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Analysis 1.1

Aufgaben
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a)
Berechne, wie viel höher der Punkt $S$ als der Punkt $C$ liegt.
Berechne den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B.$
(3 BE)
b)
Ermittle den Inhalt der Querschnittsfläche des Bauwerks $ABCS.$
(4 BE)
c)
Der Punkt $U$ liegt an der tiefsten Stelle des Aufsprunghangs $g.$
Ermittle rechnerisch Lage und Art aller lokalen Extrempunkte des Graphen von $g$ und entscheide, welcher der Extrempunkte dem Punkt $U$ entspricht.
Berechne die mittlere Steigung des Aufsprunghangs zwischen $C$ und $U.$
(7 BE)
#extrempunkt
d)
Von besonderer Bedeutung für die Konstruktion einer Skisprunganlage ist der Punkt $K,$ in dem der Aufsprunghang sein stärkstes Gefälle aufweist.
Berechne die Koordinaten von $K.$ Für die Ermittlung der $x$-Koordinate von $K$ genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.
(3 BE)
e)
Im Punkt $P(110\mid g(110))$ soll der Aufsprunghang ohne Knick geradlinig fortgesetzt werden.
Ermittle eine Gleichung für die Gerade, die diese Fortsetzung beschreibt.
(4 BE)
Die Flugbahn eines Skispringers wird durch eine quadratische Funktion $f$ beschrieben. Im Punkt $S$ geht die Anlaufbahn $h$ ohne Knick in diese Flugbahn über. Bei $x = 60\,\text{m}$ hat der Springer eine vertikale Höhe von $4,72\,\text{m}$ über dem Aufsprunghang.
f)
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der Flugbahn.
Berechne die Koordinaten des Punktes $L,$ in dem der Springer auf dem Aufsprunghang landet.
Berechne den Winkel zwischen der Flugbahn des Springers und dem Aufsprunghang im Punkt $L.$
[Zur Kontrolle: $f(x)=-0,008x^2+54$ und $L(73,9\mid10,3)$]
(11 BE)
g)
Aus Sicherheitsgründen darf der vertikale Abstand des Springers zum Aufsprunghang während des Sprunges nicht zu groß werden.
Gib das Intervall an, in dem der vertikale Abstand des Springers zum Aufsprunghang mindestens $5\,\text{m}$ beträgt.
Weise nach, dass der maximale vertikale Abstand zum Hang während des Fluges höchstens $6\,\text{m}$ beträgt.
(8 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnenAnalysis 1.1
Der Höhenunterschied der beiden Punkte $S$ und $C$ ergibt sich aus der Differenz ihrer $y$-Koordinaten. Der Punkt $C$ liegt auf dem Graphen von $g,$ der Punkt $S$ auf dem Graphen von $h.$ Beide Punkte besitzen die $x$-Koordinate $x_C=x_S = 0,$ da sie auf der $y$-Achse liegen.
$\begin{array}[t]{rll} y_C&=& g(0) \\[5pt] &=&\frac{1}{1.000}\cdot \left( \frac{1}{2.000}\cdot 0^4-10\cdot 0^2 +50.000\right) \\[5pt] &=& 50 \\[10pt] y_S&=& h(0) \\[5pt] &=& 0,05\cdot 0^2 +54 \\[5pt] &=& 54 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_C&=& 50 \\[10pt] y_S&=&54 \\[10pt] \end{array}$
Der Punkt $S$ liegt also $4\,\text{m}$ höher als der Punkt $C.$
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen den Punkten berechnen
Da die Strecke von $B$ nach $C$ $20\,\text{m}$ lang ist und waagerecht verläuft, ist die $x$-Koordinate von $B$ $x_B=-20$ und die $y$-Koordinate entspricht der von $C:$ $y_B= 50.$
Der Punkt $A$ hat die gleiche $x$-Koordinate wie $B$ und liegt auf dem Graphen von $h.$ Der Abstand ergibt sich daher über die Differenz der $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y_A&=& h(-20) \\[5pt] &=& 0,05\cdot (-20)^2 +54 \\[5pt] &=& 74 \\[5pt] \end{array}$
$ y_A=74 $
Der Abstand zwischen $A$ und $B$ beträgt also $24\,\text{m}.$
b)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Querschnittsfläche ermitteln
Im Modell entspricht die Querschnittsfläche der Fläche, die der Graph von $h$ mit der Gerade zu $y = 50$ und den beiden Geraden $x=-20$ und $x=0$ einschließt. Den Flächeninhalt kannst du mithilfe eines Integrals und dieses mithilfe deines CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABCS}&=& \displaystyle\int_{-20}^{0}\left(h(x)-50\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 213,3 \end{array}$
$ A_{ABCS}\approx 213,3 $
Die Querschnittsfläche des Bauwerks $ABCS$ ist ca. $213,2\,\text{m}^2$ groß.
