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Analysis 2.2

Aufgaben
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Hormonpflaster

Mit einem Pflaster können einer Person durch die Haut Medikamente zugeführt werden, z.B. Hormone. Diese Pflaster geben über einen langen Zeitraum hinweg Hormone ab.
Eine Arzneimittelfirma hat solche Pflaster an Personen getestet, deren körpereigene Hormonproduktion lediglich $50 \,\% $ des Sollwertes beträgt. Der Sollwert liegt bei $100 \,\%$.
a)
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $t \mapsto + \infty$ .
(3 BE)
b)
Ermittle, wann der maximale Wert des Hormonspiegels erreicht wird und berechne diesen Wert.
Es genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.
[Kontrollergebnis: $h'(t)=(8-0,32t)\cdot e^{-0,04 \cdot t}$ ]
(7 BE)
c)
Wenn der Hormonspiegel stark abfällt, werden vermehrt Nebenwirkungen beobachtet.
Ermittle den Zeitpunkt, an dem der Hormonspiegel am stärksten fällt. (Es genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung).
Berechne für diesen Zeitpunkt den Wert des Hormonspiegels.
Gib für diesen Zeitpunkt die lokale Änderungsrate in $\,\%$ pro Tag an.
Ohne Nachweis darfst du verwenden: $h''(t)$ $=(-0,64+0,0128t)\cdot e^{-0,04\cdot t}.$
(5 BE)
d)
Berechne die mittlere Änderungsrate des Hormonspiegels in den ersten sieben Tagen nach Beginn der Behandlung.
(3 BE)
#änderungsrate
e)
Ohne Nachweis darfst du verwenden, dass durch
$H(t)=-(200\cdot t+5000)\cdot e^{-0,04\cdot t}+50 \cdot t$
$H(t)=$ $-(200\cdot t+5000)\cdot e^{-0,04\cdot t}+50 \cdot t$
eine Stammfunktion $H$ von $h$ gegeben ist.
Weise nach, dass $\dfrac{1}{70}\cdot\displaystyle\int_{0}^{70}h(t)\;\mathrm dt> 100$ gilt.
(4 BE)
#stammfunktion#integral
f)
Bei einem Patienten wird das Pflaster nach $70$ Tagen entfernt. Der Hormonspiegel kann danach durch eine Gerade $g$ beschrieben werden, die im Punkt $P (70 \mid h(70))$ tangential zum Graphen von $h$ verläuft.
Ermittle eine Gleichung für $g$.
[Kontrollergebnis: $g(t)\approx -0,88 \cdot t +145,7$ ]
Ermittle rechnerisch, ab welchem Zeitpunkt $g(t)\leq 50$ gilt.
(5 BE)
g)
Der Hersteller möchte die Wirkstoffmenge in den Pflastern erhöhen und geht davon aus, dass der Hormonspiegel dann durch eine Funktion $h_k$ mit folgender Gleichung beschrieben werden kann:
$h_k(t)=k\cdot t \cdot e^{-0,04 \cdot t}+50, t\geq 0$ und $k\geq 0$.
Ermittle, ab welchem Wert von $k$ der Hormonspiegel am $70.\,\text{Tag}$ noch mindestens den Wert $100$ erreicht.
(6 BE)
h)
(6 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte untersuchen
Für $t\to +\infty$ gilt:
$h(t) = 8t\cdot \underbrace{\mathrm e^{\underbrace{-0,04\cdot t}_{\to -\infty}}}_{\to 0} +50 \to 50 $
b)
$\blacktriangleright$  Maximalen Wert des Hormonspiegels ermitteln
Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $h.$
1. Schritt: Ableitung bilden
Verwende die Produktregel und die Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} h(t) &=& 8t\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} +50\\[10pt] h'(t) &=& 8\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} + 8t\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t}\cdot (-0,04) \\[5pt] &=& 8\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} - 0,32t\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} \\[5pt] &=& (8-0,32t) \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ h'(t)=(8-0,32t) \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& 0 \\[5pt] (8-0,32t) \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \mathrm e^{-0,04\cdot t} \neq 0 \\[5pt] 8-0,32t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] -0,32t &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,32)\\[5pt] t &=& 25 \end{array}$
$ t = 25 $
Die einzige mögliche Extremstelle von $h$ ist $t=25.$ Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Anwendung der notwendigen Bedingung genügt, kannst du davon ausgehen, dass dies die Stelle mit dem maximalen Funktionswert ist.
