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Analysis 1.2

Aufgaben
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Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ durch ihre Gleichungen
$f(x)= (x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}$ sowie $g(x)= x+1.$
a)
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x\to -\infty$ sowie $x \to +\infty.$
(4 BE)
#grenzwert
b)
Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ haben einen Schnittpunkt $S,$ der auf der $y$-Achse liegt und einen weiteren Schnittpunkt $T.$ Bestimme die Koordinaten der Punkte $S$ und $T.$
Berechne den Winkel, unter dem sich die Tangenten an den Graphen der Funktion $f$ und die Gerade $g$ im Punkt $S$ schneiden..
(6 BE)
#schnittwinkel#schnittpunkt
c)
Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schließen im 2. Quadranten eine Fläche mit dem Flächeninhalt $A$ vollständig ein.
Untersuche, ob der Inhalt der Fläche $A$ größer als $\frac{1}{10}$ ist.
(4 BE)
Die Abbildung zeigt das Höhenprofil für einen Wanderweg im Mittelgebirge. Vereinfacht soll das Höhenprofil durch die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x},$ $0\leq x\leq 6,$ beschrieben werden. $(1\,\text{LE} = 1\,\text{km})$
d)
Berechne die Koordinaten des höchsten Punktes des Höhenprofils.
(4 BE)
e)
Berechne den kleinsten Wert, den die Steigung des Höhenprofils annehmen kann. Ermittle ein möglichst großes Intervall $[x_1; x_2]$ mit auf vier Nachkommastellen gerundeten Intervallgrenzen $x_1$ und $x_2,$ in dem für die Steigung $f'(x)$ des Höhenprofils gilt:
$f'(x) \leq -0,2.$
(4 BE)
f)
Im Intervall $[ 2;6 ]$ kann das Höhenprofil näherungsweise durch eine Gerade $s$ ersetzt werden. Ermittle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $(2\mid f(2))$ und $(6\mid f(6)).$
[Zur Kontrolle: Mit Rundungen: $s(x)=-0,19x+1,48$]
(4 BE)
g)
Die Gerade $s$ liegt stets oberhalb des Graphen von $f.$
Ermittle den maximalen vertikalen Abstand zwischen den Graphen im Intervall $[2;6].$
(5 BE)
Ähnlich verlaufende Höhenprofile können allgemein durch Gleichungen der Form $h(x)=(x+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot x},$ $(a>0,b>0),$ beschrieben werden.
Von einem bestimmten solchen Höhenprofil $h_W$ sind die folgenden Angaben bekannt:
$x\,\text{in km}$$ 0$$ 6$
Höhe $h_w(x)\,\text{in km}$$1,2 $$0,3 $
h)
Untersuche, bei welchem der beiden Höhenprofile $f$ und $h_w$ der Betrag der mittleren Steigung im Intervall $[0;6]$ größer ist.
Ermittle für den vorliegenden Fall $a$ und $b.$
Weise nach, dass es genau eine positive Stelle $x$ gibt, an der die Steigungen der beiden Höhenprofile $f$ und $h_w$ gleich sind. Gib die Steigung an.
