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Analysis 1.1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ durch die Gleichung $f_a(x)=(x^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-x};$ $a\in \mathbb{R}.$
Die Graphen der Schar sind $G_a.$
#funktionenschar
a)
Ermittle die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \to \infty$ und für $x \to-\infty.$
(8 BE)
#nullstelle#grenzwert
b)
Gib den Schnittpunkt des Graphen $G_a$ mit der $y$-Achse an. In der Abbildung 1 sind für ganzzahlige Parameterwerte $a$ zwei Graphen der Funktionenschar $f_a$ dargestellt.
Ermittle die Parameterwerte und beschrifte die Graphen.
(3 BE)
c)
Die Graphen $G_2$ und $G_0,$ die $y$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 3$ schließen eine Fläche ein.
Berechne den Inhalt $A$ dieser Fläche.
(3 BE)
d)
Weise nach, dass die Graphen $G_a$ der Funktionenschar $f_a$ für $a > 1$ keine Extrempunkte besitzen.
(5 BE)
#extrempunkt
e)
Weise nach, dass gilt: $f_2''(x)=(x-2)^2\mathrm e^{0,5-x}.$
Erläutere, welche Schlussfolgerungen daraus über den Verlauf des Graphen $G_2$ gezogen werden können.
(7 BE)
f)
Der Graph $G_2$ verläuft im Intervall $[1;3]$ annähernd geradlinig und kann vereinfacht durch die Tangente $t$ an diesen Graphen in $x = 2$ dargestellt werden.
Ermittle die Gleichung der Tangente $t.$
[Zur Kontrolle: $t(x)=-2 \cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot x+10\cdot \mathrm e^{-1,5}$]
Zeige, dass der Funktionswert der Tangente $t$ an der Stelle $x = 1$ um weniger als $2\,\%$ vom Funktionswert von $f_2$ an dieser Stelle abweicht.
(5 BE)
#tangente
Der Graph $G_{0,65}$ der Funktion $f_{0,65}$ schließt über dem Intervall $[0;3]$ mit der $x$-Achse eine Fläche ein (siehe Abbildung 2).
Durch Rotation dieser Fläche um die $x$-Achse entsteht ein Körper, der modellhaft einer auf der Seite liegenden und nach links geöffneten Vase entspricht. Es gilt: $1\,\text{LE}= 1\,\text{dm}.$
g)
Die Vase nimmt an zwei verschiedenen Stellen einen maximalen Radius von ca. $1,07\,\text{dm}$ an. Bestimme diese beiden Stellen.
(5 BE)
h)
Berechne das Fassungsvermögen der Vase in Liter, wenn der Materialanteil am gesamten Volumen der Vase $10\,\%$ beträgt.
(5 BE)
i)
Interpretiere im Sachzusammenhang die Funktion $b(t)=\pi \cdot \displaystyle\int_{3-t}^{3}(f_{0,65}(x))^2\;\mathrm dx$
(2 BE)
j)
Die Vase soll stehend in einem Karton verpackt werden, der die Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas besitzt. Stelle den Zusammenhang zwischen dem maximalen Radius der Vase und der Grundfläche des Kartons mit Hilfe einer Skizze und einer Gleichung dar.
Ermittle, welches Volumen $(\text{in cm}^3)$ dieser Karton mindestens haben muss.
(7 BE)

(50 BE)
#prisma
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen ermittelnAnalysis 1.1
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 0 \\[5pt] (x^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{0,5-x}\neq 0 \\[5pt] x^2+a&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-a \\[5pt] x^2&=&-a \end{array}$
$ x^2=-a $
Diese Gleichung hat in Abhängigkeit von $a$ folgende Lösungen:
  • $a>0:\quad$ Die Gleichung $x^2=-a$ hat keine Lösung, da $x^2\geq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ und $-a < 0$ ist. $f_a$ hat daher keine Nullstellen.
  • $a=0:\quad$ $x^2=-a$ hat genau eine Lösung, $x=0.$ $f_a$ hat also für $a=0$ eine Nullstelle.
  • $a<0:\quad $ $x^2=-a$ hat zwei Lösungen: $x_1 = -\sqrt{-a}$ und $x_2=+\sqrt{-a}.$ $f_a$ hat also zwei Nullstellen.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte untersuchen
  • Für $x\to \infty$ gilt $x^2+a \to \infty$ und $\mathrm e^{0,5-x}\to 0.$
    Insgesamt gilt daher $f_a(x)\to 0$ für $x\to \infty.$
  • Für $x\to -\infty$ gilt $x^2+a \to \infty$ und $\mathrm e^{0,5-x}\to \infty.$
    Insgesamt gilt daher $f_a(x)\to \infty$ für $x\to -\infty.$
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt angeben
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& (0^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-0} \\[5pt] &=& a \cdot \mathrm e^{0,5} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph $G_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y\left(0\mid a \cdot \mathrm e^{0,5}\right).$
$\blacktriangleright$  Parameterwerte ermitteln
Einer der Graphen schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 0).$ Zu ihm muss der Wert $a=0$ gehören.
