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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Bei einem Schulfest wird ein Gewinnspiel angeboten. Dafür befinden sich in einem Topf äußerlich nicht sichtbar $2$ schwarze Kugeln und $4$ weiße Kugeln.
Bei einem Spiel werden zwei Kugeln mit einem Griff, also ohne Zurücklegen, aus dem Topf gezogen.
Der Einsatz für ein Spiel beträgt $1\,€.$ Nur wenn unter den zwei gezogenen Kugeln keine schwarze Kugel ist, gewinnt der Spieler. In diesem Fall werden ihm $2\,€$ ausgezahlt. In allen anderen Fällen ist der Einsatz verloren.
Nach jedem Spiel werden die beiden Kugeln wieder in den Topf gelegt.
a)
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $p = 0,4$ beträgt.
(2 BE)
b)
Ein Spieler spielt das Spiel $10$mal.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.
Er gewinnt genau $4$ der $10$ Spiele.
Er gewinnt das erste Spiel und von den übrigen $9$ noch höchstens eins.
(5 BE)
c)
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$C:$ „Wenigstens eins von n Spielen wird gewonnen“ ist $P(C).$
Eine Spielerin behauptet, dass $P(C)$ kleiner wird, wenn $n$ größer wird.
Entscheide anhand der Berechnung von zwei gewählten Wahrscheinlichkeiten, ob die Behauptung richtig ist.
(5 BE)
d)
Zeige, dass das Spiel aus Sicht des Anbieters auf lange Sicht gewinnbringend ist.
(2 BE)
e)
Ein Teilnehmer schlägt vor, die Anzahl der Kugeln so zu erhöhen, dass das Spiel fair wird. Dazu soll die Anzahl der weißen Kugeln um $11$ erhöht werden und die der schwarzen Kugeln um die Anzahl $x.$ Gezogen werden jetzt wieder $2$ Kugeln mit einem Griff und gewonnen wird nur, wenn keine schwarze Kugel unter den zwei gezogenen Kugeln ist.
Zeige, dass mit der Zugabe von $x = 2$ schwarzen Kugeln die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht $q = 0,5$ beträgt, das Spiel also nicht fair ist. Ermittle, wie viele schwarze Kugeln in den Topf zugegeben werden müssen, damit das Spiel fair wird.
(6 BE)

(20 BE)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Gewinnwahrscheinlichkeit nachweisenStochastik 3.1
Mithilfe der Pfadmultiplikationsregel folgt für die Gewinnwahrscheinlichkeit, also für die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5} \\[5pt] &=& \frac{2}{5} \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt also $p=0,4.$
#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X_{10},$ die die zufällige Anzahl der Gewinne unter $10$ Spielen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,4$ angenommen werden.
Mit der entsprechenden Formel ergibt sich für Ereignis A:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(X_{10}=4)\\[5pt] &=& \binom{10}{4}\cdot 0,4^4\cdot (1-0,4)^{10-4} \\[5pt] &=& \binom{10}{4}\cdot 0,4^4\cdot 0,6^{6}\\[5pt] &\approx& 0,2508 \\[5pt] &=& 25,08\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 25,08\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $25,08\,\%$ gewinnt der Spieler genau $4$ der $10$ Spiele.
Betrachte nun die Zufallsgröße $X_9,$ die die zufällige Anzahl der Gewinne unter den übrigen $9$ Spielen beschreibt. Diese kann ebenfalls als binomialverteilt mit $n=9$ und $p=0,4$ angenommen werden. Mit der Pfadmultiplikationsregel und der Formel für die Binomialverteilung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 0,4\cdot P(X_{9} \leq 1)\\[5pt] &=& 0,4\cdot \left( P(X_{9} = 0)+P(X_{9}=1) \right)\\[5pt] &=& 0,4\cdot \left( \binom{9}{0}\cdot 0,4^0\cdot 0,6^9 +\binom{9}{1}\cdot 0,4^1\cdot 0,6^8 \right) \\[5pt] &\approx& 0,0282 \\[5pt] &=& 2,82\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 2,82\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,82\,\%$ gewinnt der Spieler das erste Spiel und von den übrigen $9$ Spielen höchstens noch eins.