#integral
c)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte ermitteln
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}x^4-10x^2+50.000 \right) \\[5pt] g'(x)&=& \frac{1}{1.000}\cdot \left( \frac{1}{500}x^3-20x \right) \\[5pt] g''(x)&=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{3}{500}x^2-20 \right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& … \\[5pt] g'(x)&=& … \\[5pt] g''(x)&=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{1.000}\cdot \left( \frac{1}{500}x^3-20x \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 1.000 \\[5pt] \frac{1}{500}x^3-20x&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(\frac{1}{500}x^2-20\right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=0 \\[5pt] \frac{1}{500}x^2-20&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+20 \\[5pt] \frac{1}{500}x^2 &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 500\\[5pt] x^2&=& 10.000\\[5pt] x_{2/3}&=& \pm 100 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0\\[5pt] x_{2/3}&=& \pm 100 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g''(x_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{3}{500}\cdot 0^2-20 \right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{50}\, <0 \\[5pt] g''(x_2)&=&g''(-100) \\[5pt] &=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{3}{500}\cdot (-100)^2-20 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{25}\, >0 \\[5pt] g''(x_3)&=&g''(100) \\[5pt] &=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{3}{500}\cdot 100^2-20 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{25}\, >0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(x_1)=& -\frac{1}{50}\, <0 \\[5pt] g''(x_2)=& \frac{1}{25}\, >0 \\[5pt] g''(x_3)=& \frac{1}{25}\, >0 \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $g$ besitzt also zwei Tiefpunkte an den Stellen $x_2=-100$ und $x_3=100$ und einen Hochpunkt an der Stelle $x_1=0.$
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 50 \\[5pt] g(-100)&=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}\cdot (-100)^4-10\cdot (-100)^2+50.000 \right)\\[5pt] &=& 0 \\[5pt] g(100)&=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}\cdot 100^4-10\cdot 100^2+50.000 \right) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 50 \\[5pt] g(-100)&=& 0 \\[5pt] g(100)&=& 0 \end{array}$
Der Graph von $g$ besitzt die beiden Tiefpunkte $T_1(-100\mid 0)$ und $T_2(100\mid 0)$ und einen Hochpunkt mit $H(0\mid 50).$
Der Tiefpunkt $T_2$ entspricht dem Punkt $U,$ da er im ersten Quadranten des Koordinatensystems liegt.
$\blacktriangleright$  Mittlere Steigung berechnen
Mithilfe des Differenzenquotientens kannst du nun die mittlere Steigung zwischen den beiden Punkten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_U-y_C}{x_U-x_C}&=&\dfrac{0-50}{100-0} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
Die mittlere Steigung des Aufsprunghangs zwischen $C$ und $U$ beträgt $-0,5. $
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{K}$ berechnen
Bei $K$ handelt es sich um den Wendepunkt des Graphen von $g,$ der im 1. Quadranten liegt, für dessen $x$-Koordinate also $x_W >0$ gilt.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{3}{500}x^2-20 \right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 1.000 \\[5pt] \frac{3}{500}x^2-20 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+20 \\[5pt] \frac{3}{500}x^2&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{3}{500}\\[5pt] x^2&=& \frac{10.000}{3} \\[5pt] x_{1/2}&=& \pm\frac{ 100}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}=& \pm\frac{ 100}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$