(9 BE)

(40 BE)
#steigung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte untersuchenAnalysis 1.2
Für $x\to +\infty$ gilt $(x+1)\to +\infty$ und $\mathrm e^{-0,5\cdot x} \to 0 .$ Insgesamt gilt für $x\to +\infty$ daher $(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}\to 0$ und damit $f(x)\to 0.$
Für $x\to -\infty$ gilt $(x+1)\to -\infty$ und $\mathrm e^{-0,5\cdot x} \to +\infty.$ Insgesamt gilt für $x\to -\infty$ daher $(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}\to -\infty$ und damit $f(x)\to -\infty.$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte bestimmen
Mit dem solve-Befehl des CAS kannst du die Schnittstellen von $f$ und $g$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_S&=& 0 \\[5pt] x_T&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
Die zugehörigen $y$-Koordinaten kannst du ebenfalls mit deinem CAS bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y_S&=& f(0) \\[5pt] &=&1 \\[10pt] y_T&=& f(-1) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
Die Koordinaten der Schnittpunkte lauten $S(0\mid 1)$ und $T(-1\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnen
Die Steigung der Geraden $g$ beträgt $m_g=1.$ Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S$ ist $f'(0).$ Diese kannst du mit deinem CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} m_f&=& f'(0) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{1-0,5}{1+0,5\cdot 1} \\[5pt] \tan \alpha&=& \frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 18,4^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 18,4^{\circ} $
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt untersuchen
Die Schnittstellen der beiden Funktionen $f$ und $g$ sind $x_1 = -1$ und $x_2 =0.$ Der Flächeninhalt kann mithilfe des folgenden Integrals und dem CAS berechnet werden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left|\displaystyle\int_{-1}^{0}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \right| &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &\approx& 0,09 < \frac{1}{10} \end{array}$
$ A\approx 0,09 < \frac{1}{10}$
Der Flächeninhalt $A$ ist nicht größer als $\frac{1}{10}.$
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des höchsten Punktes berechnen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \; CAS\\[5pt] x&=& 1 \end{array}$
$ x=1 $
Die einzige Nullstelle der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist $x=1.$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(1)&=& -0,5\cdot \mathrm e^{-0,5} < 0 \\[5pt] \end{array}$
Da für $x\to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x\to \infty$ gilt $f(x)\to 0$ und es keinen weiteren Extrempunkt geben kann, befindet sich das Maximum von $f$ an der Stelle $x=1$
3. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& (1+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 1} \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] \end{array}$
$ f(1)= 2\cdot \mathrm e^{-0,5}$
Die Koordinaten des höchsten Punkts des Höhenprofils lauten $H\left(1\mid 2\cdot \mathrm e^{-0,5}\right).$
e)
$\blacktriangleright$  Kleinste mögliche Steigung berechnen
Gesucht ist der kleinste Funktionswert von $f'$ für $x\in [0;6].$
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;CAS\\[5pt] x&=& 3 \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Mit dem CAS folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'''(3)&=& 0,25\cdot \mathrm e^{-1,5} >0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x=3$ besitzt der Graph von $f'$ also einen Tiefpunkt.
3. Schritt: Randextrema untersuchen
Mit dem CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f'(3)&\approx& -0,223 \\[5pt] f'(0)&=& 0,5 \\[5pt] f'(6)&\approx& -0,124 \\[5pt] \end{array}$
Der kleinste Wert, den die Steigung des Höhenprofils annehmen kann, ist $f'(3)\approx -0,223.$
$\blacktriangleright$  Intervall mit vorgegebener Steigung bestimmen
Löse die Gleichung $f'(x)=-0,2$ mit dem solve-Befehl deines CAS. Runde für $x_1$ gegebenenfalls auf und für $x_2$ ab. Dann erhältst du:
$x_1\approx 2,2042$ und $x_2\approx 4,0869.$
Du weißt, dass die Stelle mit dem kleinsten Steigungswert zwischen diesen Stellen liegt. Daher gilt für alle $x\in [x_1;x_2],$ dass $f'(x)\leq -0,2$ ist.
f)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Die Steigung der Geraden $s$ durch die beiden vorgegebenen Punkte kann mit dem Differenzenquotienten bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} m_{s}&=& \dfrac{f(6)-f(2)}{6-2} \\[5pt] &=& \dfrac{(6+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 6}-(2+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2}}{6-2} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot\mathrm e^{-3}-3\cdot\mathrm e^{-1}}{4} \\[5pt] &\approx& -0,19 \end{array}$
$ m_{s}\approx -0,19 $
Mithilfe einer Punktprobe kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} s:\quad y&=& m_{s}\cdot x + b &\quad \scriptsize \mid\; (2\mid f(2)) \\[5pt] f(2)&=& -0,19\cdot 2 + b &\quad\scriptsize\mid\; CAS \\[5pt] 1,48&\approx& b \end{array}$
$ b \approx 1,48 $
Eine Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte $(2\mid f(2))$ und $(6\mid f(6))$ lautet:
$s:\quad y = -0,19\cdot x +1,48.$
g)
$\blacktriangleright$  Maximalen vertikalen Abstand ermitteln
Der vertikale Abstand der beiden Graphen wird durch die Funktion $d(x)=s(x)-f(x)$ beschrieben.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&\approx&2,07 \\[5pt] x_2&\approx& 4,36 \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} d''(2,07)&\approx& 0,08 \\[5pt] d''(4,36)&\approx& -0,04 \end{array}$
An der Stelle $x_2\approx 4,36$ besitzt der Graph von $d$ also einen Hochpunkt.
