Da die Summe der Kantenlängen $a$,$b$ und $c$ in diesem Fall durch die Länge des Drahts mit $20\,$ m vorgegeben ist, kannst du nun noch $c$ in Abhängigkeit von $a$ darstellen. Setzt du anschließend alle Kantenlängen in Abhängigkeit von $a$ in die Volumenformel ein erhältst du die gesuchte Funktion.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 20&=&4\cdot a + 4\cdot b +4\cdot c\quad \scriptsize \\[5pt] 20&=&8\cdot a +4\cdot c\quad &\scriptsize \mid\; -8\cdot a \\[5pt] 20-8\cdot a&=&4c\quad &\scriptsize \mid\; :4\\[5pt] 5-2\cdot a&=&c\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Eingesetzt in die Volumenformel ergibt sich nun:
$V(a)= a\cdot a\cdot (5-2a) = 5a^2-2a^3$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich angeben
Überlege dir welche Werte in $V(a)$ eingesetzt werden können und welche im Sachzusammenhang sinnvoll sind.
Da keine Werte für $a$ ausgeschlossen werden müssen, ist der mathematische Definitionsbereich die gesamte Menge der reellen Zahlen: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$. Im Sachzusammenhang geht es allerdings um Volumenberechnung, wodurch nur positive Werte für $a$ und $V(a)$ in Frage kommen. Daher muss folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 0&<&V(a)\quad \scriptsize \\[5pt] 0&<&5a^2-2a^3\quad &\scriptsize \mid\; :a^2 \neq 0 \\[5pt] 0&<&5-2a\quad &\scriptsize \mid\; +2a\\[5pt] 2a&<&5\quad &\scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a&<&2,5\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt gilt folgendes:
Mathematisch gesehen ist der Definitionsbereich durch die reellen Zahlen gegeben: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$. Beachtet man aber, dass Volumina und Kantenlängen nur positiv sein können, erhält man $\mathbb{D} = \{a\in \mathbb{R} \text{ mit } 0< a< 2,5\}$.

Teil 2 - Analytische Geometrie und Lineare Algebra

a) 
$\blacktriangleright$  Geradengleichung aufstellen
Damit die Gerade durch den Punkt $R$ verläuft, wähle den Ortsvektor $\overrightarrow{OR}$ als Stützvektor der Geraden. Für die Parallelität wähle als Richtungsvektor den Verbindungsvektor zwischen $Q$ und $P$ $\overrightarrow{PQ}$.
Mit $\quad\overrightarrow{OR} = \begin{pmatrix}-1\\4\\2 \end{pmatrix}\quad$ und $\quad \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}1\\-1\\-2 \end{pmatrix}\quad$ ergibt sich dann:
$g: \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix}-1\\4\\2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$
b) 
$\blacktriangleright$  Vektoren ermitteln
Damit je zwei der drei Vektoren zueinander orthogonal sind, muss das Skalarprodukt von je zwei Vektoren Null ergeben:
  • $\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = 0$
  • $\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{c} = 0$
  • $\overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{b} = 0$
Mit $\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{c}= \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$ ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten. Du kannst es lösen, indem du beispielsweise $b_1$, $b_2$ und $c_1$ festlegst und dann nach den übrigen Unbekannten löst.
