Analysis 1.2

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. Ermittle Art und Lage aller Extrempunkte des Graphen von $f.$ [Zur Kontrolle: $f'(x)= (-x^2+4x-3)\cdot \mathrm e^{-x}$]

Zeichne den Graphen der Funktion $f$ im oben angegebenen Intervall.

Im Intervall $[0;2]$ gibt es eine Stelle $x_P,$ an der der Graph von $f$ die maximale positive Steigung hat.
Bestimme den Wert von $x_P$ und die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Stelle.
Hinweis: Es genügt die Untersuchung der notwendigen Bedingung.

Für eine Veranstaltung soll unter einem Dachelement eine Trennwand errichtet werden. Diese Trennwand wird im Intervall $[0;1]$ durch den Funktionsgraphen und die $x$-Achse begrenzt. Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=(-x^2-1)\cdot \mathrm e^{-x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechne den Flächeninhalt der Trennwand, $1\,\text{LE}= 10\,\text{m}.$

Es wird vorgeschlagen, statt der Trennwand eine kleinere Wand zu verwenden, die begrenzt Punkt ist durch die Koordinatenachsen und die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0\mid 1).$
Ermittle eine Gleichung für diese Tangente. Berechne, wie viele Quadratmeter Wandfläche durch den Vorschlag eingespart werden.

Der Graph einer quadratischen Funktion $p$ soll in den Punkten $R(0\mid 1)$ und $S(1\mid 0)$ tangential zum Graphen von $f$ verlaufen.
Gib vier Bedingungen an, die $p$ erfüllen muss und untersuche, ob es eine solche Funktion $p$ gibt.

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$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen Der Graph von $f$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $S_x(1\mid 0).$ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 1).$ $\blacktriangleright$  Extrempunkte bestimmen 1. Schritt: Ableitungen bestimmen Mit der Produktregel folgt: 2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte $f'(x)=0$ folgen mögliche Extremstellen: Der Graph von $f$ besitzt mögliche Extrempunkte an den Stellen $x_1= 1$ und $x_2 = 3.$ 3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen Mit dem hinreichenden Kriterium kann die Art der Extrema bestimmt werden. An der Stelle $x_1=1$ besitzt der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt, an der Stelle $x_2=3$ einen Hochpunkt. 4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen $\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& (1^2-2\cdot 1+1)\cdot e^{-1} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(3)&=& (3^2-2\cdot 3+1)\cdot e^{-3}\\[5pt] &=& 4\cdot \mathrm e^{-3} \end{array}$ Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte, den Tiefpunkt $T(1\mid 0)$ und den Hochpunkt $H\left(3\mid 4\cdot \mathrm e^{-3}\right).$

$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen Mithilfe einer geeigneten Wertetabelle ergibt sich in etwa folgendes Schaubild.

$\blacktriangleright$  Stelle mit maximaler positiver Steigung bestimmen Da die Steigung des Graphen von $f$ durch die erste Ableitungsfunktion $f'$ beschrieben wird, ist $x_P$ die Stelle, an der $f'$ ihr Maximum annimmt. 1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden Mit dem notwendigen Kriterium für ein Maximum von $f',$ $f''(x)=0$ folgt: $x_2 >2$ liegt allerdings außerhalb des betrachteten Intervalls $[0; 2].$ Da laut Aufgabenstellung das notwendige Kriterium ausreicht, ist also $x_P=x_1= 3-\sqrt{2} $ die Stelle mit der größten positiven Steigung. 2. Schritt: Steigung berechnen Die größte positive Steigung im Intervall $[0;2]$ besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_P= 3-\sqrt{2}\approx 1,59.$ Diese Steigung beträgt $\left(-2+2\sqrt{2}\right)\mathrm e^{-3+\sqrt{2}} \approx 0,17.$

$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen Damit $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, muss $f$ die erste Ableitung von $F$ sein. Es gilt also $F'(x)= f(x)$ und damit ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$ $\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen Der gesuchte Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über $f$ in den Grenzen $a = 0$ und $b=1$ berechnet werden.
Mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung und der obigen Stammfunktion von $f$ ergibt sich: Der Flächeninhalt der Trennwand beträgt ca. $26,42\,\text{m}^2.$

$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ muss gelten:

• $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $R(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
• $t$ verläuft durch den Punkt $R(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$

Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $R$ liefert: $\begin{array}[t]{rll} 1&=&-3\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$ Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = -3x +1$. $\blacktriangleright$  Einsparung berechnen Die vorgeschlagene Wandfläche besitzt die Form eines Dreiecks. Zwei der Eckpunkte sind bereits bekannt, der Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ und der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse $R(0\mid 1).$
Der dritte ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse. Der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse ist $(\frac{1}{3}\mid 0).$
Das Dreieck ist rechtwinklig. Die beiden Katheten sind $a= \frac{1}{3}\,\text{LE}= \frac{10}{3}\,\text{m}$ und $b= 1\,\text{LE}= 10\,\text{m}$ lang. Die Differenz beträgt Durch den Vorschlag können $9,75\,\text{m}^2$ Wandfläche eingespart werden.

$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben Ein tangentialer Verlauf bedeutet, dass der Graph von $p(x)= ax^2+bx+c$ in den beiden Punkten sowohl den gleichen Funktionswert als auch die gleiche Steigung haben muss. Es muss also gelten:

1. $p(0)=1$
2. $p'(0)=f'(0)$
3. $p(1)=0$
4. $p'(1)=f'(1)$

$\blacktriangleright$  Existenz untersuchen Da $p$ quadratisch sein soll, gilt: $\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& ax^2+bx+c \\[5pt] p'(x)&=&2ax +b \end{array}$ Aus den obigen Bedingungen ergibt sich also folgendes Gleichungssystem: Zusammen mit den ersten beiden Gleichungen ergeben sich aus Gleichung $\text{III}$ und $\text{IV}$ unterschiedliche Werte für $a.$ Damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar und es gibt keine Werte für $a,$ $b$ und $c,$ die alle vier Bedingungen erfüllen. Eine solche gewünschte Funktion $p$ existiert also nicht.