3. Schritt: Randextrema überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} d(4,36)&\approx& 0,05 \\[5pt] d(2)&\approx& -0,00 \\[5pt] d(6)&\approx& -0,01 \end{array}$
Der größte vertikale Abstand der Graphen beträgt ca. $0,05$ im Intervall $[2;6].$
#extrempunkt
h)
$\blacktriangleright$  Mittlere Steigung der beiden Höhenprofile untersuchen
Mit dem Differenzenquotienten ergibt sich jeweils die mittlere Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}_f&=& \dfrac{f(6)-f(0)}{6-0} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot \mathrm e^{-3}- (0+1)\mathrm e^{-0,5\cdot 0}}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot \mathrm e^{-3}-1}{6} \\[5pt] &\approx& -0,109 \\[10pt] \overline{m}_{h_w}&=& \dfrac{h_w(6)-h_w(0)}{6-0} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle} \\[5pt] &=& \dfrac{0,3-1,2}{6}\\[5pt] &=& -0,15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}_f&\approx& -0,109 \\[10pt] \overline{m}_{h_w}&=& -0,15 \end{array}$
Der Betrag der mittleren Steigung im Intervall $[0;6]$ ist also bei Höhenprofil $h_w$ größer.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Für $h_w(x)= (x+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot x}$ soll gelten:
  1. $h_w(0)=1,2$
  2. $h_w(6) = 0,3$
Du kannst das entstehende Gleichungssystem mithilfe deines CAS lösen. Aus 1. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1,2&=& (0+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} \\[5pt] 1,2&=& a\cdot 1 \\[5pt] 1,2&=& a \end{array}$
$ a =1,2 $
Zusammen mit 2. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,3&=& (6+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot 6} &\quad \scriptsize \mid\; a=1,2 \\[5pt] 0,3&=& 7,2\cdot \mathrm e^{b\cdot 6} &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] -0,53 &\approx& b \\[5pt] \end{array}$
$ b\approx -0,53 $
Für den vorliegenden Fall folgt $a =1,2$ und $b\approx -0,53.$
$\blacktriangleright$  Stelle mit gleicher Steigung nachweisen
Gesucht ist $x>0$ mit $f'(x)=h_w'(x).$ Für die beiden Ableitungsfunktionen gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&(-0,5x+0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5x} \\[10pt] h_w(x) &=& (x+1,2)\cdot \mathrm e^{-0,53x} \\[5pt] h_w'(x)&=& 1\cdot \mathrm e^{-0,53x} + (x+1,2)\cdot (-0,53)\cdot \mathrm e^{-0,53x} \\[5pt] &=& (0,364-0,53x)\cdot \mathrm e^{-0,53x} \\[5pt] \end{array}$
$ h_w'(x)=… $
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} h_w'(x)&=& f'(x) \\[5pt] (0,364-0,53x)\cdot \mathrm e^{-0,53x}&=& (-0,5x+0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5x}&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&\approx& -1,89\\[5pt] x_2&\approx& 4,67 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_w'(x)&=& f'(x) \\[5pt] x_1&\approx& -1,89\\[5pt] x_2&\approx& 4,67 \end{array}$
Die Gleichung hat also für $x>0$ nur eine Lösung. Es gibt daher nur eine positive Stelle $x,$ an der die Steigungen der Profile übereinstimmen.
Es ist $f'(4,67)\approx -0,18.$ An der Stelle, an der beide Profile die gleiche Steigung besitzen, beträgt die Steigung ca. $-0,18.$
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