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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Aufgabe 3.2: Oktaeder

Neben dem klassischen Würfel hat ein Spielzeughersteller auch ein Oktaeder als Spielgerät in seinem Angebot (siehe Abbildung). Bei diesem sind die acht gleich großen Seiten mit den Ziffern $1$ bis $8$ beschriftet.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt beim Würfeln für jede der Ziffern $p=\frac{1}{8}$.
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
a)  Mit dem Oktaeder werden zunächst $5$ Würfe durchgeführt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$A_1$:    In jedem der $5$ Würfe fällt eine gerade Zahl.
$A_2$:    In keinem der $5$ Würfe fällt eine $7$.
$A_3$:    Im ersten Wurf fällt eine $2$, danach nicht mehr.
(10P)
b)  Nun werden $20$ Würfe durchgeführt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$B_1$:    Eine ungerade Zahl fällt höchstens $10$-mal.
$B_2$:    Die $7$ fällt genau zweimal, aber nicht im letzten Wurf.
(7P)
c)  Nina und Tim haben beide ein solches Oktaeder als Werbegeschenk erhalten und führen damit Würfelversuche durch.
Beide würfeln einmal.
Betrachtet wird das Ereignis $C_1$: Nina würfelt höchstens eine $6$, Tim eine Zahl größer $6$.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C_1$.
In einer neuen Runde wirft jeder genau $5$-mal.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C_2$: Jeder von beiden hat genau einmal eine Zahl größer $6$.
(9P)
d)  Tims Freund besitzt ein Oktaeder, das nicht mit Ziffern beschriftet ist, sondern jede seiner Seiten ist entweder rot, grün oder gelb eingefärbt.
Der Freund hat ermittelt, wie häufig bei $10$ Würfen die Farbe gelb mehr als $5$-mal fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt nur zwei Prozent.
Untersuche, wie viele Seiten des Oktaeders gelb gefärbt sein könnten.
(4P)

(30P)
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Aufgabe 3.2: Oktaeder

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_1$ mit
$A_1$: „Bei $5$-mal würfeln fällt jedes mal eine gerade Zahl.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird beträgt $p=4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. Wende die Pfadmultiplikationsregel an.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_2}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_2$ mit
$A_2$: „Bei $5$-mal würfeln fällt keine $1$.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine $1$ fällt beträgt $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Verwende auch hier die Pfadmultiplikationsregel.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_3}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_3$ mit
$A_3$: „Im ersten Wurf fällt eine $2$ und dann nicht mehr.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine $2$ fällt beträgt $p=\frac{1}{8}$. In den darauf folgenden vier Würfen soll keine 2 mehr fallen, also $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_1}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B_1$ mit
$B_1$: „Eine ungerade Zahl fällt höchstens 10-mal.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt die Anzahl der ungeraden Zahlen, die bei $20$ mal würfeln geworfen werden. $X$ kann dabei als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • es wird eine ungerade Zahl gewürfelt oder
  • es wird eine gerade Zahl gewürfelt
Gesucht ist, dass höchstens 10-mal eine ungerade Zahl gewürfelt wird, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X\leq10)$. Setze in die Formel der summierten Binomialverteilung $p=\frac{1}{2}$ und $n=20$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_2}$
Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt die Anzahl der $7$ner, die bei 20-mal würfeln gewürfelt werden. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass genau 2-mal eine $7$ fällt, aber nicht im letzten Wurf. Es handelt sich also um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Als erstes kannst du mit deine CAS mit der Formle der Binomialverteilung $P(Y=2)$ berechnen.. Setze dazu für $n=19$ und für $p=\frac{1}{8}$ ein. Dies Wahrscheinlichkeit multiplizierst du dann mit der Wahrscheinlichkeit, dass im letzten Wurf keine $7$ gewürfelt wird, also $p=7/8$.
c) 
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C_1$ mit
$C_1$: „Nina würfelt höchstens eine $6$ und Tim würfelt eine Zahl größer als $6$.“
berechnen.
Es handelt sich in dieser Aufgabe um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beide würfeln unabhängig von einander. Du kannst also die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine $6$ würfelt und Tim eine Zahl größer als $6$ würfelt getrennt berechnen und danach beide Wahrscheinlichkeiten mit einander multiplizieren.
