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Stochastik 3.2

Aufgaben
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In einer großen Gemeinde tragen $62,5\,\%$ der Bevölkerung eine Brille. Bei den Frauen beträgt der Anteil $64,8\,\%.$ Es ist bekannt, dass $52,1\,\%$ der Bevölkerung Frauen sind.
a)
Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
Eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person ist ein Mann. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Brille trägt.
(4 BE)
#vierfeldertafel
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Von acht zufällig ausgewählten Personen sind alle Brillenträger.
Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind genau drei keine Brillenträger.
(5 BE)
c)
Betrachtet werden die Ereignisse
Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind genau neun Brillenträger.
Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind genau zwölf Brillenträger.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C.$ Begründe mit Hilfe des Erwartungswertes für die Anzahl der Brillenträger, ob die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $D$ größer oder kleiner ist als die für das Ereignis $C.$
(5 BE)
#erwartungswert
d)
Für $0 \leq k \leq 17$ betrachtet man das Ereignis
$E_k:\quad$ Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind mindestens $k,$ aber höchstens $k+3$ Personen Brillenträger.
Gib an, für welchen Wert von $k$ die Wahrscheinlichkeit von $E_k$ maximal wird. Begründe deine Angabe.
(2 BE)
e)
Ein Optiker hatte eine Werbeagentur mit einer Werbekampagne für sein Brillengeschäft beauftragt. Die Werbeagentur verspricht nun, dass mehr als $30\,\%$ der Brillenträger der Gemeinde Kunden in seinem Geschäft sind. Der Optiker vermutet jedoch, dass höchstens $30\,\%$ der Brillenträger der Gemeinde bei ihm Kunden sind. Durch eine Stichprobe möchte er seine Vermutung untersuchen.
Dazu lässt er $100$ zufällig ausgewählte Brillenträger befragen, ob sie Kunden bei ihm sind. Gib die kleinstmögliche untere Grenze des Intervalls $A=[k;100]$ an, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Stichprobe im Intervall $A$ liegt, höchstens $5\,\%$ beträgt (unter der Annahme, dass die Vermutung des Optikers zutrifft).
(3 BE)
f)
Auf einer Brillenmesse befindet sich in einer Gruppe von $20$ Brillenträgern genau eine Person, die eine Designerbrille trägt.
Berechne, wie viele Personen dieser Gruppe zufällig und nacheinander „ohne Zurücklegen“ mindestens auszuwählen sind, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Träger der Designerbrille unter den ausgewählten Personen befindet, mindestens $75\,\%$ beträgt.
Begründe deinen Lösungsansatz.
(6 BE)

(25 BE)
Anlage zur Aufgabe 3.2: Brillenträger
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen ($\text{p}>0,5$), ist der richtige Wert 1- (abgelesener Wert).
ABCDEFGHIJKL
1
2
nkpk
3
0,020,050,10 1/6 0,200,250,30 1/3
4
10000,13260,005900000099
5
10,40330,03710,00030000098
6
20,67670,11830,00190000097
7
30,8590,25780,00780000096
8
40,94920,4360,02370,0001000095
9
50,98450,6160,05760,0004000094
10
60,99590,7660,11720,00130,000100093
11
70,99910,8720,20610,00380,000300092
12
80,99980,93690,32090,00950,000900091
13
910,97180,45130,02130,002300090
14
1010,98850,58320,04270,00570,00010089
15
1110,99570,7030,07770,01260,00040088
16
1210,99850,80180,12970,02530,0010087
17
1310,99950,87610,20,04690,00250,0001086
18
1410,99990,92740,28740,08040,00540,0002085
19
15110,96010,38770,12850,01110,0004084
20
16110,97940,49420,19230,02110,0010,000183
