Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Smarter Learning
  • Prüfungsvorbereitung
    • Original-Prüfungsaufgaben 2004-2020
    • Abitur und Abschlussprüfungen aller Schularten und Bundesländer
  • Digitales Schulbuch
    • Spickzettel, Aufgaben und Lösungen
    • Lernvideos
  • Lektürehilfen
    • Über 30 Lektüren und Pflichtlektüren
  • Mein SchulLV
    • Eigene Inhaltsverzeichnisse
    • Eigene Favoritenlisten
über 8 Fächer
Jetzt freischalten
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs

Hilfsmittelfreier Teil

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

1.1 Analysis 1

Eine Funktion $ f$ ist gegeben durch $ f(x)=-5x^4-3x^2+x$; $ x\in\mathbb{R}$.
a)
Ermittle die Gleichung der Ableitungsfunktion $ f'$.
Gib die Gleichung einer Stammfunktion $ F$ von $ f$ an.
(2 BE)
#stammfunktion#ableitung
b)
Der Graph von $f$ hat ein Maximum an der Stelle $\text x_{\text {Max}}$.
Gib ein Intervall der Länge $1$ an, in dem die Stelle $\text x_{\text {Max}}$ liegen muss.
Begründe deine Angabe.
(3 BE)

1.2 Analysis 2

Gegeben sind die in $ \mathbb{R}$ definierten Funktionen $ g$ mit $ g(x)=x^2-3$ und $ h$ mit $ h(x)=-x^2+2x+1.$
a)
Zeige, dass sich die Graphen von $ g$ und $ h$ nur für $ x=-1$ und $ x=2$ schneiden.
(2 BE)
b)
Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $ g$ und $ h$ einschließen.
(3 BE)

1.3 Geometrie

Gegeben ist eine Gerade $ g$ durch die Gleichung $ g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\3\\6}+r\cdot \pmatrix{2\\-5\\-1}$; $ r\in \mathbb{R}$.
a)
  • Gib eine Gleichung einer Geraden $ p$ an, die echt parallel zu $ g$ verläuft.
  • Gib eine Gleichung einer Geraden $ s$ an, die $ g$ senkrecht schneidet.
(3 BE)
b)
Entscheide begründet, ob jede mögliche Gerade $ s$ auch die Gerade $ p$ schneidet.
(2 BE)

1.4 Stochastik

Ein Chor besteht aus zwölf Frauen und neun Männern; eine der Frauen leitet den Chor. An einer Preisverleihung dürfen zwei Mitglieder des Chors teilnehmen.
a)
Zunächst geht man davon aus, dass die Leiterin des Chors an der Preisverleihung teilnimmt und das zweite Mitglied zufällig ausgewählt wird. Gib für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das zweite Mitglied eine Frau ist.
(1 BE)
Da die Leiterin an der Preisverleihung nicht teilnehmen kann, werden zwei der anderen Mitglieder zufällig ausgewählt.
b)
Begründe ohne zu rechnen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Frauen ausgewählt werden, größer ist als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Männer ausgewählt werden.
(1 BE)
c)
Gib einen Term an für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau und ein Mann ausgewählt werden.
(3 BE)

(20 BE)
#hilfsmittelfreieaufgaben
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

1.1 Analysis 1

a)
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -5x^4-3x^2+x \\[10pt] f'(x) &=& -5\cdot 4\cdot x^3 -3\cdot 2 \cdot x + 1 \\[5pt] &=& -20x^3 -6x+1 \end{array}$
$ f'(x)=-20x^3 -6x+1 $
$\blacktriangleright$  Gleichung einer Stammfunktion angeben
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -5x^4-3x^2+x \\[5pt] F(x) &=& -5\cdot \frac{1}{5}x^5-3\cdot \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \\[5pt] &=& -x^5 -x^3 + \frac{1}{2}x^2 \\[5pt] \end{array}$
$ F(x)=-x^5 -x^3 + \frac{1}{2}x^2 $
b)
$\blacktriangleright$  Intervall angeben
In einer Maximalstelle $x_{\text{Max}}$ von $f$ müssen die Funktionswerte von $f'$ einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ aufweisen.
Anhand des Funktionsterms von $f'$ aus a) kannst du vermuten, dass beispielsweise $f'(0) > 0$ und $f'(1) < 0$ gilt. Überprüfe dies:
$\begin{array}[t]{rll} f'(0) &=& -20\cdot 0^3 -6\cdot 0+1 \\[5pt] &=& 1 > 0 \\[10pt] f'(1) &=& -20\cdot 1^3 -6\cdot 1+1 \\[5pt] &=& -25 < 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(0) &=& 1 > 0 \\[10pt] f'(1) &=& -25 < 0 \\[10pt] \end{array}$
Da $f'(0) > 0$ und $f'(1)< 0$ ist, muss innerhalb des Intervalls $[0;1]$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von $f'$ liegen. Es ist also $x_{\text{Max}} \in [0;1].$
#extrempunkt

