Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur GK (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis 1.2

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ durch ihre Gleichungen
$f(x)= (x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}$ sowie $g(x)= x+1.$
Die Graphen der Funktionen sind in der Anlage dargestellt.
a)
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x \to +\infty.$
(2 BE)
#grenzwert
b)
Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 1).$
Berechne den Winkel, unter dem sich die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ und die Gerade $g$ im Punkt $S$ schneiden.
[Zur Kontrolle: $f'(x)=\left( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}$ ]
(7 BE)
#schnittwinkel
c)
Weise nach, dass die Funktion $F$ mit der Gleichung $F(x)=(-2x-6)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} $ eine Stammfunktion von $f$ ist.
Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schließen im 2. Quadranten eine Fläche mit dem Flächeninhalt $A$ vollständig ein.
Zeige, dass beide Funktionen nur an der Stelle $x = –1$ eine Nullstelle besitzen. Berechne den Wert von $A.$
(9 BE)
#nullstelle#stammfunktion
Die Abbildung zeigt das Höhenprofil für einen Wanderweg im Mittelgebirge. Vereinfacht soll das Höhenprofil durch die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x},$ $0\leq x\leq 6,$ beschrieben werden. $(1\,\text{LE} = 1\,\text{km})$
d)
Berechne die Koordinaten des höchsten Punktes des Höhenprofils.
(Die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.)
(4 BE)
e)
Im Intervall $[ 2;6 ]$ kann das Höhenprofil näherungsweise durch eine Gerade ersetzt werden. Ermittle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $(2\mid f(2))$ und $(6\mid f(6)).$
(4 BE)
f)
Weise nach, dass es im Intervall $[ 2;6 ]$ eine Stelle gibt, an der die Steigung des durch $f$ beschriebenen Höhenprofils kleiner als $-0,222$ ist.
(5 BE)
g)
Ähnlich verlaufende Höhenprofile können allgemein durch Gleichungen der Form $h(x)=(x+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot x},$ $(a>0,b>0),$ beschrieben werden.
Von einem bestimmten solchen Höhenprofil $h_W$ sind die folgenden Angaben bekannt:
$x\,\text{in km}$$ 0$$ 6$
Höhe $h_w(x)\,\text{in km}$$1,2 $$0,3 $
Untersuche, bei welchem der beiden Höhenprofile $f$ und $h_w$ der Betrag der mittleren Steigung im Intervall $[0;6]$ größer ist.
Ermittle für den vorliegenden Fall $a$ und $b.$
(9 BE)

(40 BE)
Anlage zu 1.2: Höhenprofil
Darstellung der Graphen der Funktionen $f$ und $g$
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte untersuchenAnalysis 1.2
Für $x\to +\infty$ gilt $(x+1)\to +\infty$ und $\mathrm e^{-0,5\cdot x} \to 0 .$ Insgesamt gilt für $x\to +\infty$ daher $(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}\to 0$ und damit $f(x)\to 0.$
b)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnen
Die Steigung der Geraden $g$ beträgt $m_g=1.$ Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S$ ist $f'(0).$ Mit der Produktregel folgt für die erste Ableitungsfunktion $f':$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& (x+1)\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} + 1\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} \\[5pt] &=& (-0,5x+0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} \\[10pt] m_f&=& f'(0) \\[5pt] &=& (-0,5\cdot 0+0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot \cdot 0} \\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
$ m_f = 0,5 $
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{1-0,5}{1+0,5\cdot 1} \\[5pt] \tan \alpha&=& \frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 18,4^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 18,4^{\circ} $
#produktregel
c)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ wenn $F'(x)=f(x)$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& (-2x-6)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} \\[5pt] F'(x)&=& (-2x-6)\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} + (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} \\[5pt] &=& (x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
$ F'(x)=… $
$F$ ist also eine Stammfunktion von $f.$
