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Analytische Geometrie 2.1

Aufgaben
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#pyramide
a)
Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von $S:$
$\pmatrix{0\\0\\15}+r\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{0\\30\\15} + s\cdot \pmatrix{-5\\-5\\-15} \Leftrightarrow r=s=3$
$\pmatrix{0\\0\\15}+3\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{-15\\15\\-30}$
d.h. $S(-15\mid 15\mid -30)$
Erläutere das dargestellte Vorgehen.
(4 BE)
b)
Weise nach, dass die Bodenfläche $DEF$ der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
(3 BE)
#rechtwinkligesdreieck
c)
Berechne für das Dreieck $DEF$ die Größe des Innenwinkels bei $E$ sowie die Länge der Höhe auf der Seite $\overline{EF}.$
[Zur Kontrolle: $h_{EF}\approx 21,21\,\text{m}$ ]
(5 BE)
d)
Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für $100\,\text{m}^3$ Rauminhalt eine elektrische Leistung von $0,8$ Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von $25$ Kilowatt ausreichend ist.
(4 BE)
e)
Weise nach, dass die Gerade durch die Punkte $A$ und $G$ und die Ebene, in der das Dreieck $DEF$ liegt, sich im Punkt $R\left(-\frac{50}{7}\mid \frac{50}{7}\mid 15\right)$ schneiden.
(3 BE)
f)
An einer Metallstange, die durch die Strecke $RG$ dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden.
Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von $5\,\text{m}$ diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck $EFG$ dargestellt wird.
Das Dreieck $EFG$ liegt in der Ebene mit der Gleichung: $2x-2y-z = -75.$
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.
(6 BE)

(25 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Vorgehen beschreibenAnalytische Geometrie 2.1
Der Punkt $S$ ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte $F$ und $C,$ $D$ und $A,$ $E$ und $B.$
Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte $D$ und $A$ mit dem Geradenparameter $r$ und durch die Punkte $E$ und $B$ mit dem Geradenparameter $s$ gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für $r$ und $s.$ Der Wert für $r$ wird in die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $A$ eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts $S.$
b)
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bodenfläche nicht rechtwinklig ist
Die Bodenfläche $DEF$ ist rechtwinklig, wenn es zwei Verbindungsvektoren der Eckpunkte gibt, die senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\5\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot (-25) + 30\cdot 5 + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& 150 \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot (-25) + 30\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& -750 \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{-25\\5\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt] &=& (-25)\cdot (-25) + 5\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& 500 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}& \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&\neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}& \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
Die Bodenfläche $DEF$ ist also nicht rechtwinklig.
#skalarprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Größe des Innenwinkels berechnen
Der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ entspricht dem Schnittwinkel der beiden Geraden durch die Punkte $E$ und $F$ und durch $E$ und $D.$ Zugehörige Richtungsvektoren sind $\overrightarrow{DE}$ und $\overrightarrow{EF}.$ Mit der entsprechenden Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{DE} \circ \overrightarrow{EF} \right|}{\left| \overrightarrow{DE}\right| \cdot \left|\overrightarrow{EF}\right|} \\[5pt] \cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \right|}{\left| \pmatrix{0\\30\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right|} \\[5pt] \cos \epsilon &=& \dfrac{750}{\sqrt{0^2 +30^2 +0^2 }\cdot \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 +0^2} } \\[5pt] \cos \epsilon&=& \dfrac{750}{30\cdot \sqrt{1.250}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \epsilon&=& 45^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \epsilon= 45^{\circ} $
Der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ bei $E$ ist $45^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$  Länge der Höhe bestimmen
Bezeichne mit $P$ den Punkt, in dem die Höhe $h$ auf die Seite $\overline{EF}$ trifft.
Zwei der Innenwinkel des Dreiecks $DEP$ sind bekannt:
  • Der Winkel $\epsilon$ bei $E$ hat die Größe $45^{\circ}.$
  • Der Innenwinkel bei $P$ beträgt aufgrund der Eigenschaften der Höhe $90^{\circ}.$
Der dritte Winkel $\alpha$ bei $D$ muss also aufgrund der Winkelsumme $180^{\circ}$ eines Dreiecks folgende Größe haben:
$\alpha = 180^{\circ} - 90^{\circ}-45^{\circ} = 45^{\circ}$
Die beiden Innenwinkel bei $E$ und $D$ sind also gleichgroß, sodass es sich bei $DEP$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Dadurch sind auch die beiden Seiten $\overline{PE}$ und $\overline{PD}$ gleich lang: $h= \overline{PE}=\overline{PD}.$
Die Länge der Hypotenuse $\overline{DE}$ kannst du mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Vebindungsvektors berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=& \left| \overrightarrow{DE}\right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{ 0\\30\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+30^2 +0^2} \\[5pt] &=& 30 \end{array}$
$ \overline{DE} = 30 $
Mit dem Satz des Pythagoras folgt dann aufgrund der Gleichschenkligkeit:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=& h^2+h^2 \\[5pt] 30^2&=& 2\cdot h^2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 450&=& h^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 15\sqrt{2}&=& h \end{array}$
$ h =15\sqrt{2} $
Die Höhe $h$ ist $15\sqrt{2}$ Längeneinheiten lang.