1.2 Analysis 2

a)
$ \blacktriangleright$  Schnittstellen zeigen
Für jede Schnittstelle $ x$ von $ g$ und $ h$ muss $ g(x)=h(x)$ gelten.
$ \begin{array}[t]{rll} g(x) &=& h(x) \\[5pt] x^2-3 &=& -x^2 +2x +1 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2; -2x;-1 \\[5pt] 2x^2 -2x -4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x^2 -x -2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2} \right)^2 -(-2)} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \pm\frac{3}{2} \\[10pt] x_1 &=& \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] x_2 &=& \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} g(x) &=& h(x) \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] x_2 &=& \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Die einzigen beiden Lösungen der Gleichung $ g(x)=h(x)$ sind $ x_1= -1$ und $ x_2 = 2.$ Dies sind also die beiden Schnittstellen der Graphen von $ g$ und $ h.$
b)
$ \blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Den gesuchten Flächeninhalt kannst du mithilfe eines Integrals berechnen, bei dem die Grenzen die Schnittstellen von $ g$ und $ h$ sind.
$ \begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(h(x)-g(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(-x^2+2x+1-\left( x^2-3\right) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(-2x^2+2x+4 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{2}{3}x^3 +x^2+4x \right]_{-1}^2 \\[5pt] &=& -\frac{2}{3}\cdot 2^3 +2^2+4\cdot 2 - \left( -\frac{2}{3}\cdot (-1)^3 +(-1)^2+4\cdot (-1)\right) \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
$ A=9 $
Die Graphen von $ g$ und $ h$ schließen eine Fläche mit dem Flächeninhalt $ 9\,\text{FE}$ ein.
#integral