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=&2b_1&+&3b_2&-&b_3\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&0&=&2c_1&+&3c_2&-&c_3\quad\\ \text{III}\quad&0&=&b_1c_1&+&b_2c_2&+&b_3c_3\quad\\ \end{array}$
Setzt du beispielsweise $b_1 = 1$, $b_2=1$ und $c_1=1$, so erhältst du aus der ersten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2\cdot 1+ 3\cdot 1 -1\cdot b_3\quad &\scriptsize \mid\; +b_3 \\[5pt] b_3&=&5\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit bleibt nun noch ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den beiden Unbekannten $c_2$ und $c_3$:
$\begin{array}{} \text{IIa}\quad&0&=&2\cdot 1&+&3c_2&-&c_3\quad\\ \text{IIIa}\quad&0&=&1\cdot 1&+&1c_2&+&5c_3\quad\\ \end{array}$
Löst du die erste Gleichung nach $c_3$ auf, so kannst du dies in die zweite einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2\cdot 1 + 3\cdot c_2 -1\cdot c_3\quad &\scriptsize \mid\; +c_3 \\[5pt] c_3&=&2 + 3\cdot c_2\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&1\cdot 1 +1\cdot c_2 +5\cdot c_3\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&1+ c_2 + 5\cdot (2+3c_2)\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&11+ 16c_2 \quad &\scriptsize \mid\; -16c_2 \\[5pt] -16c_2&=&11\quad &\scriptsize \mid\; :(-16) \\[5pt] c_2&=&-\frac{11}{16}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $c_3$ ergibt sich damit $c_3 = 2+3\cdot \left(-\frac{11}{16}\right)= -\frac{1}{16}$
Für $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1\\1\\5 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}1\\-\frac{11}{16}\\ -\frac{1}{16} \end{pmatrix}$ sind jeweils zwei der drei Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ orthogonal zueinander.
(Hier gibt es verschiedene Lösungen)
c) 
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung nachweisen
Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  1. Begründe, dass $E_m$ parallel zu den beiden Ebenen ist.
  2. Bestimme die Koordinaten eines Punktes $P_m$, der auf $E_m$ liegt.
  3. Bestimme die Hessesche Normalenform von $E_1$ und $E_2$ und berechne mit deren Hilfe den Abstand von $P_m$ zu $E_1$ und $E_2$.
Ist der Abstand gleich, so hast du wegen der Parallelität gezeigt, dass die Ebenengleichung korrekt ist.
1. Schritt: Parallelität
Aus der Ebenengleichung in Koordinatenform kannst du direkt die Einträge eines Normalenvektors ablesen. In diesem Fall gilt:
$\overrightarrow{n_m} = \begin{pmatrix}2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$.
Da die Normalenvektoren aller drei Ebenen gleich sind, sind sie auch parallel zueinander.
2. Schritt: Koordinaten eines Punktes bestimmen
Um die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf $E_m$ zu bestimmen, kannst du zwei der Koordinaten festlegen und die fehlende durch Einsetzen in die Ebenengleichung bestimmen:
Setze beispielsweise $x =1$ und $y=1$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{d_1+d_2}{2}&=&2\cdot 1+ 3\cdot 1 -4z\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{d_1+d_2}{2}&=&5-4z\quad &\scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] \dfrac{d_1+d_2}{2}-5&=&-4z \quad &\scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] -\dfrac{d_1+d_2}{8}+\dfrac{5}{4}&=&z\quad \\[5pt] \dfrac{10-d_1-d_2}{8}&=&z\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit lauten die Koordinaten eines Punkts auf $E_m$: $\quad P_m\left(1\mid 1\mid \dfrac{10-d_1-d_2}{8} \right)$
3. Schritt: Abstände berechnen
Um die Hesseschen Normalenformen aufzustellen, berechne zuerst den Betrag des Normalenvektors:
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{n_1}\right| &=&\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{29}\quad &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit lauten die umgeformten Ebenengleichungen wie folgt:
$E_1:\; \dfrac{2x+3y-4z-d_1}{\sqrt{29}}=0 \quad $ $E_2:\; \dfrac{2x+3y-4z-d_2}{\sqrt{29}}=0$
Setze nun die Koordinaten von $P_m$ jeweils in die linke Seite der Ebenengleichungen ein um den Abstand zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} d\left(E_1,P_m\right)&=&\dfrac{\left|2\cdot1+3\cdot 1-4\cdot\left(\dfrac{10-d_1-d_2}{8}\right)-d_1\right|}{\sqrt{29}}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left|\dfrac{d_1+d_2}{2}-d_1\right|}{\sqrt{29}}\quad \\[5pt] &=& \dfrac{\left|\dfrac{d_2-d_1}{2}\right|}{\sqrt{29}}\quad \\[5pt] &=&\dfrac{\left|d_2-d_1\right|}{2\sqrt{29}}\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d\left(E_2,P_m\right)&=&\dfrac{\left|2\cdot1+3\cdot 1-4\cdot\left(\dfrac{10-d_1-d_2}{8}\right)-d_2\right|}{\sqrt{29}}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left|\dfrac{d_1+d_2}{2}-d_2\right|}{\sqrt{29}}\quad \\[5pt] &=& \dfrac{\left|\dfrac{d_1-d_2}{2}\right|}{\sqrt{29}}\quad \\[5pt] &=&\dfrac{\left|d_2-d_1\right|}{2\sqrt{29}}\quad \\[5pt] &=&d\left(E_1,P_m\right)\quad \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand von $E_2$ zum Punkt $P_m$ welcher auf der Ebene $E_m$ liegt, ist gleich dem Abstand von $P_m$ zu $E_1$. Zudem sind alle drei Ebenen parallel zueinander. Daher haben alle Punkte auf $E_m$ den gleichen Abstand zu $E_1$ und $E_2$. Damit ist $E_m: 2x+3y-4z = \dfrac{d_1+d_2}{2}$ die mittelparallele Ebene, die alle Punkte enthält, die zu $E_1$ und $E_2$ den gleichen Abstand haben.