#vektorbetrag#schnittwinkel#satzdespythagoras
d)
$\blacktriangleright$  Ausreichende Leistung nachweisen
Die obere Etage hat die Form einer Pyramide. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand von $G$ zur Ebene durch $DEF,$ welchen du eben berechnet hast:
$h_{\text{Pyramide}} = d = 20\,\text{m} $
1. Schritt: Inhalt der Bodenfläche berechnen
Die Bodenfläche der oberen Etage ist das Dreieck $DEF,$ dessen Höhe zur Seite $\overline{EF}$ du bereits berechnet hast:
$h = 15\sqrt{2}\,\text{m}$
Die Länge der Seite $\overline{EF}$ kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=& \left|\overrightarrow{EF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 + 0^2} \\[5pt] &=& 25\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{EF} =25\sqrt{2} $
Für den Flächeninhalt der Bodenfläche gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2}\cdot 15\sqrt{2}\,\text{m} \cdot 25\sqrt{2}\,\text{m} \\[5pt] &=& 375\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A= 375\,\text{m}^2 $
2. Schritt: Volumen berechnen
Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3}\cdot h_{\text{Pyramide}} \cdot A \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 20\,\text{m} \cdot 375\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 2.500\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V = 2.500\,\text{m}^3$
Das Volumen der oberen Etage beträgt $2.500\,\text{m}^3.$ Es werden demnach $25\cdot 0,8 $ Kilowatt benötigt. $25$ Kilowatt reichen also aus.
#pyramide#vektorbetrag
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen
Die Gerade $AG$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} AG:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AG} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\5\\0} + r\cdot \pmatrix{-5\\5\\35} \end{array}$
$ AG:\, … $
Da das Dreieck $DEF$ in einer zur $xy$-Ebene parallelen Ebene liegt und die Punkte $D,$ $E$ und $F$ alle die $z$-Koordinate $15$ haben, kann die Ebene $E,$ in der das Dreieck $DEF$ liegt, durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$E:\, z = 15$
Die $z$-Koordinate der Punkte auf der Geraden $AG$ ist $35r.$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} z&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;z = 35r \\[5pt] 35r&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;:35 \\[5pt] r&=& \frac{3}{7} \end{array}$
$ r = \frac{3}{7} $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts $R:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{-5\\5\\0} + \frac{3}{7}\cdot \pmatrix{-5\\5\\35} \\[5pt] &=& \pmatrix{-\frac{50}{7}\\ \frac{50}{7}\\ 15} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OR} = \pmatrix{-\frac{50}{7}\\ \frac{50}{7}\\ 15} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $AG$ und der Ebene, in der das Dreieck $DEF$ liegt, lauten $R\left(-\frac{50}{7}\mid \frac{50}{7}\mid 15\right).$
f)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Scheinwerfers berechnen
Die Metallstange liegt im Modell auf der Geraden $g$ durch die Punkte $G$ und $R.$ Gesucht ist ein Punkt $P$ auf dieser Geraden, der von der Ebene $F$, in der die Punkte $E,$ $F$ und $G$ liegen, den Abstand $5$ hat.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
$\begin{array}[t]{rll} g: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GR} \\[5pt] &=& \pmatrix{-10\\10\\35} +r\cdot \pmatrix{5\\-5\\-20} \\[5pt] \end{array}$
$ g: \quad \overrightarrow{x} = … $
Die Punkte auf $g$ haben also die Koordinaten $P_r(-10+5r\mid 10-5r\mid 35-20r).$
2. Schritt: Hessesche Normalenform der Ebene aufstellen
Das Dreieck $EFG$ liegt laut dem Aufgabenblatt in der Ebene $F$ mit der Gleichung $2x-2y-z = -75.$
Mithilfe der Hesseschen Normalenform lässt sich eine Gleichung für den Abstand aufstellen. Für die Hessesche Normalenform wird der Betrag des Normalenvektors $\overrightarrow{n} = \pmatrix{2\\-2\\-1}$ benötigt.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{n} \right|&=& \left| \pmatrix{2\\-2\\-1}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{2^2+(-2)^2 + (-1)^2}\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{n} \right| = 3 $
Eine mögliche Darstellung von $F$ in der Hesseschen Normalenform lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} F:\quad \dfrac{2x-2y-z +75}{3}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ F: … $
Der Abstand zwischen einem Punkt $P(x\mid y\mid z)$ zur Ebene $F$ ist dann:
$d(F,P) = \dfrac{\left|2x-2y-z +75\right|}{3}$
$ d(F,P) = … $
3. Schritt: Gleichung für den Abstand aufstellen und lösen
Einsetzen der Koordinaten der Punkte $P_r$ auf der Geraden $g$ in die Abstandsfunktion und Gleichsetzen mit $5$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|2x-2y-z +75\right|}{3}&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] \left|2x-2y-z +75 \right|&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;P_r \\[5pt] \left|2\cdot (-10+5r)-2\cdot (10-5r)-(35-20r) + 75 \right| &=&15 \\[5pt] \left|-20 +10r -20 +10r -35 +20r +75 \right|&=& 15 \\[5pt] \left|40r\right| &=& 15 &\quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt] r &=& \pm 0,375 \end{array}$
$ r = \pm 0,6 $
Für $r=-0,375$ läge der Punkt nicht zwischen $G$ und $R.$ Damit ergibt sich der Ortsvektor des Punkts, in dem sich der Scheinwerfer befindet:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{-10\\10\\35} +0,375\cdot \pmatrix{5\\-5\\-20} \\[5pt] &=& \pmatrix{-8,125\\8,125\\27,5} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{-8,125\\8,125\\27,5} $
Die Position des Scheinwerfers wird im Modell durch den Punkt $P(-8,125\mid 8,125\mid 27,5)$ beschrieben.
#hesseschenormalform
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