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Stochastik 3.1

Aufgaben
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In den Ländern $V$ und $W$ wurde im Jahr 2017 durch eine repräsentative Befragung ermittelt, welcher Anteil der Gesamtbevölkerung (mindestens) ein Smartphone besitzt. Solche Personen werden als „Smartphone-Besitzer“ bezeichnet. Folgende Anteile wurden ermittelt:
Smartphone-Besitzer
unter 25 Jahren
Smartphone-Besitzer
25 Jahre oder älter
Smartphone-Besitzer
insgesamt
Land $\boldsymbol{V}$ $8,1\,\%$$5,0\,\%$$5,4\,\%$
Land $\boldsymbol{W}$$56,5\,\%$$24,0\,\%$$29,8\,\%$
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von $20$ Einwohnern des Landes $V,$ die 25 Jahre oder älter sind,
genau zwei zu den Smartphone-Besitzern gehören,
mindestens einer, aber weniger als fünf zu den Smartphone-Besitzern gehören.
(6 BE)
b)
Statt der $20$ werden jetzt $40$ Einwohner des Landes $V,$ die 25 Jahre oder älter sind, befragt. Betrachtet wird das Ereignis
$B:$ Genau vier der Befragten sind Smartphone-Besitzer.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B.$
Interpretiere folgenden Term im Sachzusammenhang:
$1-0,76^{40}-\binom{40}{1}\cdot 0,24\cdot 0,76^{39}$
(5 BE)
c)
Ein Einwohner des Landes $W$ wird zufällig ausgewählt.
Ermittle, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der ausgewählte Einwohner unter 25 Jahre alt ist. Begründe dabei deinen Ansatz z.B. mithilfe eines Baumdiagramms.
(5 BE)
#baumdiagramm
d)
In einem anderen Land $T$ beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Einwohner Smartphone-Besitzer ist, $p$ mit $0 < p < 1.$
Berechne wie groß $p$ mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter fünf zufällig ausgewählten Einwohnern dieses Landes mindestens ein Smartphone-Besitzer befindet, mindestens $99\,\%$ beträgt.
(4 BE)
e)
Eine Gruppe von $22$ Fußballspielern trifft sich zu einem Fußballspiel. Insgesamt befinden sich vier Smartphone-Besitzer unter den $22$ Spielern.
Die beiden Mannschaften mit jeweils $11$ Spielern werden ausgelost. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der einen oder in der anderen Mannschaft genau drei Smartphone-Besitzer befinden.
(5 BE)

(25 BE)
Anlage zu Aufgabe 3.1: Smartphone
Summierte Binomialverteilung
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0,$“, alle freien Plätze enthalten $1,0000.$
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5),$ ist der richtige Wert $1-$ (abgelesener Wert).
ABCDEFGHIJKLMNO
1
2
3
nkpkn
4
0,050,1 1/6 0,20,250,3 1/3 0,40,450,5
5
6
500,77380,59050,40190,32770,23730,16810,13170,07780,05030,031345
7
10,97740,91850,80380,73730,63280,52820,46090,3370,25620,18753
8
20,99880,99140,96450,94210,89650,83690,79010,68260,59310,52
9
310,99950,99670,99330,98440,96920,95470,9130,86880,81251
10
4110,99990,99970,9990,99760,99590,98980,98150,96880
11
12
1000,59870,34870,16150,10740,05630,02820,01730,0060,00250,001910
13
10,91390,73610,48450,37580,2440,14930,1040,04640,02330,01078
14
20,98850,92980,77520,67780,52560,38280,29910,16730,09960,05477
15
30,9990,98720,93030,87910,77590,64960,55930,38230,2660,17196
16
40,99990,99840,98450,96720,92190,84970,78690,63310,50440,3775
17
510,99990,99760,99360,98030,95270,92340,83380,73840,6234
18
6110,99970,99910,99650,98940,98030,94520,8980,82813
19
71110,99990,99960,99840,99660,98770,97260,94532
20
8111110,99990,99960,99830,99550,98931
21
911111110,99990,99970,9990
22
23
1500,46330,20590,06490,03520,01340,00470,00230,00050,000101415
24
10,8290,5490,25960,16710,08020,03530,01940,00520,00170,000513
25