$25$ Tage nach Beginn der Behandlung ist der maximale Wert des Hormonspiegels erreicht.
3. Schritt: Maximalen Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} h(25) &=& 8\cdot 25 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 25}+50 \\[5pt] &\approx& 123,58 \end{array}$
$ h(25)\approx 123,58 $
Der maximale Wert des Hormonspiegels beträgt ca. $123,58$ Prozentpunkte und wird $25$ Tage nach Beginn der Behandlung erreicht.
#kettenregel#extrempunkt#produktregel
c)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Abfall berechnen
Die momentane Änderungsrate des Hormonspiegels wird durch die erste Ableitungsfunktion $h'$ beschrieben. Gesucht ist also der minimale Funktionswert von $h'.$
Bestimme also die möglichen Extremstellen von $h'.$
In der Aufgabenstellung ist die Funktionsgleichung von $h''$ angegeben. Wende also das notwendige Kriterium für Extremstellen von $h'$ an:
$\begin{array}[t]{rll} h''(t) &=& 0 \\[5pt] (-0,64+0,0128t)\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot t} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,04\cdot t} \neq 0\\[5pt] -0,64+0,0128t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+0,64 \\[5pt] 0,0128t &=& 0,64 &\quad \scriptsize \mid\;:0,0128 \\[5pt] t &=& 50 \end{array}$
$ t=50 $
Da die Verwendung der notwendigen Bedingung genügt, kannst du davon ausgehen, dass es sich hier um den Zeitpunkt mit dem stärksten Gefälle handelt.
$50$ Tage nach Beginn der Behandlung fällt der Wert des Hormonspiegels am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Wert des Hormonspiegels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} h(50) &=& 8\cdot 50 \cdot \mathrm e{-0,04\cdot 50} +50 \\[5pt] &\approx& 104,13 \end{array}$
$ h(59)\approx 104,13 $
Zu dem Zeitpunkt, zu dem der Wert des Hormonspiegels am stärksten abfällt, beträgt der Wert des Hormonspiegels ca. $104,13$ Prozentpunkte.
$\blacktriangleright$  Lokale Änderungsrate angeben
Die lokale Änderungsrate wird durch die Funktion $h'$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} h'(50)&=& (8-0,32\cdot 50)\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 50} \\[5pt] &\approx& -1,08 \end{array}$
$ h'(50)\approx -1,08 $
Zu dem Zeitpunkt, zu dem der Wert des Hormonspiegels am stärksten abfällt, fällt der Hormonspiegel um ca. $1,08$ Prozentpunkte pro Tag.
#extrempunkt
d)
$\blacktriangleright$  Mittlere Änderungsrate berechnen
Die mittlere Änderungsrate lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \dfrac{h(7) - h(0)}{7-0}\\[5pt] &=& \dfrac{8\cdot 7 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 7} +50 - \left(8\cdot 0 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 0} +50 \right)}{7-0} \\[5pt] &=& \dfrac{56 \cdot \mathrm e^{-0,28}}{7} \\[5pt] &\approx& 6,05 \end{array}$
$ \overline{m}\approx 6,05 $
In den ersten sieben Tagen nach Beginn der Behandlung nimmt der Wert des Hormonspiegels im Mittel um ca. $6,05$ Prozentpunkte pro Tag zu.