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_2}$
Da beide 5-mal unabhängig von einander würfeln, kannst du zum Beispiel als erstes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Nina ein Zahl größer als 6 würfelt.
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als $6$ gewürfelt wird. Du kannst die Formel der Binomialverteilung verwenden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt. Da genau einmal eine Zahl größer als $6$ geworfen werden soll ist $P(X=1)$ gesucht. Setze $p=2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ und n=5 in die Formel in deinem CAS ein. Da die berechnete Wahrscheinlichkeit für Tim und Nina gleich sind, muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit gerade die berechnete Wahrscheinlichkeit ins Quadrat sein.
d) 
$\blacktriangleright$  Berechne die Anzahl der gelben Flächen $\boldsymbol{g}$
Tims Freund hat ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10-mal würfeln mehr als 5-mal eine gelbe Fläche gewürfelt wird, nur $2\,\%$ beträgt.
$Z$ bezeichnet die Anzahl der Würfe, bei denen gelb fällt, also gilt $P(Z>5)$. Bilde das Gegenereignis um einfacher rechnen zu können und stelle anschließend die Gleichung nach $P(Z\leq 5)$ um.
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Aufgabe 3.2: Oktaeder

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_1$ mit
$A_1$: „Bei $5$-mal würfeln fällt jedes mal eine gerade Zahl.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird beträgt $p=4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. Wende die Pfadmultiplikationsregel an.
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=&\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\[5pt] &=&\frac{1}{32}=0,0312 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $5$-mal würfeln immer eine gerade Zahl fällt beträgt $\boldsymbol{3,12\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_2}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_2$ mit
$A_2$: „Bei $5$-mal würfeln fällt keine $1$.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine $1$ fällt beträgt $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Verwende auch hier die Pfadmultiplikationsregel.
$P(A_2)=\left(\frac{7}{8}\right)^5=0,5129=51,29\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{51,29\,\%}$ fällt bei $5$-mal würfeln nie eine $1$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_3}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_3$ mit
$A_3$: „Im ersten Wurf fällt eine $2$ und dann nicht mehr.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine $2$ fällt beträgt $p=\frac{1}{8}$. In den darauf folgenden vier Würfen soll keine 2 mehr fallen, also $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
$P(A_3)=\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^4=0,733=7,33\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{7,33\,\%}$ wird im ersten Wurf eine $2$ gewürfelt und dann keine mehr.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_1}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B_1$ mit
$B_1$: „Eine ungerade Zahl fällt höchstens 10-mal.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt die Anzahl der ungeraden Zahlen, die bei $20$ mal würfeln geworfen werden. $X$ kann dabei als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • es wird eine ungerade Zahl gewürfelt oder
  • es wird eine gerade Zahl gewürfelt
Gesucht ist, dass höchstens 10-mal eine ungerade Zahl gewürfelt wird, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X\leq10)$. Setze in die Formel der summierten Binomialverteilung $p=\frac{1}{2}$ und $n=20$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen.
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: Binomial Cdf
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{58,8\,\%}$ wird bei $20$ höchstens 10-mal eine ungerade Zahl gewürfelt.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_2}$
Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt die Anzahl der $7$ner, die bei 20-mal würfeln gewürfelt werden. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass genau 2-mal eine $7$ fällt, aber nicht im letzten Wurf. Es handelt sich also um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Als erstes kannst du mit deine CAS mit der Formle der Binomialverteilung $P(Y=2)$ berechnen. Setze dazu für $n=19$ und für $p=\frac{1}{8}$ ein. Diese Wahrscheinlichkeit multiplizierst du dann mit der Wahrscheinlichkeit, dass im letzten Wurf keine $7$ gewürfelt wird, also $p=7/8$.
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: Binomial Cdf
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen genau zwei mal ein 7 fällt, aber nicht im letzten Wurf beträgt $\boldsymbol{63,35\,\%.}$
c) 
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C_1$ mit
$C_1$: „Nina würfelt höchstens eine $6$ und Tim würfelt eine Zahl größer als $6$.“
berechnen.
