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Analysis 1.1

Aufgaben
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Holzeisenbahn

a)
Ermittle rechnerisch die Extrempunkte von $f$ und weise deren Art nach.
In den oberen Eckpunkten $A$ und $B$ geht die Oberkante des Brückenteils ohne Knick in die waagerechten Anschlussschienen über. Begründe, warum die beiden Extrempunkte von $f$ mit diesen Eckpunkten übereinstimmen müssen. [Zur Kontrolle: $f'(x)= -\frac{3}{500}x^2+\frac{3}{25}x$ sowie $A(0\mid f(0))$ bzw. $B(20\mid f(20))$]
(9 BE)
#extrempunkt
b)
Berechne die mittlere Steigung des Brückenteils. Berechne die Stellen, an denen die lokale Steigung von $f$ den gleichen Wert hat wie die mittlere Steigung.
(6 BE)
#änderungsrate
c)
Der Hersteller verkauft batteriebetriebene Lokomotiven für die Holzeisenbahn. Dafür muss sichergestellt sein, dass der Anstiegswinkel an keiner Stelle größer als $32^{\circ}$ ist.
Bestimme rechnerisch, in welchem Punkt das Brückenteil den größten Anstieg hat. Ein Nachweis mithilfe einer hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. Berechne den maximalen Anstiegswinkel und entscheide, ob das genannte Kriterium erfüllt ist.
(6 BE)
d)
Das Brückenteil hat eine Tiefe von $4\,\text{cm}.$
Berechne das Volumen des gesamten Brückenteils.
(5 BE)
e)
(5 BE)
#schnittwinkel
f)
Der Hersteller möchte die Maße verändern. Die Länge des Brückenteils soll jetzt $25\,\text{cm}$ betragen, seine Höhe links $1,5\,\text{cm}$ und rechts $11,5\,\text{cm}.$ In den beiden oberen Eckpunkten sollen wieder die Extrempunkte liegen. Das Profil des veränderten Brückenteils soll modelliert werden durch den Graphen einer Funktion $g$ mit einer Gleichung der Form $g(x)=ax^3+bx^2+c .$
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von $g.$
(9 BE)

(40 BE)
#funktionsgleichung#ganzrationalefunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Extrempunkte ermitteln
Für die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-\frac{1}{500}x^3+\frac{3}{50}x^2 + 1 \\[10pt] f'(x)&=&-\frac{3}{500}x^2+\frac{2\cdot 3}{50}x \\[5pt] &=&-\frac{3}{500}x^2+\frac{3}{25}x \\[10pt] f''(x)&=& -\frac{2\cdot3}{500}x+\frac{3}{25}\\[5pt] &=& -\frac{3}{250}x+\frac{3}{25}\\[5pt] \end{array}$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte $f'(x)=0$ können dann mögliche Extremstellen bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] -\frac{3}{500}x^2+\frac{3}{25}x&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(-\frac{3}{500}x+\frac{3}{25}\right)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x_1 =0 \\[5pt] -\frac{3}{500}x_2+\frac{3}{25}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{3}{25} \\[5pt] -\frac{3}{500}x_2&=&-\frac{3}{25} &\quad \scriptsize \mid\;:\left(-\frac{3}{500}\right) \\[5pt] x_2&=& 20 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=& 20 \end{array}$
Mit dem hinreichenden Kriterium kann nun die Art der Extrema bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& -\frac{3}{250}\cdot 0+\frac{3}{25} \\[5pt] &=& \frac{3}{25}\\[5pt] &>& 0 \\[10pt] f''(20)&=& -\frac{3}{250}\cdot 20+\frac{3}{25} \\[5pt] &=& -\frac{3}{25}\\[5pt] &<& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&>& 0 \\[10pt] f''(20)&<& 0 \end{array}$
An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt, an der Stelle $x_2= 20$ einen Hochpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -\frac{1}{500}\cdot 0^3+\frac{3}{50}\cdot 0^2 + 1 \\[5pt] &=& 1\\[10pt] f(20)&=& -\frac{1}{500}\cdot 20^3+\frac{3}{50}\cdot 20^2 + 1 \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 1\\[5pt] f(20)&=& 9 \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte, den Tiefpunkt $T(0\mid 1)$ und den Hochpunkt $H(20\mid 9).$
$\blacktriangleright$  Lage der Eckpunkte begründen
Da die Oberkante des Brückenteils knickfrei in die waagerechten Anschlussschienen übergehen soll, müssen die Tangenten an den Graphen von $f$ in diesen Übergangsstellen waagerecht sein. Der Graph von $f$ besitzt dort also die Steigung $0.$ Dies ist wie oben gezeigt nur in den Extrempunkten der Fall, weshalb diese den Endpunkten $A$ und $B$ entsprechen müssen.