e)
$\blacktriangleright$  Ungleichung nachweisen
Mithilfe der angegebenen Stammfunktion kannst du das Integral berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} &\frac{1}{70}\cdot\displaystyle\int_{0}^{70}h(t)\;\mathrm dt \\[5pt] =& \frac{1}{70}\cdot \left(H(70) -H(0) \right) \\[5pt] =& \frac{1}{70}\cdot \left(\left(-(200\cdot 70 +5.000)\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70}+50\cdot 70 \right) - \left(-(200\cdot 0 +5.000)\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 0}+50\cdot 0 \right)\right) \\[5pt] =& \frac{1}{70}\cdot \left(\left(-19.000\cdot \mathrm e^{-2,8}+3.500 \right) +5.000 \right)\\[5pt] =& \frac{1}{70}\cdot \left(-19.000\cdot \mathrm e^{-2,8}+8.500 \right) \\[5pt] =& \frac{100}{70}\cdot \left(-190\cdot \mathrm e^{-2,8}+85\right) \\[5pt] =& \frac{10}{7}\cdot \left(-190\cdot \frac{1}{\mathrm e^{2,8}}+85\right) \\[5pt] \approx & 104,9 > 100 \end{array}$
$ … \approx 104,9 > 100 $
f)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Bestimme die Gleichung der Tangente $g:\, y= m\cdot x +b$ an den Graphen von $h$ im Punkt $P(70\mid h(70)).$ Diese Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph von $h$ in diesem Punkt. Also gilt:
$m = h'(70) = (8-0,32\cdot 70)\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} = -14,4 \cdot \mathrm e^{-2,8}\approx -0,88$
$ m \approx -0,88$
Mithilfe einer Punktprobe kannst du $b$ berechnen. Bestimme dazu zunächst $h(70):$
$h(70) = 8\cdot 70 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} +50 = 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50 \approx 84,05 $
$ h(70)\approx 84,05 $
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $P\left(70\mid 84,05 \right)$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g(70) &=& 84,05 \\[5pt] m\cdot 70 + b &=& 84,05 &\quad \scriptsize \mid\; m\approx -0,88\\[5pt] -0,88\cdot 70 +b &=& 84,05 \\[5pt] -61,60 +b &=& 84,05 &\quad \scriptsize \mid\; +61,60 \\[5pt] b &=& 145,65 \end{array}$
$ b= 145,65 $
Eine Gleichung für $g$ ist also:
$g(t) \approx -0,88t +145,7$
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt rechnerisch ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} g(t) &\leq & 50 \\[5pt] -0,88t +145,7 &\leq & 50 &\quad \scriptsize \mid\;-145,7 \\[5pt] -0,88t &\leq& -95,7 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,88) \\[5pt] t & \geq & 108,75 \end{array}$
$ t \geq 108,75 $
Ab dem $109.$ Tag nach Beginn der Behandlung, also $39$ Tage nach der Entfernung des Pflasters sinkt der Hormonspiegel unter $50$ Prozentpunkte.
#tangente
g)
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Es soll $h_k(70)\geq 100$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} h_k(70) &\geq& 100 \\[5pt] k\cdot 70 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} +50 & \geq & 100 &\quad \scriptsize \mid\; -50 \\[5pt] k\cdot 70 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} & \geq & 50 &\quad \scriptsize \mid\; :70 \\[5pt] k\cdot \mathrm e^{-2,8}&\geq& \frac{5}{7} &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-2,8} \\[5pt] k &\geq& \frac{5\cdot \mathrm e^{2,8}}{7} \approx 11,7 \end{array}$
$ k\geq \frac{5\cdot \mathrm e^{2,8}}{7} \approx 11,7 $
Ab $k\approx 11,7$ erreicht der Hormonspiegel am $70.$ Tag noch mindestens den Wert $100.$
h)
$\blacktriangleright$  Verlauf der Graphen vergleichen
Du sollst mindestens drei Gemeinsamkeiten oder Unterschiede angeben. Vergleiche also:
$h(t) = 8t\cdot \mathrm e^{-0,04t}+50$
$h_k(t) = kt\cdot \mathrm e^{-0,04t}+50;$ $k>8$
Der einzige Unterschied der beiden Funktionsterme ist der Faktor $k.$ Es gilt $h(t) = h_8(t).$
Je größer der Faktor $k$ ist, desto größer können generell auch die Funktionswerte werden. Es ergeben sich beispielsweise folgende Punkte:
  • Es gilt $h(0) = 50$ und auch $h_k(0) = 50$ unabhängig von $k.$ Die Graphen von $h$ und $h_k$ verlaufen also durch den Punkt $P(0\mid 50).$
  • Da $k>8$ vorgegeben ist, nimmt $h_k$ für $t> 0$ größere Funktionswerte als $h$ an. Für $t> 0$ verläuft der Graph von $h_k$ also oberhalb des Graphen von $h.$
  • Durch den positiven Faktor $k$ wird die Anzahl und die Art der Extrempunkte nicht verändert. Der Graph von $h$ und der Graph von $h_k$ besitzen also die gleiche Anzahl und Art von Extrempunkten.
  • Beide Graphen besitzen eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=50.$
#extrempunkt
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