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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Aufgabe 3.1: Onlineshopping

Die Tabelle gibt repräsentativ die Kaufgewohnheiten der Verbraucher in Deutschland beim Onlineshopping wieder. So wurde beispielsweise ermittelt, dass $32\,\%$ der befragten Verbraucher gelegentlich Computer im Internet kaufen. Jeder Verbraucher kann dabei unabhängig von den anderen für die Artikel verschiedene Kaufgewohnheiten besitzen.
regelmäßiggelegentlichnie
Bücher$50\,\%$$30\,\%$$20\,\%$
Sportartikel$13\,\%$$33\,\%$$54\,\%$
Computer$33\,\%$$32\,\%$$35\,\%$
(Quelle: Statista-Datenbank 2012)
In einem Statistikprojekt befragt Tom zufällig ausgewählte Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Die Gültigkeit der Tabellenangaben wird dabei vorausgesetzt.
a)  Zwei Personen werden ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
  1. Beide Personen kaufen nie Computer im Internet.
  2. Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite regelmäßig Computer im Internet.
  3. Genau einer von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.
(7P)
b)  Tom wählt nun $20$ Personen für die nächste Fragerunde aus.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
  1. Höchstens die Hälfte der 20 Ausgewählten kaufen nie Sportartikel im Internet.
  2. Unter den 20 ausgewählten Personen sind mindestens drei, die gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen.
  3. Der Erste der Ausgewählten kauft gelegentlich Sportartikel im Internet, von den anderen 19 tun dies genau fünf.
(10P)
c)  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ wenigstens eine Person zu finden, die regelmäßig Computer im Internet kauft.
(4P)
d)  In einem Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Waren im Internet. Tom befragt vier von den $20$ Personen nach ihren Kaufgewohnheiten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens drei der vier Befragten Waren im Internet kaufen.
(5P)
e)  Von den 20 Personen verlassen $n$ Personen unabhängig voneinander das Internetcafé.
Betrachtet wird das Ereignis $S$: „Unter den $n$ Personen befindet sich keiner, der Waren im Internet kauft.“
Untersuche, für welche $n$ die Wahrscheinlichkeit $P(S)$ unter ein Prozent sinkt.
(4P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 3.1: Onlineshopping

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A}$
Du sollst in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit von Ereigniss $A$, mit
$A$: „Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Comuter im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nie ein Computer im Internet gekauft wird, beträgt $35\,\%$. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ zu berechnen, kannst du die Pfadmultiplikationregel verwenden.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis $B$, mit
$B$: „Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite kauft regelmäßig Computer im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher im Internet kauft, beträgt $50\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $33\,\%$. Auch hier kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel anwenden.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{C}$
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ mit

$C$: „Genau eine Person von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt hier die Anzahl der Personen unter den zwei zufällig Befragten, die regelmäßig Sportartikel im Internet kaufen. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • die befragte Person kauft regelmäßig Sportartikel im Internet oder
  • die befragte Person kauft nicht regelmäßig Sportartikel im Internet
Gesucht ist, dass genau eine Person regelmäßig Sportartikel im Internet kauft, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=1)$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen, indem du in die Formel der Binomialverteilung $p=0,13$ und $n=2$ einsetzt.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{D}$
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der Personen von $20$ Befragten, die nie Sportartikel im Internet kaufen. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass höchstens die Hälfte der befragten Personen nie Sportartikel im Internet kaufen, also $P(Y\leq10)$.