b)
$\blacktriangleright$  Mittlere Steigung des Brückenteils berechnen
Die mittlere Steigung ergibt sich mithilfe des Differenzenquotienten:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{9-1}{20-0} \\[5pt] &=&0,4 \end{array}$
Die mittlere Steigung des Brückenteils beträgt $0,4 = 40\,\%.$
$\blacktriangleright$  Stellen mit der mittleren Steigung berechnen
Die mittlere Steigung beträgt $0,4.$ Da die erste Ableitung von $f$ die Steigung des Graphen beschreibt, ergeben sich die gesuchten Stellen durch Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0,4 \\[5pt] -\frac{3}{500}x^2+\frac{3}{25}x&=& 0,4 \\[5pt] -\frac{3}{500}x^2+\frac{3}{25}x&=& \frac{2}{5} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{2}{5} \\[5pt] -\frac{3}{500}x^2+\frac{3}{25}x - \frac{2}{5}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\frac{3}{500} \right) \\[5pt] x^2-20x+\frac{200}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\frac{-20}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-20}{2} \right)^2 -\frac{200}{3} } \\[5pt] &=& 10 \pm \sqrt{\frac{100}{3}} \\[5pt] x_1&=& 10 + \frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] x_2&=& 10 - \frac{10}{\sqrt{3}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 10 + \frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] x_2&=& 10 - \frac{10}{\sqrt{3}} \end{array}$
An den Stellen $x_1 = 10 + \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 15,77$ und $x_2 = 10 - \frac{10}{\sqrt{3}}\approx 4,23$ hat die lokale Steigung von $f$ den gleichen Wert wie die mittlere Steigung.
c)
$\blacktriangleright$  Punkt mit dem größten Anstieg bestimmen
Der Punkt mit dem größten Anstieg befindet sich an der Stelle, an der die erste Ableitung $f'$ von $f$ ihr Maximum annimmt.
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] -\frac{3}{250}x+\frac{3}{25}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{3}{25} \\[5pt] -\frac{3}{250}x&=&-\frac{3}{25} &\quad \scriptsize \mid\; :\left( -\frac{3}{250}\right)\\[5pt] x&=& 10 \end{array}$
$ x =10 $
Da laut Aufgabenstellung auf den Nachweis des hinreichenden Kriteriums verzichtet werden kann, kann man davon ausgehen, dass der Anstieg an der Stelle $x = 10$ am größten ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(10)&=& -\frac{1}{500}\cdot 10^3+\frac{3}{50}\cdot 10^2 +1 \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ f(10)=5 $
Im Punkt $P(10\mid 5)$ besitzt das Brückenteil den größten Anstieg.
$\blacktriangleright$  Maximalen Anstiegswinkel bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(10)&=& -\frac{3}{500}\cdot 10^2 +\frac{3}{25}\cdot 10 \\[5pt] &=& \frac{3}{5} \end{array}$
Mit der Formel für den Steigungswinkel ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \frac{3}{5} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 30,96^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 30,96^{\circ}$
Da der maximale Anstiegswinkel $30,96^{\circ}$ beträgt, ist der Anstieg an keiner Stelle steiler und damit insbesondere auch an keiner Stelle steiler als $32^{\circ}.$ Das Kriterium ist also erfüllt.
#extrempunkt
d)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Das Volumen des Brückenteils ergibt sich aus der Multiplikation der Größe der Seitenfläche mit der Tiefe.