Für $a=2$ ergibt sich beispielsweise der Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu $\left(0\mid 2\cdot\mathrm e^{0,5} \right)\approx (0\mid 3,3).$ Der zweite Graph gehört also zum Wert $a=2.$
Analysis 1.1
Abb. 1: Zuordnung der Graphen
Analysis 1.1
Abb. 1: Zuordnung der Graphen
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt kannst du mithilfe eines Integrals berechnen. Dazu kannst du deinen CAs verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{3}\left(f_2(x)-f_0(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{3}\left((x^2+2)\cdot \mathrm e^{0,5-x}-x^2\cdot \mathrm e^{0,5-x} \right)\;\mathrm dx & \quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 3,13 \end{array}$
$ A\approx 3,13 $
Der Flächeninhalt $A$ der beschriebenen Fläche beträgt ca. $3,13\,\text{FE}.$
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass keine Extrempunkte existieren
1. Schritt: Ableitungsfunktion bilden
Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt für die erste Ableitungsfunktion von $f_a:$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& (x^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] f_a'(x)&=& 2x\cdot \mathrm e^{0,5-x} + (x^2+a)\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] &=&(-x^2+2x-a) \cdot \mathrm e^{0,5-x}\\[5pt] \end{array}$
$ f_a'(x)=… $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 0 \\[5pt] (-x^2+2x-a) \cdot \mathrm e^{0,5-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{0,5-x}\neq 0 \\[5pt] -x^2+2x-a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;abc\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot (-a)}}{2\cdot (-1)} \\[5pt] &=& \dfrac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{-2} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1/2} = \dfrac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{-2} $
Der Radikand, also der Wert unter der Wurzel, ist $4-4a.$ Dieser ist für $a>1$ negativ, sodass die Wurzel dann nicht mehr definiert ist. Für $a >1$ gibt es also keine Stellen $x,$ die das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllen. Es kann also keine Extremstellen für $a>1$ geben.
#kettenregel#produktregel
e)
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion nachweisen
Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& (-x^2+2x-a)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] f_2'(x)&=& (-x^2+2x-2)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[10pt] f_2''(x)&=& (-2x+2)\cdot \mathrm e^{0,5-x} +(-x^2+2x-2)\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] &=& (x^2 -4x +4)\cdot \mathrm e^{0,5-x} &\quad \scriptsize \; \text{2. binomische Formel} \\[5pt] &=& (x-2)^2\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] \end{array}$
$ f_2''(x)=… $
Es gilt $f_2''(x) >0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph $G_2$ kann also keinen Wendepunkt besitzen. Zudem beschreibt die zweite Ableitungsfunktion $f_2''$ die Krümmung des Graphen $G_2.$ Dieser ist demnach im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt.
#krümmung#wendepunkt
f)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln
Verwende für die Steigung der Tangente dein CAS.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f_2'(2) &\quad \scriptsize\mid\; CAS\\[5pt] &=& -2\cdot \mathrm e^{-1,5} \\[5pt] \end{array}$
$ m_t= -2\cdot \mathrm e^{-1,5} $
Für den Funktionswert an der Stelle $x=2$ folgt ebenfalls mithilfe deines CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(2)&=& 6\cdot \mathrm e^{-1,5}\\[5pt] \end{array}$
Eine Punktprobe liefert dann für den $y$-Achsenabschnitt der Tangente:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& m_t\cdot x +b_t \\[5pt] 6\cdot \mathrm e^{-1,5}&=& -2\cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot 2 +b_t \\[5pt] 6\cdot \mathrm e^{-1,5}&=& -4\cdot \mathrm e^{-1,5} +b_t &\quad \scriptsize \mid\; +4 \cdot \mathrm e^{-1,5}\\[5pt] 10\cdot \mathrm e^{-1,5}&=& b_t \end{array}$
$ 10\cdot \mathrm e^{-1,5}= b_t $
Eine Gleichung der Tangente an $G_2$ an der Stelle $x=2$ lautet also $t(x)= -2\cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot x +10\cdot \mathrm e^{-1,5}.$
$\blacktriangleright$  Abweichung nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f_2(1)&=& (1^2+2)\cdot \mathrm e^{0,5-1} \\[5pt] &=& 3\cdot \mathrm e^{-0,5}\\[10pt] t(1)&=& -2\cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot 1 +10\cdot \mathrm e^{-1,5}\\[5pt] &=& 8\cdot \mathrm e^{-1,5} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2(1)&=& 3\cdot \mathrm e^{-0,5}\\[10pt] t(1)&=& 8\cdot \mathrm e^{-1,5} \\[5pt] \end{array}$
Die prozentuale Abweichung ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{t(1)-f_2(1)}{f_2(1)}&=& \dfrac{8\cdot \mathrm e^{-1,5}- 3\cdot \mathrm e^{-0,5}}{3\cdot \mathrm e^{-0,5}} \\[5pt] &\approx& -0,0190 \\[5pt] &=& -1,90\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ …=-1,90\,\% $
Der Funktionswert der Tangente an der Stelle $x=1$ weicht also um weniger als $2\,\%$ vom Funktionswert von $f_2$ an dieser Stelle ab.
