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Analysis 1.2

Aufgaben
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Dachformen

a)
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. Ermittle Art und Lage aller Extrempunkte des Graphen von $f.$ [Zur Kontrolle: $f'(x)= (-x^2+4x-3)\cdot \mathrm e^{-x}$]
(11 BE)
#extrempunkt
b)
Zeichne den Graphen der Funktion $f$ im oben angegebenen Intervall.
(3 BE)
c)
Im Intervall $[0;2]$ gibt es eine Stelle $x_P,$ an der der Graph von $f$ die maximale positive Steigung hat.
Bestimme den Wert von $x_P$ und die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Stelle.
Hinweis: Es genügt die Untersuchung der notwendigen Bedingung.
(5 BE)
#steigung
d)
Für eine Veranstaltung soll unter einem Dachelement eine Trennwand errichtet werden. Diese Trennwand wird im Intervall $[0;1]$ durch den Funktionsgraphen und die $x$-Achse begrenzt. Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=(-x^2-1)\cdot \mathrm e^{-x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechne den Flächeninhalt der Trennwand, $1\,\text{LE}= 10\,\text{m}.$
(5 BE)
#stammfunktion
e)
Es wird vorgeschlagen, statt der Trennwand eine kleinere Wand zu verwenden, die begrenzt Punkt ist durch die Koordinatenachsen und die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0\mid 1).$
Ermittle eine Gleichung für diese Tangente. Berechne, wie viele Quadratmeter Wandfläche durch den Vorschlag eingespart werden.
(9 BE)
#tangente
f)
Der Graph einer quadratischen Funktion $p$ soll in den Punkten $R(0\mid 1)$ und $S(1\mid 0)$ tangential zum Graphen von $f$ verlaufen.
Gib vier Bedingungen an, die $p$ erfüllen muss und untersuche, ob es eine solche Funktion $p$ gibt.
(7 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0\\[5pt] (x^2-2x+1)\cdot e^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-x}\neq 0\\[5pt] x^2-2x+1&=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-2}{2}\right)^2 -1} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ x = 1 $
Der Graph von $f$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $S_x(1\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& (0^2-2\cdot 0+1)\cdot e^{-0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ f(0)=1$
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 1).$
$\blacktriangleright$  Extrempunkte bestimmen
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x^2-2x+1)\cdot e^{-x} \\[10pt] f'(x)&=&(2x-2)\cdot \mathrm e^{-x} +(x^2-2x+1)\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=&(2x-2-x^2+2x-1) \cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=&(-x^2+4x-3) \cdot \mathrm e^{-x} \\[10pt] f''(x)&=& (-2x+4) \cdot \mathrm e^{-x} +(-x^2+4x-3) \cdot (-1) \cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=& (-2x+4+x^2-4x+3) \cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=& (x^2-6x+7) \cdot \mathrm e^{-x}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte $f'(x)=0$ folgen mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] (-x^2+4x-3) \cdot \mathrm e^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-x}\neq 0\\[5pt] -x^2+4x-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: (-1) \\[5pt] x^2 -4x +3&=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 -3 } \\[5pt] &=& 2 \pm 1 \\[5pt] x_1&=& 2- 1 \\[5pt] &=&1 \\[5pt] x_2&=& 2+1\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt mögliche Extrempunkte an den Stellen $x_1= 1$ und $x_2 = 3.$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Mit dem hinreichenden Kriterium kann die Art der Extrema bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} f''(1)&=&(1^2-6\cdot 1+7) \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-1}\\[5pt] &>& 0 \\[10pt] f''(3)&=&(3^2-6\cdot 3+7) \cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &=& -2\cdot \mathrm e^{-3}\\[5pt] &<& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(1)&>& 0 \\[10pt] f''(3)&<& 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1=1$ besitzt der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt, an der Stelle $x_2=3$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& (1^2-2\cdot 1+1)\cdot e^{-1} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(3)&=& (3^2-2\cdot 3+1)\cdot e^{-3}\\[5pt] &=& 4\cdot \mathrm e^{-3} \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte, den Tiefpunkt $T(1\mid 0)$ und den Hochpunkt $H\left(3\mid 4\cdot \mathrm e^{-3}\right).$
b)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Mithilfe einer geeigneten Wertetabelle ergibt sich in etwa folgendes Schaubild.
Abb. 1: Graph von $f$ im Intervall $[0;2]$
Abb. 1: Graph von $f$ im Intervall $[0;2]$
c)
$\blacktriangleright$  Stelle mit maximaler positiver Steigung bestimmen
Da die Steigung des Graphen von $f$ durch die erste Ableitungsfunktion $f'$ beschrieben wird, ist $x_P$ die Stelle, an der $f'$ ihr Maximum annimmt.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem notwendigen Kriterium für ein Maximum von $f',$ $f''(x)=0$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 \\[5pt] \left(x^2-6x+7 \right)\cdot \mathrm e^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-x}\neq 0 \\[5pt] x^2-6x+7 &=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2} \right)^2-7} \\[5pt] &=& 3\pm \sqrt{2} \\[5pt] x_1&=& 3-\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=& 3+\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 3-\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=& 3+\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$
$x_2 >2$ liegt allerdings außerhalb des betrachteten Intervalls $[0; 2].$ Da laut Aufgabenstellung das notwendige Kriterium ausreicht, ist also $x_P=x_1= 3-\sqrt{2} $ die Stelle mit der größten positiven Steigung.
