Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur GK (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Stochastik 3.2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe 3.2: Oktaeder

Neben dem klassischen Würfel hat ein Spielzeughersteller auch ein Oktaeder als Spielgerät in seinem Angebot (siehe Abbildung). Bei diesem sind die acht gleich großen Seiten mit den Ziffern $1$ bis $8$ beschriftet.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt beim Würfeln für jede der Ziffern $p=\frac{1}{8}$.
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
a)  Mit dem Oktaeder werden zunächst $5$ Würfe durchgeführt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$A_1$:    In jedem der $5$ Würfe fällt eine gerade Zahl.
$A_2$:    In keinem der $5$ Würfe fällt eine $7$.
$A_3$:    Im ersten Wurf fällt eine $2$, danach nicht mehr.
(10P)
b)  Nun werden $20$ Würfe durchgeführt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$B_1$:    Die $7$ fällt genau zweimal.
$B_2$:    Mindestens $10$-mal fällt eine ungerade Zahl.
(7P)
c)  Nina und Tim haben beide ein solches Oktaeder als Werbegeschenk erhalten und führen damit Würfelversuche durch.
Beide würfeln einmal.
Betrachtet wird das Ereignis $C_1$: Nina würfelt höchstens eine $6$, Tim eine Zahl größer $6$.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C_1$.
In einer neuen Runde wirft jeder genau $5$-mal.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C_2$: Jeder von beiden hat genau einmal eine Zahl größer $6$.
(9P)
d)  Tims Freund besitzt ein Oktaeder, das nicht mit Ziffern beschriftet ist, sondern jede seiner Seiten ist entweder rot, grün oder gelb eingefärbt.
Der Freund hat ermittelt, wie häufig bei $10$ Würfen die Farbe gelb mehr als $5$-mal fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt nur zwei Prozent.
Untersuche, wie viele Seiten des Oktaeders gelb gefärbt sein könnten.
(4P)

(30P)
Anlage zu Aufgabe 3.2: Oktaeder
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0$“, alle freien Plätze enthalten $1,0000$. Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5)$, ist der richtige Wert $1$ $-$ (abgelesener Wert).
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 3.2: Oktaeder

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_1$ mit
$A_1$: „Bei $5$-mal würfeln fällt jedes mal eine gerade Zahl.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird beträgt $p=4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. Wende die Pfadmultiplikationsregel an.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_2}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_2$ mit
$A_2$: „Bei $5$-mal würfeln fällt keine $1$.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine $1$ fällt beträgt $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Verwende auch hier die Pfadmultiplikationsregel.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_3}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_3$ mit
$A_3$: „Im ersten Wurf fällt eine $2$ und dann nicht mehr.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine $2$ fällt beträgt $p=\frac{1}{8}$. In den darauf folgenden vier Würfen soll keine 2 mehr fallen, also $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_1}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B_1$ mit
$B_1$: „Die $7$ fällt genau zwei mal.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt die Anzahl der $7$, die bei $20$ mal würfeln geworfen wird. $X$ kann dabei als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • es wird eine $7$ gewürfelt oder
  • es wird keine $7$ geürfelt
Gesucht ist, dass genau zweimal eine $7$ gewürfelt wird, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=2)$. Setze in die Formel der Binomialverteilung $p=\frac{1}{8}$, $n=20$ und $k=2$ ein.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_2}$
Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt die Anzahl der ungeraden gewürfelten Zahlen bei $20$-mal würfeln. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens $10$-mal eine ungerade Zahl fällt, also $P(Y\geq10)$. Aus dem selben Grund wie in der Aufgabe zuvor kannst du annehmen, dass die Zufallsvariable $Y$ binomialverteilt ist. Die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln ist gerade $p=4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
Um einfacher zu rechnen, kannst du als erstes das Gegenereignis bilden. Mit Hilfe der Angaben $n=20$, $k=10$ und $p=\frac{1}{2}$ kannst du anschließend den passenden Wert aus der Tabelle (Anlage zu Aufgabe 3.2) ablesen.
c) 
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C_1$ mit
$C_1$: „Nina würfelt höchstens eine $6$ und Tim würfelt eine Zahl größer als $6$.“
berechnen.
