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Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

Ein Flugzeug fliegt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, die durch die Punkte $A(4\mid2\mid2,3)$ und $B(15\mid8\mid2,5)$ verläuft.
Um $12:13$ Uhr durchfliegt das Flugzeug $A$ und eine Minute später $B$.
Die Erdoberfläche liegt in der $x$-$y$-Ebene. Die Einheit für die Zeit $t$ ist $1\,\text{min}$, $1\,\text{LE}=1\,\text{km}$.
a)  Gib eine Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs an.
Voraus befindet sich ein Berg mit der Bergspitze $T(59\mid32\mid3)$.
Weise nach, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt.
Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeugs, gib das Ergebnis in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
(11P)
b)  Bestimme den Punkt $P$, in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von $3,5\,\text{km}$ erreicht und ermittle die Flugzeit bis zum Erreichen von $P$.
[Kontrollergebnis: $P(70\mid38\mid3,5)$]
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän seinen Kurs und fliegt in Richtung $Q(81\mid44\mid3,5)$ weiter. Das Flugzeug erreicht $Q$ nach einer Minute.
Bestimme eine Geradengleichung für den neuen Kurs.
Berechne den Winkel, den die alte und die neue Flugstrecke miteinander bilden.
(12P)
c)  Ein Rettungshubschrauber startet von einem Berghang vom Punkt $R(139\mid89\mid2,1)$ und fliegt entlang der Geraden $h:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}$.
Der Berghang liegt in einer Ebene $E$ mit der Gleichung $15x-18y+50z=588$.
Bestimme die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt.
(3P)
d)  Die Gerade $h$ schneidet die Gerade durch $P$ und $Q$ im Punkt $S$.
Der Hubschrauber startet um $12:17$ Uhr. Er legt in einer Minute genau die Strecke zurück, die dem Betrag des Richtungsvektors von $h$ entspricht.
Das Flugzeug fliegt nach der Kursänderung um $12:19$ Uhr (vergleiche Teil b) auf konstanter Reiseflughöhe.
Entscheide begründet, ob eine Kurskorrektur erforderlich wird, damit es zwischen dem Hubschrauber und dem Flugzeug nicht zu einer Kollision kommt.
(4P)

(30P)
Bildnachweis [nach oben]
commons.wikimedia.org – Micha mountain CC BY-SA 3.0.
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Tipps
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

a) 
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug auf einer Geraden fliegt, die durch die Punkte $A(4\mid 2\mid 2,3)$ und $B(15\mid 8\mid 2,5)$ geht. Die Parametergleichung auf der das Flugzeug fliegt kannst du berechnen, indem du die Gerade durch die beiden Punkten $A$ und $B$ bildest.
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt
Um zu zeigen, dass die Bergspitze $T(59\mid 32\mid 3)$ nicht auf der Flugbahn liegt, musst du die Punktprobe durchführen. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Geradengleichung ein und löst das so entstandene lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten mit deinem CAS nach dem Parameter $t$ auf.
$\blacktriangleright$  Fluggeschwindigkeit berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug eine Minute braucht um vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zu kommen. Die Geschwindigkeit ist definiert, als die Strecke, die pro Zeiteinheit zurückgelegt wird. Um die Geschwindigkeit des Flugzeugs zu berechnen, musst du noch die zurückgelegte Strecke zwischen Punkt $A$ und $B$ berechnen. Das ist gerade die Länge des Richtungsvektors der Geraden $g$. Anschließend musst du die Einheiten noch von $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen. Die zurückgelegte Strecke kannst du mit deinem CAS berechnen.
b) 
$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen und Flugzeit ermitteln
Um die Koordinaten des Punktes $P$ zu berechnen, benötigst du einen Vektor $p$, der die Gerade $g$ in einer Flughöhe von $3,5$km schneidet. Das bedeutet, dass die $z$-Koordinate des Vektors $p$ $3,5$ sein muss. Die Koordinaten von $x$ und $y$ können beliebig gewählt werden. Anschließend kannst du den Vektor $p$ mit der Geraden $g$ gleichsetzen. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem welches du mit deinem CAS nach dem Parameter auflösen kannst. Den berechneten Parameter kannst du dann in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Ortsvektor, der zum gesuchten Punkt $P$ zeigt. Die Koordinaten des Punktes $P$ kannst du dann einfach ablesen.
$\blacktriangleright$  Flugzeit bis zum Punkt $\boldsymbol{P}$ berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass der Parameter $t$ die Zeit in Minuten angibt. Im Aufgabenteil davor hast du den Parameter $t$ schon berechnet. Die Lösung des Parameter $t$ ist gerade die Zeit, die das Flugzeug benötigt um eine Flughöhe von $3,5\;\text{km}$ zu erreichen.