Aus dem gleichen Grund wie in der Aufgabe zuvor die Zufallsvariabe $X$, ist auch die Zufallsvariable $Y$ binomialverteil, mit den Parametern $p=0,54$ und $n=20$. Hier handelt sich allerdings um eine kumulierte Binomialverteilung und um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen benötigst du die summierte Binomialverteilung. Den Befehl dazu findest du in deinem CAS.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{E}$
Betrachte in dieser Aufgabe wieder die Zufallsvariable $Z$. Diese beschreibt die Anzahl der Personen, unter 20 Befragten, die gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen . Hier ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens 3 befragte Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen. Bilde als erstes das Gegenereignis und verwende anschließend die kumulierte Binomialverteilung. Den Wert kannst du mit deinem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{F}$
Auch in dieser Aufgabe betrachten wir die Zufallsvariable $Z$. Hier ist allerdings die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass der erste Befragte gelegentlich Sportartikel im Internet kauft (Ereignis $A$) und von den übrigen 19 Personen genau 5 Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen (Ereignis $B$). Das Ereignis $F$ berechnest du, indem du die beiden Ereignisse $A$ und $B$ multiplizierst. Das Ereignis $A$ kannst du direkt aus der Tabelle ablesen. Das Ereignis $B$ kannst du mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.
c) 
$\blacktriangleright$  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen
Die Zufallsvariable $S$ beschreibt die Anzahl der Personen, die regelmäßig Computer im Internet kaufen. $S$ ist binomialverteilt mit $p=0,33$ und unbekanntem $n$. $n$ steht für die Anzahl der befragten Personen. Da mindestens eine Person unter den Befragten sein soll, die regelmäßig Coputer im Internet kauft, muss $S$ somit größer als $1$ sein. Bilde als erstes das Gegenereignis und löse anschließend die Gleichung nach $n$ auf.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen im Internet kaufen
Im Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Ware im Internet. Vier Personen werden befragt und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen Ware im Internet kaufen (Ereignis $G$). Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du wieder die Formel der Binomialverteilung verwenden, denn hier gibt es zwei mögliche Ausgänge. Entweder die befragte Person kauft Ware im Internet oder eben nicht. Setze in deinen CAS für $p=\frac{15}{20}$ und für $n=4$ ein.
e) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{S}$
In dieser Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $S$ gesucht, also dass von $n$ Personen, die das Internetcafé unabhängig von einander verlassen, keine Person dabei ist, die Ware im Internet kauft. Hier ist nun die Anzahl der Personen $n$ gesucht, für die die Wahrscheinlichkeit $P(S)$ unter ein Prozent sinkt. Im Internetcafé befinden sich nur $5$ Personen die keine Ware im Internet kaufen, $n$ kann also höchstens 5 sein. Auch hier handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person die das Internetcafé verlässt, keine Ware im Internet kauft ist gerade $\frac{5}{20}$, das die zweite Person keine Ware kauft beträgt dann $\frac{4}{19}$, die Dritte $\frac{3}{18}$, die Vierte $\frac{2}{17}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass die fünfte Person keine Ware im Internet kauft beträgt $\frac{1}{16}$. Am einfachsten ist es nun, wenn du ausprobierst, ab wie viele Personen die Wahrscheinlichkeit kleine als ein Prozent ist.
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Aufgabe 3.1: Onlineshopping

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A}$
Du sollst in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit von Ereigniss $A$, mit
$A$: „Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Comuter im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nie ein Computer im Internet gekauft wird, beträgt $35\,\%$. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ zu berechnen, kannst du die Pfadmultiplikationregel verwenden.
$P(A)=0,35\cdot 0,35=0,1225= 12,25\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{12,25\,\%}$ kaufen beide Ausgewählte nie einen Computer im Internet.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis $B$, mit
$B$: „Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite kauft regelmäßig Computer im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher im Internet kauft, beträgt $50\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $33\,\%$. Auch hier kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel anwenden.
$P(B)=0,5\cdot0,33=0,165=16,5\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher und die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $\boldsymbol{16,5\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{C}$
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ mit

$C$: „Genau eine Person von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt hier die Anzahl der Personen unter den zwei zufällig Befragten, die regelmäßig Sportartikel im Internet kaufen. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • die befragte Person kauft regelmäßig Sportartikel im Internet oder
  • die befragte Person kauft nicht regelmäßig Sportartikel im Internet
Gesucht ist, dass genau eine Person regelmäßig Sportartikel im Internet kauft, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=1)$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen, indem du in die Formel der Binomialverteilung $p=0,13$ und $n=2$ einsetzt.