2. Schritt: Steigung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_P)&=& f'(3-\sqrt{2}) \\[5pt] &=& \left(-\left(3-\sqrt{2} \right)^2 +4\cdot\left( 3-\sqrt{2}\right) -3\right)\cdot \mathrm e^{-3+\sqrt{2}} \\[5pt] &=& \left(-\left(9-6\sqrt{2}+2 \right) +12-4\sqrt{2} -3\right)\cdot \mathrm e^{-3+\sqrt{2}} \\[5pt] &=&\left(-2+2\sqrt{2}\right)\mathrm e^{-3+\sqrt{2}}\\[5pt] &\approx& 0,17 \end{array}$
$ f'(x_P)\approx 0,17 $
Die größte positive Steigung im Intervall $[0;2]$ besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_P= 3-\sqrt{2}\approx 1,59.$ Diese Steigung beträgt $\left(-2+2\sqrt{2}\right)\mathrm e^{-3+\sqrt{2}} \approx 0,17.$
#extrempunkt
d)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
Damit $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, muss $f$ die erste Ableitung von $F$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& (-x^2-1)\cdot \mathrm e^{-x}\\[10pt] F'(x)&=& (-2x)\cdot\mathrm e^{-x} +(-x^2-1)\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=& (x^2 -2x+1)\cdot \mathrm e^{-x} \end{array}$
$ F'(x) = f(x) $
Es gilt also $F'(x)= f(x)$ und damit ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Der gesuchte Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über $f$ in den Grenzen $a = 0$ und $b=1$ berechnet werden.
Mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung und der obigen Stammfunktion von $f$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(1) - F(0) \\[5pt] &=& (-1^2-1)\cdot \mathrm e^{-1} - (-0^2-1)\cdot \mathrm e^{-0} \\[5pt] &=& -2\cdot \mathrm e^{-1} + 1 \\[5pt] &\approx& 0,2642\,\text{FE} \\[5pt] &=& 26,42\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A\approx 26,42\,\text{m}^2 $
Der Flächeninhalt der Trennwand beträgt ca. $26,42\,\text{m}^2.$
#integral
e)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $R(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $R(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=&\left(-0^2+4\cdot 0 -3 \right) \cdot\mathrm e^{-0} \\[5pt] &=& -3 \end{array}$
$ m = -3 $
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $R$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&-3\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = -3x +1$.
$\blacktriangleright$  Einsparung berechnen
Die vorgeschlagene Wandfläche besitzt die Form eines Dreiecks. Zwei der Eckpunkte sind bereits bekannt, der Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ und der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse $R(0\mid 1).$
Der dritte ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& 0 \\[5pt] -3x +1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -3x&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] x&=& \frac{1}{3} \end{array}$
$ x = \frac{1}{3} $
Der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse ist $(\frac{1}{3}\mid 0).$
Das Dreieck ist rechtwinklig. Die beiden Katheten sind $a= \frac{1}{3}\,\text{LE}= \frac{10}{3}\,\text{m}$ und $b= 1\,\text{LE}= 10\,\text{m}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll} A_V&=& \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\,\text{m}\cdot 10\,\text{m} \\[5pt] &=&\frac{50}{3}\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 16,67\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_V\approx 16,67\,\text{m}^2 $
Die Differenz beträgt
$26,42\,\text{m}^2 -16,67\,\text{m}^2 = 9,75\,\text{m}^2.$
$ 9,75\,\text{m}^2 $
Durch den Vorschlag können $9,75\,\text{m}^2$ Wandfläche eingespart werden.
#rechtwinkligesdreieck
f)
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Ein tangentialer Verlauf bedeutet, dass der Graph von $p(x)= ax^2+bx+c$ in den beiden Punkten sowohl den gleichen Funktionswert als auch die gleiche Steigung haben muss. Es muss also gelten:
  1. $p(0)=1$
  2. $p'(0)=f'(0)$
  3. $p(1)=0$
  4. $p'(1)=f'(1)$
$\blacktriangleright$  Existenz untersuchen
Da $p$ quadratisch sein soll, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& ax^2+bx+c \\[5pt] p'(x)&=&2ax +b \end{array}$
Aus den obigen Bedingungen ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[5pt] &1&=& c \\[10pt] \text{II}\quad&-3&=& 2a\cdot 0 +b \\[5pt] &-3&=& b \\[10pt] \text{III}\quad&0&=& a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[5pt] &0&=& a+b+c \\[10pt] \text{IV}\quad&\left(-1^2+4\cdot 1 -3\right)\cdot \mathrm e^{-1}&=& 2a\cdot 1 +b \\[5pt] & 0 &=& 2a +b \\[5pt] \hline \text{III}'\quad&0&=& a-3+1 \\[5pt] &0&=& a-2 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] &2&=& a \\[10pt] \text{IV}'\quad& 0 &=& 2a -3 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] & 3&=& 2a &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] &\frac{3}{2}&=& a \end{array}$
Zusammen mit den ersten beiden Gleichungen ergeben sich aus Gleichung $\text{III}$ und $\text{IV}$ unterschiedliche Werte für $a.$ Damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar und es gibt keine Werte für $a,$ $b$ und $c,$ die alle vier Bedingungen erfüllen. Eine solche gewünschte Funktion $p$ existiert also nicht.
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