Es handelt sich in dieser Aufgabe um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beide würfeln unabhängig von einander. Du kannst also die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine $6$ würfelt und Tim eine Zahl größer als $6$ würfelt getrennt berechnen und danach beide Wahrscheinlichkeiten mit einander multiplizieren.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit, höchstens $6$ würfeln
$p=6\cdot \frac{1}{8}= \frac{6}{8}= \frac{3}{4}$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit, größere Zahl als $6$ würfeln
$p=2\cdot\frac{1}{8}= \frac{2}{8}= \frac{1}{4}$
3. Schritt: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
$P(C_1)= \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}= 0,1875 = 18,75\,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine 6 und Tim eine Zahl größer als 6 würfelt beträgt $\boldsymbol{18,75\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_2}$
Da beide 5-mal unabhängig von einander würfeln, kannst du zum Beispiel als erstes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Nina ein Zahl größer als 6 würfelt.
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als $6$ gewürfelt wird. Du kannst die Formel der Binomialverteilung verwenden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt. Da genau einmal eine Zahl größer als $6$ geworfen werden soll ist $P(X=1)$ gesucht. Setze $p=2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ und n=5 in die Formel in deinem CAS ein. Da die berechnete Wahrscheinlichkeit für Tim und Nina gleich sind, muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit gerade die berechnete Wahrscheinlichkeit ins Quadrat sein.
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder von beiden höchstens einmal eine Zahl größer als 6 würfelt, beträgt $\boldsymbol{15,64\,\%}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Berechne die Anzahl der gelben Flächen $\boldsymbol{g}$
Tims Freund hat ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10-mal würfeln mehr als 5-mal eine gelbe Fläche gewürfelt wird, nur $2\,\%$ beträgt.
$Z$ bezeichnet die Anzahl der Würfe, bei denen gelb fällt, also gilt $P(Z>5)$. Bilde das Gegenereignis um einfacher rechnen zu können und stelle anschließend die Gleichung nach $P(Z \leq 5)$ um.
$\begin{array}[t]{rll} P(Z>5)&=&0,02 \\[5pt] 1-P(Z\leq5) &=& 0,02 &\quad \scriptsize \mid -0,02\; \mid +P(Z\geq5) \\[5pt] 0,98&=& P(Z\leq 5) \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du durch ausprobieren bestimmen. Dazu kannst du mit deinem CAS zum Beispiel berechnen, was du für eine Wahrscheinlichkeit erhälst, wenn du für $p=\frac{4}{8}$ oder $p=\frac{2}{8}$ einsetzt. Du hast in der Aufgabe für $n=10$ und für $k=5$ gegeben und gerade berechnet, dass $P(Z\geq5)=0,98$ sein muss.
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Für $p$ erhälst du somit $0,25$. Jetzt kannst du die Anzahl der gelben Flächen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,25&=&g\cdot \frac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid : \frac{1}{8}\; \\[5pt] g&=&2 \end{array}$
Der Oktaeder hat $\boldsymbol{2}$ gelb gefärbte Flächen.
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Aufgabe 3.2: Oktaeder

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_1$ mit
$A_1$: „Bei $5$-mal würfeln fällt jedes mal eine gerade Zahl.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird beträgt $p=4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. Wende die Pfadmultiplikationsregel an.
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=&\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\[5pt] &=&\frac{1}{32}=0,0312 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $5$-mal würfeln immer eine gerade Zahl fällt beträgt $\boldsymbol{3,12\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_2}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_2$ mit
$A_2$: „Bei $5$-mal würfeln fällt keine $1$.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine $1$ fällt beträgt $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Verwende auch hier die Pfadmultiplikationsregel.
$P(A_2)=\left(\frac{7}{8}\right)^5=0,5129=51,29\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{51,29\,\%}$ fällt bei $5$-mal würfeln nie eine $1$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_3}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_3$ mit
$A_3$: „Im ersten Wurf fällt eine $2$ und dann nicht mehr.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine $2$ fällt beträgt $p=\frac{1}{8}$. In den darauf folgenden vier Würfen soll keine 2 mehr fallen, also $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
$P(A_3)=\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^4=0,733=7,33\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{7,33\,\%}$ wird im ersten Wurf eine $2$ gewürfelt und dann keine mehr.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_1}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B_1$ mit
$B_1$: „Eine ungerade Zahl fällt höchstens 10-mal.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt die Anzahl der ungeraden Zahlen, die bei $20$ mal würfeln geworfen werden. $X$ kann dabei als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • es wird eine ungerade Zahl gewürfelt oder
  • es wird eine gerade Zahl gewürfelt
Gesucht ist, dass höchstens 10-mal eine ungerade Zahl gewürfelt wird, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X\leq10)$. Setze in die Formel der summierten Binomialverteilung $p=\frac{1}{2}$ und $n=20$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen.