20,96380,81590,53220,3980,23610,12680,07940,02710,01070,003712
26
30,99450,94440,76850,64820,46130,29690,20920,09050,04240,017611
27
40,99940,98730,91020,83580,68650,51550,40410,21730,12040,059210
28
50,99990,99780,97260,93890,85160,72160,61840,40320,26080,15099
29
610,99970,99340,98190,94340,86890,7970,60980,45220,30368
30
7110,99870,99580,98270,950,91180,78690,65350,57
31
8110,99980,99920,99580,98480,96920,9050,81820,69646
32
91110,99990,99920,99630,99150,96620,92310,84915
33
1011110,99990,99930,99820,99070,97450,94084
34
11111110,99990,99970,99810,99370,98243
35
1211111110,99970,99890,99632
36
13111111110,99990,99951
37
38
2000,35850,12160,02610,01150,00320,00080,00030001920
39
10,73580,39170,13040,06920,02430,00760,00330,00050,0001018
40
20,92450,67690,32870,20610,09130,03550,01760,00360,00090,000217
41
30,98410,8670,56650,41140,22520,10710,06040,0160,00490,001316
42
40,99740,95680,76870,62960,41480,23750,15150,0510,01890,005915
43
50,99970,98870,89820,80420,61720,41640,29720,12560,05530,020714
44
610,99760,96290,91330,78580,6080,47930,250,12990,057713
45
710,99960,98870,96790,89820,77230,66150,41590,2520,131612
46
810,99990,99720,990,95910,88670,80950,59560,41430,251711
47
9110,99940,99740,98610,9520,90810,75530,59140,411910
48
10110,99990,99940,99610,98290,96240,87250,75070,58819
49
111110,99990,99910,99490,9870,94350,86920,74838
50
1211110,99980,99870,99630,9790,9420,86847
51
13111110,99970,99910,99350,97860,94236
52
141111110,99980,99840,99360,97935
53
1511111110,99970,99850,99414
54
16111111110,99970,99873
55
171111111110,99982
56
57
nk0,950,9 5/6 0,80,750,7 2/3 0,60,550,5kn
58
p
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmenStochastik 3.1
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer beschreibt, die sich unter den $20$ Einwohnern des Landes $V$, die 25 Jahre oder älter sind, befinden.
$X$ kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0,05$ angenommen werden. Für die Wahrscheinlichkeit von $A_1$ folgt mit der entsprechenden Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=& P(X=2) \\[5pt] &=& \binom{20}{2}\cdot 0,05^2\cdot 0,95^{18} \\[5pt] &\approx& 0,1887 \\[5pt] &=&18,87\,\% \end{array}$
$ P(A_1) \approx 18,87\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Smartphone-Besitzer beträgt ca. $18,87\,\%.$
Für Ereignis $A_2$ kannst du die Tabelle zur summierten Binomialverteilung verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} P(A_2)&=& P(1\leq X < 5) \\[5pt] &=& P(1\leq X \leq 4) \\[5pt] &=& P(0< X \leq 4) \\[5pt] &=& P(X\leq 4)-P(X=0) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle zur Binomialverteilung}\\[5pt] &\approx& 0,9974-0,3585 \\[5pt] &=& 0,6389 \\[5pt] &=& 63,89\,\% \end{array}$
$ P(A_2)\approx 63,89\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen aber weniger als fünf Smartphone-Besitzer beträgt ca. $63,89\,\%.$
#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte nun die Zufallsgröße $X_{40},$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer beschreibt, die sich unter den $40$ Einwohnern des Landes $V$, die 25 Jahre oder älter sind, befinden.
$X_{40}$ kann als binomialverteilt mit $n=40$ und $p=0,05$ angenommen werden. Für die Wahrscheinlichkeit von $B$ folgt mit der entsprechenden Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X_{40}=4) \\[5pt] &=& \binom{40}{4}\cdot 0,05^4\cdot 0,95^{36} \\[5pt] &\approx& 0,0901 \\[5pt] &=& 9,01\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 9,01\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $9,01\,\%$ befinden sich unter den $40$ Befragten genau vier Smartphone-Besitzer.