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: Binomial Pdf
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{22,62\,\%}$ kauft genau einer von zwei Ausgewählten regelmäßig Sportartikel im Internet.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{D}$
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der Personen von $20$ Befragten, die nie Sportartikel im Internet kaufen. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass höchstens die Hälfte der befragten Personen nie Sportartikel im Internet kaufen, also $P(Y\leq10)$.
Aus dem gleichen Grund wie in der Aufgabe zuvor die Zufallsvariabe $X$, ist auch die Zufallsvariable $Y$ binomialverteil, mit den Parametern $p=0,54$ und $n=20$. Hier handelt sich allerdings um eine kumulierte Binomialverteilung und um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen benötigst du die summierte Binomialverteilung. Den Befehl dazu findest du in deinem CAS.
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeiten $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ Binomial Cdf
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{44,43\,\%}$ kaufen von $20$ Befragten höchstens 10 Personen nie Sportartikel im Internet.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{E}$
Betrachte in dieser Aufgabe wieder die Zufallsvariable $Z$. Diese beschreibt die Anzahl der Personen, unter 20 Befragten, die gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen . Hier ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens 3 befragte Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen. Bilde als erstes das Gegenereignis und verwende anschließend die kumulierte Binomialverteilung. Den Wert kannst du mit deinem CAS berechnen.
$P(Z\geq3)=1-P(Y\leq2)$
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 20 befragten Personen mindestens 3 Personen gelegentlich Sportartikel Internet kaufen, beträgt $\boldsymbol{98,11\,\%.}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{F}$
Auch in dieser Aufgabe betrachten wir die Zufallsvariable $Z$. Hier ist allerdings die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass der erste Befragte gelegentlich Sportartikel im Internet kauft (Ereignis $A$) und von den übrigen 19 Personen genau 5 Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen (Ereignis $B$). Das Ereignis $F$ berechnest du, indem du die beiden Ereignisse $A$ und $B$ multiplizierst. Das Ereignis $A$ kannst du direkt aus der Tabelle ablesen. Das Ereignis $B$ kannst du mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste befragte Personen gelegentlich Sportartikel und von den übrigen 19 befragten Personen genau 5 Personen Sportartikel im Internet kaufe, beträgt $\boldsymbol{5,51\,\%.}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen
Die Zufallsvariable $S$ beschreibt die Anzahl der Personen, die regelmäßig Computer im Internet kaufen. $S$ ist binomialverteilt mit $p=0,33$ und unbekanntem $n$. $n$ steht für die Anzahl der befragten Personen. Da mindestens eine Person unter den Befragten sein soll, die regelmäßig Coputer im Internet kauft, muss $S$ somit größer als $1$ sein. Bilde als erstes das Gegenereignis und löse anschließend die Gleichung nach $n$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} P(S\geq1)&= &1-P(\overline{S}\geq0,99)\\[5pt] 1-(1-0,33)^n&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-0,67^n&\geq& 0,99&\quad \scriptsize \mid -0,99\;\mid +0,67 \\[5pt] 0,01&\geq& 0,67^n &\quad \scriptsize \mid\log\; \\[5pt] \log(0,01)&\geq& n\cdot \log(0,67) &\quad \scriptsize \mid :\log(0,67)\; \\[5pt] \frac{\log(0,01)}{\log(0,67)}&\leq& n \\[5pt] 11,499&\leq&n \end{array}$
Es müssen mindestens 12 Personen befragt werden.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen im Internet kaufen
Im Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Ware im Internet. Vier Personen werden befragt und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen Ware im Internet kaufen (Ereignis $G$). Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du wieder die Formel der Binomialverteilung verwenden, denn hier gibt es zwei mögliche Ausgänge. Entweder die befragte Person kauft Ware im Internet oder eben nicht. Setze in deinen CAS für $p=\frac{15}{20}$ und für $n=4$ ein.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen im Internet Ware kaufe beträgt $\boldsymbol{68,36\,\%}$.
e) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{S}$
In dieser Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $S$ gesucht, also dass von $n$ Personen, die das Internetcafé unabhängig von einander verlassen, keine Person dabei ist, die Ware im Internet kauft. Hier ist nun die Anzahl der Personen $n$ gesucht, für die die Wahrscheinlichkeit $P(S)$ unter ein Prozent sinkt. Im Internetcafé befinden sich nur $5$ Personen die keine Ware im Internet kaufen, $n$ kann also höchstens 5 sein. Auch hier handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person die das Internetcafé verlässt, keine Ware im Internet kauft ist gerade $\frac{5}{20}$, das die zweite Person keine Ware kauft beträgt dann $\frac{4}{19}$, die Dritte $\frac{3}{18}$, die Vierte $\frac{2}{17}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass die fünfte Person keine Ware im Internet kauft beträgt $\frac{1}{16}$. Am einfachsten ist es nun, wenn du ausprobierst, ab wie viele Personen die Wahrscheinlichkeit kleine als ein Prozent ist.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Für $\boldsymbol{n=3}$ ist die Wahrscheinlichkeit P(S) unter einem Prozent.
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a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A}$
Du sollst in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit von Ereigniss $A$, mit
$A$: „Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Comuter im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nie ein Computer im Internet gekauft wird, beträgt $35\,\%$. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ zu berechnen, kannst du die Pfadmultiplikationregel verwenden.
$P(A)=0,35\cdot 0,35=0,1225= 12,25\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{12,25\,\%}$ kaufen beide Ausgewählte nie einen Computer im Internet.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$, mit
$B$: „Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite kauft regelmäßig Computer im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher im Internet kauft, beträgt $50\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $33\,\%$. Auch hier kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel anwenden.
$P(B)=0,5\cdot0,33=0,165=16,5\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher und die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $\boldsymbol{16,5\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{C}$
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ mit

$C$: „Genau eine Person von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt hier die Anzahl der Personen unter den zwei zufällig Befragten, die regelmäßig Sportartikel im Internet kaufen. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • die befragte Person kauft regelmäßig Sportartikel im Internet oder
  • die befragte Person kauft nicht regelmäßig Sportartikel im Internet
Gesucht ist, dass genau eine Person regelmäßig Sportartikel im Internet kauft, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=1)$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen, indem du in die Formel der Binomialverteilung $p=0,13$ und $n=2$ einsetzt.
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{22,62\,\%}$ kauft genau einer von zwei Ausgewählten regelmäßig Sportartikel im Internet.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{D}$
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der Personen von $20$ Befragten, die nie Sportartikel im Internet kaufen. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass höchstens die Hälfte der befragten Personen nie Sportartikel im Internet kaufen, also $P(Y\leq10)$.
Aus dem gleichen Grund wie in der Aufgabe zuvor die Zufallsvariabe $X$, ist auch die Zufallsvariable $Y$ binomialverteil, mit den Parametern $p=0,54$ und $n=20$. Hier handelt sich allerdings um eine kumulierte Binomialverteilung und um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen benötigst du die summierte Binomialverteilung. Den Befehl dazu findest du in deinem CAS.
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCdf
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{44,43\,\%}$ kaufen von $20$ Befragten höchstens 10 Personen nie Sportartikel im Internet.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{E}$
Betrachte in dieser Aufgabe wieder die Zufallsvariable $Z$. Diese beschreibt die Anzahl der Personen, unter 20 Befragten, die gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen . Hier ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens 3 befragte Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen. Bilde als erstes das Gegenereignis und verwende anschließend die kumulierte Binomialverteilung. Den Wert kannst du mit deinem CAS berechnen.