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCdf
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{58,8\,\%}$ wird bei $20$ höchstens 10-mal eine ungerade Zahl gewürfelt.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_2}$
Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt die Anzahl der $7$ner, die bei 20-mal würfeln gewürfelt werden. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass genau 2-mal eine $7$ fällt, aber nicht im letzten Wurf. Es handelt sich also um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Als erstes kannst du mit deine CAS mit der Formle der Binomialverteilung $P(Y=2)$ berechnen. Setze dazu für $n=19$ und für $p=\frac{1}{8}$ ein. Diese Wahrscheinlichkeit multiplizierst du dann mit der Wahrscheinlichkeit, dass im letzten Wurf keine $7$ gewürfelt wird, also $p=7/8$.
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen genau zwei mal ein 7 fällt, aber nicht im letzten Wurf beträgt $\boldsymbol{63,35\,\%.}$
c) 
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C_1$ mit
$C_1$: „Nina würfelt höchstens eine $6$ und Tim würfelt eine Zahl größer als $6$.“
berechnen.
Es handelt sich in dieser Aufgabe um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beide würfeln unabhängig von einander. Du kannst also die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine $6$ würfelt und Tim eine Zahl größer als $6$ würfelt getrennt berechnen und danach beide Wahrscheinlichkeiten mit einander multiplizieren.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit, höchstens $6$ würfeln
$p=6\cdot \frac{1}{8}= \frac{6}{8}= \frac{3}{4}$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit, größere Zahl als $6$ würfeln
$p=2\cdot\frac{1}{8}= \frac{2}{8}= \frac{1}{4}$
3. Schritt: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
$P(C_1)= \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}= 0,1875 = 18,75\,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine 6 und Tim eine Zahl größer als 6 würfelt beträgt $\boldsymbol{18,75\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_2}$
Da beide 5-mal unabhängig von einander würfeln, kannst du zum Beispiel als erstes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Nina ein Zahl größer als 6 würfelt.
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als $6$ gewürfelt wird. Du kannst die Formel der Binomialverteilung verwenden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt. Da genau einmal eine Zahl größer als $6$ geworfen werden soll ist $P(X=1)$ gesucht. Setze $p=2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ und n=5 in die Formel in deinem CAS ein. Da die berechnete Wahrscheinlichkeit für Tim und Nina gleich sind, muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit gerade die berechnete Wahrscheinlichkeit ins Quadrat sein.
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder von beiden höchstens einmal eine Zahl größer als 6 würfelt, beträgt $\boldsymbol{15,64\,\%}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Berechne die Anzahl der gelben Flächen $\boldsymbol{g}$
Tims Freund hat ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10-mal würfeln mehr als 5-mal eine gelbe Fläche gewürfelt wird, nur $2\,\%$ beträgt.
$Z$ bezeichnet die Anzahl der Würfe, bei denen gelb fällt, also gilt $P(Z>5)$. Bilde das Gegenereignis um einfacher rechnen zu können und stelle anschließend die Gleichung nach $P(Z\leq 5)$ um.
$\begin{array}[t]{rll} P(Z>5)&=&0,02 \\[5pt] 1-P(Z\leq 5) &=& 0,02 &\quad \scriptsize \mid -0,02\; \mid +P(Z\geq5) \\[5pt] 0,98&=& P(Z\leq 5) \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du durch ausprobieren bestimmen. Dazu kannst du mit deinem CAS zum Beispiel berechnen, was du für eine Wahrscheinlichkeit erhälst, wenn du für $p=\frac{4}{8}$ oder $p=\frac{2}{8}$ einsetzt. Du hast in der Aufgabe für $n=10$ und für $k=5$ gegeben und gerade berechnet, dass $P(Z\geq5)=0,98$ sein muss.
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Für $p$ erhälst du somit $0,25$. Jetzt kannst du die Anzahl der gelben Flächen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,25&=&g\cdot \frac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid : \frac{1}{8}\; \\[5pt] g&=&2 \end{array}$
Der Oktaeder hat $\boldsymbol{2}$ gelb gefärbte Flächen.
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