$\blacktriangleright$  Nullstellen zeigen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] (x+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,5\cdot x}\neq 0 \\[5pt] x+1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=& -1 \end{array}$
$ x=-1 $
Die einzige Nullstelle von $f$ ist also $x=-1.$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] x+1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x&=& -1 \end{array}$
Die einzige Nullstelle von $g$ ist also ebenfalls $x=-1.$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die Schnittstellen der beiden Funktionen $f$ und $g$ sind $x_1 = -1$ und $x_2 =0.$ Der Flächeninhalt kann mithilfe des folgenden Integrals und der Stammfunktion $F$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left|\displaystyle\int_{-1}^{0}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{-1}^{0}\left(f(x)-(x+1)\right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\left[F(x)-\left(\frac{1}{2}x^2+x\right)\right]_{-1}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|F(0)- \left(\frac{1}{2}\cdot 0^2+0\right)- F(-1)+\left(\frac{1}{2}\cdot (-1)^2-1\right)\right| \\[5pt] &=& \left|(-2\cdot 0-6)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} - (-2\cdot (-1)-6)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)} -\frac{1}{2}\right| \\[5pt] &=& \left| -6 + 4\cdot \mathrm e^{0,5} -\frac{1}{2}\right| \\[5pt] &=& \left|-6,5 +4\cdot \mathrm e^{0,5}\right| \\[5pt] &\approx& 0,09 \end{array}$
$ A\approx 0,09 $
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des höchsten Punktes berechnen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] \left(-0,5x+0,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,5\cdot x} \neq 0 \\[5pt] -0,5x+0,5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-0,5 \\[5pt] -0,5x&=& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,5) \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$
$ x=1 $
Die einzige Nullstelle der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist $x=1.$ Da $f(x)\to 0$ für $x\to +\infty$ gilt, muss der höchste Punkt des Graphen von $f$ an dieser Stelle $x=1$ liegen.
2. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& (1+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 1} \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] \end{array}$
$ f(1)= 2\cdot \mathrm e^{-0,5}$
Die Koordinaten des höchsten Punkts des Höhenprofils lauten $H\left(1\mid 2\cdot \mathrm e^{-0,5}\right).$
#extrempunkt
e)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Die Steigung der Geraden $g_f$ durch die beiden vorgegebenen Punkte kann mit dem Differenzenquotienten bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} m_{g_f}&=& \dfrac{f(6)-f(2)}{6-2} \\[5pt] &=& \dfrac{(6+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 6}-(2+1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2}}{6-2} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot\mathrm e^{-3}-3\cdot\mathrm e^{-1}}{4} \\[5pt] \end{array}$
$ m_{g_f}= \dfrac{7\cdot\mathrm e^{-3}-3\cdot\mathrm e^{-1}}{4} $
Mithilfe einer Punktprobe kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g_f:\quad y&=& m_{g_f}\cdot x + b &\quad \scriptsize \mid\; (2\mid f(2)) \\[5pt] 3\cdot\mathrm e^{-1}&=& \dfrac{7\cdot\mathrm e^{-3}-3\cdot\mathrm e^{-1}}{4}\cdot 2 + b \\[5pt] 3\cdot\mathrm e^{-1}&=& \dfrac{7\cdot\mathrm e^{-3}-3\cdot\mathrm e^{-1}}{2} + b \\[5pt] 3\cdot\mathrm e^{-1}&=& 3,5\cdot\mathrm e^{-3}-1,5\cdot\mathrm e^{-1}+ b &\quad \scriptsize \mid\;-3,5\cdot\mathrm e^{-3};+1,5\cdot\mathrm e^{-1} \\[5pt] 4,5\cdot\mathrm e^{-1}-3,5\cdot\mathrm e^{-3}&=& b \end{array}$
$ b = 4,5\cdot\mathrm e^{-1}-3,5\cdot\mathrm e^{-3} $
Eine Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte $(2\mid f(2))$ und $(6\mid f(6))$ lautet:
$g_f:\quad y = \dfrac{7\cdot\mathrm e^{-3}-3\cdot\mathrm e^{-1}}{4}\cdot x +4,5\cdot\mathrm e^{-1}-3,5\cdot\mathrm e^{-3}.$
$ g_f:\quad y = … $
f)
$\blacktriangleright$  Stelle mit kleinerer Steigung nachweisen
Bestimme die Stelle mit der kleinsten Steigung im Intervall $[2;6].$ Untersuche den Graphen von $f'$ also in diesem Intervall auf Tiefpunkte und gegebenenfalls auf Randextrema.
