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Analysis 1.1

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Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ durch die Gleichung $f_a(x)=(x^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-x};$ $a\in \mathbb{R}.$
Die Graphen der Schar sind $G_a.$
#funktionenschar
a)
Ermittle die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \to \infty$ und für $x \to-\infty.$
(8 BE)
#grenzwert#nullstelle
b)
Gib den Schnittpunkt des Graphen $G_a$ mit der $y$-Achse an. In der Abbildung 1 sind für ganzzahlige Parameterwerte $a$ zwei Graphen der Funktionenschar $f_a$ dargestellt.
Ermittle die Parameterwerte und beschrifte die Graphen.
(3 BE)
c)
Die Graphen $G_2$ und $G_0,$ die $y$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 3$ schließen eine Fläche ein.
Berechne den Inhalt $A$ dieser Fläche.
(4 BE)
d)
Weise nach, dass die Graphen $G_a$ der Funktionenschar $f_a$ für $a > 1$ keine Extrempunkte besitzen.
[Zur Kontrolle: $f_a'(x)=(-x^2+2x-a)\cdot \mathrm e^{0,5-x}$]
(5 BE)
#extrempunkt
e)
Weise nach, dass gilt: $f_2''(x)=(x-2)^2\mathrm e^{0,5-x}.$
Erläutere, welche Schlussfolgerungen daraus über den Verlauf des Graphen $G_2$ gezogen werden können.
(8 BE)
f)
Der Graph $G_2$ verläuft im Intervall $[1;3]$ annähernd geradlinig und kann vereinfacht durch die Tangente $t$ an diesen Graphen in $x = 2$ dargestellt werden.
Ermittle die Gleichung der Tangente $t.$
[Zur Kontrolle: $t(x)=-2\cdot \cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot x+10\cdot \mathrm e^{-1,5}$]
Zeige, dass der Funktionswert der Tangente $t$ an der Stelle $x = 1$ um weniger als $2\,\%$ vom Funktionswert von $f_2$ an dieser Stelle abweicht.
(6 BE)
#tangente
Der Graph $G_{0,65}$ der Funktion $f_{0,65}$ schließt über dem Intervall $[0;3]$ mit der $x$-Achse eine Fläche ein (siehe Abbildung 2).
Durch Rotation dieser Fläche um die $x$-Achse entsteht ein Körper, der modellhaft einer auf der Seite liegenden und nach links geöffneten Vase entspricht. Es gilt: $1\,\text{LE}= 1\,\text{dm}.$
g)
Die Vase nimmt an zwei verschiedenen Stellen einen maximalen Radius von ca. $1,07\,\text{dm}$ an. Bestimme diese beiden Stellen.
(7 BE)
h)
Interpretiere im Sachzusammenhang die Funktion $b(t)=\pi \cdot \displaystyle\int_{3-t}^{3}(f_{0,65}(x))^2\;\mathrm dx$
(2 BE)
i)
Die Vase soll stehend in einem Karton verpackt werden, der die Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas besitzt. Stelle den Zusammenhang zwischen dem maximalen Radius der Vase und der Grundfläche des Kartons mit Hilfe einer Skizze und einer Gleichung dar.
Ermittle, welches Volumen $(\text{in cm}^3)$ dieser Karton mindestens haben muss.
(7 BE)

(50 BE)
#prisma
Anlage
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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