21
17110,990,59940,27120,03760,00220,000282
22
18110,99540,69650,36210,0630,00450,000581
23
19110,9980,78030,46020,09950,00890,001180
24
20110,99920,84810,55950,14880,01650,002479
25
21110,99970,89980,6540,21140,02880,004878
26
22110,99990,93690,73890,28640,04790,009177
27
231110,96210,81090,37110,07550,016476
28
241110,97830,86860,46170,11360,028175
29
251110,98810,91250,55350,16310,045874
30
261110,99380,94420,64170,22440,071573
31
271110,99690,96580,72240,29640,106672
32
281110,99850,980,79250,37680,152471
33
291110,99930,98880,85050,46230,209370
34
301110,99970,99390,89620,54910,276669
35
311110,99990,99690,93070,63310,352568
36
3211110,99840,95540,71070,434467
37
3311110,99930,97240,77930,518866
38
3411110,99970,98360,83710,601965
39
3511110,99990,99060,88390,680364
40
3611110,99990,99480,92010,751163
41
37111110,99730,9470,812362
42
38111110,99860,9660,86361
43
39111110,99930,9790,903460
44
40111110,99970,98750,934159
45
41111110,99990,99280,956658
46
42111110,99990,9960,972457
47
431111110,99790,983156
48
441111110,99890,9955
49
451111110,99950,994354
50
461111110,99970,996953
51
471111110,99990,998352
52
481111110,99990,999151
53
4911111110,999650
54
5011111110,999849
55
5111111110,999948
56
521111111147
57
nk0,950,90 5/6 0,800,750,70 2/3 k
58
p
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen Stochastik 3.2
Bezeichne mit $B$ das Ereignis, dass eine Person ein Brillenträger ist und mit $A$ das Ereignis, dass eine Person eine Frau ist. Bekannt sind folgende Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(A)= 0,521$ und damit auch $P(\overline{A})=$ $1-P(A)=0,479 $
  • $P(B)= 0,625$ und damit auch $P(\overline{B})=$ $1-P(B)=0,375 $
  • $P_A(B)=0,648$
Du kannst also $P(A\cap B)$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A\cap B)&=& P(A)\cdot P_A(B) \\[5pt] &=& 0,521\cdot 0,648 \\[5pt] &=& 0,337608 \end{array}$
$ P(A\cap B)=0,337608 $
Die übrigen Wahrscheinlichkeiten kannst du dann über die Summen berechnen.
$A$$\overline{A}$Gesamt
$B$$0,337608$$0,287392$$0,625$
$\overline{B}$$0,183392$$0,191608$$0,375$
Gesamt$0,521$$0,479$$1$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist $P_{\overline{A}}(B).$ Mit der Vierfeldertafel und der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten kannst du sie wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{A}}(B)&=& \dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,287392 }{0,479} \\[5pt] &\approx& 0,6000 \\[5pt] &=& 60,00\,\% \end{array}$
$ P_{\overline{A}}(B)\approx 60,00\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person, die ein Mann ist, eine Brille trägt, ist ca. $60,00\,\%.$
#bedingtewahrscheinlichkeit
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Verwende für $A$ die Pfadmultiplikationsregel:
$P(A)= 0,625^{8}\approx 0,0233$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,33\,\%$ sind von acht zufällig ausgewählten Personen alle Brillenträger.
Betrachte für $B$ die Zufallsgröße $X_{20},$ die die zufällige Anzahl der Brillenträger unter acht zufällig ausgewählten Personen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0,625$ angenommen werden.
Mit der Formel für die Binomialverteilung folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(X_{20} = 17) \\[5pt] &=& \binom{20}{17}\cdot 0,625^{17}\cdot 0,375^{3} \\[5pt] &\approx& 0,0204 \\[5pt] &=& 2,04\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 2,04\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,04\,\%$ sind von $20$ zufällig ausgewählten Personen genau drei keine Brillenträger.