Die Größe der Seitenfläche lässt sich mit einem Integral berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{20}\left(-\frac{1}{500}x^3+\frac{3}{50}x^2 +1\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& [-\frac{1}{500\cdot 4}x^4+\frac{3}{50\cdot 3}x^3 +1\cdot x]_0^{20} \\[5pt] &=& [-\frac{1}{2.000}x^4+\frac{1}{50}x^3 +x]_0^{20} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2.000}\cdot 20^4+\frac{1}{50}\cdot 20^3 +20 - \left(-\frac{1}{2.000}\cdot 0^4+\frac{1}{50}\cdot 0^3 +0 \right)\\[5pt] &=& 100 \\[5pt] \end{array}$
$ A= 100 $
Die Seitenfläche ist $100\,\text{cm}^2$ groß. Die Tiefe beträgt $4\,\text{cm}.$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 100\,\text{cm}^2\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 400\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V = 400\,\text{cm}^3$
Das Brückenteil besitzt ein Volumen von $400\,\text{cm}^3.$
#integral
e)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnen
Die Steigungen der beiden Tangenten entsprechen den Steigungen des Graphen von $f$ in diesen beiden Punkten und ergeben sich daher mithilfe der ersten Ableitung $f':$
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=&f'(1,5)\\[5pt] &=& -\frac{3}{500}\cdot 1,5^2+\frac{3}{25}\cdot 1,5 \\[5pt] &=& \frac{333}{2.000} \\[10pt] m_2&=& f'(8,5) \\[5pt] &=& -\frac{3}{500}\cdot 8,5^2+\frac{3}{25}\cdot 8,5 \\[5pt] &=& \frac{1.173}{2.000}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=& \frac{333}{2.000} \\[10pt] m_2&=& \frac{1.173}{2.000}\\[5pt] \end{array}$
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{\frac{1.173}{2.000}-\frac{333}{2.000}}{1+\frac{333}{2.000}\cdot\frac{1.173}{2.000}}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx&20,94^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 20,94^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangenten beträgt ca. $20,94^{\circ}$ und ist damit deutlich geringer als $25^{\circ}.$ Der Neigungswinkel wird also nicht zu groß.
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktionsgleichung $g(x)=ax^3+bx^2+c$ muss folgende Bedingungen erfüllen:
  1. Die Höhe links soll $1,5\,\text{cm}$ betragen: $g(0)=1,5$
  2. Die Breite soll $25\,\text{cm}$ betragen und die Höhe rechts soll $11,5\,\text{cm}$ betragen: $g(25)=11,5$
  3. In den beiden oberen Eckpunkten sollen wieder die Extrempunkte liegen: $g'(0)=g'(25)=0$
Mithilfe der ersten Ableitungsfunktion von $g$
$g'(x)= 3ax^2 +2bx$
ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1,5&=& a\cdot 0^3 +b \cdot 0^2 +c \\[5pt] &1,5&=& c \\[10pt] \text{II}\quad& 11,5&=& a\cdot 25^3 +b \cdot 25^2 +c \\[5pt] & 11,5&=& 15.625a +625b +c \\[10pt] \text{III}\quad&0 &=& 3a\cdot 0^2 +2b\cdot 0 \\[5pt] &0 &=& 0 \\[10pt] \text{IV}\quad&0 &=& 3a\cdot 25^2 +2b\cdot 25 \\[5pt] &0 &=& 1.875a+50b \\ \end{array}$
Einsetzen von $\text{I}$ in $\text{II}$ und auflösen nach $b$ liefert:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II}\quad & 11,5&=& 15.625a +625b +c &\quad \scriptsize \mid\; c=1,5 \\[5pt] &11,5&=& 15.625a +625b +1,5 &\quad \scriptsize \mid\;-1,5 \\[5pt] &10&=& 15.625a + 625b &\quad \scriptsize \mid\;-15.625a \\[5pt] &10-15.625a&=& 625b &\quad \scriptsize \mid\;:625 \\[5pt] \text{II'}&\frac{2}{125} - 25a&=& b \end{array}$
$ \text{II'}\, b = … $
Einsetzen in $\text{IV}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV}\quad & 0&=&1.875a+50b \\[5pt] &0&=&1.875a+50\cdot \left(\frac{2}{125} - 25a \right) \\[5pt] &0&=& 1.875a+\frac{4}{5}-1.250a \\[5pt] &0&=& 625a+\frac{4}{5} &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{4}{5} \\[5pt] &-\frac{4}{5}&=& 625a&\quad \scriptsize \mid\;:625 \\[5pt] &-\frac{4}{3.125}&=& a \end{array}$
$ a= -\frac{4}{3.125} $
Das kann man nun wiederum in $\text{II}'$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\frac{2}{125} - 25\cdot \left(-\frac{4}{3.125}\right) \\[5pt] &=&\frac{6}{125} \end{array}$
$ b = \frac{6}{125}$
Die Funktionsgleichung von $g$ lautet $g(x)= -\frac{4}{3.125} x^3 + \frac{6}{125}x^2 +1,5.$
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