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Stochastik 3.1

Aufgaben
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In den Ländern $V$ und $W$ wurde im Jahr 2017 durch eine repräsentative Befragung ermittelt, welcher Anteil der Gesamtbevölkerung (mindestens) ein Smartphone besitzt. Solche Personen werden als „Smartphone-Besitzer“ bezeichnet. Folgende Anteile wurden ermittelt:
Smartphone-Besitzer
unter 25 Jahren
Smartphone-Besitzer
25 Jahre oder älter
Smartphone-Besitzer
insgesamt
Land $\boldsymbol{V}$ $8,1\,\%$$5,0\,\%$$5,4\,\%$
Land $\boldsymbol{W}$$56,5\,\%$$24,0\,\%$$29,8\,\%$
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von $20$ Einwohnern des Landes $V,$ die 25 Jahre oder älter sind,
genau zwei zu den Smartphone-Besitzern gehören,
mindestens einer, aber weniger als fünf zu den Smartphone-Besitzern gehören.
genau einer oder genau drei Smartphone-Besitzer gehören.
(6 BE)
b)
Statt der $20$ werden jetzt $40$ Einwohner des Landes $V,$ die 25 Jahre oder älter sind, befragt. Betrachtet wird das Ereignis
$B:$ Genau vier der Befragten sind Smartphone-Besitzer.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B.$
Interpretiere folgenden Term im Sachzusammenhang:
$1-0,76^{40}-\binom{40}{1}\cdot 0,24\cdot 0,76^{39}$
(5 BE)
c)
Ein Einwohner des Landes $W$ wird zufällig ausgewählt.
Ermittle, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der ausgewählte Einwohner unter 25 Jahre alt ist. Begründe dabei deinen Ansatz z.B. mithilfe eines Baumdiagramms.
(5 BE)
#baumdiagramm
d)
In einem anderen Land $T$ beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Einwohner Smartphone-Besitzer ist, $p$ mit $0 < p < 1.$
Berechne wie groß $p$ mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter fünf zufällig ausgewählten Einwohnern dieses Landes mindestens ein Smartphone-Besitzer befindet, mindestens $99\,\%$ beträgt.
(4 BE)
e)
Eine Gruppe von $22$ Fußballspielern trifft sich zu einem Fußballspiel. Insgesamt befinden sich vier Smartphone-Besitzer unter den $22$ Spielern.
Die beiden Mannschaften mit jeweils $11$ Spielern werden ausgelost. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der einen oder in der anderen Mannschaft genau drei Smartphone-Besitzer befinden.
(5 BE)

(25 BE)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer beschreibt, die sich unter den $20$ Einwohnern des Landes $V$, die 25 Jahre oder älter sind, befinden.
$X$ kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0,05$ angenommen werden. Für die Wahrscheinlichkeit von $A_1$ kannst du die entsprechende Formel für die Binomialverteilung oder dein CAS verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial PDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial PDf
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=& P(X=2) \\[5pt] &=& \binom{20}{2}\cdot 0,05^2\cdot 0,95^{18} \\[5pt] &\approx& 0,1887 \\[5pt] &=&18,87\,\% \end{array}$
$ P(A_1) \approx 18,87\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Smartphone-Besitzer beträgt ca. $18,87\,\%.$
Für Ereignis $A_2$ kannst du dein CAS verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$\begin{array}[t]{rll} P(A_2)&=& P(1\leq X < 5) \\[5pt] &=& P(1\leq X \leq 4) &\quad \scriptsize\mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 0,6389 \\[5pt] &=& 63,89\,\% \end{array}$
$ P(A_2)\approx 63,89\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen aber weniger als fünf Smartphone-Besitzer beträgt ca. $63,89\,\%.$
Für $A_3$ folgt dann ähnlich wie oben:
$\begin{array}[t]{rll} P(A_3)&=& P(X=1)+P(X=3) \\[5pt] &=& \binom{20}{1}\cdot 0,05^1\cdot 0,95^{19} + \binom{20}{3}\cdot 0,05^3\cdot 0,95^{17}\\[5pt] &\approx& 0,4369 \\[5pt] &=&43,69\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den $20$ Bewohnern genau einer oder genau drei Smartphone-Besitzer befinden, beträgt ca. $43,69\,\%.$
#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte nun die Zufallsgröße $X_{40},$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer beschreibt, die sich unter den $40$ Einwohnern des Landes $V$, die 25 Jahre oder älter sind, befinden.