$P(Z\geq3)=1-P(Y\leq2)$
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 20 befragten Personen mindestens 3 Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen, beträgt $\boldsymbol{98,11\,\%.}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{F}$
Auch in dieser Aufgabe betrachten wir die Zufallsvariable $Z$. Hier ist allerdings die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass der erste Befragte gelegentlich Sportartikel im Internet kauft (Ereignis $A$) und von den übrigen 19 Personen genau 5 Personen gelegentlich Sportartikel im Internet kaufen (Ereignis $B$). Das Ereignis $F$ berechnest du, indem du die beiden Ereignisse $A$ und $B$ multiplizierst. Das Ereignis $A$ kannst du direkt aus der Tabelle ablesen. Das Ereignis $B$ kannst du mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste befragte Personen gelegentlich Sportartikel und von den übrigen 19 befragten Personen genau 5 Personen Sportartikel im Internet kaufe, beträgt $\boldsymbol{5,51\,\%.}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen
Die Zufallsvariable $S$ beschreibt die Anzahl der Personen, die regelmäßig Computer im Internet kaufen. $S$ ist binomialverteilt mit $p=0,33$ und unbekanntem $n$. $n$ steht für die Anzahl der befragten Personen. Da mindestens eine Person unter den Befragten sein soll, die regelmäßig Coputer im Internet kauft, muss $S$ somit größer als $1$ sein. Bilde als erstes das Gegenereignis und löse anschließend die Gleichung nach $n$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} P(S\geq1)&= &1-P(\overline{S}\geq0,99)\\[5pt] 1-(1-0,33)^n&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-0,67^n&\geq& 0,99&\quad \scriptsize \mid -0,99\;\mid +0,67 \\[5pt] 0,01&\geq& 0,67^n &\quad \scriptsize \mid\log\; \\[5pt] \log(0,01)&\geq& n\cdot \log(0,67) &\quad \scriptsize \mid :\log(0,67)\; \\[5pt] \frac{\log(0,01)}{\log(0,67)}&\leq& n \\[5pt] 11,499&\leq&n \end{array}$
Es müssen mindestens 12 Personen befragt werden.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen im Internet kaufen
Im Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Ware im Internet. Vier Personen werden befragt und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen Ware im Internet kaufen (Ereignis $G$). Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du wieder die Formel der Binomialverteilung verwenden, denn hier gibt es zwei mögliche Ausgänge. Entweder die befragte Person kauft Ware im Internet oder eben nicht. Setze in deinen CAS für $p=\frac{15}{20}$ und für $n=4$ ein.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Personen im Internet Ware kaufe beträgt $\boldsymbol{68,36\,\%}$.
e) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{S}$
In dieser Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $S$ gesucht, also dass von $n$ Personen, die das Internetcafé unabhängig von einander verlassen, keine Person dabei ist, die Ware im Internet kauft. Hier ist nun die Anzahl der Personen $n$ gesucht, für die die Wahrscheinlichkeit $P(S)$ unter ein Prozent sinkt. Im Internetcafé befinden sich nur $5$ Personen die keine Ware im Internet kaufen, $n$ kann also höchstens 5 sein. Auch hier handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person die das Internetcafé verlässt, keine Ware im Internet kauft ist gerade $\frac{5}{20}$, das die zweite Person keine Ware kauft beträgt dann $\frac{4}{19}$, die Dritte $\frac{3}{18}$, die Vierte $\frac{2}{17}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass die fünfte Person keine Ware im Internet kauft beträgt $\frac{1}{16}$. Am einfachsten ist es nun, wenn du ausprobierst, ab wie viele Personen die Wahrscheinlichkeit kleine als ein Prozent ist.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Für $\boldsymbol{n=3}$ ist die Wahrscheinlichkeit P(S) unter einem Prozent.
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