g)
$\blacktriangleright$  Stellen mit maximalem Radius bestimmen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,65}(x)&=& (x^2+0,65)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] f_{0,65}'(x)&=& (-x^2+2x-0,65)\cdot \mathrm e^{0,5-x} \\[5pt] \end{array}$
$ f_{0,65}'(x)=… $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,65}'(x) &=& 0 \\[5pt] (-x^2+2x-0,65)\cdot \mathrm e^{0,5-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{0,5-x}\neq 0 \\[5pt] -x^2+2x-0,65&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;abc\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot (-0,65)}}{2\cdot (-1)} \\[5pt] &=& \dfrac{-2\pm \sqrt{1,4}}{-2} \\[5pt] x_1&=& \dfrac{-2+\sqrt{1,4}}{-2} \\[5pt] &\approx& 0,41\\[10pt] x_2&=& \dfrac{-2-\sqrt{1,4}}{-2} \\[5pt] &\approx& 1,59 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,65}'(x) &=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] x_1&\approx& 0,41\\[10pt] x_2&\approx& 1,59 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Für die obigen möglichen Extremstellen und die Intervallränder folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,65}(0,41)&\approx& 0,90 \\[5pt] f_{0,65}(1,59)&\approx& 1,07 \\[5pt] f_{0,65}(0)&\approx& 1,07\\[5pt] f_{0,65}(3)&\approx& 0,79\\[5pt] \end{array}$
Die Vase nimmt an den Stellen $x_1= 0$ und $x_2\approx 1,59$ den maximalen Radius von $1,07\,\text{dm}$ an.
h)
$\blacktriangleright$  Fassungsvermögen berechnen
Das Gesamtvolumen der Vase kann mithilfe der Formel für das Rotationsvolumen berechnet werden. Das Fassungsvermögen $V$ entspricht dann $90\,\%$ des Gesamtvolumens, da $10\,\%$ des Volumens auf das Material anfallen.
Für das Integral kannst du wieder dein CAS verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 0,9\cdot \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{3}\left[f_{0,65}(x)\right]^2\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 8,08\,\left[\text{dm}^3\right] \\[5pt] &=& 8,08\,\left[l\right] \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 8,08\,\left[l\right] $
Die Vase hat ein Fassungsvermögen von ca. $8,08\,l.$
i)
$\blacktriangleright$  Funktion im Sachzusammenhang interpretieren
Der Funktionsterm von $b$ baut auf der Formel für das Rotationsvolumen auf.
Die Funktion $b(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang das Volumen der Vase bis zur Höhe $t,$ also beispielsweise das Füllvolumen bei der Füllhöhe $t.$
j)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang herstellen
Die Grundfläche muss so groß sein, dass ein Kreis mit dem Radius $r$ eingefasst werden kann, der dem maximalen Radius der Vase entspricht.
Da die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist, kann sie in sechs kongruente Dreiecke eingeteilt werden. Der Innenwinkel eines solchen Dreiecks am Mittelpunkt ist $360^{\circ}:6 = 60^{\circ}$ groß.
Aufgrund der Regelmäßigkeit ist ein solches Dreieck mindestens gleichschenklig. Die beiden Basiswinkel sind dann aber ebenfalls $60^{\circ}$ groß, sodass das Dreieck sogar gleichseitig ist.
Die Höhe des Dreiecks ist $r.$ Die Seitenlänge $a$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& r^2 +\left(\frac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] a^2&=& r^2 +\frac{1}{4}a^2 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{1}{4}a^2 \\[5pt] \frac{3}{4}a^2&=& r^2 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{3}{4} \\[5pt] a^2&=& \frac{4}{3}r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] a&=& \frac{2}{\sqrt{3}}r \end{array}$
$ a= \frac{2}{\sqrt{3}}r $
Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}}&=&\frac{1}{2}\cdot r\cdot a \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot r\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}r \\[5pt] &=& \frac{1}{\sqrt{3}}r^2 \end{array}$
$ A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{\sqrt{3}}r^2 $
Der Flächeninhalt der Grundfläche kann daher in Abhängigkeit des maximalen Vasenradius $r$ wie folgt dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_G(r)&=& 6\cdot A_{\text{Dreieck}} \\[5pt] &=& 6\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}r^2 \\[5pt] &=& \sqrt{12}\cdot r^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_G(r) = \sqrt{12}\cdot r^2$
$\blacktriangleright$  Mindestvolumen ermitteln
Der maximale Radius der Vase beträgt laut Aufgabenteil g) $r\approx 1,07\,\text{dm}.$ Die Höhe der Vase beträgt $h=3\,\text{dm}.$ Mit der obigen Formel und der Volumenformel für Prismen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\sqrt{12}\cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \sqrt{12}\cdot (1,07\,\text{dm})^2 \cdot 3\,\text{dm} \\[5pt] &\approx& 11,898\,\text{dm}^3 \\[5pt] &=& 11.898\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 11.898\,\text{cm}^3 $
Der Karton muss mindestens ein Volumen von $11.898\,\text{cm}^3$ haben.
Bildnachweise [nach oben]
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