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Tangentengleichung ermitteln
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ muss gelten:
- $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $R(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
- $t$ verläuft durch den Punkt $R(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll}
m&=& f'(0) \\[5pt]
&=&\left(-0^2+4\cdot 0 -3 \right) \cdot\mathrm e^{-0} \\[5pt]
&=& -3
\end{array}$
$ m = -3 $
$\begin{array}[t]{rll}
m&=& f'(0) \\[5pt]
&=&\left(-0^2+4\cdot 0 -3 \right) \cdot\mathrm e^{-0} \\[5pt]
&=& -3
\end{array}$
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $R$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll}
1&=&-3\cdot 0 +b \\[5pt]
1&=& b
\end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = -3x +1$.
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Einsparung berechnen
Die vorgeschlagene Wandfläche besitzt die Form eines Dreiecks. Zwei der Eckpunkte sind bereits bekannt, der Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ und der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse $R(0\mid 1).$
Der dritte ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll}
t(x)&=& 0 \\[5pt]
-3x +1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt]
-3x&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt]
x&=& \frac{1}{3}
\end{array}$
$ x = \frac{1}{3} $
$\begin{array}[t]{rll}
t(x)&=& 0 \\[5pt]
-3x +1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt]
-3x&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt]
x&=& \frac{1}{3}
\end{array}$
Der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse ist $(\frac{1}{3}\mid 0).$
Das Dreieck ist rechtwinklig. Die beiden Katheten sind $a= \frac{1}{3}\,\text{LE}= \frac{10}{3}\,\text{m}$ und $b= 1\,\text{LE}= 10\,\text{m}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll}
A_V&=& \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\,\text{m}\cdot 10\,\text{m} \\[5pt]
&=&\frac{50}{3}\,\text{m}^2 \\[5pt]
&\approx& 16,67\,\text{m}^2
\end{array}$
$ A_V\approx 16,67\,\text{m}^2 $
$\begin{array}[t]{rll}
A_V&=& \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\,\text{m}\cdot 10\,\text{m} \\[5pt]
&=&\frac{50}{3}\,\text{m}^2 \\[5pt]
&\approx& 16,67\,\text{m}^2
\end{array}$
Die Differenz beträgt
$26,42\,\text{m}^2 -16,67\,\text{m}^2 = 9,75\,\text{m}^2.$
$ 9,75\,\text{m}^2 $
$26,42\,\text{m}^2 -16,67\,\text{m}^2 = 9,75\,\text{m}^2.$
Durch den Vorschlag können $9,75\,\text{m}^2$ Wandfläche eingespart werden.