Da $K$ der Punkt mit dem stärksten Gefälle ist, muss er im ersten Quadranten des Koordinatensystems liegen. Also ist $x_K= \frac{100}{\sqrt{3}}.$
2. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} y_K&=& g\left(\frac{100}{\sqrt{3}}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}\cdot \left( \frac{100}{\sqrt{3}}\right)^4-10\cdot \left( \frac{100}{\sqrt{3}}\right)^2 +50.000 \right) \\[5pt] &=& \frac{200}{9} \end{array}$
$ y_K=\frac{200}{9} $
Der Punkt $K$ hat die Koordinaten $K\left(\frac{100}{\sqrt{3}} \mid \frac{200}{9}\right).$
#wendepunkt
e)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Damit die Gerade knickfrei an den Graphen von $g$ anschließt muss sowohl die Steigung als auch der Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen. Für die Steigung der Geraden folgt mit der ersten Ableitungsfunktion von $g$ oder deinem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& g'(110) \\[5pt] &=& \frac{1}{1.000}\cdot \left( \frac{1}{500}\cdot 110^3-20\cdot 110 \right) \\[5pt] &=& 0,462 \\[5pt] \end{array}$
$ m = 0,462 $
Mit den Koordinaten des Punkts $P$ kannst du nun eine Punktprobe durchführen. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,462x + b &\quad \scriptsize \mid\;P(110\mid g(110)) \\[5pt] g(110)&=& 0,462\cdot 110 +b &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] b&=& -48,615 \end{array}$
$ b = -48,615 $
Eine Gleichung der Geraden, die die Fortsetzung beschreibt, lautet $y = 0,462x -48,615.$
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bei $f$ soll es sich um eine quadratische Funktion handeln:
$f(x)= ax^2+bx+c$
$f$ soll folgende Bedingungen erfüllen:
  • Im Punkt $S(0\mid 54)$ sollen die Graphen von $h$ und $f$ knickfrei ineinander übergehen. Daraus folgt:
    $f(0)=h(0)=54 $ und $f'(0)=h'(0)$
  • Bei $x=60\,\text{m}$ hat der Springer eine vertikale Höhe von $4,72\,\text{m}$ über dem Aufsprunghang:
    $f(60)= g(60)+4,72$
Die ersten Ableitungsfunktionen von $f$ und $h$ lauten:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 2ax+b \\[5pt] h'(x)&=& 0,1x \end{array}$
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&h'(0)&=& f'(0) \\[5pt] &0,1\cdot 0&=& 2a\cdot 0 +b \\[5pt] & 0&=& b \\[10pt] \text{II}\quad&h(0)&=& f(0) \\[5pt] &54&=& a\cdot 0^2+b\cdot 0 +c \\[5pt] &54&=& c \\[10pt] \text{III}\quad&g(60)+4,72 &=& f(60) \\[5pt] &\frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}\cdot 60^4-10\cdot 60^2+50.000\right)+4,72 &=& f(60) \\[5pt] &25,2 &=& a\cdot 60^2+b\cdot 60 + c &\quad \scriptsize\mid \; c=54; b=0 \\[5pt] &25,2 &=& a\cdot 60^2+ 54 &\quad \scriptsize\mid\; -54 \\[5pt] &-28,8 &=& a\cdot 60^2 &\quad \scriptsize\mid\; :60^2 \\[5pt] &-0,008 &=& a \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad & 0&=& b \\[10pt] \text{II}\quad&54&=& c \\[10pt] \text{III}\quad&-0,008 &=& a \\[5pt] \end{array}$
Eine Funktionsgleichung von $f$ lautet $f(x)=-0,008x^2+54.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Landepunkts berechnen
Im Punkt $L$ trifft die Flugbahn des Springers auf den Aufsprunghang. Er ist also der Schnittpunkt der Graphen von $g$ und $f,$ der im ersten Quadranten des Koordinatensystems liegt.