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \left(-0,5x+0,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} \\[5pt] f''(x)&=& \left(-0,5x+0,5 \right)\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}+\left(-0,5\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}\\[5pt] &=& \left(0,25x-0,75 \right) \cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x}\\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)=… $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 \\[5pt] \left(0,25x-0,75 \right) \cdot \mathrm e^{-0,5\cdot x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-0,5\cdot x}\neq 0 \\[5pt] 0,25x-0,75&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+0,75 \\[5pt] 0,25x&=& 0,75 &\quad \scriptsize \mid\;:0,25 \\[5pt] x&=& 3 \end{array}$
$ x=3 $
An der Stelle $x=3$ könnte der Graph von $f'$ also einen Tiefpunkt besitzen.
3. Schritt: Steigung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f'(3)&=& \left(-0,5\cdot 3+0,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 3} \\[5pt] &=& -1 \cdot \mathrm e^{-1,5} \\[5pt] &\approx& -0,223 < -0,222 \end{array}$
$f'(3)\approx -0,223$
An der Stelle $x=3$ besitzt der Graph von $f$ eine Steigung von ca. $-0,223 < -0,222.$ Es gibt im Intervall $[2;6]$ also eine Stelle im Höhenprofil, an der die Steigung kleiner als $-0,222$ ist.
#extrempunkt
g)
$\blacktriangleright$  Mittlere Steigung der beiden Höhenprofile untersuchen
Mit dem Differenzenquotienten ergibt sich jeweils die mittlere Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}_f&=& \dfrac{f(6)-f(0)}{6-0} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot \mathrm e^{-3}- (0+1)\mathrm e^{-0,5\cdot 0}}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot \mathrm e^{-3}-1}{6} \\[5pt] &\approx& -0,109 \\[10pt] \overline{m}_{h_w}&=& \dfrac{h_w(6)-h_w(0)}{6-0} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle} \\[5pt] &=& \dfrac{0,3-1,2}{6}\\[5pt] &=& -0,15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}_f&\approx& -0,109 \\[10pt] \overline{m}_{h_w}&=& -0,15 \end{array}$
Der Betrag der mittleren Steigung im Intervall $[0;6]$ ist also bei Höhenprofil $h_w$ größer.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Für $h_w(x)= (x+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot x}$ soll gelten:
  1. $h_w(0)=1,2$
  2. $h_w(6) = 0,3$
Aus 1. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1,2&=& (0+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} \\[5pt] 1,2&=& a\cdot 1 \\[5pt] 1,2&=& a \end{array}$
$ a =1,2 $
Zusammen mit 2. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,3&=& (6+a)\cdot \mathrm e^{b\cdot 6} &\quad \scriptsize \mid\; a=1,2 \\[5pt] 0,3&=& 7,2\cdot \mathrm e^{b\cdot 6} &\quad \scriptsize \mid\; :7,2\\[5pt] \frac{1}{24}&=& \mathrm e^{b\cdot 6} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln \left(\frac{1}{24} \right)&=& b\cdot 6&\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] \dfrac{\ln \left(\frac{1}{24} \right)}{6}&=& b \\[5pt] -0,5 &\approx& b \\[5pt] \end{array}$
$ b\approx -0,5 $
Für den vorliegenden Fall folgt $a =1,2$ und $b\approx -0,5.$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App