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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Aufgabe 3.1: Onlineshopping

Die Tabelle gibt repräsentativ die Kaufgewohnheiten der Verbraucher in Deutschland beim Onlineshopping wieder. So wurde beispielsweise ermittelt, dass $32\,\%$ der befragten Verbraucher gelegentlich Computer im Internet kaufen. Jeder Verbraucher kann dabei unabhängig von den anderen für die Artikel verschiedene Kaufgewohnheiten besitzen.
regelmäßiggelegentlichnie
Bücher$50\,\%$$30\,\%$$20\,\%$
Sportartikel$13\,\%$$33\,\%$$54\,\%$
Computer$33\,\%$$32\,\%$$35\,\%$
(Quelle: Statista-Datenbank 2012)
In einem Statistikprojekt befragt Tom zufällig ausgewählte Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Die Gültigkeit der Tabellenangaben wird dabei vorausgesetzt.
a)  Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
  1. Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Computer im Internet.
  2. Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite regelmäßig Computer im Internet.
  3. Genau einer von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.
(7P)
b)  Tom wählt nun $20$ Personen für die nächste Fragerunde aus.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
  1. Von den $20$ kaufen genau sechs Personen gelegentlich Bücher im Internet.
  2. Höchstens fünf der $20$ Ausgewählten kaufen gelegentlich Bücher im Internet.
  3. Unter den $20$ ausgewählten Personen sind mindestens drei, die nie Bücher im Internet kaufen.
(10P)
c)  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ wenigstens eine Person zu finden, die regelmäßig Computer im Internet kauft.
(5P)
d)  In einem Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Waren im Internet. Tom befragt vier von den $20$ Personen nach ihren Kaufgewohnheiten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle vier Befragten Waren im Internet kaufen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den vier Befragten mindestens eine Person war, die Waren im Internet kauft.
(8P)

(30P)
Anlage zu Aufgabe 3.1: Onlineshopping
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0$“, alle freien Plätze $1,0000$.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5)$, ist der richtige Wert $1$ $-$ (abgelesener Wert).
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
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Aufgabe 3.1: Onlineshopping

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A}$
Du sollst in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit von Ereigniss $A$, mit
$A$: „Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Comuter im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nie ein Computer im Internet gekauft wird, beträgt $35\,\%$. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ zu berechnen, kannst du die Pfadmultiplikationregel verwenden.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis $B$, mit
$B$: „Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite kauft regelmäßig Computer im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher im Internet kauft, beträgt $50\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $33\,\%$. Auch hier kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel anwenden.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{C}$
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ mit