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang interpretieren
Der Term besteht aus drei Teilen:
  1. $\binom{40}{1}\cdot0,24 \cdot 0,76^{39}$ entspricht der Formel für die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $n=40$ und $p=0,24.$
    Im Sachzusammenhang ist $0,24$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bewohner des Landes $W,$ der 25 Jahre odere älter ist, ein Smartphone besitzt.
    Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $40$ zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $W,$ die $25$ Jahre oder älter sind, genau einer ein Smartphone besitzt.
  2. $0,76^{40}$ beschreibt analog zu 1. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $40$ zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $W,$ die $25$ Jahre oder älter sind, keiner ein Smartphone besitzt.
  3. 1. und 2. werden von $1$ subtrahiert.
Insgesamt beschreibt der angegebene Term also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $40$ zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $W,$ die $25$ Jahre oder älter sind, mindestens zwei ein Smartphone besitzen.
#binomialverteilung
c)
Stochastik 3.1
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik 3.1
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_W(S)&=& p\cdot P_{W<25}(S) + (1-p)\cdot P_{W\geq25}(S) \\[5pt] 0,298&=& p\cdot 0,565+(1-p)\cdot 0,240 \\[5pt] 0,298&=& 0,565p+0,240-0,240p &\quad \scriptsize \mid\;-0,240 \\[5pt] 0,058&=& 0,325p &\quad \scriptsize \mid\;:0,325 \\[5pt] 0,178&\approx& p \end{array}$
$ p\approx 0,178$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bewohner des Landes $W$ unter 25 Jahre alt ist, beträgt ca. $17,8\,\%.$
#pfadregeln
d)
$\blacktriangleright$  Mindestwahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_T,$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer unter fünf zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $T$ beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $p$ und $n=5$ angenommen werden.
Gesucht ist dann die Mindestwahrscheinlichkeit $p,$ sodass $P(X_T\geq 1) \geq 0,99$ gilt. Mit dem Gegenereignis und der Formel für die Binomialverteilung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_T\geq 1)&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-P(X_T = 0) &\geq& 0,99 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(X_T = 0) &\geq& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_T = 0) &\leq& 0,01 \\[5pt] \binom{5}{0}\cdot p^0\cdot (1-p)^5 &\leq& 0,01 \\[5pt] (1-p)^5&\leq& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,}\\[5pt] 1-p&\leq& 0,398 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -p&\leq&-0,602 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] p&\geq& 0,602 \end{array}$
$ p\geq 0,602 $
$p$ muss mindestens $60,2\,\%$ betragen, damit sich unter fünf zufällig ausgewählten Bewohnern des Landes $T$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein Smartphone-Besitzer befindet.
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Smartphone-Besitzer in der ersten Mannschaft beschreibt. $Y$ ist hypergeometrisch verteilt mit $N=22,$ $n=11$ und $M = 4.$
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $11$ Spielern genau $3$ oder genau $1$ Smartphone-Besitzer ist.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=3)&=&\dfrac{\binom{M}{3}\cdot \binom{N-M}{n-3}}{\binom{N}{n}} \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{4}{3}\cdot \binom{22-4}{11-3}}{\binom{22}{11}} \\[5pt] &\approx& 0,248 \\[5pt] &=& 24,8\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(Y=3)\approx 24,8\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Mannschaft nur ein Smartphone-Besitzer befindet entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der anderen Mannschaft genau drei Smartphone-Besitzer befinden, ist also genauso hoch: $P(Y=1)=P(Y=3).$ Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also:
$P(Y=3)+P(Y=1)=2\cdot P(Y=3) \approx 49,6\,\%$
$ …\approx 49,6\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer der beiden Mannschaften genau drei Smartphone-Besitzer befinden, beträgt also ca. $49,6\,\%.$
#hypergeometrischeverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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