1.3 Geometrie

a)
$ \blacktriangleright$  Geradengleichungen angeben
Die Gerade $ p$ soll echt parallel zu $ g$ verlaufen. Verwende also beispielsweise den Richtungsvektor von $ g$ damit beide Geraden parallel sind. Wähle einen Stützpunkt, der nicht auf $ g$ liegt, damit die Geraden echt parallel sind. Der Punkt $ (0\mid 0\mid 0)$ liegt beispielsweise nicht auf $ g.$ Eine mögliche Gleichung lautet also:
$ p:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{2\\-5\\-1},$ $ s\in \mathbb{R}.$
Die Gerade $ s$ soll $ g$ senkrecht schneiden. Ihr Richtungsvektor muss also senkrecht zu dem von $ g$ verlaufen. Das Skalarprodukt des gesuchten Richtungsvektors $ \pmatrix{a\\b\\c}$ mit dem Richtungsvektor von $ g$ muss Null ergeben.
$ \begin{array}[t]{rll} \pmatrix{a\\b\\c}\circ \pmatrix{2\\-5\\-1} &=& 0 \\[5pt] 2a -5b -c &=& 0 \end{array}$
Du kannst nun zwei der Einträge beliebig wählen und den fehlenden berechnen. Beispielsweise $ a=1$ und $ b=1.$
$ \begin{array}[t]{rll} 2a -5b -c &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; a=b=1 \\[5pt] 2\cdot 1 -5\cdot 1 -c &=& 0 \\[5pt] -3 -c &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +c \\[5pt] -3 &=& c \end{array}$
$ c = -3 $
Ein möglicher Richtungsvektor von $ s$ ist also $ \pmatrix{1\\1\\-3}.$
Die Gerade $ s$ soll $ g$ schneiden, also müssen beide Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen. Du kannst für $ s$ also den Stützvektor von $ g$ verwenden.
$ s:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{5\\3\\6} + t\cdot \pmatrix{1\\1\\-3},$ $ t\in \mathbb{R}.$
b)
$ \blacktriangleright$  Entscheiden, ob sich die Geraden schneiden
Du kannst beispielsweise die Geraden überprüfen, die du oben angegeben hast. Gleichsetzen von den oben genannten Geradengleichungen liefert:
$ \begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{2\\-5\\-1} &=& \pmatrix{5\\3\\6} + t\cdot \pmatrix{1\\1\\-3} &\quad \scriptsize \mid\;-t\cdot \pmatrix{1\\1\\-3} \\[5pt] s\cdot \pmatrix{2\\-5\\-1} -t\cdot \pmatrix{1\\1\\-3} &=& \pmatrix{5\\3\\6} \end{array}$
$ s\cdot \pmatrix{2\\-5\\-1} -t\cdot \pmatrix{1\\1\\-3} = \pmatrix{5\\3\\6} $
Daraus entsteht folgendes Gleichunggsystem:
$ \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5&=& 2s -t \\ \text{II}\quad&3&=& -5s -t \\ \text{III}\quad&6&=& -s+3t \\ \end{array}$
Die erste Zeile kannst du nach $ t$ umformen:
$ \begin{array}[t]{lrll} \text{I}\, & 5 &=& 2s -t &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] &5+t &=& 2s &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] &t &=& 2s-5 \end{array}$
$ t =2s-5 $
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:
$ \begin{array}[t]{rll} \text{II}\, & 3 &=& -5s-t &\quad \scriptsize \mid\; t = 2s-5 \\[5pt] & 3 &=& -5s -\left(2s-5 \right) \\[5pt] & 3 &=& -5s -2s +5 \\[5pt] & 3 &=& -7s +5 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] & -2 &=& -7s &\quad \scriptsize \mid\; :(-7) \\[5pt] & \frac{2}{7} &=& s \end{array}$
$ s= \frac{2}{7} $
Damit kannst du nun wiederum einen Wert für $ t$ berechnen:
$ \begin{array}[t]{rll} t &=& 2s-5 &\quad \scriptsize \mid\;s = \frac{2}{7} \\[5pt] &=& 2\cdot \frac{2}{7} -5 \\[5pt] &=& -\frac{31}{7} \\[5pt] \end{array}$
$ t=-\frac{31}{7} $
Überprüfe nun, ob die Lösung auch die dritte Gleichung erfüllt:
$ \begin{array}[t]{rll} \text{III}\, & 6 &=& -s+3t &\quad \scriptsize \mid\; s =\frac{2}{7};\, t = -\frac{31}{7} \\[5pt] & 6 &=& -\frac{2}{7}+3\cdot \left(-\frac{31}{7}\right) \\[5pt] & 6 &=& -\frac{95}{7} \end{array}$
$ 6 = -\frac{95}{7} $
Dies ist eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem ist daher nicht lösbar. Die Geraden $ s$ und $ p$ schneiden sich nicht. Es schneidet also nicht jede mögliche Gerade $ s$ auch die Gerade $ p,$ da wir hier ein Gegenbeispiel gefunden haben.
#skalarprodukt

1.4 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Da man davon ausgeht, dass die Leiterin des Chors ohnehin an der Preisverleihung teilnimmt, wird der zweite Teilnehmer nur noch unter den elf übrigen Frauen und den neun Männern ausgelost:
$\frac{11}{20} = \frac{55}{100} = 55\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $55\,\%$ ist das zweite Mitglied eine Frau.
b)
$\blacktriangleright$  Größere Wahrscheinlichkeit begründen
In der Menge, aus der ausgewählt wird, gibt es mehr Frauen als Männer. Daher ist sowohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste ausgewählte Person eine Frau ist als auch dafür, dass die zweite ausgewählte Person eine Frau ist, größer als die jeweilige Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um einen Mann handelt. Insgesamt ist daher auch die Wahrscheinlichkeit für zwei Frauen größer als für zwei Männer.
c)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Verwende die Pfadregeln. Beachte, dass eine Person nicht zweimal ausgewählt werden kann, es handelt sich also um Ziehen ohne Zurücklegen.
$\frac{11}{20}\cdot \frac{9}{19} + \frac{9}{20} \cdot \frac{11}{19} = \frac{198}{380}$
#pfadregeln
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App