$C$: „Genau eine Person von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt hier die Anzahl der Personen unter den zwei zufällig Befragten, die regelmäßig Sportartikel im Internet kaufen. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • die befragte Person kauft regelmäßig Sportartikel im Internet oder
  • die befragte Person kauft nicht regelmäßig Sportartikel im Internet
Gesucht ist, dass genau eine Person regelmäßig Sportartikel im Internet kauft, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=1)$.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{D}$
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der Personen von $20$ Befragten, die gelegentlich Bücher im Internet kaufen. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass genau $6$ Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, also $P(X=6)$.
Aus dem gleichen Grund wie in der Aufgabe zuvor die Zufallsvariabe $X$, ist auch die Zufallsvariable $Y$ binomialverteil.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{E}$
Betrachte in dieser Aufgabe wieder die Zufallsvariable $Z$. Da du die Wahrscheinlichkeit berechnen sollst, dass höchstens 5 Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, kannst du von einer kumulierte Binomialverteilung ausgehen. Berechne also die Wahrscheinlichkeit für $P(Z\leq5)$. Den Wert kannst du aus der gegebenen Tabelle (Anlage zu Aufgabe 3.1) ablesen.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{F}$
Betrachte in dieser Aufgabe die Zufallsvariable $Y$. Diese beschreibt die Anzahl der Personen, unter 20 Befragten, die nie Bücher im Internet kaufen. Hier ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens $3$ befragte Personen nie Bücher im Internet kaufen. Bilde als erstes das Gegenereignis und verwende anschließend die kumulierte Binomialverteilung. Den passenden Wert kannst du dann aus der Tabelle ablesen..
c) 
$\blacktriangleright$  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen
Die Zufallsvariable $S$ beschreibt die Anzahl der Personen, die regelmäßig Computer im Internet kaufen. $S$ ist binomialverteilt mit $p=0,33$ und unbekanntem $n$. $n$ steht für die Anzahl der befragten Personen. Da mindestens eine Person unter den Befragten sein soll, die regelmäßig Coputer im Internet kauft, muss $S$ somit größer als $1$ sein. Bilde als erstes das Gegenereignis und löse anschließend die Gleichung nach $n$ auf.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass 4 Personen im Internet kaufen
Im Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Ware im Internet. Vier Personen werden befragt und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Befragten Ware im Internet kaufen. Es handelt sich dabei um das vierstufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment „ziehen ohne zurücklegen“.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 20 befragten Personen im Internet kauft, beträgt gerade $\frac{15}{20}$, dass die zweite Person im Internet kauft, beträgt dann $\frac{14}{19}$ usw. Du kannst hier die Pfadmultipliaktionsregel anwenden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass unter den 4 Personen wenigstens eine im Internet kauft
Die Zufallsvariable $H$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person $15$ Befragten im Internet kauft, also $P(H\geq1)$.
Um besser rechnen zu können, kannst du das Gegenereignis bilden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste befragte Person keine Ware im Internet kauft, beträgt $\frac{5}{20}$, die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person auch keine Ware im Internet kauft, beträgt $\frac{4}{19}$ usw. Es handelt sich auch hier um das Wahrscheinlichkeitsexperiment „ziehen ohne zurücklegen“. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
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Aufgabe 3.1: Onlineshopping

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A}$
Du sollst in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit von Ereigniss $A$, mit
$A$: „Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Comuter im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nie ein Computer im Internet gekauft wird, beträgt $35\,\%$. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ zu berechnen, kannst du die Pfadmultiplikationregel verwenden.
$P(A)=0,35\cdot 0,35=0,1225= 12,25\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{12,25\,\%}$ kaufen beide Ausgewählte nie einen Computer im Internet.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis $B$, mit
$B$: „Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite kauft regelmäßig Computer im Internet.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher im Internet kauft, beträgt $50\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $33\,\%$. Auch hier kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel anwenden.
$P(B)=0,5\cdot0,33=0,165=16,5\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person regelmäßig Bücher und die zweite Person regelmäßig Computer im Internet kauft, beträgt $\boldsymbol{16,5\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{C}$
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ mit