$\blacktriangleright$  Neue Gerade $\boldsymbol{f}$berechnen
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän die Route und erreicht den Punkt $Q$ nach einer Minute. Gesucht ist eine neue Gerade $f$, die durch die beiden Punkte $P(70\mid38\mid3,5)$ und $Q(81\mid44\mid3,5)$ geht.
Berechne also eine Gerade $f$, die durch die beiden Punkte geht.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel zwischen der alten und der neuen Flugstrecke berechnen
Den Winkel den die alte und die neue Flugstrecke miteinander bilden kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Setze dazu die Richtungsvektoren der beiden Geraden in die Formel ein und berechnen den Winkel mit deinem CAS.
c) 
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen
Um den Winkel zwischen der Ebene und der Geraden zu berechnen, kannst du die Sinus-Formel verwenden. Setze in die Formel den Normalenvektor der Ebene $E$ und den Richtungsvektor der Geraden $h$ ein und berechne mit deinem CAS den gesuchten Winkel.
d) 
$\blacktriangleright$  Begründen, ob eine Kurskorrektur notwendig ist
Als erstes musst du die Zeit berechnen, wann das Flugzeug und der Hubschrauber im Punkt $S(125\mid 68\mid3,5)$ sind. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $S$ mit den beiden Geradengleichungen $f$ und $h$ gleich und berechnest den Parameter $t$ mit deinem CAS.
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

a) 
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug auf einer Geraden fliegt, die durch die Punkte $A(4\mid 2\mid 2,3)$ und $B(15\mid 8\mid 2,5)$ geht. Die Parametergleichung auf der das Flugzeug fliegt kannst du berechnen, indem du die Gerade durch die beiden Punkten $A$ und $B$ bildest.
$g: \vec{x}= \overrightarrow{OA}+ t\cdot\overrightarrow{AB}$
$g: \vec{x}= \begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}+ t\cdot \left(\begin{pmatrix}15\\8\\2,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt
Um zu zeigen, dass die Bergspitze $T(59\mid 32\mid 3)$ nicht auf der Flugbahn liegt, musst du die Punktprobe durchführen. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Geradengleichung ein und löst das so entstandene lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten mit deinem CAS nach dem Parameter $t$ auf.
menu $\rightarrow$ 3: Algebra $\rightarrow$ 7: Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ 1: Gleichungssystem lösen…
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Das lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar. Der Punkt $T$, die Bergspitze, liegt somit nicht auf der Flugbahn.
$\blacktriangleright$  Fluggeschwindigkeit berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug eine Minute braucht um vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zu kommen. Die Geschwindigkeit ist definiert, als die Strecke, die pro Zeiteinheit zurückgelegt wird. Um die Geschwindigkeit des Flugzeugs zu berechnen, musst du noch die zurückgelegte Strecke zwischen Punkt $A$ und $B$ berechnen. Das ist gerade die Länge des Richtungsvektors der Geraden $g$. Anschließend musst du die Einheiten noch von $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen. Die zurückgelegte Strecke kannst du mit deinem CAS berechnen.
1. Schritt: zurückgelegte Strecke berechnen
menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Matrix erstellen $\rightarrow$ 1: Matrix…
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Das Flugzeug legt in einer Minute eine Strecke von $12,35$km zurück.
2. Schritt: Einheit umrechnen
$\rightarrow v=\dfrac{12,35\;\text{km}}{1\;\text{min}}= \dfrac{12,35\;\text{km}\cdot 60}{1\;\text{h}}= 752\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von $\boldsymbol{752\frac{\text{km}}{\text{h}}}$.
b) 
$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen und Flugzeit ermitteln
Um die Koordinaten des Punktes $P$ zu berechnen, benötigst du einen Vektor $p$, der die Gerade $g$ in einer Flughöhe von $3,5$km schneidet. Das bedeutet, dass die $z$-Koordinate des Vektors $p$ $3,5$ sein muss. Die Koordinaten von $x$ und $y$ können beliebig gewählt werden. Anschließend kannst du den Vektor $p$ mit der Geraden $g$ gleichsetzen. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem welches du mit deinem CAS nach dem Parameter auflösen kannst. Den berechneten Parameter kannst du dann in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Ortsvektor, der zum gesuchten Punkt $P$ zeigt. Die Koordinaten des Punktes $P$ kannst du dann einfach ablesen.
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{p}$ wählen
$\vec{p}=\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}$.