Gleichsetzen liefert folgende Gleichung, die du auch mit dem solve-Befehl des CAS lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[5pt] -0,008x^2+54&=& \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}x^4-10x^2+50.000 \right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 1.000 \\[5pt] -8x^2+54.000&=& \frac{1}{2.000}x^4-10x^2+50.000 &\quad \scriptsize \mid\;-54.000; +8x^2 \\[5pt] 0&=& \frac{1}{2.000}x^4-2x^2-4.000 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2.000 \\[5pt] 0&=& x^4 -4.000x^2-8.000.000&\quad \scriptsize \mid\;\text{Substitution:} x^2 = z \\[5pt] 0&=&z^2-4.000z-8.000.000 \\[5pt] z_{1/2}&=& -\frac{-4.000}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4.000}{2}\right)^2 +8.000.000} \\[5pt] &=& 2.000 \pm \sqrt{12.000.000} \\[5pt] z_1&\approx& 5.464,1 \\[5pt] z_2&\approx& -1.464,1 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_1&\approx& 5.464,1 \\[5pt] z_2&\approx& -1.464,1 \\[5pt] \end{array}$
Da für die Resubstitution wurzelgezogen werden muss, kommt nur $z_1$ infrage:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& \pm\sqrt{z_1} \\[5pt] &\approx& \pm 73,9 \end{array}$
Da der Landepunkt im ersten Quadranten des Koordinatensystems liegen muss, gilt $x_L\approx 73,9.$ Für die $y$-Koordinate folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(73,9)&=& -0,008\cdot 73,9^2 +54 \\[5pt] &\approx& 10,3 \end{array}$
$ f(73,9) \approx 10,3 $
Der Punkt $L,$ in dem der Springer auf den Aufsprunghang trifft, hat die Koordinaten $L(73,9\mid 10,3).$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Gesucht ist der Schnittwinkel der beiden Graphen von $g$ und $f.$ Dazu benötigst du den jeweiligen Steigungswert im Punkt $L,$ den du auch mit dem CAS berechnen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} g'(73,9)&\approx & -0,67 \\[5pt] f'(73,9)&=& -1,1824 \end{array}$
Für den Schnittwinkel folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{-0,67-(-1,1824)}{1+(-1,1824)\cdot (-0,67)}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 16^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 16^{\circ} $
Im Punkt $L$ beträgt der Winkel zwischen dem Aufsprunghang und der Flugbahn ca. $16^{\circ}.$
#schnittwinkel
g)
$\blacktriangleright$  Intervall angeben
Der vertikale Abstand des Springers zum Aufsprunghang wird durch die Funktion $d(x)= f(x)-g(x)$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& -0,008x^2+54- \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}x^4-10x^2+50.000 \right) \\[5pt] &=& - \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}x^4-2x^2-4.000 \right) \\[10pt] \end{array}$
$ d(x)=… $
Gesucht sind nun alle $x\geq 0$ mit $d(x) \geq 5.$ Diese kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&\geq& 5 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] 24,203 \leq &x& \leq 58,43 \end{array}$
$ 24,203 \leq x \leq 58,43 $
Im Intervall $[24,203;58,43]$ beträgt der vertikale Abstand des Springers zum Hang mindestens $5\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Maximalen vertikalen Abstand nachweisen
Gesucht ist das Maximum von $d$ im Bereich $0\leq x \leq 73,9.$
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=&-\frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{500}x^3-4x\right) \end{array}$
$ d'(x)=… $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{500}x^3-4x\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1.000)\\[5pt] \frac{1}{500}x^3-4x&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(\frac{1}{500}x^2-4\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1 =0 \\[5pt] \frac{1}{500}x^2-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] \frac{1}{500}x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 500 \\[5pt] x^2&=& 2.000 \\[5pt] x_{2/3}&=& \pm \sqrt{2.000} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_{2/3}&=& \pm \sqrt{2.000} \end{array}$
3. Schritt: Maximum bestimmen
Insgesamt kommen folgende Stellen für die Stellen mit dem maximalen vertikalen Abstand infrage. Dabei muss beachtet werden, dass $x\geq0$ sein muss.
  • $x_1=0;$ An dieser Stelle beträgt der vertikale Abstand $4\,\text{m},$ aufgrund des Höhenunterschieds der Punkte $C$ und $S.$
  • $x_2= \sqrt{2.000};$
    $\begin{array}[t]{rll} d(\sqrt{2.000})&=& - \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}\cdot \sqrt{2.000}^4-2\cdot \sqrt{2.000}^2-4.000 \right) \\[5pt] &=& - \frac{1}{1.000}\cdot \left(\frac{1}{2.000}\cdot \sqrt{2.000}^4-2\cdot \sqrt{2.000}^2-4.000 \right) \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
    $ d(\sqrt{2.000}) =6 $
Der maximale vertikale Abstand zum Hang während des Flugs beträgt höchstens $6\,\text{m}.$
#extrempunkt
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