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Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

Ein Flugzeug fliegt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, die durch die Punkte $A(4\mid2\mid2,3)$ und $B(15\mid8\mid2,5)$ verläuft.
Um $12:13$ Uhr durchfliegt das Flugzeug $A$ und eine Minute später $B$.
Die Erdoberfläche liegt in der $x$-$y$-Ebene. Die Einheit für die Zeit $t$ ist $1\,\text{min}$, $1\,\text{LE}=1\,\text{km}$.
a)  Gib eine Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs an.
Voraus befindet sich ein Berg mit der Bergspitze $T(59\mid32\mid3)$.
Weise nach, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt.
Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeugs, gib das Ergebnis in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
(12P)
b)  Bestimme den Punkt $P$, in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von $3,5\,\text{km}$ erreicht und ermittle die Flugzeit bis zum Erreichen von $P$.
[Kontrollergebnis: $P(70\mid38\mid3,5)$]
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän seinen Kurs und fliegt in Richtung $Q(81\mid44\mid3,5)$ weiter. Das Flugzeug erreicht $Q$ nach einer Minute.
Bestimme eine Geradengleichung für den neuen Kurs.
(8P)
c)  Ein Rettungshubschrauber startet von einem Berghang vom Punkt $R(139\mid89\mid2,1)$ und fliegt entlang der Geraden $h:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}$.
Der Berghang liegt in einer Ebene $E$ mit der Gleichung $15x-18y+50z=588$.
Bestimme die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt.
(6P)
d)  Die Gerade $h$ schneidet die Gerade durch $P$ und $Q$ im Punkt $S(125\mid68\mid3,5)$.
Der Hubschrauber startet um $12:17$ Uhr. Er legt in einer Minute genau die Strecke zurück, die dem Betrag des Richtungsvektors von $h$ entspricht.
Das Flugzeug fliegt nach der Kursänderung um $12:19$ Uhr (vergleiche Teil b) auf konstanter Reiseflughöhe.
Entscheide begründet, ob eine Kurskorrektur erforderlich wird, damit es zwischen dem Hubschrauber und dem Flugzeug nicht zu einer Kollision kommt.
(4P)

(30P)
Bildnachweis [nach oben]
commons.wikimedia.org – Micha mountain CC BY-SA 3.0.
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

a) 
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug auf einer Geraden fliegt, die durch die Punkte $A(4\mid 2\mid 2,3)$ und $B(15\mid 8\mid 2,5)$ geht. Die Parametergleichung auf der das Flugzeug fliegt kannst du berechnen, indem du die Gerade durch die beiden Punkten $A$ und $B$ bildest.
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt
Um zu zeigen, dass die Bergspitze $T(59\mid 32\mid 3)$ nicht auf der Flugbahn liegt, musst du die Punktprobe durchführen. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Geradengleichung ein und löst das so entstandene lineare Gleichungssystem nach dem Parameter auf.
$\blacktriangleright$  Fluggeschwindigkeit berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug eine Minute braucht um vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zu kommen. Die Geschwindigkeit ist definiert, als die Strecke, die pro Zeiteinheit zurückgelegt wird. Um die Geschwindigkeit des Flugzeugs zu berechnen, musst du noch die zurückgelegte Strecke zwischen Punkt $A$ und $B$ berechnen. Das ist gerade die Länge des Richtungsvektors der Geraden $g$. Anschließend musst du die Einheiten noch von $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen.
b) 
$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen und Flugzeit ermitteln
Um die Koordinaten des Punktes $P$ zu berechnen, benötigst du einen Vektor $p$, der die Gerade $g$ in einer Flughöhe von $3,5$km schneidet. Das bedeutet, dass die $z$-Koordinate des Vektors $p$ $3,5$ sein muss. Die Koordinaten von $x$ und $y$ können beliebig gewählt werden. Anschließend kannst du den Vektor $p$ mit der Geraden $g$ gleichsetzen. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem welches du nach dem Parameter auflösen kannst. Den berechneten Parameter kannst du dann in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Ortsvektor, der zum gesuchten Punkt $P$ zeigt. Die Koordinaten des Punktes $P$ kannst du dann einfach ablesen.
