Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BB, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Stochastik 3.2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

„Vorsorgemuffel“

Zu „Vorsorgemuffeln“ zählen Bundesbürger, die nicht regelmäßig eine Zahnarztpraxis zu Kontrolluntersuchungen aufsuchen. Nach einer Umfrage des Instituts der Deutschen Zahnärzte (2013) zählen dazu $29,3\,\%$ der weiblichen und sogar $44,7\,\%$ der männlichen Bundesbürger.
Unabhängig davon, ob er ein „Vorsorgemuffel“ ist oder nicht, geht im Mittel jeder sechste Bundesbürger bei akuten Beschwerden sofort zu einem Zahnarzt.
Wenn nicht ausdrücklich von männlichen oder weiblichen Bundesbürgern die Rede ist, sind immer alle Bundesbürger unabhängig vom Geschlecht gemeint.
a)  Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
  1. Unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich acht oder neun „Vorsorgemuffel“.
  2. Von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens $15$ und weniger als $29$ Personen zu denjenigen, die einen Zahnarzt bei akuten Beschwerden sofort aufsuchen.
  3. Unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern befinden sich mindestens $85$ Personen, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zum Zahnarzt gehen.
(11P)
b)  Berechne, wie viele weibliche Bundesbürger höchstens ausgewählt werden dürften, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, wenigstens einen „Vorsorgemuffel“ zu entdecken, unter $99\,\%$ liegt.
(4P)
c)  Nacheinander wurden zufällig ausgewählte männliche Bundesbürger befragt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ war.
(3P)
d)  Der Anteil der Männer unter allen Bundesbürgern liegt bei $48,88\,\%$ (Zensus 2011).
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unter allen Bundesbürgern zufällig ausgewählter Bundesbürger kein „Vorsorgemuffel“ ist, also regelmäßig zur zahnärztlichen Kontrolluntersuchung geht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass eine aus der Gruppe der „Vorsorgemuffel“ zufällig ausgewählte Person eine Frau ist.
(8P)
e)  In einem Landesteil Deutschlands beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Einwohner „Vorsorgemuffel“ ist, $p$ mit $0<p<1$.
Berechne $p$ für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter vier zufällig ausgewählten Einwohnern dieses Landesteiles genau drei „Vorsorgemuffel“ befinden, maximal ist. Auf den Nachweis des lokalen Maximums wird verzichtet.
(4P)

(30P)
Anlage zu Aufgabe 3.2: „Vorsorgemuffel“
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0$“, alle freien Plätze links unten enthalten $1,0000$, rechts oben $0,0000$.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5)$, ist der richtige Wert $1$ $-$ (abgelesener Wert).
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe hilft dir die Binomialverteilung. Führe also geeignete Zufallsvariablen ein und achte darauf deren Verteilung anzugeben.
Ereignis A
Betrachte hier die Zufallsvariable $M$, die die zufällige Anzahl der Vorsorgemuffel unter 20 männlichen Bundesbürgern beschreibt. Da die Wahrscheinlichkeit hier bei jedem Bundesbürger gleich ist, dass er ein „Vorsorgemuffel“ ist und es auch nur die beiden Möglichkeiten „Vorsorgemuffel“ und „kein Vorsorgemuffel“ bei jeder Person gibt, kann $M$ als binomialverteilt mit den Parametern $n =20$ und $p= 0,447$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mit der Formel für die Binomialverteilung.
Ereignis B
Betrachte hier die Zufallsvariable $Z$, die von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern die zufällige Anzahl derjenigen beschreibt, die bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen.
Diese ist aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parametern $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung aus dem Anhang der Aufgabe.
Ereignis C
Damit sich unter 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$ Personen befinden, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zu einem Zahnarzt gehen, dürfen höchstens $15$ Personen bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen. Berechne also die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Zufallsvariable $Z$ wie oben.
b) 
$\blacktriangleright$  Höchste Anzahl berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $W_n$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ weiblichen Bundesbürgern beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,293$ angenommen werden.