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
$\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
3. Schritt: Parameter in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +6\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}$
Das Flugzeug hat im Punkt $\boldsymbol{P(70\mid38\mid 3,5)}$ eine Flughöhe von $3,5$km erreicht.
$\blacktriangleright$  Flugzeit bis zum Punkt $\boldsymbol{P}$ berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass der Parameter $t$ die Zeit in Minuten angibt. Im Aufgabenteil davor hast du den Parameter $t$ schon berechnet. Die Lösung des Parameter $t$ ist gerade die Zeit, die das Flugzeug benötigt um eine Flughöhe von $3,5\;\text{km}$ zu erreichen.
Da der Parameter $t=6$ ist, bedeutet das, dass das Flugzeug $6$min braucht um eine Flughöhe von $3,5$km zu erreichen.
$\blacktriangleright$  Neue Gerade $\boldsymbol{f}$berechnen
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän die Route und erreicht den Punkt $Q$ nach einer Minute. Gesucht ist eine neue Gerade $f$, die durch die beiden Punkte $P(70\mid38\mid3,5)$ und $Q(81\mid44\mid3,5)$ geht.
Berechne also eine Gerade $f$, die durch die beiden Punkte geht.
$f: \vec{x}= \begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot \left(\begin{pmatrix}81\\44\\3,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
Die neue Gerade $f$ lautet: $f: \vec{x}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel zwischen der alten und der neuen Flugstrecke berechnen
Den Winkel den die alte und die neue Flugstrecke miteinander bilden kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Setze dazu die Richtungsvektoren der beiden Geraden in die Formel ein und berechnen den Winkel mit deinem CAS.
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\right|}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Der Schnittwinkel der alten und der neuen Flugstrecke beträgt $\boldsymbol{0,9°}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen
Um den Winkel zwischen der Ebene und der Geraden zu berechnen, kannst du die Sinus-Formel verwenden. Setze in die Formel den Normalenvektor der Ebene $E$ und den Richtungsvektor der Geraden $h$ ein und berechne mit deinem CAS den gesuchten Winkel.
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\50\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\2,1\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt, beträgt $\boldsymbol{9,8^°}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Begründen, ob eine Kurskorrektur notwendig ist
Als erstes musst du die Zeit berechnen, wann das Flugzeug und der Hubschrauber im Punkt $S(125\mid 68\mid3,5)$ sind. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $S$ mit den beiden Geradengleichungen $f$ und $h$ gleich und berechnest den Parameter $t$ mit deinem CAS.
  • $\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t_f\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
    Analytische Geometrie 2.2
    Analytische Geometrie 2.2
  • $\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t_h\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}$
    Analytische Geometrie 2.2
    Analytische Geometrie 2.2
Das Flugzeug ändert seinen Kurs um $12:19$ Uhr und ist nach $5$ min , also um $12:24$ Uhr im Punkt $S$. Der Hubschrauber startet um $12:17$ Uhr und ist nach $7$min, also auch um $12:24$ Uhr im Punkt $S$. Es ist also eine Kurskorrektur notwendig, damit es zwischen Flugzeug und Hubschrauber nicht zur Kollision kommt.
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

a) 
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug auf einer Geraden fliegt, die durch die Punkte $A(4\mid 2\mid 2,3)$ und $B(15\mid 8\mid 2,5)$ geht. Die Parametergleichung auf der das Flugzeug fliegt kannst du berechnen, indem du die Gerade durch die beiden Punkten $A$ und $B$ bildest.
$g: \vec{x}= \overrightarrow{OA}+ t\cdot\overrightarrow{AB}$
$g: \vec{x}= \begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}+ t\cdot \left(\begin{pmatrix}15\\8\\2,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt
Um zu zeigen, dass die Bergspitze $T(59\mid 32\mid 3)$ nicht auf der Flugbahn liegt, musst du die Punktprobe durchführen. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Geradengleichung ein und löst das so entstandene lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten mit deinem CAS nach dem Parameter $t$ auf.
Analytische Geometrie 2.2
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Das lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar. Der Punkt $T$, die Bergspitze, liegt somit nicht auf der Flugbahn.
$\blacktriangleright$  Fluggeschwindigkeit berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug eine Minute braucht um vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zu kommen. Die Geschwindigkeit ist definiert, als die Strecke, die pro Zeiteinheit zurückgelegt wird. Um die Geschwindigkeit des Flugzeugs zu berechnen, musst du noch die zurückgelegte Strecke zwischen Punkt $A$ und $B$ berechnen. Das ist gerade die Länge des Richtungsvektors der Geraden $g$. Anschließend musst du die Einheiten noch von $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen. Die zurückgelegte Strecke kannst du mit deinem CAS berechnen.