$\blacktriangleright$  Neue Gerade $\boldsymbol{f}$ berechnen
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän die Route und erreicht den Punkt $Q$ nach einer Minute. Gesucht ist eine neue Gerade $f$, die durch die beiden Punkte $P(70\mid38\mid3,5)$ und $Q(81\mid44\mid3,5)$ geht.
Berechne also eine Gerade $f$, die durch die beiden Punkte geht.
c) 
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen
Um den Winkel zwischen der Ebene und der Geraden zu berechnen, kannst du die Sinus-Formel verwenden. Setze in die Formel den Normalenvektor der Ebene $E$ und den Richtungsvektor der Geraden $h$ ein.
d) 
$\blacktriangleright$  Begründen, ob eine Kurskorrektur notwendig ist
Als erstes musst du die Zeit berechnen, wann das Flugzeug und der Hubschrauber im Punkt $S(125\mid 68\mid3,5)$ sind. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $S$ mit den beiden Geradengleichungen $f$ und $h$ gleich und berechnest den Parameter $t$.
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Aufgabe 2.2: Gebirgsflüge

a) 
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug auf einer Geraden fliegt, die durch die Punkte $A(4\mid 2\mid 2,3)$ und $B(15\mid 8\mid 2,5)$ geht. Die Parametergleichung auf der das Flugzeug fliegt kannst du berechnen, indem du die Gerade durch die beiden Punkten $A$ und $B$ bildest.
$g: \vec{x}= \overrightarrow{OA}+ t\cdot\overrightarrow{AB}$
$g: \vec{x}= \begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}+ t\cdot \left(\begin{pmatrix}15\\8\\2,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt
Um zu zeigen, dass die Bergspitze $T(59\mid 32\mid 3)$ nicht auf der Flugbahn liegt, musst du die Punktprobe durchführen. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Geradengleichung ein und löst das so entstandene lineare Gleichungssystem nach dem Parameter auf.
$\begin{pmatrix}59\\32\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} 59&=&4+11t& \quad \scriptsize \mid -4 \mid :11 \; \\[5pt] 32&=&2+6t &\quad \scriptsize \mid -2 \mid :6\; \\[5pt] 3&=&2,3+0,2t& \quad \scriptsize \mid -2,3 \mid :0,2\; \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t&=&5 \\[5pt] t&=&5 \\[5pt] t&=&3,5 \end{array}$
Das lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar. Der Punkt $T$, die Bergspitze, liegt somit nicht auf der Flugbahn.
$\blacktriangleright$  Fluggeschwindigkeit berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass das Flugzeug eine Minute braucht um vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zu kommen. Die Geschwindigkeit ist definiert, als die Strecke, die pro Zeiteinheit zurückgelegt wird. Um die Geschwindigkeit des Flugzeugs zu berechnen, musst du noch die zurückgelegte Strecke zwischen Punkt $A$ und $B$ berechnen. Das ist gerade die Länge des Richtungsvektors der Geraden $g$. Anschließend musst du die Einheiten noch von $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen.
1. Schritt: zurückgelegte Strecke berechnen
$\left|\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}\right|= \sqrt{11^2+6^2+0,2^2}=12,53$
Das Flugzeug legt in einer Minute eine Strecke von $12,35$km zurück.
2. Schritt: Einheit umrechnen
$\rightarrow v=\dfrac{12,35\;\text{km}}{1\;\text{min}}= \dfrac{12,35\;\text{km}\cdot 60}{1\;\text{h}}= 752\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von $\boldsymbol{752\frac{\text{km}}{\text{h}}}$.
b) 
$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen und Flugzeit ermitteln
Um die Koordinaten des Punktes $P$ zu berechnen, benötigst du einen Vektor $p$, der die Gerade $g$ in einer Flughöhe von $3,5$km schneidet. Das bedeutet, dass die $z$-Koordinate des Vektors $p$ $3,5$ sein muss. Die Koordinaten von $x$ und $y$ können beliebig gewählt werden. Anschließend kannst du den Vektor $p$ mit der Geraden $g$ gleichsetzen. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem welches du nach dem Parameter auflösen kannst. Den berechneten Parameter kannst du dann in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Ortsvektor, der zum gesuchten Punkt $P$ zeigt. Die Koordinaten des Punktes $P$ kannst du dann einfach ablesen.
