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Analytische Geometrie 2.1

Aufgaben
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Aufgabe 2.1: Methanmolekül

Ein Tetraeder ist gegeben durch seine Eckpunkte $H_1(8\mid0\mid0)$, $H_2(0\mid8\mid0)$, $H_3(0\mid0\mid8)$ und $H_4(8\mid8\mid8)$.
a)  Der Tetraeder wird als Modell eines Methanmoleküls verwendet. Dabei stellen die vier Eckpunkte die vier Wasserstoffatome und der Punkt $C(4\mid4\mid4)$ das Kohlenstoffatom dar.
Zeichne das Methanmodell als Tetraeder in das beigefügte Koordinatensystem ein.
Analytische Geometrie 2.1
Analytische Geometrie 2.1
(4P)
b)  Zeige, dass der Punkt $C$ der Mittelpunkt des Tetraeders ist.
(5P)
c)  Weise nach, dass der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist, in der die Punkte $H_3$, $H_4$ und $C$ liegen.
Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ auf.
[Zur Kontrolle: $E:\;-x+y=0$]
(9P)
d)  Zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke $\overline{H_1H_2}$ in der Ebene $E$ (aus Teil c) liegt.
Begründe, dass die Ebene $E$ Symmetrieebene des Tetraeders ist.
(4P)
e)  Der Winkel $\alpha$ zwischen den Strecken $\overline{CH_1}$ und $\overline{CH_2}$ wird Bindungswinkel genannt.
Berechne den Bindungswinkel im Methanmolekül.
(4P)
f)  Methan hat die nebenstehende Strukturformel.
Erkläre, dass diese auch aus geometrischer Sicht gerechtfertigt ist, wenn man das Methanmolekül in eine geeignete Ebene projiziert.
Analytische Geometrie 2.1
Analytische Geometrie 2.1
(4P)

(30P)
Anlage zu Aufgabe 2.1: Methanmolekül
Analytische Geometrie 2.1
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Aufgabe 2.1: Methanmolekül

a) 
$\blacktriangleright$  Methanmolekül zeichnen
Zeichne als erstes die Punkte $H_1(8\mid0\mid0) $, $H_2(0\mid8\mid0)$, $H_3(0\mid0\mid8)$, $H_4(8\mid8\mid8)$ und $C(4\mid4\mid4)$ in das Koordinatensystem ein. Danach zeichnest du eine Strecke durch die Punkt $H_1$ und $H_2$, $H_2$ und $H_3$, $H_3$ und $H_1$, sowie durch die Punkt $C$ und $H_2$ und $C$ und $H_3$.
b) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $\boldsymbol{C}$ Mittelpunkt des Tetraeders ist
Der Punkt $C$ ist genau dann der Mittelpunkt des Tetraeders, wenn alle Eckpunkte des Tetraeders den gleichen Abstand zum Punkt $C$ haben. Berechne also die Abstände $\overrightarrow{H_1C}$,$ \overrightarrow{H_2C} $ und $ \overrightarrow{H_3C}$ und $\overrightarrow{H_4C}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $\overrightarrow{H_1H_2}$ Normalenvektor von $E$ ist
Der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ ist genau dann der Normalenvektor der Ebene $E$ (die durch die Punkte $H_3$, $H_4$ und $C$ definiert ist), wenn der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Berechne also das Skalarprodukt zwischen den Richtungsvektoren der Ebene und dem Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$. Ist das Skalarprodukt null, so ist der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ der Normalenvektor der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen
Die Koordinaten des Normalenvektors hast du ja schon in der Aufgabe davor berechnet. Setze den Normalenvektor in die allgemeine Formel der Ebenengleichung in Koordinatenform ein und berechne anschließend den Parameter $d$, indem du den Stützvektor in die Ebenengleichung einsetzt.
d) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Mittelpunkt der Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ in der Ebene liegt
Bestimme als erstes den Mittelpunkt der Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ und überprüfe anschließend mit der Punktprobe, ob der Punkt $M$ auf der Ebene $E$ liegt.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass Ebene $E$ Symmetrieebene ist
Die Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ und der Mittelpunkt $M$ dieser Strecke liegt in der Ebenen.
e) 
$\blacktriangleright$  Berechne den Bindungswinkel
Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Setze dazu die beiden Vektoren $CH_1=\begin{pmatrix}4\\-4\\-4\end{pmatrix}$ und $CH_2=\begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}$ in die Formel ein und forme die Gleichung nach $\alpha$ um.
f) 
$\blacktriangleright$  Methanmolekül in Ebene projizieren
Um zu erklären, warum aus geometrischer Sicht die Darstellung stimmt, musst du alle gegebenen Punkte in eine Ebene projizieren. Du kannst die Punkte zum Beispiel in die $x-y$-Ebene projizieren. Du erhälst bei allen Punkte als $z$-Koordinate null.
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Aufgabe 2.1: Methanmolekül

