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Aufgabe 5

Aufgaben
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Studentenwohnung

Stefan möchte sich an seinem zukünftigen Studienort für sechs Jahre eine Wohnung mieten.
a)
Beim Abschluss des Mietvertrages wird eine jährliche Mietsteigerung von $1,1\;\%$ vereinbart. Die Anfangsmiete beträgt monatlich $310$ Euro. Zeige rechnerisch, dass die monatliche Miete im letzten Mietjahr $327,43\; €$ beträgt.
(2 P)
b)
Die Stromkosten sind in der Miete nicht enthalten. Deshalb sucht Stefan nach einem günstigen Anbieter. Er rechnet mit einem jährlichen Verbrauch von $1.000\;\text{kWh}$.
Die folgenden zwei Angebote hat er favorisiert:
StromkostenAnbieter $1$Anbieter $2$
Arbeitspreis Netto$25,47\;\text{ct/kWh}$$24,02\;\text{ct/kWh}$
Grundpreis Netto$57\;\text{Euro/Jahr}$ $81\;\text{Euro/Jahr}$
Stromsteuer$0,015\;\text{Euro je kWh} $$0,015\;\text{Euro je kWh} $
Umsatzsteuer$19\;\%$ auf alle Beträge$19\;\%$ auf alle Beträge
Prüfe, welches der beiden Angebote für Stefan günstiger ist.
(2 P)
c)
Zur Wohnungsübergabe erscheint der Hausmeister mit einem Schlüsselbund, an dem sich sieben Schlüssel befinden. Nacheinander probiert er diese an der Tür aus, um den passenden Schlüssel zu finden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Schlüssel passt.

Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sofort der erste Schlüssel oder erst der letzte Schlüssel passt.
(4 P)
d)
Den Einzug möchte Stefan mit Freunden feiern und einen kleinen Imbiss vorbereiten. Er kauft helle und dunkle Brötchen, zwei verschiedene Käse- und vier verschiedene Wurstsorten zum Belegen der Brötchen ein. Jedes Brötchen soll mit einer Käse- oder einer Wurstsorte belegt werden. Zusätzlich soll auf jedem Brötchen eine Gurken- oder Tomatenscheibe liegen.
Ermittle, wie viele verschiedene belegte Brötchen möglich sind.
(2 P)
#prozent#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$ Monatsmiete nach $\boldsymbol{6}$ Jahren berechnen
Zur Berechnung der Miete im $6.$ Jahr, kann die Formel für den Zinseszins nach $n$ Jahren verwendet werden. Die Miete im $6.$ Jahr entspricht der Miete nach $n=5$ Jahren.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=&K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n &\quad \scriptsize \\[5pt] K_n&=&310\,€ \cdot \left(1+\frac{1,1}{100}\right)^5&\quad \scriptsize \\[5pt] K_n&=&327,43\;\,€&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Miete im letzten Mietjahr beträgt $327,43\;\,€$.
b)
$\blacktriangleright$ Günstigeres Angebot angeben
Da die Strom- und die Umsatzsteuer bei beiden Angeboten gleich hoch ist, ist es ausreichend den Arbeits- und den Grundpreis der beiden Angebote zu vergleichen.
Angebot $\boldsymbol{1}$:
$25,47\;\text{ct} \cdot 1.000 + 5.700 \;\text{ct}=31.170\;\text{ct}=311,7\;\;€$
Angebot $\boldsymbol{2}$:
$24,02\;\text{ct} \cdot 1.000 + 8.100 \;\text{ct}=32.120\;\text{ct}=321,2\;\;€$
Der Anbieter $1$ ist günstiger.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Schlüssel passt, berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweiten Versuch der richtige Schlüssel ausgewählt wird, setzt sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schlüssel nicht passt und der, dass der zweite passt, zusammen. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt] P&=&\frac{1}{7} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Schlüssel passt, beträgt $\frac{1}{7}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten vergleichen
Es gibt insgesamt $7$ Schlüssel, von denen jeder mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden kann. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim $1$. Versuch der richtige Schlüssel ausgewählt wird, $\frac{1}{7}$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst der letzte Schlüssel passt, setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten zusammen, dass die ersten 6 Schlüssel nicht passen und der, dass der letzte Schlüssel passt:
$P=\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{7}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Schlüssel passt, ist genau so groß, wie die dafür, dass der letzte Schlüssel passt.
d)
$\blacktriangleright$ Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten berechnen
Es gibt $2$ Möglichkeiten zur Brötchenauswahl, $6$ Möglichkeiten zur Wahl des Wurst- oder Käsebelags und es gibt die $2$ Möglichkeiten Gurke oder Tomate zu verwenden. Diese Varianten können alle kombiniert werden, daraus ergibt sich:
$n=2\cdot 6 \cdot 2 =24$
Es gibt insgesamt $24$ Möglichkeiten die Brötchen zu belegen.
#zinseszins#wahrscheinlichkeit#prozent
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