Gesucht ist nun das größte $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1) < 0,99$ gilt.
Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um.
c) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ ist, bedeutet, dass unter den ersten $5$ Befragten mindestens einer ein „Vorsorgemuffel“ ist.
Betrachtest du also die Zufallsvariable $M_5$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $5$ befragten männlichen Personen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit $n =5$ und $p = 0,447$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wie oben mit Hilfe des Gegenereignisses.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Vorsorgemuffel berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit ein „Vorsorgemuffel“ zu sein, davon abhängt ob die Person männlich oder weiblich ist. Wir verwenden hier folgende Bezeichnungen:
  • M: Person ist männlich
  • W: Person ist weiblich
  • V: Person ist Vorsorgemuffel
Überlege dir zunächst welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast und welche gesucht ist.
  • $P_M(V) = 44,7\,\%$
  • $P_W(V) = 29,3\,\%$
  • $P(M) = 48,88$
Gesucht ist die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\overline{V})$. Diese ergibt sich mit den Pfadregeln.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Frau berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem Satz von Bayes:
$P_B(A)= \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
e) 
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{p}$ berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $V_p$ , die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter vier Einwohnern des Landesteils beschreibt. Diese ist wie oben binomialverteilt, mit $n =4$ und unbekanntem $p$. Die Wahrscheinlichkeit $P(V_p = 3)$ soll maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(p) = P(V_p = 3)$. Mit Hilfe des notwendigen Kriteriums für Extremstellen $f'(x)=0$ kannst du $p$ bestimmen. Das hinreichende Kriterium muss laut Aufgabenstellung nicht überprüft werden.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe hilft dir die Binomialverteilung. Führe also geeignete Zufallsvariablen ein und achte darauf deren Verteilung anzugeben.
Ereignis A
Betrachte hier die Zufallsvariable $M$, die die zufällige Anzahl der Vorsorgemuffel unter 20 männlichen Bundesbürgern beschreibt. Da die Wahrscheinlichkeit hier bei jedem Bundesbürger gleich ist, dass er ein „Vorsorgemuffel“ ist und es auch nur die beiden Möglichkeiten „Vorsorgemuffel“ und „kein Vorsorgemuffel“ bei jeder Person gibt, kann $M$ als binomialverteilt mit den Parametern $n =20$ und $p= 0,447$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(M=8)+P(M=9) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{20}{8}\cdot 0,447^8\cdot0,553^{12} + \binom{20}{9}\cdot 0,447^9\cdot0,553^{11} \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,3412 \quad \scriptsize\\[5pt] &=&34,12\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $34,12\,\%$ befinden sich unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern $8$ oder $9$ „Vorsorgemuffel“.
Ereignis B
Betrachte hier die Zufallsvariable $Z$, die von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern die zufällige Anzahl derjenigen beschreibt, die bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen.
Diese ist aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parametern $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung aus dem Anhang der Aufgabe.
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(15\leq Z < 29) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&P(14< Z \leq 28) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&P(Z\leq 28)- P(Z\leq 14) \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx& 0,9985- 0,2874\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 0,7111\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 71,11\,\%\quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $71,11\,\%$ befinden sich unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $15$ und weniger als $29$ Personen, die bei akuten Beschwerden sofort zu einem Zahnarzt gehen.
Ereignis C
Damit sich unter 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$ Personen befinden, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zu einem Zahnarzt gehen, dürfen höchstens $15$ Personen bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen. Berechne also die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Zufallsvariable $Z$ wie oben:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(Z\leq 15) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,3877 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&38,77\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $38,77\,\%$ befinden sich unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zum Zahnarzt gehen.
b) 
$\blacktriangleright$  Höchste Anzahl berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $W_n$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ weiblichen Bundesbürgern beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,293$ angenommen werden.
Gesucht ist nun das größte $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1) < 0,99$ gilt.
Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um:
$\begin{array}[t]{rll} P(W_n\geq 1)&< &0,99 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n < 1)&<& 0,99 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n =0)&<&0,99 \quad &\scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(W_n =0)&<&-0,01 \quad &\scriptsize \mid\; \cdot (-1) < 0\\[5pt] P(W_n =0)&>&0,01 \quad \scriptsize\\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,293^0\cdot0,707^{n}&>&0,01 \quad \scriptsize\\[5pt] 0,707^{n}&>&0,01 \quad &\scriptsize\mid\; \ln\\[5pt] n \cdot \ln(0,707)&>&\ln(0,01) \quad &\scriptsize : \ln(0,707)< 0 \\[5pt] n&<&13,28 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Es dürfen höchstens $13$ weibliche Bundesbürger befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $99\,\%$ mindestens ein „Vorsorgemuffel“ dabei ist.
c) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ ist, bedeutet, dass unter den ersten $5$ Befragten mindestens einer ein „Vorsorgemuffel“ ist.
Betrachtest du also die Zufallsvariable $M_5$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $5$ befragten männlichen Personen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit $n =5$ und $p = 0,447$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wie oben mit Hilfe des Gegenereignisses:
$\begin{array}[t]{rll} P(M_5 \geq 1)&=&1-P(M_n = 0) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\binom{5}{0}\cdot 0,447^0\cdot0,553^{5} \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,9483 \quad \scriptsize\\[5pt] &=&94,83 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $94,83\,\%$ ist spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Vorsorgemuffel berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit ein „Vorsorgemuffel“ zu sein, davon abhängt ob die Person männlich oder weiblich ist. Wir verwenden hier folgende Bezeichnungen:
  • M: Person ist männlich
  • W: Person ist weiblich
  • V: Person ist Vorsorgemuffel
Überlege dir zunächst welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast und welche gesucht ist.
  • $P_M(V) = 44,7\,\%$
  • $P_W(V) = 29,3\,\%$
  • $P(M) = 48,88$
Gesucht ist die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\overline{V})$. Diese ergibt sich mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{V})&=&1-P(V) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\left(P(M)\cdot P_M(V)+P(W)\cdot P_W(V)\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\left(0,4888\cdot 0,447 + 0,5112\cdot 0,293\right) \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx&0,6317 \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx&63,17\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $63,17\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter Bundesbürger kein „Vorsorgemuffel“.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Frau berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem Satz von Bayes:
$P_B(A)= \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$\begin{array}[t]{rll} P_V(W)&=&\dfrac{P_W(V)\cdot P(W)}{P(V)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,293\cdot 0,5112}{1-0,6317}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,4067\quad \scriptsize \\[5pt] &=&40,67\,\% \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,67\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter „Vorsorgemuffel“ eine Frau.
e) 
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{p}$ berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $V_p$ , die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter vier Einwohnern des Landesteils beschreibt. Diese ist wie oben binomialverteilt, mit $n =4$ und unbekanntem $p$. Die Wahrscheinlichkeit $P(V_p = 3)$ soll maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(p) = P(V_p = 3)$. Mit Hilfe des notwendigen Kriteriums für Extremstellen $f'(x)=0$ kannst du $p$ bestimmen. Das hinreichende Kriterium muss laut Aufgabenstellung nicht überprüft werden.
$\begin{array}[t]{rll} f(p)&=&P(V_p =3) \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{4}{3}\cdot p^3\cdot (1-p)^1\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4\cdot p^3-4\cdot p^4\quad \scriptsize \\[10pt] f'(p)&=& 12\cdot p^2-16\cdot p^3\quad \scriptsize \\[10pt] f'(p)&=& 0\quad \scriptsize \\[5pt] 12\cdot p^2-16\cdot p^3&=& 0\quad &\scriptsize \mid\; :4p^2 \neq 0\\[5pt] 3-4p&=& 0\quad &\scriptsize \mid\; +4p \\[5pt] 3&=& 4p\quad &\scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \frac{3}{4}&=& p\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die angegebene Wahrscheinlichkeit ist für $p = \dfrac{3}{4}$ maximal.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App