#binomialverteilung#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(X_{20}=9) \\[5pt] &=& \binom{20}{9}\cdot 0,625^9\cdot 0,375^{11} \\[5pt] &\approx& 0,0504\\[5pt] &=& 5,04\,\% \end{array}$
$ P(C)\approx 5,04\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,04\,\%$ befinden sich unter $20$ zufällig ausgewählten Personen genau neun Brillenträger.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit begründen
Da $X_{20}$ binomialverteilt ist mit $n=20$ und $p=0,625$ kann der Erwartungswert wie folgt berechnet werden:
$\mu = 20\cdot 0,625 = 12,5$
Da $12$ deutlich näher am Erwartungswert und insbesondere zwischen $9$ und dem Erwartungswert von $\mu =12,5$ liegt, ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D$ größer als die für Ereignis $C.$
#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Paraterwert bestimmen
Je näher der Wert $a$ am Erwartungswert liegt, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit $P(X_{20}=a).$
Die Wahrscheinlichkeit $P(E_k)=P(k\leq X_{20} \leq k+3)$ ist daher genau dann maximal, wenn der Erwartungswert von $X_{20}$ möglichst mittig zwischen $k$ und $k+3$ liegt.
Da $X_{20}$ binomialverteilt ist, kann der Erwartungswert wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 20\cdot 0,625 \\[5pt] &=&12,5 \end{array}$
Für $k=11$ ist die Wahrscheinlichkeit von $E_k$ daher maximal.
#erwartungswert
e)
$\blacktriangleright$  Kleinstmögliche untere Intervallgrenze bestimmeen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_{100},$ die die zufällige Anzahl der Kunden unter $100$ zufällig ausgewählten Brillenträgern beschreibt.
Trifft die Vermutung des Optikers zu, ist diese binomialverteilt mit $n=100$ und $p\leq 0,3.$
Gesucht ist nun das kleinste $k$ mit:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{100}\geq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(X_{100}\leq k-1)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(X_{100}\leq k-1)&\leq& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_{100}\leq k-1)&\geq& 0,95 \end{array}$
$ P(X_{100}\leq k-1)\geq 0,95 $
Mit der Tabelle zur Binomialverteilung für den Extremfall $p=0,3$ erhältst du $k-1\geq 38,$ also $k\geq 39.$
$k=39$ ist die kleinstmögliche untere Grenze des Intervalls $A,$ sodass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Stichprobe im Intervall $A$ liegt, höchstens $5\,\%$ beträgt.
#binomialverteilung
f)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Personen bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der Träger einer Designerbrille unter $n$ zufällig ausgewählten Personen von den $20$ Brillenträgern beschreibt.
Diese kann als hypergeometrisch verteilt angesehen werden, wobei $N=20$ und $M=1$ gilt und $n$ so bestimmt werden soll, dass $P(Z=1)\geq 0,75$ gilt.
Mit der entsprechenden Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z=1)&\geq& 0,75 \\[5pt] 1-P(Z=0)&\geq& 0,75 &\quad \scriptsize \mid\; +P(Z=0) \\[5pt] 1&\geq& 0,75+P(Z=0) &\quad \scriptsize \mid\;-0,75 \\[5pt] 0,25&\geq& P(Z=0) \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{\binom{1}{0}\cdot \binom{20-1}{n-0}}{\binom{20}{n}} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{1\cdot \binom{19}{n}}{\binom{20}{n}} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{\binom{19}{n}}{\binom{20}{n}} &\quad \scriptsize \text{Binomialkoeffizient} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{\frac{19!}{n!\cdot (19-n)!}}{\frac{20!}{n!\cdot (20-n)!}} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{19!}{n!\cdot (19-n)!}\cdot\dfrac{n!\cdot (20-n)!}{20!} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{(20-n)!}{ (19-n)!}\cdot\dfrac{1}{20} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{(20-n)\cdot (20-n-1)!}{ (19-n)!}\cdot\dfrac{1}{20} \\[5pt] 0,25&\geq& \dfrac{(20-n)\cdot (19-n)!}{(19-n)!}\cdot\dfrac{1}{20} \\[5pt] 0,25&\geq& (20-n)\cdot\dfrac{1}{20} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 20 \\[5pt] 5&\geq& 20-n &\quad \scriptsize \mid\; +n; -5\\[5pt] n&\geq& 15 \end{array}$
$ n\geq 15 $
Es müssen mindestens $15$ Personen der Gruppe ausgewählt werden, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\,\%$ der Träger der Designerbrille darunter befindet.
#hypergeometrischeverteilung
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