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{p}$ wählen
$\vec{p}=\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}$.
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
$\begin{pmatrix}x\\y\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}$
$3,5=2,3 + 0,2t \Rightarrow t=6$
3. Schritt: Parameter in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix}4\\2\\2,3\end{pmatrix} +6\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0,2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}$
Das Flugzeug hat im Punkt $\boldsymbol{P(70\mid38\mid 3,5)}$ eine Flughöhe von $3,5$km erreicht.
$\blacktriangleright$  Flugzeit bis zum Punkt $\boldsymbol{P}$ berechnen
In der Aufgabe ist gegeben, dass der Parameter $t$ die Zeit in Minuten angibt. Im Aufgabenteil davor hast du den Parameter $t$ schon berechnet. Die Lösung des Parameter $t$ ist gerade die Zeit, die das Flugzeug benötigt um eine Flughöhe von $3,5\;\text{km}$ zu erreichen.
Da der Parameter $t=6$ ist, bedeutet das, dass das Flugzeug $6$min braucht um eine Flughöhe von $3,5$km zu erreichen.
$\blacktriangleright$  Neue Gerade $\boldsymbol{f}$berechnen
Im Punkt $P$ ändert der Flugkapitän die Route und erreicht den Punkt $Q$ nach einer Minute. Gesucht ist eine neue Gerade $f$, die durch die beiden Punkte $P(70\mid38\mid3,5)$ und $Q(81\mid44\mid3,5)$ geht.
Berechne also eine Gerade $f$, die durch die beiden Punkte geht.
$f: \vec{x}= \begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot \left(\begin{pmatrix}81\\44\\3,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
Die neue Gerade $f$ lautet: $f: \vec{x}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
c) 
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen
Um den Winkel zwischen der Ebene und der Geraden zu berechnen, kannst du die Sinus-Formel verwenden. Setze in die Formel den Normalenvektor der Ebene $E$ und den Richtungsvektor der Geraden $h$ ein.
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\50\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\-3\\50\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}15\\-18\\2,1\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\right|}= \dfrac{34}{\sqrt{3049}\cdot\sqrt{13,04}}$
$\rightarrow\alpha= \sin^{-1}\left(\dfrac{34}{\sqrt{3049}\cdot\sqrt{13,04}}\right) = 9,8°$
Die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt, beträgt $\boldsymbol{9,8^°}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Begründen, ob eine Kurskorrektur notwendig ist
Als erstes musst du die Zeit berechnen, wann das Flugzeug und der Hubschrauber im Punkt $S(125\mid 68\mid3,5)$ sind. Dazu setzt du den Ortsvektor des Punktes $S$ mit den beiden Geradengleichungen $f$ und $h$ gleich und berechnest den Parameter $t$.
  • $\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\38\\3,5\end{pmatrix}+t_f\cdot\begin{pmatrix}11\\6\\0\end{pmatrix}$
    $\begin{array}[t]{rll} 125&=&70+11t_f &\quad \scriptsize \mid-70 \mid :11\; \\[5pt] 68&=&38+6t_f &\quad \scriptsize \mid-38 \mid :6\; \\[5pt] 5&=&t_f \\[5pt] \end{array}$
  • $\begin{pmatrix}125\\68\\3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t_h\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}$
    $\begin{array}[t]{rll} 125&=&139-2t_h &\quad \scriptsize \mid-139 \mid :(-2)\; \\[5pt] 68&=&89-3t_h&\quad \scriptsize \mid-89 \mid :(-3)\; \\[5pt] 3,5&=&2,1+0,2t_h&\quad \scriptsize \mid-2,1 \mid :0,2\; \\[5pt] 7&=&t_h \end{array}$
Das Flugzeug ändert seinen Kurs um $12:19$ Uhr und ist nach $5$ min , also um $12:24$ Uhr im Punkt $S$. Der Hubschrauber startet um $12:17$ Uhr und ist nach $7$min, also auch um $12:24$ Uhr im Punkt $S$. Es ist also eine Kurskorrektur notwendig, damit es zwischen Flugzeug und Hubschrauber nicht zur Kollision kommt.
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