#binomialverteilung#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Behauptung beurteilen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die zufällige Anzahl der Gewinne unter $n$ Spielen beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,4.$
Es wird die Wahrscheinlichkeit $P(X_n \geq 1)$ betrachtet:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1)&=& 1-P(X_n < 1) \\[5pt] &=& 1-P(X_n = 0) \end{array}$
$ P(X_n \geq 1) = 1-P(X_n = 0) $
Wähle zwei verschiedene Werte für $n,$ beispielsweise $n=1$ und $n=2.$ Mit der Formel für die Binomialverteilung erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_1 \geq 1)&=& 1- P(X_1=0) \\[5pt] &=& 1- \binom{1}{0}\cdot 0,4^0\cdot 0,6^1 \\[5pt] &=& 0,4 \\[10pt] P(X_2 \geq 1)&=& 1- P(X_2=0) \\[5pt] &=& 1- \binom{2}{0}\cdot 0,4^0\cdot 0,6^2 \\[5pt] &=& 0,64 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X_1 \geq 1)&=& 0,4 \\[10pt] P(X_2 \geq 1)&=& 0,64 \\[10pt] \end{array}$
Für $n=2$ ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn größer als für $n=1.$ Aufgrund dieser beiden Wahrscheinlichkeiten lässt sich also folgern, dass die Behauptung falsch ist.
#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Vorteil für den Anbieter zeigen
Für jedes Spiel nimmt der Anbieter $1\,€$ Einsatz ein. Nur im Falle eines Gewinns, dessen Wahrscheinlichkeit $p=0,4$ beträgt, werden $2\,€$ ausgezahlt. In diesem Fall macht der Anbieter also $1\,€$ Verlust.
Der erwartete Gewinn des Anbieters ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} E(G)&=& 0,4\cdot (-1\,€) + 0,6\cdot 1\,€ \\[5pt] &=& 0,2\,€ \end{array}$
$ E(G)=0,2\,€ $
Auf lange Sicht macht der Anbieter mit jedem Spiel $0,20\,€$ Gewinn. Das Spiel ist für ihn auf lange Sicht also gewinnbringend.
#erwartungswert
e)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass das Spiel nicht fair ist
Mit der Zugabe von $x=2$ schwarzen und $11$ weißen Kugeln befinden sich nun $15$ weiße und $4$ schwarze Kugeln im Topf. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} q&=& \frac{15}{19}\cdot \frac{14}{18} \\[5pt] &=& \frac{35}{57} \\[5pt] &\approx & 0,6 \neq 0,5 \end{array}$
$ q\approx 0,6\neq 0,5 $
Die neue Gewinnwahrscheinlichkeit ist mit $q\approx 0,6$ größer als $0,5.$ Damit ist das Spiel bei der Zugabe von $x=2$ schwarzen Kugeln nicht fair.
$\blacktriangleright$  Anzahl der zusätzlichen schwarzen Kugeln bestimmen
Analog zu oben, befinden sich bei der Zugabe von $x$ schwarzen Kugeln insgesamt $15$ weiße Kugeln und $2+x$ schwarze Kugeln im Topf. Insgesamt sind dann also $17+x$ Kugeln im Topf. Damit das Spiel fair ist, muss die Gewinnwahrscheinlichkeit $0,5$ betragen, da der Verlust des Anbieters im Falle eines Gewinns mit $-1\,€$ genauso groß ist, wie die Einnahmen im Falle einer Niederlage.
Mit der Pfadmultiplikationsregel kann die Gewinnwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $x$ dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} q(x)&=& \frac{15}{17+x}\cdot \frac{14}{16+x} \\[5pt] &=& \frac{210}{(17+x)\cdot (16+x)} \\[5pt] &=& \frac{210}{272+33x+x^2 } \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen mit $0,5$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} q(x)&=& 0,5 \\[5pt] \frac{210}{272+33x+x^2 }&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(272+33x+x^2 \right) \\[5pt] 210&=& 0,5\cdot \left(272+33x+x^2 \right)&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 420&=& 272+33x+x^2&\quad \scriptsize \mid\; -420\\[5pt] 0&=& x^2+33x -148 \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{33}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{33}{2}\right)^2 +148} \\[5pt] &=& -\frac{33}{2}\pm \frac{41}{2} \\[10pt] x_1&=& -\frac{33}{2}+ \frac{41}{2} \\[5pt] &=& 4 \\[10pt] x_2&=& -\frac{33}{2}- \frac{41}{2} \\[5pt] &=& -37 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} q(x)&=& 0,5 \\[5pt] … \\[10pt] x_1&=&4 \\[10pt] x_2&=& -37 \\[10pt] \end{array}$
Die zweite Lösung $x_2=-37$ ist nicht umsetzbar, da Kugeln hinzugefügt, nicht entfernt, werden sollen und sich ursprünglich nur 2 schwarze Kugeln im Topf befinden, also keine $37$ entfernt werden könnten.
Es müssen also $x=4$ schwarze Kugeln hinzugefügt werden, damit das Spiel fair ist.
#pfadregeln
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