Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur GK (WTR...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Stochastik 3.1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Smartphone

Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt.
Ein Händler erhält eine Lieferung dieser Smartphones.
a)
Die gelieferten Geräte haben sechs verschiedene Farben. Für die Auslage einiger Geräte im Schaufenster sollen vier Farben ausgewählt werden.
Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten für diese Auswahl.
(2 BE)
b)
Die Lieferung umfasst $50$ Geräte; davon sind drei fehlerhaft. Aus der Lieferung werden zehn Geräte zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
„Von den zehn ausgewählten Geräten ist keines fehlerhaft.“
„Von den zehn ausgewählten Geräten ist mindestens eines fehlerhaft.“
(3 BE)
Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:
  • der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte;
  • der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.
WerkABCD
Anteil an der Gesamtzahl $10\,\%$$30\,\%$$20\,\%$$40\,\%$
Anteil der fehlerhaften Geräte$5\,\%$$3\,\%$$4\,\%$$2\,\%$
c)
Weise nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten $3\,\%$ beträgt.
(2 BE)
d)
Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk $A$ hergestellt wurde.
(3 BE)
e)
Von im Werk A hergestellten Geräten werden $20$ zufällig ausgewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter kein fehlerhaftes Gerät ist.
(2 BE)
f)
Gib einen Wert von $s$ an, für den mit dem Term $200\cdot 0,98^s\cdot 0,02+0,98^{200}$ im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
(4 BE)
#ereignis
g)
Ermittle, wie viele im Werk C hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein fehlerhaftes Gerät befindet.
(4 BE)

(20 BE)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Bei der Auswahl der Farben handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Es ist die Anzahl der möglichen Kombinationen gesucht. Mit dem Binomialkoeffizienten ergibt sich:
$\binom{6}{4} = 15$
Es gibt insgesamt $15$ verschiedene Möglichkeiten vier Farben aus den sechs auszuwählen.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \frac{47}{50}\cdot \frac{46}{49}\cdot \frac{45}{48}\cdot \frac{44}{47}\cdot \frac{43}{46}\cdot \frac{42}{45}\cdot \frac{41}{44}\cdot \frac{40}{43}\cdot \frac{39}{42}\cdot \frac{38}{41} \\[5pt] &\approx& 0,5041 \\[5pt] &=& 50,41\,\% \end{array}$
$ P(A)= 50,41\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $50,41\,\%$ befindet sich unter den zehn ausgewählten Geräten kein fehlerhaftes.
Ereignis $B$ ist das Gegenereignis zu $A,$ es tritt also genau dann ein, wenn $A$ nicht eintritt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&1-P(A) \\[5pt] &\approx& 1- 0,5041\\[5pt] &=& 0,4959 \\[5pt] &=& 49,59\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $49,59\,\%$ befindet sich unter den zehn ausgewählten Geräten mindestens ein fehlerhaftes.
#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen
Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit $F$ bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& 0,1\cdot 0,05 + 0,3\cdot 0,03+0,2\cdot 0,04+ 0,4\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,03\\[5pt] &=& 3\,\% \end{array}$
$ P(F)=3\,\% $
Unter allen hergestellten Geräten befinden sich $3\,\%$ fehlerhafte Geräte.
#pfadregeln
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(A).$ Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_F(A)&=& \dfrac{P_A(F)\cdot P(A)}{P(F)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,05\cdot 0,1}{0,03}\\[5pt] &\approx& 0,1667\\[5pt] &=& 16,67\,\% \end{array}$
$ P_F(A) \approx 16,67\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $16,67\,\%$ stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.
#satzvonbayes
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter $20$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk A beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n=20$ und $p = 0,05.$
Mit der Formel für die Binomialverteilung ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& \binom{20}{0}\cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20}\\[5pt] &\approx& 0,3585\\[5pt] &=& 35,85\,\% \end{array}$
$ P(X=0)\approx 35,85\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $35,85\,\%$ befindet sich unter $20$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk A kein fehlerhaftes.
#binomialverteilung
f)
$\blacktriangleright$  Wert angeben
Vergleicht man den angegebenen Term mit der Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ $P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k},$ kann man den Term wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 200\cdot 0,98^s\cdot 0,02 + 0,98^{200}&=& 200\cdot 0,98^{s}\cdot 0,02^{1}+0,98^{200} \\[5pt] &=& \binom{200}{1}\cdot 0,98^{200-1}\cdot 0,02^{1}+0,98^{200} \\[5pt] &=& P(X_{200;0,02}=1)+ P(X_{200;0,02} = 0) \\[5pt] &=& P(X_{200;0,02}\leq 1) \\[5pt] \end{array}$
$ … =P(X_{200;0,02}\leq 1) $
$0,02= 20\,\%$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk D fehlerhaft ist. Für $s=199$ gibt der Term also die Wahrscheinlichkeit an, dass unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens eines fehlerhaft ist.
#binomialverteilung
g)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y_n,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von $n$ in Werk C hergestellten Geräten beschreibt. Diese ist dann aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = 0,04.$ Gesucht ist dann das kleinste $n$ für das gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n \geq 1)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1-P(Y_n = 0)&\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(Y_n = 0)&\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(Y_n = 0)&\leq& 0,05 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,04^0\cdot 0,96^n&\leq& 0,05 \\[5pt] 0,96^n&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln\left(0,96^n\right)&\leq& \ln(0,05)\\[5pt] n\cdot \ln(0,96)&\leq& \ln(0,05) &\quad \scriptsize \mid\;:\ln(0,96) < 0 \\[5pt] n&\geq& \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,96)} \\[5pt] n&\geq& 74 \end{array}$
$ n \geq 74$
Es müssen mindestens $74$ Geräte aus Werk C zufällig ausgewählt werden, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein fehlerhaftes Gerät ist.
#gegenereignis#binomialverteilung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App