a) 
$\blacktriangleright$  Methanmolekül zeichnen
Zeichne als erstes die Punkte $H_1(8\mid0\mid0) $, $H_2(0\mid8\mid0)$, $H_3(0\mid0\mid8)$, $H_4(8\mid8\mid8)$ und $C(4\mid4\mid4)$ in das Koordinatensystem ein. Danach zeichnest du eine Strecke durch die Punkt $H_1$ und $H_2$, $H_2$ und $H_3$, $H_3$ und $H_1$, sowie durch die Punkt $C$ und $H_2$ und $C$ und $H_3$.
Analytische Geometrie 2.1
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b) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $\boldsymbol{C}$ Mittelpunkt des Tetraeders ist
Der Punkt $C$ ist genau dann der Mittelpunkt des Tetraeders, wenn alle Eckpunkte des Tetraeders den gleichen Abstand zum Punkt $C$ haben. Berechne also die Abstände $\overrightarrow{H_1C}$,$ \overrightarrow{H_2C} $ und $ \overrightarrow{H_3C}$ und $\overrightarrow{H_4C}$.
$|\overrightarrow{H_1C}|=\left|\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-4\\4\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+4^2+4^2}=4\sqrt{3}$LE
$|\overrightarrow{H_2C}|=\left|\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\-4\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{3}$LE
$|\overrightarrow{H_3C}|=\left|\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2}=4\sqrt{3}$LE
$|\overrightarrow{H_4C}|=\left|\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\8\\8\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2}=4\sqrt{3}$LE
$\longrightarrow|\overrightarrow{H_1C}|=|\overrightarrow{H_2C}|=|\overrightarrow{H_3C}|=|\overrightarrow{H_4C}|=4\sqrt{3}$LE
Da alle Punkte den gleichen Abstand zum Punkt C haben, ist der Punkt $C$ der Mittelpunkt des Tetraeders.
c) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $\overrightarrow{H_1H_2}$ Normalenvektor von $E$ ist
Der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ ist genau dann der Normalenvektor der Ebene $E$ (die durch die Punkte $H_3$, $H_4$ und $C$ definiert ist), wenn der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Berechne also das Skalarprodukt zwischen den Richtungsvektoren der Ebene und dem Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$. Ist das Skalarprodukt null, so ist der Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$ der Normalenvektor der Ebene $E$.
1. Schritt: Ebene $\boldsymbol{E}$ aufstellen
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OC} + r\cdot \overrightarrow{CH_3}+ s\cdot \overrightarrow{CH_4}$
$\longrightarrow E: \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$.
2. Schritt: Skalarprodukt berechnen
$\overrightarrow{H_1H_2}= \begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}= 8\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-4)+1\cdot(-4)+0\cdot4=4-4=0$
$\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}=(-1)\cdot4+1\cdot4+0\cdot4=-4+4=0$
Beide Richtungsvektoren der Ebene $E$ sind orthogonal zu dem Vektor $\overrightarrow{H_1H_2}$. Somit ist gezeigt, dass der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{H_1H_2}}$ der Normalenvektor der Ebene $E$ ist.
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen
Die Koordinaten des Normalenvektors hast du ja schon in der Aufgabe davor berechnet. Setze den Normalenvektor in die allgemeine Formel der Ebenengleichung in Koordinatenform ein und berechne anschließend den Parameter $d$, indem du den Stützvektor in die Ebenengleichung einsetzt.
Normalenvektor einsetzen
$E: -1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z=d$
$\longrightarrow E: -x+y = d$
Parameter d berechnen
$E: -1 \cdot 4 + 1\cdot 4 = 0$
$\longrightarrow E: -x+y = 0 $
Die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform lautet: $\boldsymbol{ E: -x+y = 0}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Mittelpunkt der Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ in der Ebene liegt
Bestimme als erstes den Mittelpunkt der Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ und überprüfe anschließend mit der Punktprobe, ob der Punkt $M$ auf der Ebene $E$ liegt.
Mittelpunkt berechnen
$(\overrightarrow{OH_1}+\overrightarrow{OH_2}):2=\left(\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\right):2= \begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}:2= \begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}$
$\longrightarrow M(4\mid4\mid0)$
Punktprobe
$E: -1\cdot4+ 1\cdot 4=0$
Da die Ebenengleichung erfüllt ist, liegt der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ in der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass Ebene $E$ Symmetrieebene ist
Da die Strecke $\overrightarrow{H_1H_2}$ der Normalenvektor der Ebene $E$ ist und der Mittelpunkt $M$ dieser Strecke in der Ebene $E$ liegt haben die beiden Punkten $H_1$ und $H_2$ den gleichen Abstand zur Ebene $E$. Die Ebene $E$ ist die Symmetrieebene der Punkte $H_1$ und $H_2$.
e) 
$\blacktriangleright$  Berechne den Bindungswinkel
Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Setze dazu die beiden Vektoren $CH_1=\begin{pmatrix}4\\-4\\-4\end{pmatrix}$ und $CH_2=\begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}$ in die Formel ein und forme die Gleichung nach $\alpha$ um.
$\cos\alpha= \dfrac{\overrightarrow{CH_1}\cdot\overrightarrow{CH_2}}{\left|\overrightarrow{CH_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CH_2}\right|}= \dfrac{\begin{pmatrix}4\\-4\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}}{4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}\dfrac{-1}{3}$
$\alpha= \cos^{-1}\left(\dfrac{-1}{3}\right)= 109,5°$
Der Bindungswinkel im Methanmolekül beträgt $\boldsymbol{109,5°}$.
f) 
$\blacktriangleright$  Methanmolekül in Ebene projizieren
Um zu erklären, warum aus geometrischer Sicht die Darstellung stimmt, musst du alle gegebenen Punkte in eine Ebene projizieren. Du kannst die Punkte zum Beispiel in die $x-y$-Ebene projizieren. Du erhälst bei allen Punkte als $z$-Koordinate null. Die Punkte haben dann die Koordinaten:
$H_1 '(8\mid 0\mid 0)$, $H_2 '(0\mid 8\mid 0)$, $H_3'(0\mid 0\mid 0)$, $H_4'(8\mid 8\mid 0)$ und $C'(4\mid4\mid 0)$
Die Punkt $H_1'$, $H_2'$, $H_3'$ und $H_4'$ sind die Ecken eines Quadrats. Der Punkt $C'$ liegt in der Mitte des Quadrates.
Die in der Aufgabe gegebene Strukturformel ist somit aus geometrischer Sicht gerechtfertigt.
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