Es handelt sich in dieser Aufgabe um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beide würfeln unabhängig von einander. Du kannst also die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine $6$ würfelt und Tim eine Zahl größer als $6$ würfelt getrennt berechnen und danach beide Wahrscheinlichkeiten mit einander multiplizieren.
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_2}$
Da beide 5-mal unabhängig von einander würfeln, kannst du zum Beispiel als erstes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Nina ein Zahl größer als 6 würfelt.
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als $6$ gewürfelt wird. Du kannst die Formel der Binomialverteilung verwenden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt. Da genau einmal eine Zahl größer als $6$ geworfen werden soll ist $P(X=1)$ gesucht. Setze $p=2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}, n=5, k=1$ in die Formel ein. Da die berechnete Wahrscheinlichkeit für Tim und Nina gleich sind, muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit gerade die berechnete Wahrscheinlichkeit ins Quadrat sein.
d) 
$\blacktriangleright$  Berechne die Anzahl der gelben Flächen $\boldsymbol{g}$
Tims Freund hat ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10-mal würfeln mehr als 5-mal eine gelbe Fläche gewürfelt wird, nur $2\,\%$ beträgt.
$Z$ bezeichnet die Anzahl der Würfe, bei denen gelb fällt, also gilt $P(Z<5)$. Bilde das Gegenereignis um einfacher rechnen zu können und stelle anschließend die Gleichung nach $P(Z\leq 5)$ um.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du mit Hilfe der Tabelle bestimmen. Du hast in der Aufgabe für $n=10$ und für $k=5$ gegeben und gerade berechnet, dass $P(Z\leq5)=0,98$ sein muss. Anschließend kannst du die Anzahl der gelben Flächen berechnen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 3.2: Oktaeder

a) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_1$ mit
$A_1$: „Bei $5$-mal würfeln fällt jedes mal eine gerade Zahl.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird beträgt $p=4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. Wende die Pfadmultiplikationsregel an.
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=&\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\[5pt] &=&\frac{1}{32}=0,0312 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $5$-mal würfeln immer eine gerade Zahl fällt beträgt $\boldsymbol{3,12\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_2}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_2$ mit
$A_2$: „Bei $5$-mal würfeln fällt keine $1$.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine $1$ fällt beträgt $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Verwende auch hier die Pfadmultiplikationsregel.
$P(A_2)=\left(\frac{7}{8}\right)^5=0,5129=51,29\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{51,29\,\%}$ fällt bei $5$-mal würfeln nie eine $1$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A_3}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A_3$ mit
$A_3$: „Im ersten Wurf fällt eine $2$ und dann nicht mehr.“
berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine $2$ fällt beträgt $p=\frac{1}{8}$. In den darauf folgenden vier Würfen soll keine 2 mehr fallen, also $p=7\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Wende auch hier die Pfadmultiplikationsregel an.
$P(A_3)=\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^4=0,733=7,33\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{7,33\,\%}$ wird im ersten Wurf eine $2$ gewürfelt und dann keine mehr.
b) 
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_1}$
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B_1$ mit
$B_1$: „Die $7$ fällt genau zwei mal.“
berechnen.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$. Diese beschreibt die Anzahl der $7$, die bei $20$ mal würfeln geworfen wird. $X$ kann dabei als binomialverteilt angenommen werden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt:
  • es wird eine $7$ gewürfelt oder
  • es wird keine $7$ geürfelt
Gesucht ist, dass genau zweimal eine $7$ gewürfelt wird, also die Wahrscheinlichkeit für $P(X=2)$. Setze in die Formel der Binomialverteilung $p=\frac{1}{8}$, $n=20$ und $k=2$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\[5pt] &=& \binom{20}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2\cdot \left(1-\frac{1}{8})\right)^{20-2} \\[5pt] &=&0,2684=26,84\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{26,84\,\%}$ wird bei $20$ Würfe genau $2$-mal eine $7$ gewürfelt.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B_2}$
Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt die Anzahl der ungeraden gewürfelten Zahlen bei $20$-mal würfeln. Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens $10$-mal eine ungerade Zahl fällt, also $P(Y\geq10)$. Aus dem selben Grund wie in der Aufgabe zuvor kannst du annehmen, dass die Zufallsvariable $Y$ binomialverteilt ist. Die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln ist gerade $p=4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
Um einfacher zu rechnen, kannst du als erstes das Gegenereignis bilden. Mit Hilfe der Angaben $n=20$, $k=10$ und $p=\frac{1}{2}$ kannst du anschließend den passenden Wert aus der Tabelle (Anlage zu Aufgabe 3.2) ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq10)&=& 1-P(X\leq9) \\[5pt] &=&1-(P(X=9)+P(X=8)+….+P(X=1)+P(X=0))\\[5pt] &=&1-0,4119 = 0,5881 = 58,81\,\% \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen mindestens 10-mal eine ungerade Zahl fällt beträgt $\boldsymbol{58,81\,\%.}$
c) 
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_1}$
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C_1$ mit
$C_1$: „Nina würfelt höchstens eine $6$ und Tim würfelt eine Zahl größer als $6$.“
berechnen.