$X_{40}$ kann als binomialverteilt mit $n=40$ und $p=0,05$ angenommen werden. Für die Wahrscheinlichkeit von $B$ folgt mit der entsprechenden Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X_{40}=4) \\[5pt] &=& \binom{40}{4}\cdot 0,05^4\cdot 0,95^{36} \\[5pt] &\approx& 0,0901 \\[5pt] &=& 9,01\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 9,01\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $9,01\,\%$ befinden sich unter den $40$ Befragten genau vier Smartphone-Besitzer.
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang interpretieren
Der Term besteht aus drei Teilen:
  1. $\binom{40}{1}\cdot0,24 \cdot 0,76^{39}$ entspricht der Formel für die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $n=40$ und $p=0,24.$
    Im Sachzusammenhang ist $0,24$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bewohner des Landes $W,$ der 25 Jahre odere älter ist, ein Smartphone besitzt.
    Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $40$ zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $W,$ die $25$ Jahre oder älter sind, genau einer ein Smartphone besitzt.
  2. $0,76^{40}$ beschreibt analog zu 1. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $40$ zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $W,$ die $25$ Jahre oder älter sind, keiner ein Smartphone besitzt.
  3. 1. und 2. werden von $1$ subtrahiert.
Insgesamt beschreibt der angegebene Term also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $40$ zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $W,$ die $25$ Jahre oder älter sind, mindestens zwei ein Smartphone besitzen.
#binomialverteilung
c)
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_W(S)&=& p\cdot P_{W<25}(S) + (1-p)\cdot P_{W\geq25}(S) \\[5pt] 0,298&=& p\cdot 0,565+(1-p)\cdot 0,240 \\[5pt] 0,298&=& 0,565p+0,240-0,240p &\quad \scriptsize \mid\;-0,240 \\[5pt] 0,058&=& 0,325p &\quad \scriptsize \mid\;:0,325 \\[5pt] 0,178&\approx& p \end{array}$
$ p\approx 0,178$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bewohner des Landes $W$ unter 25 Jahre alt ist, beträgt ca. $17,8\,\%.$
#pfadregeln
d)
$\blacktriangleright$  Mindestwahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_T,$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer unter fünf zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $T$ beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $p$ und $n=5$ angenommen werden.
Gesucht ist dann die Mindestwahrscheinlichkeit $p,$ sodass $P(X_T\geq 1) \geq 0,99$ gilt. Mit dem Gegenereignis und der Formel für die Binomialverteilung folgt eine Ungleichung, die du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $p$ umformen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_T\geq 1)&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-P(X_T = 0) &\geq& 0,99 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(X_T = 0) &\geq& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_T = 0) &\leq& 0,01 \\[5pt] \binom{5}{0}\cdot p^0\cdot (1-p)^5 &\leq& 0,01 \\[5pt] (1-p)^5&\leq& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] p&\geq& 0,602 \end{array}$
$ p\geq 0,602 $
$p$ muss mindestens $60,2\,\%$ betragen, damit sich unter fünf zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $T$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein Smartphone-Besitzer befindet.
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer in der ersten Mannschaft beschreibt. $Y$ ist hypergeometrisch verteilt mit $N=22,$ $n=11$ und $M = 4.$
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $11$ Spielern genau $3$ oder genau $1$ Smartphone-Besitzer ist.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=3)&=&\dfrac{\binom{M}{3}\cdot \binom{N-M}{n-3}}{\binom{N}{n}} \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{4}{3}\cdot \binom{22-4}{11-3}}{\binom{22}{11}} \\[5pt] &\approx& 0,248 \\[5pt] &=& 24,8\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(Y=3)\approx 24,8\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Mannschaft nur ein Smartphone-Besitzer befindet entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der anderen Mannschaft genau drei Smartphone-Besitzer befinden, ist also genauso hoch: $P(Y=1)=P(Y=3).$ Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also:
$P(Y=3)+P(Y=1)=2\cdot P(Y=3) \approx 49,6\,\%$
$ …\approx 49,6\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer der beiden Mannschaften genau drei Smartphone-Besitzer befinden, beträgt also ca. $49,6\,\%.$
#hypergeometrischeverteilung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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