1. Schritt: zurückgelegte Strecke berechnen
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Das Flugzeug legt in einer Minute eine Strecke von $12,35$km zurück.
2. Schritt: Einheit umrechnen
$\rightarrow v=\dfrac{12,35\;\text{km}}{1\;\text{min}}= \dfrac{12,35\;\text{km}\cdot 60}{1\;\text{h}}= 752\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von $\boldsymbol{752\frac{\text{km}}{\text{h}}}$.
b) 
$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen und Flugzeit ermitteln
Um die Koordinaten des Punktes $P$ zu berechnen, benötigst du einen Vektor $p$, der die Gerade $g$ in einer Flughöhe von $3,5$km schneidet. Das bedeutet, dass die $z$-Koordinate des Vektors $p$ $3,5$ sein muss. Die Koordinaten von $x$ und $y$ können beliebig gewählt werden. Anschließend kannst du den Vektor $p$ mit der Geraden $g$ gleichsetzen. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem welches du mit deinem CAS nach dem Parameter auflösen kannst. Den berechneten Parameter kannst du dann in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Ortsvektor, der zum gesuchten Punkt $P$ zeigt. Die Koordinaten des Punktes $P$ kannst du dann einfach ablesen.
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{p}$ wählen
$\vec{p}=\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}$.
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
$\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
Analytische Geometrie 2.2
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3. Schritt: Parameter in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +6\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}$
Das Flugzeug hat im Punkt $\boldsymbol{P(70\mid38\mid 3,5)}$ eine Flughöhe von $3,5$km erreicht.
$\blacktriangleright$  Flugzeit bis zum Punkt $\boldsymbol{P}$ berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass der Parameter $t$ die Zeit in Minuten angibt. Im Aufgabenteil davor hast du den Parameter $t$ schon berechnet. Die Lösung des Parameter $t$ ist gerade die Zeit, die das Flugzeug benötigt um eine Flughöhe von $3,5\;\text{km}$ zu erreichen.
Da der Parameter $t=6$ ist, bedeutet das, dass das Flugzeug $6$min braucht um eine Flughöhe von $3,5$km zu erreichen.
$\blacktriangleright$  Neue Gerade $\boldsymbol{f}$berechnen
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän die Route und erreicht den Punkt $Q$ nach einer Minute. Gesucht ist eine neue Gerade $f$, die durch die beiden Punkte $P(70\mid38\mid3,5)$ und $Q(81\mid44\mid3,5)$ geht.
Berechne also eine Gerade $f$, die durch die beiden Punkte geht.
$f: \vec{x}= \begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot \left(\begin{pmatrix}81\\44\\3,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
Die neue Gerade $f$ lautet: $f: \vec{x}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel zwischen der alten und der neuen Flugstrecke berechnen
Den Winkel den die alte und die neue Flugstrecke miteinander bilden kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Setze dazu die Richtungsvektoren der beiden Geraden in die Formel ein und berechnen den Winkel mit deinem CAS.
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}\right|}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Der Schnittwinkel der alten und der neuen Flugstrecke beträgt $\boldsymbol{0,9°}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen
Um den Winkel zwischen der Ebene und der Geraden zu berechnen, kannst du die Sinus-Formel verwenden. Setze in die Formel den Normalenvektor der Ebene $E$ und den Richtungsvektor der Geraden $h$ ein und berechne mit deinem CAS den gesuchten Winkel.
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\50\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\2,1\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt, beträgt $\boldsymbol{9,8^°}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Begründen, ob eine Kurskorrektur notwendig ist
Als erstes musst du die Zeit berechnen, wann das Flugzeug und der Hubschrauber im Punkt $S(125\mid 68\mid3,5)$ sind. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $S$ mit den beiden Geradengleichungen $f$ und $h$ gleich und berechnest den Parameter $t$ mit deinem CAS.
  • $\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t_f\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
    Analytische Geometrie 2.2
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  • $\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t_h\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}$
    Analytische Geometrie 2.2
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Das Flugzeug ändert seinen Kurs um $12:19$ Uhr und ist nach $5$ min , also um $12:24$ Uhr im Punkt $S$. Der Hubschrauber startet um $12:17$ Uhr und ist nach $7$min, also auch um $12:24$ Uhr im Punkt $S$. Es ist also eine Kurskorrektur notwendig, damit es zwischen Flugzeug und Hubschrauber nicht zur Kollision kommt.
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