$C$: „Genau eine Person von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt hier die Anzahl der Personen unter den zwei zufällig Befragten, die regelmäßig Sportartikel im Internet kaufen. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • die befragte Person kauft regelmäßig Sportartikel im Internet oder
  • die befragte Person kauft nicht regelmäßig Sportartikel im Internet
Gesucht ist, dass genau eine Person regelmäßig Sportartikel im Internet kauft, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=1)$. Setze in die Formel der Binomialverteilung $p=0,13$, $n=2$ und $k=1$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\[5pt] &=&\binom{2}{1}\cdot 0,13\cdot 0,87 \\[5pt] &=&0,2262= 22,62\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{22,62\,\%}$ kauft genau einer von zwei Ausgewählten regelmäßig Sportartikel im Internet.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{D}$
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der Personen von $20$ Befragten, die gelegentlich Bücher im Internet kaufen. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass genau $6$ Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, also $P(X=6)$.
Aus dem gleichen Grund wie in der Aufgabe zuvor die Zufallsvariabe $X$, ist auch die Zufallsvariable $Y$ binomialverteil, mit den Parametern $p=0,3$, $n=20$ und $k=6$.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=6)&=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\[5pt] &=&\binom{20}{6}\cdot 0,3^6\cdot 0,7^{20-6} \\[5pt] &=& 0,1916=19,16\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{19,16\,\%}$ kaufen von $20$ Befragten genau 6 Personen gelegentlich Bücher im Internet.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{E}$
Betrachte in dieser Aufgabe wieder die Zufallsvariable $Z$. Da du die Wahrscheinlichkeit berechnen sollst, dass höchstens 5 Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, kannst du von einer kumulierte Binomialverteilung ausgehen. Berechne also die Wahrscheinlichkeit für $P(Z\leq5)$. Den Wert kannst du aus der gegebenen Tabelle (Anlage zu Aufgabe 3.1) ablesen.
$P(Z\leq5)= P(Z=5)+P(Z=4)+…+P(Z=0) $
$P(Z\leq5)=0,4164=41,64\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 20 befragten Personen höchstens 5 Personen gelegentlich Bücher im Internet kaufen, beträgt $\boldsymbol{41,64\,\%.}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{F}$
Betrachte in dieser Aufgabe die Zufallsvariable $Y$. Diese beschreibt die Anzahl der Personen, unter 20 Befragten, die nie Bücher im Internet kaufen. Hier ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens $3$ befragte Personen nie Bücher im Internet kaufen. Bilde als erstes das Gegenereignis und verwende anschließend die kumulierte Binomialverteilung. Den passenden Wert kannst du dann aus der Tabelle ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq3)&=&P(Y=3)+P(Y=4)+…+P(Y=20) \\[5pt] &=&1-P(Y\leq2)=1- 0,2061= 0,7939= 79,39\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 20 befragten Personen mindestens 3 Personen nie Bücher im Internet kaufen, beträgt $\boldsymbol{79,39\,\%.}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen
Die Zufallsvariable $S$ beschreibt die Anzahl der Personen, die regelmäßig Computer im Internet kaufen. $S$ ist binomialverteilt mit $p=0,33$ und unbekanntem $n$. $n$ steht für die Anzahl der befragten Personen. Da mindestens eine Person unter den Befragten sein soll, die regelmäßig Coputer im Internet kauft, muss $S$ somit größer als $1$ sein. Bilde als erstes das Gegenereignis und löse anschließend die Gleichung nach $n$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} P(S\geq1)&= &1-P(\overline{S}\geq0,99)\\[5pt] 1-(1-0,33)^n&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-0,67^n&\geq& 0,99&\quad \scriptsize \mid -0,99\;\mid +0,67 \\[5pt] 0,01&\geq& 0,67^n &\quad \scriptsize \mid\log\; \\[5pt] \log(0,01)&\geq& n\cdot \log(0,67) &\quad \scriptsize \mid :\log(0,67)\; \\[5pt] \frac{\log(0,01)}{\log(0,67)}&\leq& n \\[5pt] 11,499&\leq&n \end{array}$
Es müssen mindestens 12 Personen befragt werden.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass 4 Personen im Internet kaufen
Im Internetcafé sitzen $20$ Personen. $15$ von ihnen kaufen Ware im Internet. Vier Personen werden befragt und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Befragten Ware im Internet kaufen. Es handelt sich dabei um das vierstufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment „ziehen ohne zurücklegen“.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 20 befragten Personen im Internet kauft, beträgt gerade $\frac{15}{20}$, dass die zweite Person im Internet kauft, beträgt dann $\frac{14}{19}$ usw. Du kannst hier die Pfadmultipliaktionsregel anwenden.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
$P(G)=\frac{15}{20}\cdot \frac{14}{19}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{12}{17}= 0,2817= 28,17\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{28,17\,\%}$ kaufen 4 der befragten Personen im Internet.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass unter den 4 Personen wenigstens eine im Internet kauft
Die Zufallsvariable $H$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person von $15$ Befragten im Internet kauft, also $P(H\geq1)$.
Um besser rechnen zu können, kannst du das Gegenereignis bilden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste befragte Person keine Ware im Internet kauft, beträgt $\frac{5}{20}$, die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person auch keine Ware im Internet kauft, beträgt $\frac{4}{19}$ usw. Es handelt sich auch hier um das Wahrscheinlichkeitsexperiment „ziehen ohne zurücklegen“. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
$\begin{array}[t]{rll} P(H\geq1)&=&1- P(\overline{H}) \\[5pt] &=&1-\left(\frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19}\cdot\frac{3}{18}\cdot\frac{2}{17}\right) \\[5pt] &=&1-0,00103= 0,9999= 99,99\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den vier befragten Personen wenigstens eine im Internet kauft, beträgt $\boldsymbol{99,99\,\%}$.
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