Es handelt sich in dieser Aufgabe um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beide würfeln unabhängig von einander. Du kannst also die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine $6$ würfelt und Tim eine Zahl größer als $6$ würfelt getrennt berechnen und danach beide Wahrscheinlichkeiten mit einander multiplizieren.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit, höchstens $6$ würfeln
$p=6\cdot \frac{1}{8}= \frac{6}{8}= \frac{3}{4}$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit, größere Zahl als $6$ würfeln
$p=2\cdot\frac{1}{8}= \frac{2}{8}= \frac{1}{4}$
3. Schritt: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
$P(C_1)= \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}= 0,1875 = 18,75\,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Nina höchstens eine 6 und Tim eine Zahl größer als 6 würfelt beträgt $\boldsymbol{18,75\,\%}$.
$\blacktriangleright$  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C_2}$
Da beide 5-mal unabhängig von einander würfeln, kannst du zum Beispiel als erstes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Nina ein Zahl größer als 6 würfelt.
Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als $6$ gewürfelt wird. Du kannst die Formel der Binomialverteilung verwenden, da es genau zwei mögliche Ausgänge gibt. Da genau einmal eine Zahl größer als $6$ geworfen werden soll ist $P(X=1)$ gesucht. Setze $p=2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}, n=5, k=1$ in die Formel ein. Da die berechnete Wahrscheinlichkeit für Tim und Nina gleich sind, muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit gerade die berechnete Wahrscheinlichkeit ins Quadrat sein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\[5pt] &=&\binom{5}{1}\cdot \frac{1}{4}\cdot (1-\frac{1}{4})^{5-1}\\[5pt] &=&\binom{5}{1} \cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}^4= 0,3955 \end{array}$
$P(C_2)=0,3955 \cdot 0,3955 = 0,1564 = 15,64\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder von beiden höchstens einmal eine Zahl größer als 6 würfelt, beträgt $\boldsymbol{15,64\,\%}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Berechne die Anzahl der gelben Flächen $\boldsymbol{g}$
Tims Freund hat ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10-mal würfeln mehr als 5-mal eine gelbe Fläche gewürfelt wird, nur $2\,\%$ beträgt.
$Z$ bezeichnet die Anzahl der Würfe, bei denen gelb fällt, also gilt $P(Z<5)$. Bilde das Gegenereignis um einfacher rechnen zu können und stelle anschließend die Gleichung nach $P(Z\leq 5)$ um.
$\begin{array}[t]{rll} P(Z<5)&=&0,02 \\[5pt] 1-P(Z\leq5) &=& 0,02 &\quad \scriptsize \mid -0,02\; \mid +P(Z\leq5) \\[5pt] 0,98&=& P(Z\leq5) \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du mit Hilfe der Tabelle bestimmen. Du hast in der Aufgabe für $n=10$ und für $k=5$ gegeben und gerade berechnet, dass $P(Z\leq5)=0,98$ sein muss. Für $p$ erhälst du somit $0,25$. Jetzt kannst du die Anzahl der gelben Flächen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,25&=&g\cdot \frac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid : \frac{1}{8}\; \\[5pt] g&=&2 \end{array}$
Der Oktaeder hat $\boldsymbol{2}$ gelb gefärbte Flächen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App