Teil 3 - Stochastik

a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Aufgabe die richtige Antwort anzukreuzen beträgt $p = 0,25$, da immer genau eine der 4 Antwortmöglichkeiten richtig ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mit der Pfadmultiplikationsregel:
$P(\text{Alle Antworten richtig})= 0,25^4 = \frac{1}{256}\approx 0,0039= 0,39\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,39\,\%$ kreuzt jemand durch willkürliches Raten alle Antworten richtig an.
b) 
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel vervollständigen
In der unteren rechten Ecke steht immer 1. Diese kannst du direkt eintragen. Die Einträge der rechten Spalte geben immer die Summe der Einträge in der entsprechenden Zeile an, genauso die untere Zeile. Mit diesen Informationen kannst du nach und nach die fehlenden Werte berechnen:
$A$$\overline{A}$Summe
$B$$0,25$$0,8-0,25=$$0,55$$0,8$
$\overline{B}$$0,3-0,25=$$0,05$$0,15$$1-0,8=$$0,2$
Summe$1-0,7=$$0,3$$0,55+0,15=$$0,7$$1$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten angeben
Die erste Wahrscheinlichkeit kannst du direkt aus der Vierfeldertafel ablesen:
$P(\overline{A} \cap B)= 0,55$
Die zweite kannst du über die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen:
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Damit ergibt sich hier mit den Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldertafel:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=&\dfrac{P(B\cap A)}{P(A)}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,25}{0,3}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,8333 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&83,33\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
c) 
$\blacktriangleright$  Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit angeben
Die Zufallsgröße $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da der Würfel fair ist und die einzelnen Würfe unabhängig voneinander sind. Die Parameter sind dabei $n =20$ und $p=0,5$. Du hast zwei Möglichkeiten den gesuchten Wert zu bestimmen:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Symmetrie
Für $p=0,5$ ist die Binomialverteilung symmetrisch, das heißt es gilt $P(X= k) = P(X=n-k)$. Im vorliegenden Fall gilt $k = 3$, damit ist der gesuchte Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit $w$ $20-3=17$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Binomialkoeffizient
Forme die Gleichung $P(X=3) = P(X=k)$ mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung um. Du bekommst dann eine Aussage über den Binomialkoeffizienten. Überlege dir für welche Werte dieser gleich ist.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3)&=&P(X=k)&\quad \scriptsize \\[5pt] \binom{20}{3}\cdot 0,5^3\cdot 0,5^{17}&=&\binom{20}{k}\cdot 0,5^k\cdot 0,5^{20-k} &\quad \scriptsize \\[5pt] \binom{20}{3}\cdot 0,5^{20}&=&\binom{20}{k}\cdot 0,5^{20}\quad \scriptsize \\[5pt] \binom{20}{3}&=&\binom{20}{k} &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Der Binomialkoeffizient $\binom{20}{3}$ beschreibt unter anderem die Anzahl der Möglichkeiten $3$ Menschen auf $20$ Stühlen zu verteilen. Dies ist die gleiche Anzahl an Möglichkeiten, die es gibt $3$ leere Plätze (also $17$ Personen) auf $20$ Stühlen zu verteilen. Daher ist der gesuchte Wert $17$.
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